Énoncé de l'inégalité
Soit X une variable aléatoire admettant une espérance E(X) et une variance V(X). Pour tout réel δ > 0 :
En notant μ = E(X) l'espérance et σ² = V(X) la variance, l'inégalité s'écrit aussi :
Démonstration (à partir de l'inégalité de Markov)
On part de l'inégalité de Markov : pour une variable aléatoire positive Y ≥ 0 et tout a > 0,
- On pose Y = (X − μ)², qui est positive, avec E(Y) = V(X) = σ².
- L'événement |X − μ| ≥ δ équivaut à Y ≥ δ².
- L'inégalité de Markov appliquée à Y avec a = δ² donne directement le résultat :
Application : la loi des grands nombres
Soit X₁, …, Xₙ des variables indépendantes de même loi, d'espérance μ et de variance σ². On note Mₙ leur moyenne. Comme V(Mₙ) = σ²/n, Bienaymé-Tchebychev donne :
C'est la loi faible des grands nombres : plus l'échantillon est grand, plus la moyenne se concentre autour de l'espérance.
Exemple
Soit X d'espérance μ = 50 et d'écart-type σ = 5 (donc σ² = 25). La probabilité de s'écarter de plus de 10 de la moyenne vérifie :
Sans rien connaître de la loi de X, on garantit que cet écart se produit au plus une fois sur quatre.
Questions fréquentes
Quelle est la formule de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?
Pour une variable aléatoire X d'espérance E(X) et de variance V(X), et pour tout réel δ > 0 : P(|X − E(X)| ≥ δ) ≤ V(X) / δ².
Comment démontrer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?
On applique l'inégalité de Markov à la variable positive Y = (X − E(X))², dont l'espérance vaut V(X). L'événement |X − E(X)| ≥ δ équivaut à Y ≥ δ², d'où P(Y ≥ δ²) ≤ E(Y)/δ² = V(X)/δ².
À quoi sert l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?
Elle majore la probabilité qu'une variable s'écarte de sa moyenne. C'est l'outil clé pour démontrer la loi faible des grands nombres : la moyenne d'un grand échantillon se concentre autour de l'espérance.
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