Concentration et loi des grands nombres en Terminale spé maths

Concentration et loi des grands nombres en Terminale spé : cours complet

La loi des grands nombres explique pourquoi, en répétant une expérience un grand nombre de fois, la moyenne observée se rapproche de l'espérance. C'est le pilier de la statistique inférentielle.

Échantillon de variables aléatoires

Définition

Soit $X_1,X_2,\dots ,X_n$X₁, X₂, …, Xₙ des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.), de même espérance $E$E et même variance $V$V.

Moyenne empirique

$$\overline{X_n}=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}$$Xₙ̅ = (X₁ + X₂ + … + Xₙ)/n

Espérance et variance

$$E(\overline{X_n})=E;V(\overline{X_n})=\frac{V}{n};\sigma (\overline{X_n})=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$E(Xₙ̅) = E ; V(Xₙ̅) = V/n ; σ(Xₙ̅) = σ/√(n)

Conséquence : plus $n$n est grand, moins $\overline{X_n}$Xₙ̅ varie.

Inégalité de concentration (Bienaymé-Tchebychev)

Pour $\epsilon >0$ε > 0 :

$$P(|\overline{X_n}-E|\ge \epsilon )\le \frac{V}{n{\epsilon }^2}$$P(|Xₙ̅ - E| ≥ ε) ≤ V/(n ε²)

Interprétation

Probabilité que la moyenne empirique s'écarte de l'espérance diminue avec $n$n.

Loi faible des grands nombres

Énoncé

Pour tout $\epsilon >0$ε > 0 :

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }P(|\overline{X_n}-E|\ge \epsilon )=0$$lim_n → +∞ P(|Xₙ̅ - E| ≥ ε) = 0

Interprétation

La moyenne empirique converge (en probabilité) vers l'espérance, quand $n$n tend vers l'infini.

Application au schéma binomial

Pour $X\sim \mathcal{B}(n,p)$X ~ B (n, p), on considère la fréquence :

$$F_n=\frac{X}{n}$$Fₙ = X/n

Propriétés

$$E(F_n)=p;V(F_n)=\frac{p(1-p)}{n}$$E(Fₙ) = p ; V(Fₙ) = (p(1-p))/n

Conséquence

La fréquence se rapproche de $p$p quand $n$n grandit. C'est ce qu'on observe en pratique quand on répète une expérience aléatoire.

Intervalle de fluctuation asymptotique

Définition (au seuil $95\%$95%)

Pour $n$n assez grand :

$$I_n=\left[p-\frac{1,96\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}};p+\frac{1,96\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right]$$Iₙ = [ p - (1,96 √(p(1-p)))/√(n) ; p + (1,96 √(p(1-p)))/√(n) ]

Approximation simple : $\left[p-\frac{1}{\sqrt{n}};p+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]$[ p - 1/√(n) ; p + 1/√(n) ].

Conditions de validité

• $n\ge 30$n ≥ 30
• $np\ge 5$np ≥ 5 et $n(1-p)\ge 5$n(1 - p) ≥ 5

Interprétation

$P(F_n\in I_n)\approx 0,95$P(Fₙ ∈ Iₙ) ≈ 0,95 : la fréquence observée tombe dans cet intervalle dans environ $95\%$95% des cas.

Intervalle de confiance d'une proportion

Si on estime $p$p par $f$f observée, l'intervalle de confiance à $95\%$95% est :

$$IC=\left[f-\frac{1,96\sqrt{f(1-f)}}{\sqrt{n}};f+\frac{1,96\sqrt{f(1-f)}}{\sqrt{n}}\right]$$IC = [ f - (1,96 √(f(1-f)))/√(n) ; f + (1,96 √(f(1-f)))/√(n) ]

Approximation simple : $\left[f-\frac{1}{\sqrt{n}};f+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]$[ f - 1/√(n) ; f + 1/√(n) ].

Simulation et illustration

Lancer répété d'un dé

Pour vérifier $E(\text{deˊ})=3,5$E( dé ) = 3,5 :

import random
moyennes = []
for n in [10, 100, 1000, 10000]:
    s = sum(random.randint(1, 6) for _ in range(n))
    moyennes.append(s / n)
print(moyennes)  # ex: [3.4, 3.55, 3.498, 3.502]

On voit la convergence vers $3,5$3,5.

Application : sondages

Un sondage sur $1000$1000 personnes donne $f=52\%$f = 52% pour un candidat. Intervalle de confiance à $95\%$95% :

$$IC\approx [52\%-3\%;52\%+3\%]=[49\%;55\%]$$IC ≈ [52% - 3% ; 52% + 3%] = [49% ; 55%]

On ne peut pas conclure que le candidat dépasse les $50\%$50% avec certitude.

Erreurs fréquentes à éviter

• Confondre fluctuation et confiance : fluctuation suppose $p$p connu ; confiance estime $p$p.
• Oublier les conditions de validité ($n$n grand, $p$p pas trop extrême).
• Conclure trop vite à partir d'un seul échantillon.
• Mauvaise interprétation du « 95% » : il y a $5\%$5% de chance que l'intervalle ne contienne pas la vraie valeur.

FAQ — Concentration et loi des grands nombres

Pourquoi la moyenne se rapproche de l'espérance ?

C'est le principe de la loi des grands nombres : plus on répète, plus la moyenne empirique est proche de l'espérance théorique.

À quoi sert l'intervalle de confiance ?

À estimer une proportion inconnue à partir d'un échantillon, avec une marge d'erreur explicite.

Comment réduire la marge d'erreur ?

En augmentant la taille $n$n de l'échantillon (mais en $\sqrt{n}$√(n), donc lentement).

Pourquoi $1,96$1,96 ?

Parce que pour une loi normale, $95\%$95% des valeurs sont dans $[E-1,96\sigma ;E+1,96\sigma ]$[E - 1,96 σ ; E + 1,96 σ].