Volume de la sphère : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

Le volume d'une sphère (ou boule) de rayon $r$ r est $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ V = 4/3 π r³.

Le rayon est élevé au cube : doubler le rayon multiplie le volume par $8$ 8.

Le coefficient $\frac{4}{3}$ 4/3 n'a rien d'intuitif : il vient du calcul intégral, et il place le volume de la sphère aux deux tiers de celui du cylindre qui la contient exactement.

L'effet du cube est massif : multiplier le rayon par $2$ 2 multiplie le volume par $8$ 8, et par $3$ 3 le multiplie par $27$ 27.

Exemple

Sphère de rayon

3

3 :

V = \frac{4}{3} π \times 3^{3} = \frac{4}{3} π \times 27 = 36 π \approx 113, 1

V = 4/3 π× 3³ = 4/3 π× 27 = 36π ≈ 113,1.

Deuxième exemple

Une balle de rayon

5

5 cm a un volume de

\frac{4}{3} π \times 125 \approx 523, 6

4/3π × 125 ≈ 523,6 cm³. Une balle de rayon

10

10 cm, deux fois plus grande, en a huit fois plus : environ

4188, 8

4 188,8 cm³.

Piège à éviter

C'est

r^{3}

r³ (au cube), pas

r^{2}

r² : ne pas confondre avec l'aire du disque.

Les autres formules de la géométrie dans l'espace

Volumes des solides usuels →

V_{cube} = a^{3} V_{pav \overset{e}{ˊ}} = L ℓ h V_{cylindre} = π r^{2} h

V_cube = a³ V_pavé = L ℓ h V_cylindre = π r² h Volume de la pyramide et du cône →

V_{pyramide} = \frac{1}{3} B h V_{c \overset{o}{ˆ} ne} = \frac{1}{3} π r^{2} h

V_pyramide = 1/3 B h V_cône = 1/3 π r² h

Questions fréquentes

Pourquoi le volume est-il proportionnel au cube du rayon ?

Parce qu'un volume se mesure en trois dimensions : doubler toutes les longueurs multiplie le volume par

2^{3} = 8

2³ = 8.

Faut-il garder pi ou donner une valeur approchée ?

On donne la valeur exacte avec

π

π quand l'énoncé le permet, puis une valeur approchée si elle est demandée, en précisant l'arrondi.

Quelle différence avec l'aire d'une sphère ?

L'aire vaut

4 π r^{2}

4π r², avec le rayon au carré : c'est une surface, en cm², alors que le volume est en cm³.

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