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Notion

Les vecteurs coplanaires

Trois vecteurs de l'espace sont coplanaires lorsqu'ils peuvent être représentés dans un même plan, c'est-à-dire lorsque l'un d'eux est une combinaison linéaire des deux autres : vecteur w =a vecteur u +b vecteur v. Cette notion est spécifique à la géométrie dans l'espace, où trois vecteurs ne remplissent pas forcément tout l'espace. Vérifier la coplanarité permet de savoir si des points sont dans un même plan, si des droites sont coplanaires, ou si un repère est valide. À l'inverse, trois vecteurs non coplanaires forment une base de l'espace : tout vecteur s'écrit alors de façon unique comme combinaison des trois. La coplanarité se teste par un système ou avec un déterminant.

Définitions

Vecteurs coplanaires
Trois vecteurs vecteur u, vecteur v, vecteur w sont coplanaires s'il existe des représentants de ces vecteurs situés dans un même plan. De façon équivalente, l'un d'eux s'écrit comme combinaison linéaire des deux autres (si ces deux-là ne sont pas colinéaires).
Base de l'espace
Trois vecteurs vecteur u, vecteur v, vecteur w non coplanaires forment une base de l'espace : tout vecteur de l'espace s'écrit alors de manière unique x vecteur u + y vecteur v + z vecteur w.

Formules

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Critère de coplanarité →vecteur w = a vecteur u + b vecteur vw = a × u + b × v (w combinaison linéaire de u et v non colinéaires)Trois vecteurs sont coplanaires si l'un est combinaison des deux autres.

Méthodes

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Montrer que trois vecteurs sont coplanaires →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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1

Combinaison évidente

Niveau 1 · Application directe
vecteur w = 3 vecteur u - 2 vecteur v. Les vecteurs vecteur u , vecteur v , vecteur w sont-ils coplanaires ?
Voir la correction
  1. 1.
    vecteur w est combinaison linéaire de vecteur u et vecteur v.
    → Critère de coplanarité
  2. 2.
    Donc oui, coplanaires.
Réponse : Oui.
2

Plan z = 0

Niveau 1 · Application directe
vecteur u (1 ;0 ;0), vecteur v (0 ;1 ;0), vecteur w (4 ;-2 ;0). Coplanaires ?
Voir la correction
  1. 1.
    vecteur w = 4 vecteur u - 2 vecteur v (troisième coordonnée nulle partout).
    → Critère de coplanarité
  2. 2.
    Oui, coplanaires.
Réponse : Oui.
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Questions fréquentes

Que veut dire « vecteurs coplanaires » ?

Cela signifie qu'on peut dessiner des représentants des trois vecteurs dans un même plan. De manière équivalente, l'un des trois s'écrit comme combinaison linéaire des deux autres.

Comment montrer que trois vecteurs sont coplanaires ?

On cherche deux réels a et b tels que w = a·u + b·v (avec u et v non colinéaires), en résolvant le système des coordonnées. Si le système a une solution, ils sont coplanaires.

Quel est le lien avec une base de l'espace ?

Trois vecteurs non coplanaires forment une base de l'espace : tout vecteur s'écrit alors de façon unique comme x·u + y·v + z·w. La coplanarité est donc le cas où ils ne forment pas une base.

Comment montrer que quatre points sont coplanaires ?

On forme trois vecteurs à partir d'un même point, par exemple AB, AC et AD, puis on montre que ces trois vecteurs sont coplanaires.

Quand trois vecteurs forment-ils une base de l'espace ?

Exactement quand ils ne sont pas coplanaires. Trois vecteurs non coplanaires forment une base : tout vecteur de l'espace s'écrit alors de façon unique x·u + y·v + z·w.

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