Notion

La géométrie dans l'espace

La géométrie dans l'espace étudie les objets à trois dimensions : points, droites, plans et solides (cube, pavé, pyramide, cône, sphère…). Elle prolonge la géométrie plane en ajoutant la profondeur, ce qui introduit de nouvelles positions relatives : deux droites peuvent être non coplanaires, une droite peut être parallèle, sécante ou incluse dans un plan, deux plans peuvent être parallèles ou sécants selon une droite. On y calcule des longueurs, des aires et des volumes, et l'on repère des points par trois coordonnées. Savoir se représenter les configurations et lire une perspective est essentiel. La géométrie dans l'espace se poursuit avec les vecteurs et le produit scalaire en terminale.

Définitions

Volume: Le volume mesure l'espace occupé par un solide. Il s'exprime dans une unité au cube : $cm^{3}$ cm ³, $m^{3}$ m ³… (et $1 L = 1 dm^{3}$ 1 L = 1 dm ³).
Solides usuels: Au programme : le cube et le pavé droit (faces rectangulaires), le cylindre (base disque), la pyramide et le cône (qui se terminent en pointe), et la sphère (la « boule »).
Aire de base: Pour une pyramide ou un cône, le volume dépend de l'aire de la base $B$ B et de la hauteur $h$ h. La hauteur est mesurée perpendiculairement à la base, jusqu'au sommet.

Formules

Les formules à connaître. Clique sur une formule pour la fiche détaillée.

Volumes des solides usuels →

V_{cube} = a^{3} V_{pav \overset{e}{ˊ}} = L ℓ h V_{cylindre} = π r^{2} h

V_cube = a³ V_pavé = L ℓ h V_cylindre = π r² hLes volumes du cube, du pavé droit et du cylindre.Volume de la pyramide et du cône →

V_{pyramide} = \frac{1}{3} B h V_{c \overset{o}{ˆ} ne} = \frac{1}{3} π r^{2} h

V_pyramide = 1/3 B h V_cône = 1/3 π r² hLes solides pointus : un tiers de la base fois la hauteur.Volume de la sphère →

V_{sph \overset{e}{ˋ} re} = \frac{4}{3} π r^{3}

V_sphère = 4/3 π r³Le volume d'une boule de rayon r.

Méthodes

Les démarches pas à pas. Clique pour la méthode complète avec exemple résolu.

Résoudre un exercice de géométrie dans l'espace →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

Cherche d'abord, puis clique sur « Voir la correction ». La série complète est sur la page d'exercices.

Volume d'un pavé droit

Niveau 1 · Application directe

Calculer le volume d'un pavé droit de dimensions

4

4 cm,

3

3 cm et

2

2 cm.

Voir la correction

1.
Pour un pavé droit, $V = L \times ℓ \times h$ V = L× ℓ× h.
→ Volumes des solides usuels
2.
$V = 4 \times 3 \times 2 = 24$ V = 4× 3× 2 = 24.
3.
Le volume est $24 cm^{3}$ 24 cm ³.

Réponse :

V = 24 cm^{3}

V = 24 cm ³.

Volume d'un cylindre

Niveau 2 · Méthode complète

Calculer le volume d'un cylindre de rayon

2

2 cm et de hauteur

5

5 cm (valeur exacte puis approchée).

Voir la correction

1.
$V = π r^{2} h$ V = π r² h avec $r = 2$ r = 2 et $h = 5$ h = 5.
→ Volumes des solides usuels
2.
$V = π \times 2^{2} \times 5 = 20 π$ V = π× 2²× 5 = 20π.
3.
$V = 20 π \approx 62, 8 cm^{3}$ V = 20π ≈ 62,8 cm ³.

Réponse :

V = 20 π \approx 62, 8 cm^{3}

V = 20π ≈ 62,8 cm ³.

Méthode utilisée : $V = π r^{2} h$ V=π r² h.

Erreur fréquente : Utiliser le diamètre au lieu du rayon.

Faire les 10 exercices types sur géométrie dans l'espace8 autres exercices corrigés pas à pas, du plus simple au plus complet.

Questions fréquentes

C'est quoi le volume, simplement ?

C'est la place qu'occupe un objet dans l'espace, comme la quantité d'eau qu'il faudrait pour le remplir. On le mesure en unités au cube (cm³, m³) ou en litres : 1 litre, c'est 1 dm³.

Comment choisir la bonne formule de volume ?

On regarde la forme du solide : cube → a³, pavé → L×l×h, cylindre → πr²h, pyramide → ⅓×base×hauteur, cône → ⅓πr²h, sphère → 4⁄3 πr³. Chaque solide a sa formule.

Pourquoi il y a un 1/3 pour la pyramide et le cône ?

Parce qu'un solide qui se termine en pointe contient exactement trois fois moins qu'un solide « droit » de même base et même hauteur. Un cône fait le tiers du cylindre correspondant.

Faut-il garder π ou mettre une valeur approchée ?

Les deux sont corrects. On donne souvent la valeur exacte avec π (par exemple 20π cm³), puis une valeur approchée (≈ 62,8 cm³). Suis ce que demande l'énoncé.

Pourquoi le volume est-il en cm³ et pas en cm² ?

Parce qu'un volume occupe les trois dimensions de l'espace (longueur, largeur, hauteur) : on multiplie trois longueurs, d'où l'unité au cube. Une aire, elle, n'a que deux dimensions, d'où le « carré ».

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Le chapitre complet, avec fiche et exercices corrigés en PDF :

Géométrie dans l'espace — Seconde →