Exercices corrigés : Automatismes — Première générale

Correction détaillée

1. 1

   Un ordre de grandeur s'obtient en remplaçant chaque facteur par un nombre « rond » proche.

   Le but n'est pas d'être exact : c'est de savoir à l'avance dans quelle zone doit tomber le résultat.

2. 2

   Premier produit : $4,97$4,97 est très proche de $5$5, et $19,8$19,8 très proche de $20$20.

   L'ordre de grandeur est donc $5\times 20=100$5 × 20 = 100.

3. 3

   Valeur exacte : on utilise la distributivité pour éviter la pose.

   $4,97\times 19,8=4,97\times 20-4,97\times 0,2=99,4-0,994=98,406$4,97 × 19,8 = 4,97 × 20 - 4,97 × 0,2 = 99,4 - 0,994 = 98,406.

4. 4

   L'écart avec l'estimation vaut moins de $2\%$2 % : l'ordre de grandeur était fiable.

   On remarque aussi qu'il SURESTIME, ce qui est logique puisqu'on a arrondi les deux facteurs vers le haut.

5. 5

   Second produit : $0,52$0,52 est proche de $0,5$0,5, et $398$398 proche de $400$400.

   Ordre de grandeur : $0,5\times 400=200$0,5 × 400 = 200.

6. 6

   Valeur exacte : $0,52\times 398=0,52\times 400-0,52\times 2=208-1,04=206,96$0,52 × 398 = 0,52 × 400 - 0,52 × 2 = 208 - 1,04 = 206,96.

7. 7

   Ici l'estimation SOUS-estime, car on a arrondi $0,52$0,52 vers le bas d'un côté et $398$398 vers le haut de l'autre — les deux effets ne se compensent pas exactement.

Rappel de cours : L'ordre de grandeur sert de garde-fou : si la calculatrice affiche $9,84$9,84 ou $984$984, on sait immédiatement qu'une virgule a été mal placée.

Erreur fréquente : Négliger cette étape en contrôle. C'est pourtant elle qui rattrape les erreurs de saisie, qui sont la première cause de résultats aberrants.

Correction détaillée

1. 1

   Avant tout calcul, on identifie l'opération prioritaire.

   Ici, la multiplication passe avant l'addition : c'est donc $\frac{1}{6}\times \frac{4}{5}$1/6 × 4/5 qu'il faut traiter en premier.

2. 2

   Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

   Aucun dénominateur commun n'est nécessaire — cette exigence ne concerne QUE l'addition et la soustraction.

3. 3

   $\frac{1}{6}\times \frac{4}{5}=\frac{1\times 4}{6\times 5}=\frac{4}{30}$1/6 × 4/5 = (1 × 4)/(6 × 5) = 4/30.

4. 4

   On simplifie tout de suite, avant d'aller plus loin : $4$4 et $30$30 sont pairs, donc $\frac{4}{30}=\frac{2}{15}$4/30 = 2/15.

   Simplifier au plus tôt évite de manipuler de grands nombres.

5. 5

   L'expression devient $A=\frac{2}{3}+\frac{2}{15}$A = 2/3 + 2/15.

   Cette fois, l'addition impose un dénominateur commun.

6. 6

   On cherche le plus petit multiple commun à $3$3 et $15$15.

   Comme $15=3\times 5$15 = 3 × 5, le nombre $15$15 convient directement : inutile de prendre $45$45.

7. 7

   $\frac{2}{3}=\frac{2\times 5}{3\times 5}=\frac{10}{15}$2/3 = (2 × 5)/(3 × 5) = 10/15.

8. 8

   $A=\frac{10}{15}+\frac{2}{15}=\frac{12}{15}$A = 10/15 + 2/15 = 12/15.

9. 9

   On vérifie l'irréductibilité : $12$12 et $15$15 sont tous deux divisibles par $3$3, donc $A=\frac{4}{5}$A = 4/5.

   Là, $4$4 et $5$5 n'ont plus de diviseur commun.

10. 10

    Contrôle de vraisemblance : $\frac{2}{3}\approx 0,67$2/3 ≈ 0,67 et $\frac{2}{15}\approx 0,13$2/15 ≈ 0,13, donc $A\approx 0,80$A ≈ 0,80.

    Or $\frac{4}{5}=0,8$4/5 = 0,8. ✔

Rappel de cours : Réflexe : chercher un dénominateur commun n'a de sens que pour $+$+ et $-$-. Pour $\times$× et $÷$÷, on multiplie directement en simplifiant en chemin.

Erreur fréquente : Calculer de gauche à droite ($\frac{2}{3}+\frac{1}{6}$2/3+1/6 d'abord) donnerait $\frac{5}{6}\times \frac{4}{5}=\frac{2}{3}$5/6 × 4/5 = 2/3 — un résultat faux qui a pourtant l'air propre, donc difficile à repérer sans contrôle.

Correction détaillée

1. 1

   On applique deux règles seulement.

   Pour un produit de puissances de MÊME base, les exposants s'additionnent : $a^m\times a^n=a^{m+n}$a^(m) × aⁿ = a^(m+n).

   Pour un quotient, ils se soustraient : $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$a^(m)/aⁿ = a^(m-n).

2. 2

   Ces règles se comprennent en revenant à la définition : $2^3\times 2^{-5}$2³ × 2⁻⁵, c'est trois facteurs $2$2 multipliés par cinq facteurs $2$2 au dénominateur — il en reste donc deux au dénominateur.

3. 3

   Numérateur de $B$B : $2^3\times 2^{-5}=2^{3+(-5)}=2^{-2}$2³ × 2⁻⁵ = 2³⁺⁽⁻⁵⁾ = 2⁻².

4. 4

   Puis le quotient : $\frac{2^{-2}}{2^{-4}}=2^{-2-(-4)}=2^{-2+4}=2^2$2⁻²/2⁻⁴ = 2⁻²⁻⁽⁻⁴⁾ = 2⁻²⁺⁴ = 2².

5. 5

   Attention à cette étape : soustraire $-4$-4 revient à AJOUTER $4$4.

   C'est là que se produisent la plupart des erreurs de signe.

6. 6

   $B=2^2=4$B = 2² = 4.

7. 7

   Pour $C$C, même méthode : $10^{-3}\times 10^7=10^{-3+7}=10^4$10⁻³ × 10⁷ = 10⁻³⁺⁷ = 10⁴, puis $\frac{10^4}{10^2}=10^{4-2}=10^2$10⁴/10² = 10⁴⁻² = 10².

8. 8

   $C=10^2=100$C = 10² = 100.

9. 9

   Méthode alternative pour $C$C, plus rapide en calcul mental : on additionne directement tous les exposants du numérateur et on retranche ceux du dénominateur, soit $-3+7-2=2$-3 + 7 - 2 = 2.

   Le résultat est $10^2$10².

Rappel de cours : Un seul calcul d'exposants suffit : on additionne ceux du haut et on soustrait ceux du bas, en une fois.

Erreur fréquente : Écrire $2^{-2}=-4$2⁻² = -4. Un exposant négatif ne rend jamais un nombre négatif : il produit l'inverse, ici $\frac{1}{4}$1/4.

Correction détaillée

1. 1

   On traite les deux morceaux séparément avant de les assembler : c'est plus sûr que de tout mener de front.

2. 2

   Premier morceau, double distributivité : chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde, soit quatre produits.

3. 3

   $2x\times x=2x^2$2x × x = 2x² ; $2x\times 5=10x$2x × 5 = 10x ; $-3\times x=-3x$-3 × x = -3x ; $-3\times 5=-15$-3 × 5 = -15.

4. 4

   Le signe $-$- fait partie du terme : on multiplie bien $-3$-3, et non $3$3.

   C'est la source d'erreur numéro un de tout le chapitre.

5. 5

   $(2x-3)(x+5)=2x^2+10x-3x-15=2x^2+7x-15$(2x-3)(x+5) = 2x² + 10x - 3x - 15 = 2x² + 7x - 15.

6. 6

   Second morceau : $2x(x-1)=2x^2-2x$2x(x-1) = 2x² - 2x.

7. 7

   Ce morceau est SOUSTRAIT.

   Le signe $-$- devant s'applique donc à l'expression entière, ce qui change tous ses signes.

8. 8

   $D=(2x^2+7x-15)-(2x^2-2x)=2x^2+7x-15-2x^2+2x$D = (2x² + 7x - 15) - (2x² - 2x) = 2x² + 7x - 15 - 2x² + 2x.

9. 9

   On regroupe par famille.

   Termes en $x^2$x² : $2x^2-2x^2=0$2x² - 2x² = 0, ils disparaissent.

   Termes en $x$x : $7x+2x=9x$7x + 2x = 9x.

   Constante : $-15$-15.

10. 10

    $D=9x-15$D = 9x - 15.

    L'expression, qui semblait du second degré, est en réalité affine : c'est une information utile.

11. 11

    Vérification numérique avec $x=1$x = 1 : l'expression de départ vaut $(2-3)(1+5)-2\times 1\times 0=-6-0=-6$(2-3)(1+5) - 2 × 1 × 0 = -6 - 0 = -6.

    Et $9\times 1-15=-6$9 × 1 - 15 = -6. ✔

12. 12

    Un second test avec $x=0$x = 0 : départ $(-3)(5)-0=-15$(-3)(5) - 0 = -15 ; résultat $9\times 0-15=-15$9 × 0 - 15 = -15. ✔

Rappel de cours : Tester une valeur numérique dans les deux formes est le moyen le plus rapide de valider un développement. Deux valeurs différentes rendent l'erreur quasi impossible.

Erreur fréquente : Écrire $D=2x^2+7x-15-2x^2-2x$D = 2x² + 7x - 15 - 2x² - 2x en oubliant de changer le signe du $-2x$-2x. On obtiendrait $5x-15$5x - 15, faux.

Correction détaillée

1. 1

   Le principe : une équation est une balance.

   Toute opération faite d'un côté doit être faite de l'autre pour préserver l'équilibre.

2. 2

   Objectif : rassembler les $x$x d'un côté et les nombres de l'autre.

   On choisit de garder les $x$x à gauche, là où leur coefficient est le plus grand — cela évite d'obtenir un coefficient négatif.

3. 3

   On retranche $2x$2x aux deux membres : $5x-2x-7=8$5x - 2x - 7 = 8, soit $3x-7=8$3x - 7 = 8.

4. 4

   On ajoute $7$7 aux deux membres : $3x=15$3x = 15.

5. 5

   On divise les deux membres par $3$3 : $x=5$x = 5.

6. 6

   Vérification, à faire systématiquement : membre de gauche $=5\times 5-7=25-7=18$= 5 × 5 - 7 = 25 - 7 = 18.

7. 7

   Membre de droite $=2\times 5+8=10+8=18$= 2 × 5 + 8 = 10 + 8 = 18.

   Les deux membres coïncident, la solution est correcte. ✔

8. 8

   Remarque de méthode : on parle souvent de « faire passer de l'autre côté en changeant de signe ».

   C'est un raccourci correct, mais qui masque le raisonnement — il vaut mieux savoir qu'on retranche la même quantité des deux côtés.

Rappel de cours : La vérification coûte dix secondes et transforme une réponse « probable » en réponse certaine.

Erreur fréquente : Oublier de traiter les deux membres. Retrancher $2x$2x uniquement à gauche détruit l'égalité et fausse tout ce qui suit.

Correction détaillée

1. 1

   Les identités remarquables sont des développements que l'on reconnaît au lieu de les refaire.

   Elles font gagner du temps, mais seulement si on les reconnaît sans hésiter.

2. 2

   Pour $E$E, on est dans le cas $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$(a - b)² = a² - 2ab + b², avec $a=3x$a = 3x et $b=4$b = 4.

3. 3

   $a^2=(3x{)}^2=9x^2$a² = (3x)² = 9x².

   Attention : le carré porte sur TOUT le terme $3x$3x, donc le coefficient $3$3 est lui aussi élevé au carré.

4. 4

   $2ab=2\times 3x\times 4=24x$2ab = 2 × 3x × 4 = 24x, et il est précédé du signe $-$-.

5. 5

   $b^2=16$b² = 16.

6. 6

   $E=9x^2-24x+16$E = 9x² - 24x + 16.

7. 7

   Vérification avec $x=1$x = 1 : $(3-4{)}^2=(-1{)}^2=1$(3 - 4)² = (-1)² = 1.

   Et $9-24+16=1$9 - 24 + 16 = 1. ✔

8. 8

   Pour $F$F, on reconnaît $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$(a+b)(a-b) = a² - b², avec $a=2x$a = 2x et $b=5$b = 5.

9. 9

   Cette identité est remarquable justement parce que les deux termes croisés s'annulent : en développant à la main on obtiendrait $4x^2-10x+10x-25$4x² - 10x + 10x - 25, et le $-10x$-10x compense le $+10x$+10x.

10. 10

    $F=(2x{)}^2-5^2=4x^2-25$F = (2x)² - 5² = 4x² - 25.

11. 11

    Vérification avec $x=1$x = 1 : $7\times (-3)=-21$7 × (-3) = -21.

    Et $4-25=-21$4 - 25 = -21. ✔

Rappel de cours : Trois identités à connaître dans les deux sens : $(a+b{)}^2$(a+b)², $(a-b{)}^2$(a-b)² et $(a+b)(a-b)$(a+b)(a-b). Le sens « développer » sert au calcul, le sens « factoriser » sert à résoudre.

Erreur fréquente : Écrire $(3x-4{)}^2=9x^2-16$(3x-4)² = 9x² - 16 ou $3x^2-24x+16$3x² - 24x + 16. Deux erreurs distinctes : oublier le double produit, et oublier de mettre le coefficient au carré.

Correction détaillée

1. 1

   Avant toute chose, on adopte un réflexe de tri : y a-t-il un facteur commun ?

   Sinon, reconnaît-on une identité remarquable ?

2. 2

   $G=9x^2-25$G = 9x² - 25 : pas de facteur commun.

   On observe une différence de deux carrés, puisque $9x^2=(3x{)}^2$9x² = (3x)² et $25=5^2$25 = 5².

3. 3

   On applique $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$a² - b² = (a-b)(a+b) avec $a=3x$a = 3x et $b=5$b = 5 : $G=(3x-5)(3x+5)$G = (3x - 5)(3x + 5).

4. 4

   Contrôle avec $x=2$x = 2 : $G=36-25=11$G = 36 - 25 = 11, et $(6-5)(6+5)=1\times 11=11$(6-5)(6+5) = 1 × 11 = 11. ✔

5. 5

   $H=x^2+10x+25$H = x² + 10x + 25 : trois termes, dont deux sont des carrés ($x^2$x² et $25=5^2$25 = 5²).

   On teste l'identité $(a+b{)}^2$(a+b)².

6. 6

   Le double produit devrait valoir $2\times x\times 5=10x$2 × x × 5 = 10x.

   C'est exactement le terme du milieu : l'identité s'applique.

7. 7

   $H=(x+5{)}^2$H = (x + 5)².

8. 8

   Contrôle avec $x=1$x = 1 : $H=1+10+25=36$H = 1 + 10 + 25 = 36, et $(1+5{)}^2=36$(1+5)² = 36. ✔

9. 9

   $I=6x^2-15x$I = 6x² - 15x : ici il y a un facteur commun.

   Pour les nombres, $6$6 et $15$15 ont $3$3 en commun.

   Pour les lettres, $x$x est présent dans les deux termes.

10. 10

    Le facteur commun est donc $3x$3x, et non simplement $3$3 : il faut le sortir en entier, sinon la factorisation reste incomplète.

11. 11

    $6x^2=3x\times 2x$6x² = 3x × 2x et $15x=3x\times 5$15x = 3x × 5, donc $I=3x(2x-5)$I = 3x(2x - 5).

12. 12

    Contrôle avec $x=2$x = 2 : $I=24-30=-6$I = 24 - 30 = -6, et $3\times 2\times (4-5)=6\times (-1)=-6$3 × 2 × (4-5) = 6 × (-1) = -6. ✔

Rappel de cours : Ordre de réflexe : facteur commun d'abord, identité remarquable ensuite. Une factorisation incomplète (comme $3(2x^2-5x)$3(2x²-5x)) n'est pas fausse, mais elle ne sert à rien pour résoudre.

Erreur fréquente : Vouloir factoriser $x^2+25$x² + 25. Une SOMME de deux carrés ne se factorise pas : seule la différence le permet.

Correction détaillée

1. 1

   Première méthode, en deux temps : on calcule l'augmentation, puis on l'ajoute.

2. 2

   $3,5\%$3,5 % signifie $\frac{3,5}{100}=0,035$3,5/100 = 0,035.

   L'augmentation vaut donc $1840\times 0,035$1 840 × 0,035.

3. 3

   Calcul mental structuré : $1840\times 0,035=1840\times 35÷1000$1 840 × 0,035 = 1 840 × 35 ÷ 1000.

   Or $1840\times 35=1840\times 30+1840\times 5=55200+9200=64400$1 840 × 35 = 1 840 × 30 + 1 840 × 5 = 55 200 + 9 200 = 64 400.

4. 4

   En divisant par $1000$1000 : l'augmentation vaut $64,40$64,40 €.

5. 5

   Nouveau salaire : $1840+64,40=1904,40$1 840 + 64,40 = 1 904,40 €.

6. 6

   Seconde méthode, en une seule opération : le coefficient multiplicateur.

   Augmenter de $3,5\%$3,5 %, c'est conserver $100\%$100 % et ajouter $3,5\%$3,5 %, donc obtenir $103,5\%$103,5 % du salaire.

7. 7

   Le coefficient vaut $1+\frac{3,5}{100}=1,035$1 + 3,5/100 = 1,035.

8. 8

   Nouveau salaire : $1840\times 1,035=1904,40$1 840 × 1,035 = 1 904,40 €.

   Les deux méthodes concordent. ✔

9. 9

   Laquelle privilégier ?

   La seconde, systématiquement.

   Elle demande une seule opération, elle s'enchaîne naturellement si plusieurs évolutions se suivent, et elle évite l'oubli classique consistant à répondre l'augmentation au lieu du nouveau montant.

10. 10

    Contrôle de vraisemblance : $3,5\%$3,5 % c'est un peu plus de $3\%$3 %, soit un peu plus de $55$55 € sur $1840$1 840 €.

    On attend donc environ $1900$1 900 €. ✔

Rappel de cours : Coefficient multiplicateur : $\times \left(1+\frac{t}{100}\right)$× (1 + t/100) pour une hausse, $\times \left(1-\frac{t}{100}\right)$× (1 - t/100) pour une baisse. C'est l'outil central de toute l'année.

Erreur fréquente : Répondre $64,40$64,40 €. C'est le montant de l'augmentation, pas le nouveau salaire — relire la question avant d'écrire la réponse.

Correction détaillée

1. 1

   Une proportion se calcule toujours par « partie divisée par total ».

   Le total est ici l'effectif du lycée entier.

2. 2

   Proportion $=\frac{425}{1250}$= 425/(1 250).

3. 3

   Pour convertir en pourcentage, on peut effectuer la division puis multiplier par $100$100 : $425÷1250=0,34$425 ÷ 1 250 = 0,34, donc $34\%$34 %.

4. 4

   Méthode alternative sans calculatrice, souvent plus rapide : on cherche à ramener le dénominateur à $100$100.

   Ici $1250÷100=12,5$1 250 ÷ 100 = 12,5, donc on divise aussi le numérateur par $12,5$12,5.

5. 5

   $425÷12,5=850÷25=34$425 ÷ 12,5 = 850 ÷ 25 = 34.

   On lit directement $\frac{34}{100}$34/100, soit $34\%$34 %.

6. 6

   Troisième approche, par simplification : $\frac{425}{1250}=\frac{17}{50}$425/(1 250) = 17/50 en divisant haut et bas par $25$25.

   Puis $\frac{17}{50}=\frac{34}{100}=34\%$17/50 = 34/100 = 34 %.

7. 7

   Vérification par le calcul inverse : $34\%$34 % de $1250$1 250 vaut $1250\times 0,34=425$1 250 × 0,34 = 425. ✔

8. 8

   Contrôle de vraisemblance : $425$425 représente un peu plus du tiers de $1250$1 250 (qui vaudrait environ $417$417), donc un peu plus de $33\%$33 %. ✔

Rappel de cours : Proportion et pourcentage d'évolution ne se calculent pas pareil : la proportion divise par le TOTAL, l'évolution divise par la valeur de DÉPART.

Erreur fréquente : Inverser la fraction et calculer $\frac{1250}{425}\approx 2,94$(1 250)/425 ≈ 2,94. Un résultat supérieur à $1$1 pour une proportion signale immédiatement l'inversion.

Correction détaillée

1. 1

   On s'appuie sur une propriété fondamentale : un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul.

2. 2

   Cette propriété est ce qui rend la factorisation si utile : elle transforme une équation compliquée en plusieurs équations simples.

3. 3

   L'équation équivaut donc à : $3x-12=0$3x - 12 = 0 OU $2x+5=0$2x + 5 = 0.

4. 4

   Première équation : $3x=12$3x = 12, donc $x=4$x = 4.

5. 5

   Seconde équation : $2x=-5$2x = -5, donc $x=-\frac{5}{2}=-2,5$x = -5/2 = -2,5.

6. 6

   L'équation admet deux solutions : $4$4 et $-2,5$-2,5.

7. 7

   Vérification de la première : $(3\times 4-12)(2\times 4+5)=0\times 13=0$(3 × 4 - 12)(2 × 4 + 5) = 0 × 13 = 0. ✔

8. 8

   Vérification de la seconde : $(3\times (-2,5)-12)(2\times (-2,5)+5)=(-19,5)\times 0=0$(3 × (-2,5) - 12)(2 × (-2,5) + 5) = (-19,5) × 0 = 0. ✔

9. 9

   Remarque importante : il ne faut surtout pas développer l'équation pour la « simplifier ».

   On obtiendrait $6x^2-9x-60=0$6x² - 9x - 60 = 0, une équation du second degré bien plus difficile — alors que la forme factorisée donnait la réponse immédiatement.

Rappel de cours : Une forme factorisée est un cadeau : on ne la développe jamais quand on cherche à résoudre.

Erreur fréquente : Écrire « $3x-12=0$3x - 12 = 0 ET $2x+5=0$2x + 5 = 0 ». C'est un OU : il suffit qu'UN facteur s'annule pour que le produit le soit.

Correction détaillée

1. 1

   On isole le terme en $x$x comme pour une équation : on retranche $9$9 aux deux membres.

2. 2

   $-4x⩾1-9$-4x ≥ 1 - 9, soit $-4x⩾-8$-4x ≥ -8.

3. 3

   Vient l'étape critique : diviser par $-4$-4.

   Or diviser (ou multiplier) une inégalité par un nombre NÉGATIF en inverse le sens.

4. 4

   Pourquoi ?

   Parce que multiplier par un négatif retourne l'ordre sur la droite numérique : $2<5$2 < 5, mais $-2>-5$-2 > -5.

   L'ordre des nombres s'inverse.

5. 5

   On divise donc par $-4$-4 en changeant $⩾$≥ en $⩽$≤ : $x⩽\frac{-8}{-4}$x ≤ (-8)/(-4), c'est-à-dire $x⩽2$x ≤ 2.

6. 6

   L'ensemble des solutions est l'intervalle $]-\infty ;2]$]-∞ ; 2].

   Le crochet est fermé en $2$2 car l'inégalité est large ($⩾$≥) : la valeur $2$2 est solution.

7. 7

   Vérification à trois endroits stratégiques.

   Pour $x=0$x = 0 (dans l'intervalle) : $-4\times 0+9=9$-4 × 0 + 9 = 9, et $9⩾1$9 ≥ 1. ✔

8. 8

   Pour $x=2$x = 2 (à la borne) : $-8+9=1$-8 + 9 = 1, et $1⩾1$1 ≥ 1 est vrai puisque l'inégalité est large. ✔

9. 9

   Pour $x=3$x = 3 (hors intervalle) : $-12+9=-3$-12 + 9 = -3, et $-3⩾1$-3 ≥ 1 est faux. ✔ Les trois tests confirment la solution.

10. 10

    Méthode alternative pour éviter le changement de sens : dès le départ, on ajoute $4x$4x aux deux membres pour rendre le coefficient positif.

    On obtient $9⩾4x+1$9 ≥ 4x + 1, puis $8⩾4x$8 ≥ 4x, puis $2⩾x$2 ≥ x — soit le même résultat, sans jamais inverser.

Rappel de cours : Multiplier ou diviser une inégalité par un négatif inverse le sens. Multiplier par un positif ne change rien.

Erreur fréquente : Oublier l'inversion et répondre $x⩾2$x ≥ 2. Le test avec $x=3$x = 3 le détecte immédiatement : c'est pourquoi il faut toujours tester une valeur hors intervalle.

Correction détaillée

1. 1

   On ne peut pas additionner $\sqrt{50}$√(50) et $\sqrt{18}$√(18) tels quels, pas plus qu'on n'additionne des grandeurs d'unités différentes.

   Il faut d'abord les exprimer avec la même racine.

2. 2

   La méthode consiste à extraire de chaque radicande le plus grand carré parfait qu'il contient, en s'appuyant sur la règle $\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$√(a × b) = √(a) × √(b).

3. 3

   $50=25\times 2$50 = 25 × 2, et $25$25 est un carré parfait.

   Donc $\sqrt{50}=\sqrt{25}\times \sqrt{2}=5\sqrt{2}$√(50) = √(25) × √(2) = 5√(2).

4. 4

   $18=9\times 2$18 = 9 × 2, donc $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$√(18) = 3√(2).

5. 5

   $8=4\times 2$8 = 4 × 2, donc $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$√(8) = 2√(2).

   Comme le terme est $2\sqrt{8}$2√(8), il vaut $2\times 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$2 × 2√(2) = 4√(2).

6. 6

   Tous les termes s'expriment maintenant en $\sqrt{2}$√(2), qui joue le rôle d'une « unité commune ».

7. 7

   $J=5\sqrt{2}-3\sqrt{2}+4\sqrt{2}=(5-3+4)\sqrt{2}=6\sqrt{2}$J = 5√(2) - 3√(2) + 4√(2) = (5 - 3 + 4)√(2) = 6√(2).

8. 8

   Vérification numérique : $\sqrt{50}\approx 7,071$√(50) ≈ 7,071, $\sqrt{18}\approx 4,243$√(18) ≈ 4,243, $2\sqrt{8}\approx 5,657$2√(8) ≈ 5,657.

9. 9

   $7,071-4,243+5,657\approx 8,485$7,071 - 4,243 + 5,657 ≈ 8,485.

   Et $6\sqrt{2}\approx 6\times 1,414=8,485$6√(2) ≈ 6 × 1,414 = 8,485. ✔

10. 10

    Intérêt de la forme exacte : $6\sqrt{2}$6√(2) est une valeur EXACTE, alors que $8,485$8,485 est arrondie.

    En Première, on garde la forme exacte jusqu'au dernier moment.

Rappel de cours : Carrés parfaits à reconnaître d'emblée : $4$4, $9$9, $16$16, $25$25, $36$36, $49$49, $64$64, $81$81, $100$100, $121$121, $144$144.

Erreur fréquente : Écrire $\sqrt{50}-\sqrt{18}=\sqrt{32}$√(50) - √(18) = √(32). La racine ne se distribue pas sur une somme ou une différence : $\sqrt{a}-\sqrt{b}\ne \sqrt{a-b}$√(a) - √(b) ≠ √(a-b), comme le montre le calcul numérique ($2,83$2,83 contre $5,66$5,66).

Correction détaillée

1. 1

   Pour lire une image, on part de la valeur de $x$x sur l'axe horizontal, on monte (ou descend) jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée sur l'axe vertical.

2. 2

   Pour $x=0$x = 0, on lit directement l'ordonnée du point où la courbe coupe l'axe vertical : $f(0)=-3$f(0) = -3.

3. 3

   Pour $x=2$x = 2, la courbe passe par le point de coordonnées $(2;-3)$(2 ; -3), donc $f(2)=-3$f(2) = -3.

4. 4

   Remarque : deux valeurs différentes de $x$x peuvent avoir la même image.

   C'est normal — c'est l'inverse qui serait interdit (un $x$x ne peut pas avoir deux images).

5. 5

   Chercher les antécédents de $0$0, c'est chercher les $x$x tels que $f(x)=0$f(x) = 0, autrement dit les points où la courbe COUPE l'axe horizontal.

6. 6

   La courbe coupe cet axe en deux points : en $x=-1$x = -1 et en $x=3$x = 3.

   Ce sont les deux antécédents de $0$0.

7. 7

   Pour $f(x)<0$f(x) < 0, on cherche les $x$x pour lesquels la courbe est STRICTEMENT SOUS l'axe horizontal.

8. 8

   C'est le cas entre les deux points d'intersection, donc pour $x$x compris entre $-1$-1 et $3$3.

9. 9

   Les bornes sont exclues, car en $-1$-1 et en $3$3 la fonction vaut exactement $0$0, et l'inégalité est stricte.

   L'ensemble solution est $]-1;3[$]-1 ; 3[.

10. 10

    Le minimum se lit au point le plus bas de la courbe.

    Ce point a pour coordonnées $(1;-4)$(1 ; -4).

11. 11

    Le minimum de $f$f vaut donc $-4$-4, et il est atteint en $x=1$x = 1.

    Attention à la formulation : le minimum est l'ORDONNÉE ($-4$-4), pas l'abscisse ($1$1).

Rappel de cours : Image → on part de $x$x et on lit $y$y. Antécédent → on part de $y$y et on lit $x$x. Résoudre $f(x)<0$f(x) < 0 → on regarde où la courbe passe sous l'axe.

Erreur fréquente : Répondre « le minimum est $1$1 ». La valeur $1$1 est l'abscisse où le minimum est atteint ; le minimum lui-même est $-4$-4. Cette confusion est sanctionnée en devoir.

Correction détaillée

1. 1

   Le premier réflexe est de vérifier l'homogénéité des unités.

   L'énoncé mêle secondes et minutes : on convertit tout en secondes.

2. 2

   $4$4 minutes $=4\times 60=240$= 4 × 60 = 240 secondes.

3. 3

   La cadence étant constante, le nombre de pages est proportionnel à la durée.

   On peut donc utiliser le produit en croix.

4. 4

   $\frac{24}{90}=\frac{x}{240}$24/90 = x/240, d'où $90x=24\times 240$90x = 24 × 240.

5. 5

   $24\times 240=5760$24 × 240 = 5 760, donc $x=\frac{5760}{90}=64$x = (5 760)/90 = 64 pages.

6. 6

   Méthode alternative par le coefficient : la cadence vaut $24÷90=\frac{4}{15}$24 ÷ 90 = 4/15 page par seconde.

   En $240$240 s : $240\times \frac{4}{15}=\frac{960}{15}=64$240 × 4/15 = 960/15 = 64 pages. ✔

7. 7

   Troisième méthode, la plus rapide en calcul mental : $240$240 secondes, c'est $240÷90=\frac{8}{3}$240 ÷ 90 = 8/3 fois la durée de référence.

   Donc $24\times \frac{8}{3}=8\times 8=64$24 × 8/3 = 8 × 8 = 64 pages.

8. 8

   Cette dernière approche est élégante parce que $24$24 est divisible par $3$3 : on simplifie avant de multiplier plutôt qu'après.

9. 9

   Contrôle de vraisemblance : $240$240 s représentent un peu moins de trois fois $90$90 s, donc on attend un peu moins de $72$72 pages. ✔

Rappel de cours : Trois voies pour une quatrième proportionnelle : produit en croix, coefficient unitaire, ou rapport entre les deux situations. La troisième est souvent la plus rapide.

Erreur fréquente : Utiliser $4$4 au lieu de $240$240 dans le calcul. Une erreur d'unité produit un résultat faux d'un facteur $60$60, souvent sans que rien n'alerte.

Correction détaillée

1. 1

   La stratégie est toujours la même : séparer les nombres décimaux d'un côté et les puissances de $10$10 de l'autre.

   Cela transforme un calcul intimidant en deux calculs simples.

2. 2

   $K=\frac{3,2\times 5}{8}\times \frac{10^8\times 10^{-3}}{10^4}$K = (3,2 × 5)/8 × (10⁸ × 10⁻³)/10⁴.

3. 3

   Partie décimale : $3,2\times 5=16$3,2 × 5 = 16, puis $\frac{16}{8}=2$16/8 = 2.

4. 4

   Partie puissances : au numérateur, $10^8\times 10^{-3}=10^{8-3}=10^5$10⁸ × 10⁻³ = 10⁸⁻³ = 10⁵.

5. 5

   Puis le quotient : $\frac{10^5}{10^4}=10^{5-4}=10^1$10⁵/10⁴ = 10⁵⁻⁴ = 10¹.

6. 6

   Raccourci utile : on peut traiter tous les exposants en une fois — ceux du numérateur s'additionnent, celui du dénominateur se retranche.

   Soit $8+(-3)-4=1$8 + (-3) - 4 = 1.

7. 7

   $K=2\times 10^1=20$K = 2 × 10¹ = 20.

8. 8

   Le résultat est déjà en notation scientifique ($2$2 est bien compris entre $1$1 et $10$10), et son écriture décimale est $20$20.

9. 9

   Vérification par ordres de grandeur : le numérateur vaut environ $3\times 10^8\times 5\times 10^{-3}=15\times 10^5=1,5\times 10^6$3 × 10⁸ × 5 × 10⁻³ = 15 × 10⁵ = 1,5 × 10⁶.

   Divisé par $8\times 10^4$8 × 10⁴, cela donne environ $0,19\times 10^2$0,19 × 10², soit environ $19$19. ✔

Rappel de cours : En notation scientifique, le facteur décimal doit toujours vérifier $1⩽a<10$1 ≤ a < 10. Si le calcul donne $16\times 10^3$16 × 10³, on corrige en $1,6\times 10^4$1,6 × 10⁴.

Erreur fréquente : Additionner l'exposant du dénominateur au lieu de le retrancher. Ici, on obtiendrait $10^9$10⁹ — soit un résultat un milliard de fois trop grand, que seul le contrôle d'ordre de grandeur permet de repérer.

Correction détaillée

1. 1

   Formule A : chaque mois coûte $39$39 €, et rien d'autre.

   Le coût total s'écrit $C_A(n)=39n$C_A(n) = 39n.

2. 2

   Formule B : les $120$120 € sont payés UNE SEULE FOIS, quel que soit $n$n.

   Ils constituent donc un terme constant.

   Le coût total s'écrit $C_B(n)=120+25n$C_B(n) = 120 + 25n.

3. 3

   Remarque de structure : $C_A$C_A est une fonction linéaire (elle passe par l'origine, le coût est proportionnel à la durée), tandis que $C_B$C_B est affine sans être linéaire — d'où l'absence de proportionnalité.

4. 4

   Pour comparer, on cherche d'abord le point d'équilibre, c'est-à-dire la valeur de $n$n qui rend les deux coûts égaux.

5. 5

   $39n=120+25n$39n = 120 + 25n.

   On retranche $25n$25n aux deux membres : $14n=120$14n = 120.

6. 6

   $n=\frac{120}{14}=\frac{60}{7}\approx 8,57$n = 120/14 = 60/7 ≈ 8,57.

7. 7

   Cette valeur n'est pas entière : il n'existe donc aucun nombre de mois pour lequel les deux formules coûtent exactement pareil.

   Il faut examiner les deux entiers voisins.

8. 8

   Pour $n=8$n = 8 : $C_A=39\times 8=312$C_A = 39 × 8 = 312 € et $C_B=120+200=320$C_B = 120 + 200 = 320 €.

   La formule A reste meilleure, de $8$8 €.

9. 9

   Pour $n=9$n = 9 : $C_A=39\times 9=351$C_A = 39 × 9 = 351 € et $C_B=120+225=345$C_B = 120 + 225 = 345 €.

   La formule B devient meilleure, de $6$6 €.

10. 10

    La formule B est donc plus avantageuse à partir de $9$9 mois.

11. 11

    Sur une année, soit $n=12$n = 12 : $C_A=39\times 12=468$C_A = 39 × 12 = 468 € et $C_B=120+300=420$C_B = 120 + 300 = 420 €.

12. 12

    Économie réalisée avec B : $468-420=48$468 - 420 = 48 €.

13. 13

    Interprétation : les $120$120 € d'inscription sont amortis parce que B économise $14$14 € chaque mois.

    Il faut $120÷14\approx 8,6$120 ÷ 14 ≈ 8,6 mois pour rentabiliser, ce qui confirme le résultat trouvé par l'équation.

Rappel de cours : Quand le point d'équilibre n'est pas entier, on ne l'arrondit pas : on teste les deux entiers qui l'encadrent et on conclut sur celui qui répond à la question.

Erreur fréquente : Répondre « à partir de $8,57$8,57 mois ». Un abonnement se compte en mois entiers, et la réponse attendue est $9$9.

Correction détaillée

1. 1

   On commence par traduire l'énoncé.

   Deux entiers consécutifs s'écrivent $n$n et $n+1$n+1 : c'est le choix d'écriture qui rend la démonstration possible.

2. 2

   La différence de leurs carrés, en prenant le plus grand au carré moins le plus petit, s'écrit $D=(n+1{)}^2-n^2$D = (n+1)² - n².

3. 3

   On développe le carré à l'aide de l'identité $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$(a+b)² = a² + 2ab + b², avec $a=n$a = n et $b=1$b = 1.

4. 4

   $(n+1{)}^2=n^2+2n+1$(n+1)² = n² + 2n + 1.

5. 5

   Donc $D=n^2+2n+1-n^2$D = n² + 2n + 1 - n².

   Les termes $n^2$n² et $-n^2$-n² s'éliminent.

6. 6

   $D=2n+1$D = 2n + 1.

7. 7

   Premier point à démontrer : $2n$2n est pair, quel que soit l'entier $n$n, car c'est un multiple de $2$2.

   En lui ajoutant $1$1, on obtient nécessairement un nombre impair.

8. 8

   $D=2n+1$D = 2n+1 est donc toujours impair. ✔

9. 9

   Second point : la somme des deux entiers vaut $n+(n+1)=2n+1$n + (n+1) = 2n + 1.

10. 10

    On obtient exactement la même expression que $D$D.

    La différence des carrés est donc bien égale à la somme des deux entiers. ✔

11. 11

    Illustration avec $n=7$n = 7 : les deux entiers sont $7$7 et $8$8.

    Différence des carrés : $64-49=15$64 - 49 = 15.

    Somme : $7+8=15$7 + 8 = 15.

    Et $15$15 est bien impair. ✔

12. 12

    Autre illustration avec $n=24$n = 24 : $625-576=49$625 - 576 = 49, et $24+25=49$24 + 25 = 49. ✔

13. 13

    Ce qu'il faut retenir sur la méthode : les exemples ne démontrent RIEN, ils suggèrent seulement.

    Seul le calcul littéral, valable pour tout $n$n, constitue une preuve.

    Les exemples servent à vérifier qu'on ne s'est pas trompé.

Rappel de cours : Pour prouver qu'un nombre est impair, on le met sous la forme $2k+1$2k+1 ; pour prouver qu'il est multiple de $k$k, on le factorise par $k$k.

Erreur fréquente : Écrire les entiers consécutifs $n$n et $n+2$n+2, ou tester trois exemples et conclure. Ni l'un ni l'autre ne constitue une démonstration valable.

Correction détaillée

1. 1

   Les fractions compliquent la manipulation : la première étape consiste donc à les faire disparaître en multipliant toute l'équation par un dénominateur commun.

2. 2

   Les dénominateurs sont $3$3, $4$4 et $2$2.

   Leur plus petit multiple commun est $12$12.

3. 3

   On multiplie CHAQUE terme des deux membres par $12$12 — c'est une opération licite car elle préserve l'égalité.

4. 4

   $12\times \frac{2x-1}{3}=4(2x-1)$12 × (2x-1)/3 = 4(2x-1), car $12÷3=4$12 ÷ 3 = 4.

5. 5

   $12\times \frac{x+2}{4}=3(x+2)$12 × (x+2)/4 = 3(x+2), car $12÷4=3$12 ÷ 4 = 3.

6. 6

   $12\times \frac{1}{2}=6$12 × 1/2 = 6.

7. 7

   L'équation devient $4(2x-1)-3(x+2)=6$4(2x-1) - 3(x+2) = 6.

8. 8

   Point de vigilance : le signe $-$- devant la seconde parenthèse s'applique à tout son contenu après distribution du $3$3.

9. 9

   On développe : $8x-4-3x-6=6$8x - 4 - 3x - 6 = 6.

10. 10

    On réduit le membre de gauche : $5x-10=6$5x - 10 = 6.

11. 11

    On ajoute $10$10 : $5x=16$5x = 16, puis on divise par $5$5 : $x=\frac{16}{5}=3,2$x = 16/5 = 3,2.

12. 12

    Vérification, indispensable ici vu le nombre d'étapes.

    Premier terme : $\frac{2\times 3,2-1}{3}=\frac{6,4-1}{3}=\frac{5,4}{3}=1,8$(2 × 3,2 - 1)/3 = (6,4 - 1)/3 = 5,4/3 = 1,8.

13. 13

    Second terme : $\frac{3,2+2}{4}=\frac{5,2}{4}=1,3$(3,2 + 2)/4 = 5,2/4 = 1,3.

14. 14

    Différence : $1,8-1,3=0,5=\frac{1}{2}$1,8 - 1,3 = 0,5 = 1/2. ✔ La solution est confirmée.