Exercices corrigés : Statistiques à deux variables — Première générale

Correction détaillée

1. 1

   Le point moyen $G$G a pour coordonnées $\left(\bar{x};\bar{y}\right)$(barx ;bary) : la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées.

2. 2

   Moyenne des $x$x : $\bar{x}=\frac{1+2+3+4+5}{5}=\frac{15}{5}=3$barx = (1+2+3+4+5)/5 = 15/5 = 3.

3. 3

   Moyenne des $y$y : $\bar{y}=\frac{3+5+4+8+10}{5}=\frac{30}{5}=6$bary = (3+5+4+8+10)/5 = 30/5 = 6.

4. 4

   Le point moyen est donc $G(3;6)$G(3 ;6).

5. 5

   Interprétation : $G$G est le « centre de gravité » du nuage.

   Un magasin moyen de cette série emploie $3$3 vendeurs et réalise $6$6 milliers d'euros de chiffre d'affaires.

6. 6

   Attention : $G$G n'appartient PAS forcément au nuage.

   Ici, le point $(3;6)$(3 ;6) n'est pas un des cinq relevés — le magasin à $3$3 vendeurs réalise $4$4 milliers d'euros, pas $6$6.

7. 7

   Contrôle de vraisemblance : $\bar{x}=3$barx = 3 doit se situer entre le plus petit et le plus grand des $x$x, soit entre $1$1 et $5$5. ✔ De même $\bar{y}=6$bary = 6 est bien entre $3$3 et $10$10. ✔

8. 8

   Ce point servira dans tout le chapitre : la droite d'ajustement des moindres carrés passe TOUJOURS par lui, ce qui fournit une vérification gratuite.

Rappel de cours : $G\left(\bar{x};\bar{y}\right)$G(barx ;bary) : on moyenne séparément chaque variable. Le point moyen n'est presque jamais un point du nuage.

Erreur fréquente : Calculer la moyenne des $y$y en la divisant par autre chose que l'effectif. Ici il y a $5$5 couples, donc on divise par $5$5 dans les deux cas.

Correction détaillée

1. 1

   Le nuage monte de la gauche vers la droite : quand $x$x augmente, $y$y augmente globalement aussi.

2. 2

   La corrélation est donc POSITIVE.

   Plus le magasin a de vendeurs, plus son chiffre d'affaires est élevé — en tendance.

3. 3

   Alignement : les points suivent bien une direction générale, mais ils ne sont pas parfaitement alignés.

   Le nuage est allongé, pas rectiligne.

4. 4

   Le point qui s'écarte le plus est celui d'abscisse $3$3 : il est nettement SOUS la droite, avec un chiffre d'affaires de $4$4 alors que la droite prévoit $6$6.

5. 5

   Cet écart de $2$2 milliers d'euros est bien supérieur aux autres, qui sont tous inférieurs à $1$1.

   On le retrouvera plus loin sous le nom de RÉSIDU.

6. 6

   Pour la dernière question, on lit sur le graphique : la droite passe par le point d'abscisse $3$3 à la hauteur $6$6.

7. 7

   Donc $G(3;6)$G(3 ;6) appartient bien à la droite tracée.

8. 8

   Ce n'est pas un hasard : la droite d'ajustement des moindres carrés passe toujours par le point moyen du nuage.

9. 9

   Vérification par le calcul, avec l'équation de cette droite $y=1,7x+0,9$y = 1,7x + 0,9 : pour $x=3$x = 3, $y=5,1+0,9=6$y = 5,1 + 0,9 = 6. ✔

10. 10

    Vocabulaire à retenir : un nuage « allongé » autorise un ajustement affine, un nuage « rond » ou en courbe ne s'y prête pas.

Rappel de cours : La droite des moindres carrés passe toujours par le point moyen $G$G : c'est le contrôle le plus rapide d'une équation d'ajustement.

Erreur fréquente : Conclure « bien corrélé » dès que les points montent. La corrélation a un SENS (positif/négatif) et une FORCE (dispersion autour de la droite) : ce sont deux choses distinctes.

Correction détaillée

1. 1

   Moyenne des dépenses : $\bar{x}=\frac{0+2+4+6+8}{5}$barx = (0+2+4+6+8)/5.

2. 2

   $0+2+4+6+8=20$0+2+4+6+8 = 20, donc $\bar{x}=\frac{20}{5}=4$barx = 20/5 = 4 milliers d'euros.

3. 3

   Moyenne des ventes : $\bar{y}=\frac{12+15+19+22+27}{5}$bary = (12+15+19+22+27)/5.

4. 4

   On additionne par étapes : $12+15=27$12+15 = 27, $27+19=46$27+19 = 46, $46+22=68$46+22 = 68, $68+27=95$68+27 = 95.

5. 5

   Donc $\bar{y}=\frac{95}{5}=19$bary = 95/5 = 19 milliers d'articles.

6. 6

   Le point moyen est $G(4;19)$G(4 ;19).

7. 7

   Contrôle de vraisemblance : $4$4 est bien le milieu de $0$0 et $8$8 — normal, les dépenses sont régulièrement espacées. ✔

8. 8

   Pour $\bar{y}$bary, le contrôle est moins immédiat : $19$19 doit se situer entre $12$12 et $27$27, et plutôt vers le milieu. ✔

9. 9

   Remarque utile : la moyenne des $y$y n'est pas la valeur centrale de la liste.

   Ici la valeur centrale est $19$19 et la moyenne aussi, mais c'est une coïncidence due à la régularité de la série.

Rappel de cours : On additionne toutes les valeurs d'une variable et on divise par leur NOMBRE. Une erreur d'addition se repère en vérifiant que la moyenne tombe entre le minimum et le maximum.

Erreur fréquente : Oublier la valeur $0$0 dans le calcul de $\bar{x}$barx et diviser par $4$4. Un relevé nul reste un relevé : l'effectif est bien $5$5.

Correction détaillée

1. 1

   Pour vérifier le passage par $G$G, on remplace $x$x par $4$4 dans l'équation.

2. 2

   $y=1,85\times 4+11,6=7,4+11,6=19$y = 1,85 × 4 + 11,6 = 7,4 + 11,6 = 19.

3. 3

   On obtient exactement $\bar{y}=19$bary = 19, donc la droite passe bien par $G(4;19)$G(4 ;19). ✔ C'est la vérification standard d'un ajustement.

4. 4

   Estimation pour $x=10$x = 10 : $y=1,85\times 10+11,6=18,5+11,6=30,1$y = 1,85 × 10 + 11,6 = 18,5 + 11,6 = 30,1.

5. 5

   On peut donc estimer les ventes à environ $30100$30 100 articles pour une dépense publicitaire de $10000$10 000 €.

6. 6

   Le mot « estimer » est important : la droite est un modèle, pas une mesure.

   La valeur réelle sera proche, pas identique.

7. 7

   Interprétation du coefficient directeur $1,85$1,85 : quand la dépense augmente de $1$1 millier d'euros, les ventes augmentent d'environ $1,85$1,85 millier d'articles.

8. 8

   Autrement dit : $1000$1 000 € de publicité supplémentaires rapportent environ $1850$1 850 articles vendus de plus, selon ce modèle.

9. 9

   Le coefficient $11,6$11,6 s'interprète aussi : c'est l'estimation des ventes sans aucune publicité, ce que confirme le relevé réel de $12$12 pour $x=0$x = 0. ✔

10. 10

    Contrôle de cohérence de la prévision : $30,1$30,1 prolonge naturellement la série $12,15,19,22,27$12, 15, 19, 22, 27, qui progresse d'environ $3,7$3,7 tous les $2$2 milliers d'euros. ✔

Rappel de cours : Le coefficient directeur d'un ajustement se lit toujours comme un TAUX : « quand $x$x augmente de $1$1, $y$y augmente de $a$a ».

Erreur fréquente : Interpréter $1,85$1,85 comme un nombre d'articles. C'est une variation par unité de $x$x : $1,85$1,85 millier d'articles PAR millier d'euros.

Correction détaillée

1. 1

   Pour $x=5$x = 5 : $y=1,85\times 5+11,6=9,25+11,6=20,85$y = 1,85 × 5 + 11,6 = 9,25 + 11,6 = 20,85.

2. 2

   Pour $x=12$x = 12 : $y=1,85\times 12+11,6=22,2+11,6=33,8$y = 1,85 × 12 + 11,6 = 22,2 + 11,6 = 33,8.

3. 3

   Pour $x=40$x = 40 : $y=1,85\times 40+11,6=74+11,6=85,6$y = 1,85 × 40 + 11,6 = 74 + 11,6 = 85,6.

4. 4

   Vocabulaire : on parle d'INTERPOLATION quand la valeur de $x$x est comprise dans l'intervalle des données observées, et d'EXTRAPOLATION quand elle est en dehors.

5. 5

   Ici les données vont de $0$0 à $8$8.

   Donc $x=5$x = 5 est une interpolation, tandis que $x=12$x = 12 et $x=40$x = 40 sont des extrapolations.

6. 6

   La moins fiable est de loin l'estimation pour $x=40$x = 40, qui sort très largement du domaine observé.

7. 7

   Pourquoi ?

   Parce que rien ne garantit que la relation reste affine au-delà des données.

   Un budget publicitaire cinq fois plus grand que tout ce qui a été testé peut saturer le marché, ou rencontrer une limite de production.

8. 8

   Le modèle prévoit $85600$85 600 articles vendus, ce qui n'est étayé par aucune observation.

9. 9

   Règle pratique : une extrapolation proche du domaine (comme $x=12$x = 12) reste raisonnable ; une extrapolation lointaine doit toujours être assortie d'une réserve explicite.

10. 10

    À retenir : un ajustement décrit ce qu'on a observé, il ne prouve rien sur ce qu'on n'a pas observé.

Rappel de cours : Interpolation = à l'intérieur du domaine étudié (fiable) · extrapolation = à l'extérieur (d'autant moins fiable qu'on s'éloigne).

Erreur fréquente : Traiter toutes les prévisions sur le même plan. Le calcul est identique, mais la CONFIANCE qu'on peut leur accorder ne l'est pas du tout.

Correction détaillée

1. 1

   Les deux points extrêmes sont $A(1;3)$A(1 ;3) et $B(5;10)$B(5 ;10).

2. 2

   Coefficient directeur : $a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{10-3}{5-1}=\frac{7}{4}=1,75$a = (y_B - y_A)/(x_B - x_A) = (10 - 3)/(5 - 1) = 7/4 = 1,75.

3. 3

   Ordonnée à l'origine : on utilise $A$A, donc $3=1,75\times 1+b$3 = 1,75 × 1 + b, d'où $b=3-1,75=1,25$b = 3 - 1,75 = 1,25.

4. 4

   Équation : $y=1,75x+1,25$y = 1,75x + 1,25.

5. 5

   Vérification avec le point $B$B : $1,75\times 5+1,25=8,75+1,25=10$1,75 × 5 + 1,25 = 8,75 + 1,25 = 10. ✔

6. 6

   Passage par $G$G : pour $x=3$x = 3, la droite donne $y=5,25+1,25=6,5$y = 5,25 + 1,25 = 6,5.

7. 7

   Or $\bar{y}=6$bary = 6.

   La droite ne passe donc PAS par le point moyen : elle passe $0,5$0,5 au-dessus.

8. 8

   Critique de la méthode : elle est très rapide, mais elle ne tient compte que de DEUX points sur cinq.

   Les trois points intermédiaires n'interviennent pas du tout.

9. 9

   Elle est donc très sensible aux valeurs extrêmes : si le magasin à $5$5 vendeurs avait réalisé $6$6 au lieu de $10$10, toute la droite basculerait, alors que le reste du nuage n'aurait pas bougé.

10. 10

    C'est précisément pour cela qu'on lui préfère la méthode des moindres carrés, qui utilise tous les points et passe par $G$G.

Rappel de cours : Droite par deux points : $a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$a = (y_B-y_A)/(x_B-x_A), puis $b$b en remplaçant les coordonnées de l'un des deux.

Erreur fréquente : Calculer $a=\frac{x_B-x_A}{y_B-y_A}$a = (x_B-x_A)/(y_B-y_A), soit l'inverse. Le coefficient directeur est la variation de $y$y DIVISÉE par celle de $x$x.

Correction détaillée

1. 1

   Passage par $G$G : $1,7\times 3+0,9=5,1+0,9=6$1,7 × 3 + 0,9 = 5,1 + 0,9 = 6, soit exactement $\bar{y}$bary. ✔

2. 2

   C'est la propriété caractéristique de la droite des moindres carrés : elle passe toujours par le point moyen, contrairement à la droite des points extrêmes.

3. 3

   Comparaison pour $x=2$x = 2 : moindres carrés $1,7\times 2+0,9=4,3$1,7 × 2 + 0,9 = 4,3 ; points extrêmes $1,75\times 2+1,25=4,75$1,75 × 2 + 1,25 = 4,75.

4. 4

   La valeur réelle est $5$5.

   L'ajustement par les points extrêmes est ici plus proche, mais ce n'est pas une règle.

5. 5

   Comparaison pour $x=5$x = 5 : moindres carrés $8,5+0,9=9,4$8,5 + 0,9 = 9,4 ; points extrêmes $8,75+1,25=10$8,75 + 1,25 = 10.

6. 6

   La droite des points extrêmes passe exactement par ce point — forcément, puisqu'elle a été construite à partir de lui.

   Cela ne prouve pas qu'elle est meilleure.

7. 7

   Ce que fait la droite des moindres carrés : elle rend la somme des CARRÉS des écarts verticaux la plus petite possible, en tenant compte de tous les points à la fois.

8. 8

   Estimation pour $7$7 vendeurs : $y=1,7\times 7+0,9=11,9+0,9=12,8$y = 1,7 × 7 + 0,9 = 11,9 + 0,9 = 12,8 milliers d'euros.

9. 9

   Il s'agit d'une extrapolation (les données s'arrêtent à $5$5 vendeurs), mais elle reste proche du domaine observé : elle est donc plausible, à condition de le préciser.

10. 10

    Contrôle de vraisemblance : $12,8$12,8 prolonge la progression du nuage, qui gagne environ $1,7$1,7 par vendeur supplémentaire. ✔

Rappel de cours : La droite des moindres carrés minimise la somme des carrés des écarts verticaux et passe par $G$G. En Première, on l'obtient à la calculatrice.

Erreur fréquente : Juger un ajustement sur un seul point. Une droite qui passe exactement par un point donné peut être globalement moins bonne que l'autre.

Correction détaillée

1. 1

   Le résidu mesure l'écart VERTICAL entre le point réel et la droite : positif si le point est au-dessus, négatif s'il est en dessous.

2. 2

   Pour $x=1$x = 1 : estimation $1,7+0,9=2,6$1,7 + 0,9 = 2,6, valeur réelle $3$3, résidu $3-2,6=+0,4$3 - 2,6 = +0,4.

3. 3

   Pour $x=2$x = 2 : estimation $3,4+0,9=4,3$3,4 + 0,9 = 4,3, valeur réelle $5$5, résidu $+0,7$+0,7.

4. 4

   Pour $x=3$x = 3 : estimation $5,1+0,9=6$5,1 + 0,9 = 6, valeur réelle $4$4, résidu $4-6=-2$4 - 6 = -2.

5. 5

   Pour $x=4$x = 4 : estimation $6,8+0,9=7,7$6,8 + 0,9 = 7,7, valeur réelle $8$8, résidu $+0,3$+0,3.

6. 6

   Pour $x=5$x = 5 : estimation $8,5+0,9=9,4$8,5 + 0,9 = 9,4, valeur réelle $10$10, résidu $+0,6$+0,6.

7. 7

   Somme des résidus : $0,4+0,7-2+0,3+0,6$0,4 + 0,7 - 2 + 0,3 + 0,6.

8. 8

   On regroupe les positifs : $0,4+0,7+0,3+0,6=2$0,4 + 0,7 + 0,3 + 0,6 = 2.

   Puis $2-2=0$2 - 2 = 0.

9. 9

   La somme des résidus est donc EXACTEMENT nulle.

   Ce n'est pas une coïncidence : c'est une propriété de la droite des moindres carrés, qui répartit les écarts de part et d'autre.

10. 10

    C'est d'ailleurs pour cette raison qu'on minimise la somme des CARRÉS des résidus : la somme des résidus simples serait nulle pour de nombreuses droites, elle ne mesurerait rien.

11. 11

    Lecture du tableau : quatre résidus sont petits (moins de $0,7$0,7), un seul est grand ($-2$-2).

    Le magasin à $3$3 vendeurs sous-performe nettement par rapport au modèle.

12. 12

    C'est exactement le point repéré graphiquement au début du chapitre. ✔ Les deux approches concordent.

Rappel de cours : Résidu $=$= valeur réelle $-$- valeur estimée. Un gros résidu isolé signale un individu atypique, pas forcément une erreur.

Erreur fréquente : Calculer « estimée moins réelle ». Le signe s'inverse et l'interprétation aussi : un résidu positif doit signifier que le point est AU-DESSUS de la droite.

Correction détaillée

1. 1

   Le coefficient de corrélation linéaire $r$r est toujours compris entre $-1$-1 et $1$1.

2. 2

   Son SIGNE donne le sens de la liaison : positif si les deux variables augmentent ensemble, négatif si l'une augmente quand l'autre diminue.

3. 3

   Sa VALEUR ABSOLUE donne la force : proche de $1$1, les points sont presque alignés ; proche de $0$0, le nuage n'a pas de direction privilégiée.

4. 4

   $r=0,996$r = 0,996 : liaison positive et très forte.

   Les points sont quasiment alignés, l'ajustement affine est tout à fait pertinent.

5. 5

   $r=0,92$r = 0,92 : liaison positive et forte, mais avec une dispersion visible.

   L'ajustement reste pertinent, tout en donnant des prévisions moins précises.

6. 6

   $r=-0,85$r = -0,85 : liaison NÉGATIVE et forte.

   Quand le prix augmente, la quantité vendue diminue — ce qui est économiquement attendu.

7. 7

   Le signe négatif se traduit par un coefficient directeur négatif dans l'équation d'ajustement : la droite descend.

8. 8

   $r=0,15$r = 0,15 : liaison quasi inexistante.

   Le nuage est « rond », sans direction.

   Un ajustement affine n'aurait aucun sens ici.

9. 9

   Ce dernier exemple est instructif : entre pointure et note en mathématiques, on n'attend évidemment aucun lien, et le coefficient le confirme.

10. 10

    Mise en garde essentielle : $r$r ne mesure QUE la liaison linéaire.

    Un nuage parfaitement disposé sur une parabole peut donner un $r$r faible alors que la liaison est parfaite — elle n'est simplement pas droite.

Rappel de cours : $-1⩽r⩽1$-1 ≤ r ≤ 1 : le signe donne le sens, la valeur absolue la force. $r$r ne détecte que les liaisons LINÉAIRES.

Erreur fréquente : Comparer $-0,85$-0,85 et $0,15$0,15 en disant que le second est « plus grand donc mieux corrélé ». On compare les valeurs absolues : $0,85>0,15$0,85 > 0,15.

Correction détaillée

1. 1

   Les valeurs de $x$x sont $0$0, $1$1, $2$2, $3$3, $4$4, $5$5 : ce sont les rangs des années, à partir de 2019.

2. 2

   Intérêt : les calculs portent sur de petits nombres au lieu de nombres à quatre chiffres, ce qui limite les erreurs et rend les coefficients lisibles.

3. 3

   Second intérêt, plus important : l'ordonnée à l'origine devient interprétable.

   Avec $x=\text{anneˊe}$x = année, le « $b$b » correspondrait à l'an $0$0, ce qui n'a aucun sens.

4. 4

   Moyenne des rangs : $\bar{x}=\frac{0+1+2+3+4+5}{6}=\frac{15}{6}=2,5$barx = (0+1+2+3+4+5)/6 = 15/6 = 2,5.

5. 5

   Moyenne des chiffres d'affaires : $242+256=498$242+256 = 498, $+279=777$+279 = 777, $+298=1075$+298 = 1 075, $+313=1388$+313 = 1 388, $+337=1725$+337 = 1 725.

6. 6

   Donc $\bar{y}=\frac{1725}{6}=287,5$bary = (1 725)/6 = 287,5 milliers d'euros.

7. 7

   Le point moyen est $G(2,5;287,5)$G(2,5 ;287,5).

8. 8

   Vérification du passage par $G$G : $19\times 2,5+240=47,5+240=287,5$19 × 2,5 + 240 = 47,5 + 240 = 287,5. ✔ C'est exactement $\bar{y}$bary.

9. 9

   Interprétation des coefficients : le chiffre d'affaires augmente d'environ $19$19 milliers d'euros par an, et valait $240$240 milliers d'euros au rang $0$0, c'est-à-dire en 2019.

10. 10

    Contrôle : la valeur réelle en 2019 est $242$242, très proche des $240$240 du modèle. ✔ Le changement d'origine rend ce contrôle immédiat.

Rappel de cours : Avec des années, on pose toujours $x=\text{anneˊe}-\text{anneˊe de deˊpart}$x = année - année de départ. Il faut ensuite penser à reconvertir les rangs en années dans la conclusion.

Erreur fréquente : Garder $x=2019,2020,\dots$x = 2019, 2020, … et annoncer une ordonnée à l'origine « en l'an $0$0 ». Le coefficient $b$b n'aurait alors aucune signification concrète.

Correction détaillée

1. 1

   Le nuage compte $6$6 points : on le partage en deux groupes de $3$3, en respectant l'ordre des abscisses.

2. 2

   Premier sous-nuage : les points d'abscisses $1$1, $2$2, $3$3.

3. 3

   Son point moyen : $x_1=\frac{1+2+3}{3}=2$x₁ = (1+2+3)/3 = 2 et $y_1=\frac{3+5+7}{3}=\frac{15}{3}=5$y₁ = (3+5+7)/3 = 15/3 = 5.

   Donc $G_1(2;5)$G₁(2 ;5).

4. 4

   Second sous-nuage : les points d'abscisses $4$4, $5$5, $6$6.

5. 5

   Son point moyen : $x_2=\frac{4+5+6}{3}=5$x₂ = (4+5+6)/3 = 5 et $y_2=\frac{10+11+12}{3}=\frac{33}{3}=11$y₂ = (10+11+12)/3 = 33/3 = 11.

   Donc $G_2(5;11)$G₂(5 ;11).

6. 6

   Coefficient directeur de la droite $(G_1{G}_2)$(G₁G₂) : $a=\frac{11-5}{5-2}=\frac{6}{3}=2$a = (11-5)/(5-2) = 6/3 = 2.

7. 7

   Ordonnée à l'origine, avec $G_1$G₁ : $5=2\times 2+b$5 = 2 × 2 + b, donc $b=5-4=1$b = 5 - 4 = 1.

8. 8

   Équation de la droite de Mayer : $y=2x+1$y = 2x + 1.

9. 9

   Vérification avec $G_2$G₂ : $2\times 5+1=11$2 × 5 + 1 = 11. ✔

10. 10

    Contrôle supplémentaire, très utile : cette droite doit passer par le point moyen GLOBAL du nuage.

11. 11

    $\bar{x}=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3,5$barx = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5 et $\bar{y}=\frac{3+5+7+10+11+12}{6}=\frac{48}{6}=8$bary = (3+5+7+10+11+12)/6 = 48/6 = 8.

12. 12

    Or $2\times 3,5+1=8$2 × 3,5 + 1 = 8. ✔ La droite de Mayer passe bien par $G(3,5;8)$G(3,5 ;8) — c'est toujours le cas, puisque $G$G est le milieu de $G_1{G}_2$G₁G₂ quand les deux groupes ont le même effectif.

13. 13

    Avantage de la méthode par rapport aux points extrêmes : elle utilise TOUS les points du nuage, et se calcule entièrement à la main.

Rappel de cours : Méthode de Mayer : deux sous-nuages de même effectif, leurs points moyens, la droite qui les joint. Elle passe toujours par $G$G.

Erreur fréquente : Partager le nuage n'importe comment. On sépare selon les abscisses CROISSANTES, en deux groupes de même effectif (ou presque, si l'effectif est impair).

Correction détaillée

1. 1

   Pour $x=3$x = 3, Mayer donne $2\times 3+1=7$2 × 3 + 1 = 7.

2. 2

   Les moindres carrés donnent $1,886\times 3+1,4=5,658+1,4=7,058$1,886 × 3 + 1,4 = 5,658 + 1,4 = 7,058, soit environ $7,06$7,06.

3. 3

   L'écart est de $0,06$0,06 : totalement négligeable.

   La valeur réelle est d'ailleurs exactement $7$7.

4. 4

   Pour $x=6$x = 6, Mayer donne $13$13 et les moindres carrés $1,886\times 6+1,4=11,316+1,4=12,72$1,886 × 6 + 1,4 = 11,316 + 1,4 = 12,72.

5. 5

   L'écart atteint $0,28$0,28, toujours faible.

   La valeur réelle est $12$12, donc les moindres carrés sont ici un peu plus proches.

6. 6

   Pour $x=10$x = 10, Mayer donne $21$21 et les moindres carrés $18,86+1,4=20,26$18,86 + 1,4 = 20,26.

7. 7

   L'écart monte à $0,74$0,74 : il grandit à mesure qu'on s'éloigne du nuage.

8. 8

   Conclusion : les deux méthodes donnent des résultats très proches à l'intérieur du domaine des données, et divergent progressivement en extrapolation.

9. 9

   C'est un phénomène général : deux droites d'ajustement différentes se croisent au voisinage du point moyen et s'écartent de part et d'autre, comme deux droites sécantes.

10. 10

    Conséquence pratique : le choix de la méthode importe peu pour interpoler, mais devient sensible dès qu'on extrapole loin.

11. 11

    Vérification que les deux droites passent bien par $G(3,5;8)$G(3,5 ;8) : Mayer donne $8$8 ✔, et les moindres carrés $1,886\times 3,5+1,4=6,601+1,4=8,001$1,886 × 3,5 + 1,4 = 6,601 + 1,4 = 8,001, soit $8$8 à l'arrondi près. ✔

12. 12

    Cette coïncidence n'en est pas une : les deux méthodes passent par le point moyen, donc les droites se COUPENT en $G$G.

    C'est là que l'écart entre elles est nul.

Rappel de cours : Deux ajustements passant par $G$G se coupent en $G$G : leur écart est nul au centre du nuage et croît quand on s'en éloigne.

Erreur fréquente : Choisir un modèle parce qu'il donne « un plus grand résultat ». Le critère est la qualité de l'ajustement, jamais la valeur obtenue.

Correction détaillée

1. 1

   Estimation au rang $8$8 : $y=2\times 8+1=17$y = 2 × 8 + 1 = 17 centaines de commandes, soit $1700$1 700 commandes.

2. 2

   Pour le seuil, on résout l'inéquation $2x+1>25$2x + 1 > 25.

3. 3

   $2x>24$2x > 24, donc $x>12$x > 12.

4. 4

   Comme le rang est un nombre entier de mois, le premier rang qui convient est $x=13$x = 13.

5. 5

   Vérification : au rang $12$12, $y=25$y = 25 exactement — ce n'est pas « plus de $25$25 ».

   Au rang $13$13, $y=27>25$y = 27 > 25. ✔

6. 6

   L'inégalité étant STRICTE, le rang $12$12 doit être écarté.

   Avec « au moins $25$25 », la réponse aurait été $12$12.

7. 7

   Pour la date : si le rang $1$1 est janvier 2026, alors le rang $13$13 est douze mois plus tard.

8. 8

   Douze mois après janvier 2026, on est en janvier 2027.

9. 9

   Attention au décalage : le rang $13$13 n'est pas « treize mois après janvier 2026 », mais le treizième mois de la série, donc janvier 2027.

10. 10

    Contrôle par énumération partielle : rang $1$1 janvier 2026, rang $12$12 décembre 2026, rang $13$13 janvier 2027. ✔

11. 11

    Réserve à formuler : le rang $13$13 sort du domaine des données (six mois observés).

    C'est une extrapolation, et rien ne garantit que la croissance restera régulière pendant plus d'un an.

Rappel de cours : Après avoir résolu l'inéquation, on revient toujours à l'unité concrète (rang entier, puis date) — c'est la question posée.

Erreur fréquente : Répondre « rang $12$12 » à une inégalité stricte. Au rang $12$12 le modèle donne exactement $25$25, ce qui ne dépasse pas $25$25.

Correction détaillée

1. 1

   Un nuage courbé ne se prête pas à un ajustement affine.

   L'astuce consiste à transformer la variable $y$y pour redresser le nuage.

2. 2

   Calcul des $z=\frac{1}{y}$z = 1/y : pour $y=2$y = 2, $z=0,5$z = 0,5 ; pour $y=1$y = 1, $z=1$z = 1.

3. 3

   Pour $y=0,667$y = 0,667, $z=\frac{1}{0,667}\approx 1,5$z = 1/0,667 ≈ 1,5 ; pour $y=0,5$y = 0,5, $z=2$z = 2.

4. 4

   La série des $z$z est donc $0,5$0,5 ; $1$1 ; $1,5$1,5 ; $2$2.

5. 5

   Ces valeurs augmentent de $0,5$0,5 à chaque fois que $x$x augmente de $1$1 : les points $(x;z)$(x ;z) sont PARFAITEMENT alignés.

6. 6

   Relation entre $z$z et $x$x : le coefficient directeur vaut $0,5$0,5, et pour $x=1$x = 1 on a $z=0,5$z = 0,5, donc $b=0,5-0,5=0$b = 0,5 - 0,5 = 0.

7. 7

   Ainsi $z=0,5x$z = 0,5x, une relation de proportionnalité.

8. 8

   Retour à $y$y : puisque $z=\frac{1}{y}$z = 1/y, on a $y=\frac{1}{z}=\frac{1}{0,5x}=\frac{2}{x}$y = 1/z = 1/0,5x = 2/x.

9. 9

   Vérification sur les données : $\frac{2}{1}=2$2/1 = 2 ✔, $\frac{2}{2}=1$2/2 = 1 ✔, $\frac{2}{3}\approx 0,667$2/3 ≈ 0,667 ✔, $\frac{2}{4}=0,5$2/4 = 0,5 ✔.

10. 10

    Estimation pour $x=10$x = 10 : $z=0,5\times 10=5$z = 0,5 × 10 = 5, donc $y=\frac{1}{5}=0,2$y = 1/5 = 0,2.

11. 11

    Vérification directe avec la formule : $y=\frac{2}{10}=0,2$y = 2/10 = 0,2. ✔ Les deux chemins concordent.

12. 12

    Méthode générale à retenir : quand un nuage est courbé, on cherche une transformation ($\frac{1}{y}$1/y, $y^2$y², $\sqrt{y}$√(y)…) qui l'aligne, on ajuste dans le nouveau repère, puis on REVIENT à la variable d'origine.

Rappel de cours : Linéarisation : on ajuste $z=f(y)$z = f(y) en fonction de $x$x, puis on revient à $y$y. Ne jamais oublier cette dernière étape.

Erreur fréquente : Donner $z=5$z = 5 comme réponse finale. La question porte sur $y$y, il faut repasser par $y=\frac{1}{z}$y = 1/z.

Correction détaillée

1. 1

   Ordonnée à l'origine : on lit l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe vertical, soit $1$1.

2. 2

   Coefficient directeur : on part d'un point de la droite et on avance de $1$1 vers la droite.

   On constate qu'il faut monter de $2$2.

3. 3

   Le coefficient directeur vaut donc $2$2, et l'équation lue est $y=2x+1$y = 2x + 1, conforme à la droite de Mayer calculée précédemment. ✔

4. 4

   Estimation graphique pour $x=7$x = 7 : on prolonge mentalement la droite jusqu'à l'abscisse $7$7, et on lit environ $15$15.

5. 5

   Vérification par le calcul : $y=2\times 7+1=15$y = 2 × 7 + 1 = 15. ✔ La lecture graphique est exacte ici, parce que les valeurs sont entières.

6. 6

   Pour identifier les points au-dessus de la droite, on compare chaque valeur réelle à la valeur estimée.

7. 7

   $x=1$x = 1 : réel $3$3, droite $3$3 — le point est SUR la droite.

8. 8

   $x=2$x = 2 : réel $5$5, droite $5$5 — également sur la droite.

9. 9

   $x=3$x = 3 : réel $7$7, droite $7$7 — sur la droite aussi.

10. 10

    $x=4$x = 4 : réel $10$10, droite $9$9 — le point est AU-DESSUS, d'une unité.

11. 11

    $x=5$x = 5 : réel $11$11, droite $11$11 — sur la droite.

    Et $x=6$x = 6 : réel $12$12, droite $13$13 — le point est EN DESSOUS.

12. 12

    Un seul point est donc strictement au-dessus ($x=4$x = 4) et un seul strictement en dessous ($x=6$x = 6) ; les autres sont exactement sur la droite.

13. 13

    Contrôle : la somme des écarts vaut $0+0+0+1+0-1=0$0 + 0 + 0 + 1 + 0 - 1 = 0. ✔ L'ajustement est équilibré, ce qui est bon signe.

Rappel de cours : Lire un coefficient directeur : on avance de $1$1 sur l'axe horizontal et on mesure la montée. Lire $b$b : on regarde l'intersection avec l'axe vertical.

Erreur fréquente : Lire le coefficient directeur sur deux points du NUAGE au lieu de deux points de la droite. Les points du nuage ne sont pas sur la droite en général.

Correction détaillée

1. 1

   Pour vérifier l'alignement, on regarde les écarts successifs des $y$y : $8-5=3$8-5 = 3, $11-8=3$11-8 = 3, $14-11=3$14-11 = 3, $17-14=3$17-14 = 3, $20-17=3$20-17 = 3.

2. 2

   Les $x$x augmentent de $1$1 et les $y$y de $3$3 à chaque fois : les points sont parfaitement alignés sur une droite de coefficient directeur $3$3.

3. 3

   Vérification de l'équation : pour $x=1$x = 1, $3\times 1+2=5$3 × 1 + 2 = 5 ✔ ; pour $x=6$x = 6, $3\times 6+2=20$3 × 6 + 2 = 20 ✔.

4. 4

   Un alignement parfait donne $r=1$r = 1, la valeur maximale possible. ✔

5. 5

   Avec la faute de frappe, le coefficient directeur s'effondre de $3$3 à $0,43$0,43, soit sept fois moins.

6. 6

   Le coefficient de corrélation chute de $1$1 à $0,14$0,14 : la liaison, parfaite, devient statistiquement inexistante.

7. 7

   Un SEUL point sur six a suffi à détruire l'ajustement.

   C'est la principale fragilité de la méthode des moindres carrés : elle est très sensible aux valeurs extrêmes.

8. 8

   Pourquoi ?

   Parce qu'elle minimise la somme des CARRÉS des écarts : un écart de $18$18 pèse $324$324, alors que dix écarts de $1$1 ne pèsent que $10$10.

   Le point aberrant domine tout le calcul.

9. 9

   Que faire en pratique ?

   D'abord TRACER le nuage : un point aberrant se voit immédiatement, alors qu'il est invisible dans un tableau de nombres.

10. 10

    Ensuite, chercher l'origine de l'écart : erreur de saisie (comme ici), erreur de mesure, ou individu réellement atypique.

11. 11

    On ne supprime jamais un point parce qu'il dérange.

    On l'écarte s'il est établi qu'il s'agit d'une erreur ; sinon on le conserve, en le signalant et en discutant son influence.

12. 12

    Contrôle final : après correction de la saisie, on doit retrouver $r=1$r = 1 et $y=3x+2$y = 3x + 2. ✔

Rappel de cours : Toujours tracer le nuage AVANT d'exploiter un ajustement : un point aberrant fausse à la fois la droite et le coefficient de corrélation.

Erreur fréquente : Faire confiance à un $r$r faible pour conclure « pas de lien ». Ici le lien est parfait ; c'est une seule donnée erronée qui masque tout.

Correction détaillée

1. 1

   Quotients successifs : $\frac{140}{100}=1,4$140/100 = 1,4 ; $\frac{196}{140}=1,4$196/140 = 1,4.

2. 2

   Puis $\frac{274}{196}\approx 1,398$274/196 ≈ 1,398 et $\frac{384}{274}\approx 1,402$384/274 ≈ 1,402.

3. 3

   Les quotients sont donc tous égaux à $1,4$1,4 à l'arrondi près : ce n'est pas une croissance affine, mais une croissance GÉOMÉTRIQUE.

4. 4

   Autrement dit, le nombre d'abonnés augmente d'environ $40\%$40 % par an — on retrouve les chapitres 2 et 3.

5. 5

   Modèle adapté : $y=100\times 1,4^x$y = 100 × 1,4^(x), une suite géométrique de premier terme $100$100 et de raison $1,4$1,4.

6. 6

   Vérification du modèle sur les données : $100\times 1,4^2=196$100 × 1,4² = 196 ✔ et $100\times 1,4^4=384,16\approx 384$100 × 1,4⁴ = 384,16 ≈ 384. ✔

7. 7

   Estimation pour $x=6$x = 6 avec le modèle affine : $70,2\times 6+78,4=421,2+78,4=499,6$70,2 × 6 + 78,4 = 421,2 + 78,4 = 499,6, soit environ $500$500 milliers d'abonnés.

8. 8

   Estimation avec le modèle géométrique : $100\times 1,4^6\approx 752,95$100 × 1,4⁶ ≈ 752,95, soit environ $753$753 milliers d'abonnés.

9. 9

   L'écart est de $253$253 milliers d'abonnés, soit plus de $50\%$50 % d'erreur relative.

   Le choix du modèle n'est donc pas un détail.

10. 10

    Pour la dernière question : NON, un coefficient $r=0,98$r = 0,98 ne garantit rien.

11. 11

    Sur un intervalle court, une courbe exponentielle ressemble beaucoup à une droite : le coefficient de corrélation reste élevé alors que la nature du phénomène est tout autre.

12. 12

    La bonne démarche est de regarder la FORME du nuage et les quotients successifs, pas seulement $r$r.

    Ici, les quotients constants trahissent immédiatement le modèle géométrique.

13. 13

    Contrôle par les résidus du modèle affine : en $x=0$x = 0, il prédit $78,4$78,4 pour une valeur réelle de $100$100 ; en $x=2$x = 2, $218,8$218,8 pour $196$196 ; en $x=4$x = 4, $359,2$359,2 pour $384$384.

    Les résidus sont d'abord positifs, puis négatifs, puis positifs — signe caractéristique d'un modèle mal choisi.