Exercices corrigés : Fonction exponentielle — Première générale

Correction détaillée

1. 1

   Le nombre $e$e est une constante, comme $\pi$π : $e\approx 2,718$e ≈ 2,718.

   La touche de la calculatrice est notée $e^x$e^(x) ou $\exp$exp.

2. 2

   $e^0=1$e⁰ = 1.

   C'est une valeur exacte à connaître : toute puissance d'exposant nul vaut $1$1, et l'exponentielle ne fait pas exception.

3. 3

   $e^1=e\approx 2,718$e¹ = e ≈ 2,718.

4. 4

   $e^2\approx 7,389$e² ≈ 7,389.

   On peut le retrouver comme $e\times e\approx 2,718\times 2,718\approx 7,389$e × e ≈ 2,718 × 2,718 ≈ 7,389. ✔

5. 5

   $e^{-1}=\frac{1}{e}\approx 0,368$e⁻¹ = 1/e ≈ 0,368.

   Un exposant négatif donne l'inverse, donc un nombre compris entre $0$0 et $1$1.

6. 6

   Vérification : $e^1\times e^{-1}\approx 2,718\times 0,368\approx 1$e¹ × e⁻¹ ≈ 2,718 × 0,368 ≈ 1. ✔ C'est cohérent, puisque $e^1\times e^{-1}=e^0=1$e¹ × e⁻¹ = e⁰ = 1.

7. 7

   $e^{0,5}=\sqrt{e}\approx 1,649$e^(0,5) = √(e) ≈ 1,649, car $e^{0,5}\times e^{0,5}=e^1=e$e^(0,5) × e^(0,5) = e¹ = e.

8. 8

   Signe : $e^x>0$e^(x) > 0 pour TOUTE valeur de $x$x, sans aucune exception.

   Même avec un exposant très négatif, le résultat reste strictement positif — simplement très petit.

9. 9

   Exemple : $e^{-10}\approx 0,0000454$e⁻¹⁰ ≈ 0,0000454.

   C'est minuscule, mais ce n'est pas zéro, et ce n'est surtout pas négatif.

10. 10

    Conséquence à retenir pour tout le chapitre : une équation comme $e^x=-2$e^(x) = -2 n'a AUCUNE solution, et une expression $e^x$e^(x) peut toujours être divisée ou simplifiée sans condition.

Rappel de cours : $e^0=1$e⁰ = 1 et $e^x>0$e^(x) > 0 pour tout $x$x : ces deux faits servent dans presque tous les exercices du chapitre.

Erreur fréquente : Croire qu'un exposant négatif donne un résultat négatif. $e^{-1}$e⁻¹ vaut $0,368$0,368, pas $-2,718$-2,718 : l'exposant négatif inverse, il ne change pas le signe.

Correction détaillée

1. 1

   La règle fondamentale du chapitre : $e^a\times e^b=e^{a+b}$e^(a) × e^(b) = e^(a+b).

   On multiplie les exponentielles en AJOUTANT les exposants.

2. 2

   C'est la même règle que pour les puissances vues au collège : $2^3\times 2^5=2^8$2³ × 2⁵ = 2⁸.

   L'exponentielle se comporte exactement comme une puissance de base $e$e.

3. 3

   $e^3\times e^5=e^{3+5}=e^8$e³ × e⁵ = e³⁺⁵ = e⁸.

4. 4

   $e^x\times e^2=e^{x+2}$e^(x) × e² = e^(x+2).

5. 5

   $e^{2x}\times e^{3x}=e^{2x+3x}=e^{5x}$e^(2x) × e^(3x) = e^(2x+3x) = e^(5x).

   On additionne bien les exposants, et non les coefficients de manière séparée.

6. 6

   $e^a\times e^{-a}=e^{a-a}=e^0=1$e^(a) × e^(-a) = e^(a-a) = e⁰ = 1.

   Deux exponentielles d'exposants opposés sont inverses l'une de l'autre.

7. 7

   $e^{x+1}\times e^{x-1}=e^{(x+1)+(x-1)}=e^{2x}$e^(x+1) × e^(x-1) = e^((x+1)+(x-1)) = e^(2x).

8. 8

   Vérification numérique du dernier cas avec $x=1$x = 1 : $e^2\times e^0=7,389\times 1=7,389$e² × e⁰ = 7,389 × 1 = 7,389, et $e^{2\times 1}=e^2=7,389$e^(2 × 1) = e² = 7,389. ✔

9. 9

   Erreur à ne jamais commettre : $e^a\times e^b$e^(a) × e^(b) n'est PAS $e^{ab}$e^(ab).

   Avec $a=2$a = 2 et $b=3$b = 3, on aurait $e^6\approx 403$e⁶ ≈ 403 au lieu de $e^5\approx 148$e⁵ ≈ 148.

Rappel de cours : $e^a\times e^b=e^{a+b}$e^(a) × e^(b) = e^(a+b) : le produit devient une somme d'exposants. C'est la propriété qui définit l'exponentielle.

Erreur fréquente : Multiplier les exposants au lieu de les additionner. Un test rapide avec des petits nombres démasque l'erreur immédiatement.

Correction détaillée

1. 1

   Deuxième règle : $\frac{e^a}{e^b}=e^{a-b}$e^(a)/e^(b) = e^(a-b).

   On divise les exponentielles en SOUSTRAYANT les exposants.

2. 2

   Elle découle de la première : diviser par $e^b$e^(b), c'est multiplier par $e^{-b}$e^(-b), donc ajouter $-b$-b à l'exposant.

3. 3

   $\frac{e^7}{e^4}=e^{7-4}=e^3$e⁷/e⁴ = e⁷⁻⁴ = e³.

4. 4

   $\frac{1}{e^x}=\frac{e^0}{e^x}=e^{0-x}=e^{-x}$1/e^(x) = e⁰/e^(x) = e^(0-x) = e^(-x).

   L'inverse d'une exponentielle s'obtient en changeant le signe de l'exposant.

5. 5

   $\frac{e^{5x}}{e^{2x}}=e^{5x-2x}=e^{3x}$e^(5x)/e^(2x) = e^(5x-2x) = e^(3x).

6. 6

   $\frac{e^{-3}}{e^{-5}}=e^{-3-(-5)}=e^{-3+5}=e^2$e⁻³/e⁻⁵ = e⁻³⁻⁽⁻⁵⁾ = e⁻³⁺⁵ = e².

   Attention au double signe moins : soustraire $-5$-5 revient à ajouter $5$5.

7. 7

   Vérification de ce dernier calcul : $e^{-3}\approx 0,0498$e⁻³ ≈ 0,0498 et $e^{-5}\approx 0,00674$e⁻⁵ ≈ 0,00674, donc le quotient vaut environ $7,39$7,39, soit bien $e^2$e². ✔

8. 8

   $\frac{e^{2x+1}}{e^x}=e^{(2x+1)-x}=e^{x+1}$(e^(2x+1))/e^(x) = e^((2x+1)-x) = e^(x+1).

9. 9

   Point de vigilance : quand le numérateur est une somme d'exposants, on met TOUTE l'expression entre parenthèses avant de soustraire, sinon le signe moins ne se distribue pas correctement.

Rappel de cours : $\frac{e^a}{e^b}=e^{a-b}$e^(a)/e^(b) = e^(a-b) et $\frac{1}{e^a}=e^{-a}$1/e^(a) = e^(-a).

Erreur fréquente : Oublier les parenthèses dans $e^{(2x+1)-x}$e^((2x+1)-x). Écrire $e^{2x+1-x}$e^(2x+1-x) fonctionne ici, mais $\frac{e^{3x}}{e^{x-2}}$e^(3x)/(e^(x-2)) donne $e^{3x-x+2}=e^{2x+2}$e^(3x-x+2) = e^(2x+2), et non $e^{3x-x-2}$e^(3x-x-2).

Correction détaillée

1. 1

   Troisième et dernière règle : ${\left(e^a\right)}^n=e^{a\times n}$(e^(a))ⁿ = e^(a × n).

   Ici, et seulement ici, les exposants se MULTIPLIENT.

2. 2

   On la comprend en déroulant : ${\left(e^a\right)}^3=e^a\times e^a\times e^a=e^{a+a+a}=e^{3a}$(e^(a))³ = e^(a) × e^(a) × e^(a) = e^(a+a+a) = e^(3a).

3. 3

   ${\left(e^2\right)}^3=e^{2\times 3}=e^6$(e²)³ = e^(2 × 3) = e⁶.

4. 4

   ${\left(e^x\right)}^4=e^{4x}$(e^(x))⁴ = e^(4x).

5. 5

   ${\left(e^{-x}\right)}^3=e^{-3x}$(e^(-x))³ = e^(-3x).

   Le signe moins fait partie de l'exposant et se multiplie avec lui.

6. 6

   ${\left(e^{0,5}\right)}^2=e^{0,5\times 2}=e^1=e$(e^(0,5))² = e^(0,5 × 2) = e¹ = e.

   C'est la traduction de $\sqrt{e}\times \sqrt{e}=e$√(e) × √(e) = e.

7. 7

   ${\left(e^{x+1}\right)}^2=e^{2(x+1)}=e^{2x+2}$(e^(x+1))² = e^(2(x+1)) = e^(2x+2).

   Il faut développer : oublier de distribuer le $2$2 donnerait $e^{2x+1}$e^(2x+1), qui est faux.

8. 8

   Vérification avec $x=0$x = 0 : ${\left(e^1\right)}^2=e^2\approx 7,389$(e¹)² = e² ≈ 7,389, et $e^{2\times 0+2}=e^2$e^(2 × 0 + 2) = e². ✔

9. 9

   Récapitulatif des trois règles : produit → on ADDITIONNE les exposants · quotient → on SOUSTRAIT · puissance → on MULTIPLIE.

   Confondre les deux premières avec la troisième est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

Rappel de cours : ${\left(e^a\right)}^n=e^{na}$(e^(a))ⁿ = e^(na). Ne pas confondre avec $e^a\times e^b=e^{a+b}$e^(a) × e^(b) = e^(a+b).

Erreur fréquente : Écrire ${\left(e^{x+1}\right)}^2=e^{2x+1}$(e^(x+1))² = e^(2x+1). L'exposant entier est multiplié par $2$2, donc $e^{2x+2}$e^(2x+2).

Correction détaillée

1. 1

   Deux propriétés suffisent à répondre à tout : $e^x>0$e^(x) > 0 pour tout $x$x, et la fonction exponentielle est STRICTEMENT CROISSANTE.

2. 2

   « Strictement croissante » signifie : plus l'exposant est grand, plus la valeur est grande.

   Comparer deux exponentielles revient donc à comparer leurs exposants.

3. 3

   $e^{-4}$e⁻⁴ est strictement POSITIF, comme toute exponentielle.

   Il vaut environ $0,018$0,018 : très petit, mais positif.

4. 4

   Comparaison de $e^2$e² et $e^3$e³ : puisque $2<3$2 < 3 et que la fonction est croissante, $e^2<e^3$e² < e³.

   Le plus grand est donc $e^3$e³.

5. 5

   Vérification : $e^2\approx 7,39$e² ≈ 7,39 et $e^3\approx 20,09$e³ ≈ 20,09. ✔

6. 6

   Comparaison de $e^{-5}$e⁻⁵ et $e^{-2}$e⁻² : on compare les exposants, $-5<-2$-5 < -2, donc $e^{-5}<e^{-2}$e⁻⁵ < e⁻².

   Le plus grand est $e^{-2}$e⁻².

7. 7

   Vérification : $e^{-5}\approx 0,0067$e⁻⁵ ≈ 0,0067 et $e^{-2}\approx 0,135$e⁻² ≈ 0,135. ✔ Attention, c'est bien $-2$-2 le plus grand des deux exposants, même s'ils sont tous deux négatifs.

8. 8

   Pour $e^x>1$e^(x) > 1, on écrit $1=e^0$1 = e⁰, ce qui donne $e^x>e^0$e^(x) > e⁰.

9. 9

   Par stricte croissance, cette inégalité équivaut à $x>0$x > 0.

10. 10

    Interprétation graphique : la courbe de l'exponentielle passe par le point $(0;1)$(0 ;1), reste au-dessus de $1$1 à droite de ce point et en dessous à gauche, tout en restant toujours au-dessus de l'axe des abscisses.

Rappel de cours : Fonction strictement croissante : $e^a<e^b$e^(a) < e^(b) équivaut à $a<b$a < b. Comparer des exponentielles = comparer des exposants.

Erreur fréquente : Croire que $e^{-5}>e^{-2}$e⁻⁵ > e⁻² parce que « $5$5 est plus grand que $2$2 ». C'est l'EXPOSANT qu'on compare, et $-5<-2$-5 < -2.

Correction détaillée

1. 1

   Méthode générale : on traite d'abord les puissances, puis les produits, puis les quotients — l'ordre des priorités habituelles.

2. 2

   Pour $A$A, on simplifie le numérateur : $e^{2x}\times e^3=e^{2x+3}$e^(2x) × e³ = e^(2x+3).

3. 3

   Puis le quotient : $A=\frac{e^{2x+3}}{e^x}=e^{(2x+3)-x}=e^{x+3}$A = (e^(2x+3))/e^(x) = e^((2x+3)-x) = e^(x+3).

4. 4

   Pour $B$B, on commence par la puissance : ${\left(e^x\right)}^2=e^{2x}$(e^(x))² = e^(2x).

5. 5

   Puis le produit : $B=e^{2x}\times e^{-3x}=e^{2x-3x}=e^{-x}$B = e^(2x) × e^(-3x) = e^(2x-3x) = e^(-x).

6. 6

   Pour $C$C, on soustrait les exposants en pensant aux parenthèses : $C=e^{(x+1)-(2x-1)}$C = e^((x+1)-(2x-1)).

7. 7

   On développe l'exposant : $(x+1)-(2x-1)=x+1-2x+1=-x+2$(x+1) - (2x-1) = x + 1 - 2x + 1 = -x + 2.

   Donc $C=e^{2-x}$C = e^(2-x).

8. 8

   Pour $D$D, le numérateur donne $e^{2x}\times e^{-x}=e^x$e^(2x) × e^(-x) = e^(x) et le dénominateur ${\left(e^x\right)}^3=e^{3x}$(e^(x))³ = e^(3x).

9. 9

   Donc $D=\frac{e^x}{e^{3x}}=e^{x-3x}=e^{-2x}$D = e^(x)/e^(3x) = e^(x-3x) = e^(-2x).

10. 10

    Vérification numérique avec $x=1$x = 1.

    $A=e^4\approx 54,6$A = e⁴ ≈ 54,6 : on retrouve bien $\frac{e^2\times e^3}{e}=\frac{7,389\times 20,086}{2,718}\approx 54,6$(e² × e³)/e = (7,389 × 20,086)/2,718 ≈ 54,6. ✔

11. 11

    Même contrôle sur $C$C avec $x=1$x = 1 : $C=e^1\approx 2,718$C = e¹ ≈ 2,718, et $\frac{e^2}{e^1}=e\approx 2,718$e²/e¹ = e ≈ 2,718. ✔

12. 12

    Conseil de rédaction : on écrit systématiquement l'exposant intermédiaire entre parenthèses avant de le développer.

    C'est ce qui évite les erreurs de signe, de loin la première cause de perte de points ici.

Rappel de cours : Une seule stratégie : ramener toute l'expression à un unique $e^{\text{exposant}}$e^(exposant), puis réduire l'exposant comme une expression littérale ordinaire.

Erreur fréquente : Dans $C$C, oublier de distribuer le signe moins et écrire $e^{x+1-2x-1}=e^{-x}$e^(x+1-2x-1) = e^(-x). Le résultat correct est $e^{2-x}$e^(2-x).

Correction détaillée

1. 1

   Propriété clé : la fonction exponentielle est strictement croissante, donc deux exponentielles sont égales si et seulement si leurs EXPOSANTS sont égaux.

2. 2

   Autrement dit : $e^a=e^b$e^(a) = e^(b) équivaut à $a=b$a = b.

   Résoudre une équation exponentielle revient donc à résoudre une équation ordinaire.

3. 3

   $e^x=e^5$e^(x) = e⁵ donne directement $x=5$x = 5.

   Solution : $S=\{5\}$S = {5}.

4. 4

   $e^{2x-1}=e^{x+3}$e^(2x-1) = e^(x+3) donne $2x-1=x+3$2x - 1 = x + 3, soit $2x-x=3+1$2x - x = 3 + 1, donc $x=4$x = 4.

5. 5

   Vérification : $2\times 4-1=7$2 × 4 - 1 = 7 et $4+3=7$4 + 3 = 7.

   Les deux exposants coïncident. ✔

6. 6

   $e^{3x}=1$e^(3x) = 1 : on écrit $1=e^0$1 = e⁰, donc $e^{3x}=e^0$e^(3x) = e⁰, d'où $3x=0$3x = 0 et $x=0$x = 0.

7. 7

   $e^{x^2}=e^4$e^(x²) = e⁴ donne $x^2=4$x² = 4, équation qui a DEUX solutions : $x=2$x = 2 et $x=-2$x = -2.

8. 8

   Vérification pour $x=-2$x = -2 : $(-2{)}^2=4$(-2)² = 4, donc $e^4=e^4$e⁴ = e⁴. ✔ La solution négative convient parfaitement.

9. 9

   Le passage à l'exponentielle ne fait ni apparaître ni disparaître de solutions : c'est l'équation sur les exposants qui décide de leur nombre.

10. 10

    Attention toutefois : une équation comme $e^x=-3$e^(x) = -3 n'a aucune solution, puisque $e^x$e^(x) est toujours strictement positif.

    On le signale AVANT de se lancer dans un calcul.

Rappel de cours : $e^a=e^b⟺a=b$e^(a) = e^(b) ⇔ a = b. Et $e^a=k$e^(a) = k est impossible dès que $k⩽0$k ≤ 0.

Erreur fréquente : Ne donner qu'une solution à $x^2=4$x² = 4. L'équation carrée en a deux, opposées l'une de l'autre.

Correction détaillée

1. 1

   La stricte croissance sert aussi pour les inéquations : $e^a<e^b$e^(a) < e^(b) équivaut à $a<b$a < b.

   Le sens de l'inégalité est CONSERVÉ.

2. 2

   $e^x>e^3$e^(x) > e³ équivaut donc à $x>3$x > 3.

   Solution : $]3;+\infty [$]3 ;+∞[.

3. 3

   $e^{2x-1}⩽e^5$e^(2x-1) ≤ e⁵ équivaut à $2x-1⩽5$2x - 1 ≤ 5, soit $2x⩽6$2x ≤ 6, donc $x⩽3$x ≤ 3.

   Solution : $]-\infty ;3]$]-∞ ;3].

4. 4

   On remarque qu'ici la division par $2$2, nombre positif, ne change pas non plus le sens de l'inégalité.

5. 5

   $e^{-x}>1$e^(-x) > 1 : on écrit $1=e^0$1 = e⁰, donc $e^{-x}>e^0$e^(-x) > e⁰, ce qui équivaut à $-x>0$-x > 0.

6. 6

   On divise par $-1$-1, nombre NÉGATIF : le sens de l'inégalité s'inverse, donc $x<0$x < 0.

   Solution : $]-\infty ;0[$]-∞ ;0[.

7. 7

   Vérification avec $x=-1$x = -1 : $e^{-(-1)}=e^1\approx 2,718>1$e⁻⁽⁻¹⁾ = e¹ ≈ 2,718 > 1. ✔ Et avec $x=1$x = 1 : $e^{-1}\approx 0,368<1$e⁻¹ ≈ 0,368 < 1, donc $x=1$x = 1 ne convient pas. ✔

8. 8

   $e^x>-2$e^(x) > -2 : comme $e^x$e^(x) est toujours strictement positif, donc toujours supérieur à $-2$-2, l'inégalité est vraie pour TOUT réel $x$x.

9. 9

   Solution : $S=\mathbb{R}$S = ℝ.

   Aucun calcul n'est nécessaire, seulement la propriété de signe.

10. 10

    Résumé des deux points de vigilance : l'exponentielle conserve le sens de l'inégalité, mais les opérations qu'on fait ensuite sur les exposants (multiplier ou diviser par un négatif) peuvent l'inverser.

Rappel de cours : $e^a<e^b⟺a<b$e^(a) < e^(b) ⇔ a < b : l'exponentielle ne renverse jamais l'inégalité. Ce sont les manipulations d'exposants qui peuvent le faire.

Erreur fréquente : Résoudre $-x>0$-x > 0 en $x>0$x > 0. La division par $-1$-1 inverse le sens : la solution est $x<0$x < 0.

Correction détaillée

1. 1

   Pour factoriser, on écrit $e^{2x}$e^(2x) en faisant apparaître $e^x$e^(x) : $e^{2x}=e^{x+x}=e^x\times e^x$e^(2x) = e^(x+x) = e^(x) × e^(x).

2. 2

   Donc $f(x)=e^x\times e^x+e^x=e^x\left(e^x+1\right)$f(x) = e^(x) × e^(x) + e^(x) = e^(x)(e^(x) + 1).

3. 3

   Vérification en développant : $e^x\times e^x+e^x\times 1=e^{2x}+e^x$e^(x) × e^(x) + e^(x) × 1 = e^(2x) + e^(x). ✔ On retrouve l'expression de départ.

4. 4

   Pour le signe, on examine chaque facteur séparément.

5. 5

   Le facteur $e^x$e^(x) est strictement positif pour tout $x$x.

6. 6

   Le facteur $e^x+1$e^(x) + 1 est strictement positif également, puisqu'il vaut au minimum un peu plus que $1$1 — c'est un nombre positif augmenté de $1$1.

7. 7

   Produit de deux facteurs strictement positifs : $f(x)>0$f(x) > 0 pour tout réel $x$x.

   L'expression ne s'annule jamais.

8. 8

   Pour l'équation $e^{2x}-e^x=0$e^(2x) - e^(x) = 0, on factorise de la même façon : $e^x\left(e^x-1\right)=0$e^(x)(e^(x) - 1) = 0.

9. 9

   Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.

   Or $e^x\ne 0$e^(x) ≠ 0 : ce facteur ne peut jamais s'annuler.

10. 10

    Il reste donc $e^x-1=0$e^(x) - 1 = 0, soit $e^x=1=e^0$e^(x) = 1 = e⁰, donc $x=0$x = 0.

11. 11

    Vérification : pour $x=0$x = 0, $e^0-e^0=1-1=0$e⁰ - e⁰ = 1 - 1 = 0. ✔ Solution unique : $S=\{0\}$S = {0}.

12. 12

    Ce raisonnement — factoriser par $e^x$e^(x), écarter ce facteur qui ne s'annule jamais — revient dans tous les exercices de signe du chapitre.

Rappel de cours : $e^{2x}={\left(e^x\right)}^2$e^(2x) = (e^(x))² : c'est cette écriture qui rend la factorisation par $e^x$e^(x) possible.

Erreur fréquente : Simplifier l'équation en divisant par $e^x$e^(x) sans le dire. C'est légitime ici (le facteur n'est jamais nul), mais il faut le JUSTIFIER — c'est précisément ce que le correcteur attend.

Correction détaillée

1. 1

   Pour lire $e^1$e¹, on part de $x=1$x = 1 sur l'axe horizontal, on monte jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée : environ $2,7$2,7.

2. 2

   Valeur exacte à la calculatrice : $e\approx 2,718$e ≈ 2,718.

   La lecture graphique est cohérente. ✔

3. 3

   Pour $e^2$e², même méthode à partir de $x=2$x = 2 : on lit environ $7,4$7,4, et la calculatrice donne $7,389$7,389. ✔

4. 4

   Pour résoudre $e^x=5$e^(x) = 5, on fait le chemin INVERSE : on part de $5$5 sur l'axe vertical, on va horizontalement jusqu'à la courbe, puis on descend lire l'abscisse.

5. 5

   On lit $x\approx 1,6$x ≈ 1,6.

6. 6

   Contrôle par le calcul : $e^{1,6}\approx 4,953$e^(1,6) ≈ 4,953, ce qui est très proche de $5$5. ✔ La solution exacte, obtenue à la calculatrice, vaut environ $1,609$1,609.

7. 7

   Cette valeur $1,609$1,609 porte un nom, $\ln 5$ln 5, et fera l'objet d'un chapitre en Terminale.

   En Première, on se contente de la lecture graphique ou de la calculatrice.

8. 8

   Pour la dernière question : la courbe ne coupe JAMAIS l'axe des abscisses, car cela signifierait $e^x=0$e^(x) = 0, ce qui est impossible puisque l'exponentielle est strictement positive.

9. 9

   Graphiquement, la courbe se rapproche de l'axe des abscisses quand $x$x devient très négatif, mais sans jamais l'atteindre : elle reste au-dessus.

10. 10

    On peut le vérifier numériquement : $e^{-5}\approx 0,0067$e⁻⁵ ≈ 0,0067, $e^{-10}\approx 0,0000454$e⁻¹⁰ ≈ 0,0000454.

    Les valeurs s'écrasent vers $0$0 sans jamais valoir $0$0.

Rappel de cours : Lire $f(a)$f(a) : on part de l'axe des $x$x. Résoudre $f(x)=k$f(x) = k : on part de l'axe des $y$y. Le sens de lecture change selon la question.

Erreur fréquente : Répondre que la courbe « finit par toucher l'axe » à gauche. Elle s'en approche indéfiniment sans jamais le couper — c'est une asymptote.

Correction détaillée

1. 1

   Population initiale : on prend $t=0$t = 0, donc $f(0)=200e^0=200\times 1=200$f(0) = 200 e⁰ = 200 × 1 = 200 bactéries.

2. 2

   Après $10$10 h : $f(10)=200e^{0,05\times 10}=200e^{0,5}$f(10) = 200 e^(0,05 × 10) = 200 e^(0,5).

3. 3

   $e^{0,5}\approx 1,64872$e^(0,5) ≈ 1,64872, donc $f(10)\approx 329,74$f(10) ≈ 329,74, soit environ $330$330 bactéries.

4. 4

   Après $20$20 h : $f(20)=200e^1\approx 200\times 2,71828\approx 543,66$f(20) = 200 e¹ ≈ 200 × 2,71828 ≈ 543,66, soit environ $544$544 bactéries.

5. 5

   Pour le rapport, on calcule $\frac{f(t+1)}{f(t)}=\frac{200e^{0,05(t+1)}}{200e^{0,05t}}$(f(t+1))/f(t) = (200 e^(0,05(t+1)))/(200 e^(0,05t)).

6. 6

   Les $200$200 se simplifient, et le quotient des exponentielles donne $e^{0,05(t+1)-0,05t}=e^{0,05}$e^(0,05(t+1) - 0,05t) = e^(0,05).

7. 7

   Le rapport vaut donc $e^{0,05}\approx 1,05127$e^(0,05) ≈ 1,05127, et surtout : il ne dépend PAS de $t$t.

8. 8

   Interprétation : d'une heure à la suivante, la population est toujours multipliée par le même nombre.

   C'est exactement la définition d'une suite géométrique, de raison $q=e^{0,05}$q = e^(0,05).

9. 9

   Le lien avec le chapitre 3 est donc total : $e^{kt}$e^(kt) est la version continue d'une suite géométrique de raison $e^k$e^(k).

10. 10

    Pourcentage horaire : le coefficient multiplicateur vaut $1,05127$1,05127, donc le taux est $(1,05127-1)\times 100\approx 5,13\%$(1,05127 - 1) × 100 ≈ 5,13 % par heure.

11. 11

    Remarque importante : le coefficient $0,05$0,05 de l'exposant n'est PAS le taux horaire.

    Il vaut $5\%$5 %, alors que le vrai taux est $5,13\%$5,13 %.

    L'écart vient de la croissance continue.

12. 12

    Vérification de cohérence : $f(0)\times 1,05127^{10}\approx 200\times 1,6487\approx 329,74$f(0) × 1,05127¹⁰ ≈ 200 × 1,6487 ≈ 329,74, ce qui correspond bien à $f(10)$f(10). ✔

Rappel de cours : $f(t)=A{e}^{kt}$f(t) = A e^(kt) équivaut à une évolution de coefficient constant $e^k$e^(k) par unité de temps. Le taux vaut $\left(e^k-1\right)\times 100\%$(e^(k)-1) × 100 %, pas $k\times 100\%$k × 100 %.

Erreur fréquente : Annoncer « $+5\%$+5 % par heure » en lisant le $0,05$0,05 de l'exposant. Le taux réel est $5,13\%$5,13 % ; l'approximation ne vaut que pour de petits coefficients.

Correction détaillée

1. 1

   Masse initiale : $M(0)=80e^0=80$M(0) = 80 e⁰ = 80 g.

2. 2

   Au bout de $10$10 ans : $M(10)=80e^{-0,3}$M(10) = 80 e^(-0,3).

3. 3

   $e^{-0,3}\approx 0,740818$e^(-0,3) ≈ 0,740818, donc $M(10)\approx 59,27$M(10) ≈ 59,27 g.

4. 4

   Pour la décroissance, on regarde le coefficient de $t$t dans l'exposant : il vaut $-0,03$-0,03, donc il est négatif.

5. 5

   Quand $t$t augmente, l'exposant $-0,03t$-0,03t DIMINUE ; comme l'exponentielle est croissante, $e^{-0,03t}$e^(-0,03t) diminue aussi.

   La masse est donc décroissante.

6. 6

   Autre justification, équivalente : $\frac{M(t+1)}{M(t)}=e^{-0,03}\approx 0,97045$(M(t+1))/M(t) = e^(-0,03) ≈ 0,97045, un coefficient inférieur à $1$1.

   La masse perd donc environ $2,95\%$2,95 % par an.

7. 7

   Demi-vie : on cherche $t$t tel que $M(t)=40$M(t) = 40 g, soit $80e^{-0,03t}=40$80 e^(-0,03t) = 40, c'est-à-dire $e^{-0,03t}=0,5$e^(-0,03t) = 0,5.

8. 8

   Cette équation ne se résout pas exactement avec les outils de Première : on procède par balayage à la calculatrice.

9. 9

   $t=20$t = 20 : $M(20)=80e^{-0,6}\approx 43,91$M(20) = 80 e^(-0,6) ≈ 43,91 g — encore au-dessus de $40$40.

10. 10

    $t=23$t = 23 : $M(23)=80e^{-0,69}\approx 40,13$M(23) = 80 e^(-0,69) ≈ 40,13 g — juste au-dessus.

11. 11

    $t=24$t = 24 : $M(24)=80e^{-0,72}\approx 38,94$M(24) = 80 e^(-0,72) ≈ 38,94 g — cette fois en dessous.

12. 12

    La demi-vie est donc comprise entre $23$23 et $24$24 ans.

    En affinant, on trouve environ $23,1$23,1 ans.

13. 13

    Vérification : $M(23,1)=80e^{-0,693}\approx 40,01$M(23,1) = 80 e^(-0,693) ≈ 40,01 g, soit bien la moitié de $80$80 g. ✔

14. 14

    Propriété remarquable : cette demi-vie ne dépend pas de la masse de départ.

    En partant de $160$160 g, il faudrait exactement le même temps pour redescendre à $80$80 g — c'est la signature d'une décroissance exponentielle.

Rappel de cours : $A{e}^{kt}$A e^(kt) : croissante si $k>0$k > 0, décroissante si $k<0$k < 0. Le coefficient de $t$t porte à lui seul le sens de variation.

Erreur fréquente : Croire que la masse atteindra zéro. Elle tend vers $0$0 sans jamais l'atteindre : après $100$100 ans il reste encore $80e^{-3}\approx 3,98$80 e⁻³ ≈ 3,98 g.

Correction détaillée

1. 1

   On remarque que $e^{2x}={\left(e^x\right)}^2$e^(2x) = (e^(x))² : l'équation ne fait donc intervenir que $e^x$e^(x) et son carré.

2. 2

   On pose alors $X=e^x$X = e^(x).

   L'équation devient $X^2-3X+2=0$X² - 3X + 2 = 0, un simple trinôme du second degré.

3. 3

   Contrainte à retenir pour la suite : puisque $X=e^x$X = e^(x), on doit avoir $X>0$X > 0.

   Toute solution négative ou nulle sera à rejeter.

4. 4

   Résolution du trinôme : $\Delta =(-3{)}^2-4\times 1\times 2=9-8=1$Δ = (-3)² - 4 × 1 × 2 = 9 - 8 = 1.

5. 5

   $\sqrt{\Delta }=1$√(Δ) = 1, donc $X_1=\frac{3-1}{2}=1$X₁ = (3-1)/2 = 1 et $X_2=\frac{3+1}{2}=2$X₂ = (3+1)/2 = 2.

6. 6

   On peut aussi factoriser directement : $X^2-3X+2=(X-1)(X-2)$X² - 3X + 2 = (X-1)(X-2), ce qui donne les mêmes racines. ✔

7. 7

   Les deux valeurs sont strictement positives, donc toutes deux acceptables.

8. 8

   Retour à l'inconnue de départ.

   Premier cas : $e^x=1=e^0$e^(x) = 1 = e⁰, donc $x=0$x = 0.

9. 9

   Second cas : $e^x=2$e^(x) = 2.

   Cette valeur n'est pas une puissance « ronde » de $e$e ; on la lit à la calculatrice, $x\approx 0,693$x ≈ 0,693 — c'est le nombre appelé $\ln 2$ln 2, étudié en Terminale.

10. 10

    Vérification de la première solution : $e^0-3e^0+2=1-3+2=0$e⁰ - 3e⁰ + 2 = 1 - 3 + 2 = 0. ✔

11. 11

    Vérification de la seconde, avec $e^x=2$e^(x) = 2 : $e^{2x}={\left(e^x\right)}^2=4$e^(2x) = (e^(x))² = 4, donc $4-3\times 2+2=4-6+2=0$4 - 3 × 2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0. ✔

12. 12

    Conclusion : $S=\{0;0,693\}$S = {0 ; 0,693} à $10^{-3}$10⁻³ près, la seconde solution étant exactement $\ln 2$ln 2.

13. 13

    Le réflexe à retenir : dès qu'une équation contient $e^{2x}$e^(2x) et $e^x$e^(x), on pose $X=e^x$X = e^(x) et on se ramène au second degré, sans oublier la condition $X>0$X > 0.