Exercices corrigés : Fonctions polynômes du second degré — Première générale

Correction détaillée

1. 1

   Une fonction polynôme du second degré s'écrit $f(x)=a{x}^2+bx+c$f(x) = ax² + bx + c avec $a\ne 0$a ≠ 0.

   C'est la présence du terme en $x^2$x², et son coefficient non nul, qui décide.

2. 2

   L'orientation de la parabole dépend du seul signe de $a$a : si $a>0$a > 0 elle est tournée vers le HAUT (forme de vallée), si $a<0$a < 0 vers le BAS (forme de colline).

3. 3

   $f(x)=3x^2-5x+2$f(x) = 3x² - 5x + 2 : c'est bien un trinôme, avec $a=3$a = 3, $b=-5$b = -5, $c=2$c = 2.

   Comme $a>0$a > 0, la parabole est tournée vers le haut.

4. 4

   $g(x)=-x^2+4$g(x) = -x² + 4 : c'est un trinôme avec $a=-1$a = -1, $b=0$b = 0, $c=4$c = 4.

   Le coefficient $b$b est nul, ce qui est parfaitement autorisé.

   Comme $a<0$a < 0, la parabole est tournée vers le bas.

5. 5

   $h(x)=(x-1)(x+3)$h(x) = (x-1)(x+3) : il faut développer avant de conclure.

6. 6

   $(x-1)(x+3)=x^2+3x-x-3=x^2+2x-3$(x-1)(x+3) = x² + 3x - x - 3 = x² + 2x - 3.

   C'est donc un trinôme avec $a=1$a = 1, $b=2$b = 2, $c=-3$c = -3, tourné vers le haut.

7. 7

   $k(x)=2x+7$k(x) = 2x + 7 : il n'y a pas de terme en $x^2$x², c'est une fonction affine.

   Ce n'est PAS un trinôme du second degré.

8. 8

   $m(x)=5x^2$m(x) = 5x² : c'est un trinôme avec $a=5$a = 5, $b=0$b = 0 et $c=0$c = 0.

   Les deux coefficients peuvent être nuls en même temps, seul $a$a ne peut pas l'être.

9. 9

   Contrôle utile : le coefficient $c$c est toujours l'image de $0$0.

   Ici $f(0)=2$f(0) = 2, $g(0)=4$g(0) = 4, $h(0)=-3$h(0) = -3, $m(0)=0$m(0) = 0 — cohérent avec les valeurs trouvées. ✔

Rappel de cours : $a>0$a > 0 → parabole tournée vers le haut (un minimum) · $a<0$a < 0 → vers le bas (un maximum). Et $c=f(0)$c = f(0).

Erreur fréquente : Conclure sur une forme factorisée sans développer. $(x-1)(x+3)$(x-1)(x+3) EST un trinôme, même si aucun $x^2$x² n'apparaît à l'écrit.

Correction détaillée

1. 1

   Calculer une image, c'est remplacer $x$x par la valeur demandée en respectant les priorités : la puissance d'abord, puis les produits, enfin les sommes.

2. 2

   $f(0)=2\times 0^2-3\times 0+1=0-0+1=1$f(0) = 2 × 0² - 3 × 0 + 1 = 0 - 0 + 1 = 1.

3. 3

   $f(1)=2\times 1^2-3\times 1+1=2-3+1=0$f(1) = 2 × 1² - 3 × 1 + 1 = 2 - 3 + 1 = 0.

   L'image est nulle : $1$1 est donc une RACINE du trinôme, information à retenir pour la suite.

4. 4

   $f(-2)=2\times (-2{)}^2-3\times (-2)+1$f(-2) = 2 × (-2)² - 3 × (-2) + 1.

5. 5

   Attention au carré d'un nombre négatif : $(-2{)}^2=4$(-2)² = 4, et non $-4$-4.

   Le carré rend toujours positif.

6. 6

   Donc $f(-2)=2\times 4+6+1=8+6+1=15$f(-2) = 2 × 4 + 6 + 1 = 8 + 6 + 1 = 15.

7. 7

   $f(0,5)=2\times 0,25-1,5+1=0,5-1,5+1=0$f(0,5) = 2 × 0,25 - 1,5 + 1 = 0,5 - 1,5 + 1 = 0.

   Voilà une seconde racine.

8. 8

   Vérification par la forme factorisée : $2x^2-3x+1=(2x-1)(x-1)$2x² - 3x + 1 = (2x - 1)(x - 1).

9. 9

   En développant : $2x^2-2x-x+1=2x^2-3x+1$2x² - 2x - x + 1 = 2x² - 3x + 1. ✔ Cette écriture confirme les deux racines $x=0,5$x = 0,5 et $x=1$x = 1.

10. 10

    Erreur classique à éviter : écrire $-3\times (-2)=-6$-3 × (-2) = -6.

    Le produit de deux nombres négatifs est positif, donc $+6$+6.

Rappel de cours : $(-x{)}^2=x^2$(-x)² = x² : le carré efface le signe. C'est le point qui fait perdre le plus de points sur les calculs d'images.

Erreur fréquente : Calculer $-2^2$-2² au lieu de $(-2{)}^2$(-2)². Sans parenthèses, la calculatrice renvoie $-4$-4 : il faut les mettre.

Correction détaillée

1. 1

   On utilise les identités remarquables : $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$(a-b)² = a² - 2ab + b² et $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$(a+b)² = a² + 2ab + b².

2. 2

   Pour $f$f : $(x-3{)}^2=x^2-2\times x\times 3+3^2=x^2-6x+9$(x-3)² = x² - 2 × x × 3 + 3² = x² - 6x + 9.

3. 3

   Donc $f(x)=x^2-6x+9-4=x^2-6x+5$f(x) = x² - 6x + 9 - 4 = x² - 6x + 5.

4. 4

   Pour $g$g, on développe d'abord le carré, puis on multiplie par $2$2 : $(x+1{)}^2=x^2+2x+1$(x+1)² = x² + 2x + 1.

5. 5

   $2(x+1{)}^2=2x^2+4x+2$2(x+1)² = 2x² + 4x + 2.

   Le facteur $2$2 doit multiplier les TROIS termes.

6. 6

   Donc $g(x)=2x^2+4x+2-8=2x^2+4x-6$g(x) = 2x² + 4x + 2 - 8 = 2x² + 4x - 6.

7. 7

   Vérification de $f$f en un point : $f(3)=(3-3{)}^2-4=-4$f(3) = (3-3)² - 4 = -4 avec la forme canonique, et $9-18+5=-4$9 - 18 + 5 = -4 avec la forme développée. ✔

8. 8

   Vérification de $g$g : $g(0)=2\times 1-8=-6$g(0) = 2 × 1 - 8 = -6, et la forme développée donne $c=-6$c = -6. ✔

9. 9

   Ce que montrent ces deux calculs : la forme canonique et la forme développée décrivent la MÊME fonction.

   On choisit l'écriture selon la question posée.

Rappel de cours : $(x-\alpha {)}^2=x^2-2\alpha x+{\alpha }^2$(x - α)² = x² - 2α x + α² : le double produit est la source d'erreur numéro un, ne jamais l'oublier.

Erreur fréquente : Écrire $2(x+1{)}^2=(2x+2{)}^2$2(x+1)² = (2x+2)². Le coefficient multiplie le carré une fois développé, il n'entre pas dans le carré.

Correction détaillée

1. 1

   La forme canonique s'écrit $a(x-\alpha {)}^2+\beta$a(x-α)² + β.

   Le sommet de la parabole a alors pour coordonnées $(\alpha ;\beta )$(α ;β), et l'axe de symétrie a pour équation $x=\alpha$x = α.

2. 2

   Pourquoi ?

   Parce que $(x-\alpha {)}^2$(x-α)² est toujours positif ou nul, et vaut $0$0 uniquement pour $x=\alpha$x = α.

   C'est donc là que l'expression atteint sa valeur extrême.

3. 3

   $f(x)=(x-3{)}^2-4$f(x) = (x-3)² - 4 : ici $\alpha =3$α = 3 et $\beta =-4$β = -4, donc le sommet est $S(3;-4)$S(3 ;-4) et l'axe est $x=3$x = 3.

4. 4

   Comme $a=1>0$a = 1 > 0, le terme $(x-3{)}^2$(x-3)² ne peut qu'ajouter : $f(x)⩾-4$f(x) ≥ -4.

   Il s'agit d'un MINIMUM, atteint en $x=3$x = 3.

5. 5

   $g(x)=-2(x+1{)}^2+5$g(x) = -2(x+1)² + 5 : attention au signe, $(x+1)$(x+1) s'écrit $(x-(-1))$(x - (-1)), donc $\alpha =-1$α = -1 et $\beta =5$β = 5.

   Sommet $S(-1;5)$S(-1 ;5), axe $x=-1$x = -1.

6. 6

   Comme $a=-2<0$a = -2 < 0, le terme $-2(x+1{)}^2$-2(x+1)² ne peut que retrancher : $g(x)⩽5$g(x) ≤ 5.

   Il s'agit d'un MAXIMUM.

7. 7

   $h(x)=3(x-2{)}^2$h(x) = 3(x-2)² : on peut l'écrire $3(x-2{)}^2+0$3(x-2)² + 0, donc $\alpha =2$α = 2 et $\beta =0$β = 0.

   Sommet $S(2;0)$S(2 ;0), axe $x=2$x = 2, et $a=3>0$a = 3 > 0 donne un minimum.

8. 8

   Cas particulier de $h$h : le sommet est SUR l'axe des abscisses, donc la parabole le touche sans le traverser.

   Le trinôme a une racine double, $x=2$x = 2.

9. 9

   Vérification sur $g$g : $g(-1)=-2\times 0+5=5$g(-1) = -2 × 0 + 5 = 5 ✔, et $g(0)=-2+5=3<5$g(0) = -2 + 5 = 3 < 5 ✔ — la valeur au sommet est bien la plus grande.

Rappel de cours : $a(x-\alpha {)}^2+\beta$a(x-α)²+β : sommet $(\alpha ;\beta )$(α ;β). Le signe de $a$a décide seul entre minimum et maximum.

Erreur fréquente : Lire $\alpha =1$α = 1 dans $(x+1{)}^2$(x+1)². La forme de référence est $(x-\alpha {)}^2$(x - α)², donc $\alpha =-1$α = -1 : le signe s'inverse.

Correction détaillée

1. 1

   On identifie les coefficients : $a=1$a = 1, $b=-5$b = -5, $c=6$c = 6.

2. 2

   Le discriminant se calcule par $\Delta =b^2-4ac$Δ = b² - 4ac.

3. 3

   $\Delta =(-5{)}^2-4\times 1\times 6=25-24=1$Δ = (-5)² - 4 × 1 × 6 = 25 - 24 = 1.

4. 4

   Comme $\Delta >0$Δ > 0, l'équation admet DEUX solutions distinctes, données par $x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$x = (-b ± √(Δ))/2a.

5. 5

   Ici $\sqrt{\Delta }=\sqrt{1}=1$√(Δ) = √(1) = 1, donc $x_1=\frac{5-1}{2}=2$x₁ = (5 - 1)/2 = 2 et $x_2=\frac{5+1}{2}=3$x₂ = (5 + 1)/2 = 3.

6. 6

   Attention au signe : $-b=-(-5)=+5$-b = -(-5) = +5.

   Oublier ce double signe donnerait des solutions négatives, donc fausses.

7. 7

   Première vérification, en remplaçant : $2^2-5\times 2+6=4-10+6=0$2² - 5 × 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0 ✔ et $3^2-15+6=9-15+6=0$3² - 15 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0 ✔.

8. 8

   Seconde vérification, par la somme et le produit des racines : leur somme doit valoir $-\frac{b}{a}=5$-b/a = 5 et leur produit $\frac{c}{a}=6$c/a = 6.

9. 9

   Or $2+3=5$2 + 3 = 5 ✔ et $2\times 3=6$2 × 3 = 6 ✔.

   Les deux contrôles concordent.

10. 10

    Ce second contrôle est très rapide et détecte immédiatement une erreur de signe : il vaut la peine d'être fait systématiquement.

Rappel de cours : $\Delta =b^2-4ac$Δ = b²-4ac puis $x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$x = (-b ± √(Δ))/2a. Contrôle instantané : somme $=-\frac{b}{a}$= -b/a, produit $=\frac{c}{a}$= c/a.

Erreur fréquente : Écrire $x=\frac{-5\pm 1}{2}$x = (-5 ± 1)/2 en oubliant que $-b$-b vaut $+5$+5. On trouverait $-2$-2 et $-3$-3, qui ne vérifient pas l'équation.

Correction détaillée

1. 1

   Le signe du discriminant décide du nombre de solutions : $\Delta >0$Δ > 0 → deux solutions, $\Delta =0$Δ = 0 → une solution double, $\Delta <0$Δ < 0 → aucune solution réelle.

2. 2

   Première équation : $a=2$a = 2, $b=-7$b = -7, $c=3$c = 3, donc $\Delta =49-4\times 2\times 3=49-24=25$Δ = 49 - 4 × 2 × 3 = 49 - 24 = 25.

3. 3

   $\Delta >0$Δ > 0 et $\sqrt{25}=5$√(25) = 5, donc $x_1=\frac{7-5}{4}=\frac{2}{4}=0,5$x₁ = (7-5)/4 = 2/4 = 0,5 et $x_2=\frac{7+5}{4}=3$x₂ = (7+5)/4 = 3.

4. 4

   Contrôle par la somme : $0,5+3=3,5=\frac{7}{2}=-\frac{b}{a}$0,5 + 3 = 3,5 = 7/2 = -b/a ✔.

5. 5

   Deuxième équation : $a=1$a = 1, $b=-6$b = -6, $c=9$c = 9, donc $\Delta =36-36=0$Δ = 36 - 36 = 0.

6. 6

   $\Delta =0$Δ = 0 : il y a une racine double, $x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{6}{2}=3$x₀ = (-b)/2a = 6/2 = 3.

7. 7

   On pouvait le voir directement : $x^2-6x+9=(x-3{)}^2$x² - 6x + 9 = (x-3)², et un carré est nul uniquement si son contenu l'est. ✔

8. 8

   Géométriquement, ce cas correspond à une parabole dont le sommet touche l'axe des abscisses sans le traverser.

9. 9

   Troisième équation : $a=1$a = 1, $b=1$b = 1, $c=1$c = 1, donc $\Delta =1-4=-3$Δ = 1 - 4 = -3.

10. 10

    $\Delta <0$Δ < 0 : l'équation n'a AUCUNE solution réelle.

    La parabole ne coupe jamais l'axe des abscisses.

11. 11

    Confirmation par la forme canonique : $x^2+x+1={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}$x²+x+1 = (x+1/2)² + 3/4, une somme d'un carré et d'un nombre strictement positif, donc toujours $⩾0,75$≥ 0,75. ✔

Rappel de cours : $\Delta >0$Δ > 0 : deux racines · $\Delta =0$Δ = 0 : une racine double $-\frac{b}{2a}$-b/2a · $\Delta <0$Δ < 0 : aucune racine. Le calcul du discriminant précède toujours celui des racines.

Erreur fréquente : Écrire « $\Delta =0$Δ = 0 donc pas de solution ». Le cas $\Delta =0$Δ = 0 donne bien une solution, comptée double : c'est $\Delta <0$Δ < 0 qui n'en donne aucune.

Correction détaillée

1. 1

   Pour factoriser, on cherche d'abord les racines.

   $a=3$a = 3, $b=-12$b = -12, $c=9$c = 9.

2. 2

   $\Delta =(-12{)}^2-4\times 3\times 9=144-108=36$Δ = (-12)² - 4 × 3 × 9 = 144 - 108 = 36.

3. 3

   $\sqrt{36}=6$√(36) = 6, donc $x_1=\frac{12-6}{6}=1$x₁ = (12-6)/6 = 1 et $x_2=\frac{12+6}{6}=3$x₂ = (12+6)/6 = 3.

4. 4

   La forme factorisée est $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$f(x) = a(x-x₁)(x-x₂), soit ici $f(x)=3(x-1)(x-3)$f(x) = 3(x-1)(x-3).

5. 5

   Le coefficient $a$a ne doit surtout pas être oublié : sans lui, on obtiendrait $x^2-4x+3$x²-4x+3, qui n'est pas la fonction de départ.

6. 6

   Vérification en développant : $3(x-1)(x-3)=3(x^2-4x+3)=3x^2-12x+9$3(x-1)(x-3) = 3(x² - 4x + 3) = 3x² - 12x + 9. ✔

7. 7

   Pour l'inéquation, on utilise la règle du signe d'un trinôme : il est du signe de $a$a à l'EXTÉRIEUR des racines, et du signe contraire à l'INTÉRIEUR.

8. 8

   Ici $a=3>0$a = 3 > 0, donc $f(x)$f(x) est positif avant $1$1 et après $3$3, et négatif entre $1$1 et $3$3.

9. 9

   L'inéquation $f(x)⩽0$f(x) ≤ 0 est donc vérifiée pour $x\in [1;3]$x ∈ [1 ;3], les bornes étant incluses puisque l'inégalité est large et que $f$f s'y annule.

10. 10

    Vérification en testant un point intérieur : $f(2)=12-24+9=-3⩽0$f(2) = 12 - 24 + 9 = -3 ≤ 0 ✔.

11. 11

    Vérification en testant un point extérieur : $f(0)=9>0$f(0) = 9 > 0, donc $0$0 ne convient pas ✔ — cohérent avec la solution trouvée.

Rappel de cours : Signe d'un trinôme : du signe de $a$a à l'extérieur des racines, du signe opposé entre elles. « À l'intérieur, c'est le contraire ».

Erreur fréquente : Écrire $f(x)=(x-1)(x-3)$f(x) = (x-1)(x-3) en oubliant le facteur $a=3$a = 3. Le signe reste correct, mais la fonction est fausse.

Correction détaillée

1. 1

   Méthode dite de « complétion du carré » : on reconstitue une identité remarquable à partir des deux premiers termes.

2. 2

   On cherche le carré qui commence par $x^2-8x$x² - 8x.

   Comme $(x-4{)}^2=x^2-8x+16$(x-4)² = x² - 8x + 16, c'est $(x-4{)}^2$(x-4)² qu'il faut.

3. 3

   Le nombre $4$4 s'obtient en divisant par $2$2 le coefficient de $x$x : $-8÷2=-4$-8 ÷ 2 = -4.

4. 4

   On écrit alors $x^2-8x=(x-4{)}^2-16$x² - 8x = (x-4)² - 16, en retranchant le $16$16 ajouté en trop.

5. 5

   Donc $f(x)=(x-4{)}^2-16+11=(x-4{)}^2-5$f(x) = (x-4)² - 16 + 11 = (x-4)² - 5.

6. 6

   Vérification en redéveloppant : $(x-4{)}^2-5=x^2-8x+16-5=x^2-8x+11$(x-4)² - 5 = x² - 8x + 16 - 5 = x² - 8x + 11. ✔

7. 7

   Lecture directe : $\alpha =4$α = 4 et $\beta =-5$β = -5, donc le sommet est $S(4;-5)$S(4 ;-5).

8. 8

   Comme $a=1>0$a = 1 > 0, la fonction admet un MINIMUM valant $-5$-5, atteint pour $x=4$x = 4.

9. 9

   Deuxième vérification, par le calcul d'image : $f(4)=16-32+11=-5$f(4) = 16 - 32 + 11 = -5. ✔

10. 10

    Contrôle de cohérence : $f(3)=9-24+11=-4$f(3) = 9 - 24 + 11 = -4 et $f(5)=25-40+11=-4$f(5) = 25 - 40 + 11 = -4.

    Ces deux valeurs sont égales et supérieures à $-5$-5, ce qui confirme à la fois le minimum et la symétrie autour de $x=4$x = 4. ✔

11. 11

    Remarque : l'abscisse du sommet peut aussi se calculer par la formule $\alpha =-\frac{b}{2a}=\frac{8}{2}=4$α = -b/2a = 8/2 = 4, puis $\beta =f(4)=-5$β = f(4) = -5.

    C'est souvent plus rapide.

Rappel de cours : $\alpha =-\frac{b}{2a}$α = -b/2a et $\beta =f(\alpha )$β = f(α) : deux calculs suffisent pour la forme canonique, sans complétion du carré.

Erreur fréquente : Écrire $x^2-8x=(x-4{)}^2$x²-8x = (x-4)². Il manque la compensation : le développement ajoute $16$16, qu'il faut retrancher.

Correction détaillée

1. 1

   Racines : $a=1$a = 1, $b=-1$b = -1, $c=-6$c = -6, donc $\Delta =1-4\times 1\times (-6)=1+24=25$Δ = 1 - 4 × 1 × (-6) = 1 + 24 = 25.

2. 2

   Attention au signe : $-4ac=-4\times 1\times (-6)=+24$-4ac = -4 × 1 × (-6) = +24.

   Deux signes moins donnent un plus.

3. 3

   $\sqrt{25}=5$√(25) = 5, donc $x_1=\frac{1-5}{2}=-2$x₁ = (1-5)/2 = -2 et $x_2=\frac{1+5}{2}=3$x₂ = (1+5)/2 = 3.

4. 4

   Contrôle : somme $-2+3=1=-\frac{b}{a}$-2 + 3 = 1 = -b/a ✔ et produit $-2\times 3=-6=\frac{c}{a}$-2 × 3 = -6 = c/a ✔.

5. 5

   Forme factorisée : $f(x)=(x+2)(x-3)$f(x) = (x+2)(x-3).

6. 6

   Tableau de signes, sur $]-\infty ;-2[$]-∞ ;-2[ : les deux facteurs sont négatifs, leur produit est positif.

7. 7

   Sur $]-2;3[$]-2 ;3[ : $(x+2)$(x+2) est positif et $(x-3)$(x-3) négatif, donc le produit est négatif.

8. 8

   Sur $]3;+\infty [$]3 ;+∞[ : les deux facteurs sont positifs, le produit est positif.

9. 9

   On retrouve la règle générale : le trinôme est du signe de $a$a (positif ici) à l'extérieur des racines, et du signe contraire entre elles.

10. 10

    Solutions : $f(x)⩽0$f(x) ≤ 0 pour $x\in [-2;3]$x ∈ [-2 ;3], et $f(x)>0$f(x) > 0 pour $x\in ]-\infty ;-2[\cup ]3;+\infty [$x ∈ ]-∞ ;-2[ ∪ ]3 ;+∞[.

11. 11

    Vérification par un point test dans chaque zone : $f(-3)=9+3-6=6>0$f(-3) = 9 + 3 - 6 = 6 > 0 ✔, $f(0)=-6<0$f(0) = -6 < 0 ✔, $f(4)=16-4-6=6>0$f(4) = 16 - 4 - 6 = 6 > 0 ✔.

12. 12

    Attention aux crochets : l'inégalité large $⩽$≤ inclut les racines, l'inégalité stricte $>$> les exclut.

    C'est une source récurrente de points perdus.

Rappel de cours : Un test numérique dans chaque intervalle valide un tableau de signes en trois calculs. À faire systématiquement.

Erreur fréquente : Se tromper de signe dans $\Delta$Δ en écrivant $1-24=-23$1 - 24 = -23 et conclure « pas de racine ». Le produit $-4ac$-4ac est ici positif.

Correction détaillée

1. 1

   Les racines sont les abscisses des points où la courbe COUPE l'axe des abscisses.

   On lit $x=1$x = 1 et $x=3$x = 3.

2. 2

   Le sommet est le point le plus bas de la courbe : on lit $S(2;-1)$S(2 ;-1).

3. 3

   Contrôle immédiat : l'abscisse du sommet est le milieu des deux racines, $\frac{1+3}{2}=2$(1+3)/2 = 2. ✔ C'est une conséquence de la symétrie de la parabole.

4. 4

   Pour $f(x)<0$f(x) < 0, on cherche les valeurs de $x$x pour lesquelles la courbe est STRICTEMENT en dessous de l'axe des abscisses.

5. 5

   C'est le cas entre les deux racines, donc la solution est $]1;3[$]1 ;3[, bornes exclues car en $1$1 et $3$3 la fonction vaut $0$0, pas moins.

6. 6

   Vérification par le calcul des racines : $\Delta =16-12=4$Δ = 16 - 12 = 4, donc $\sqrt{\Delta }=2$√(Δ) = 2.

7. 7

   $x_1=\frac{4-2}{2}=1$x₁ = (4-2)/2 = 1 et $x_2=\frac{4+2}{2}=3$x₂ = (4+2)/2 = 3. ✔ Les lectures graphiques sont confirmées.

8. 8

   Sommet par le calcul : $\alpha =-\frac{b}{2a}=\frac{4}{2}=2$α = -b/2a = 4/2 = 2, puis $\beta =f(2)=4-8+3=-1$β = f(2) = 4 - 8 + 3 = -1. ✔

9. 9

   Forme canonique correspondante : $f(x)=(x-2{)}^2-1$f(x) = (x-2)² - 1, qu'on peut aussi obtenir en développant pour contrôler.

10. 10

    Forme factorisée : $f(x)=(x-1)(x-3)$f(x) = (x-1)(x-3).

    Les trois écritures cohabitent et donnent chacune une lecture différente de la même parabole.

Rappel de cours : L'abscisse du sommet est toujours le milieu des racines quand elles existent : $\alpha =\frac{x_1+x_2}{2}$α = (x₁+x₂)/2.

Erreur fréquente : Inclure les bornes dans la solution de $f(x)<0$f(x) < 0. En $x=1$x=1 et $x=3$x=3, $f$f vaut exactement $0$0 : l'inégalité stricte les exclut.

Correction détaillée

1. 1

   On factorise d'abord par $a=-2$a = -2 les deux premiers termes : $-2x^2+8x=-2\left(x^2-4x\right)$-2x² + 8x = -2(x² - 4x).

2. 2

   Attention au signe : $8x$8x divisé par $-2$-2 donne $-4x$-4x.

   C'est l'étape où les erreurs se produisent.

3. 3

   On complète le carré à l'intérieur : $x^2-4x=(x-2{)}^2-4$x² - 4x = (x-2)² - 4.

4. 4

   Donc $-2\left[(x-2{)}^2-4\right]=-2(x-2{)}^2+8$-2[(x-2)² - 4] = -2(x-2)² + 8.

5. 5

   En ajoutant le $-3$-3 restant : $f(x)=-2(x-2{)}^2+8-3=-2(x-2{)}^2+5$f(x) = -2(x-2)² + 8 - 3 = -2(x-2)² + 5.

6. 6

   Vérification en développant : $-2(x^2-4x+4)+5=-2x^2+8x-8+5=-2x^2+8x-3$-2(x²-4x+4) + 5 = -2x² + 8x - 8 + 5 = -2x² + 8x - 3. ✔

7. 7

   Le sommet est donc $S(2;5)$S(2 ;5), et l'axe de symétrie a pour équation $x=2$x = 2.

8. 8

   Sens de variation : comme $a=-2<0$a = -2 < 0, la parabole est tournée vers le bas.

   La fonction est donc CROISSANTE sur $]-\infty ;2]$]-∞ ;2] puis DÉCROISSANTE sur $[2;+\infty [$[2 ;+∞[.

9. 9

   Justification sans dérivée : $(x-2{)}^2$(x-2)² diminue quand $x$x se rapproche de $2$2 et augmente quand il s'en éloigne ; multiplié par $-2$-2, le sens s'inverse.

10. 10

    Le maximum vaut donc $5$5, atteint pour $x=2$x = 2.

11. 11

    Vérification numérique : $f(2)=-8+16-3=5$f(2) = -8 + 16 - 3 = 5 ✔, $f(1)=-2+8-3=3$f(1) = -2 + 8 - 3 = 3 et $f(3)=-18+24-3=3$f(3) = -18 + 24 - 3 = 3.

12. 12

    Ces deux dernières valeurs sont égales et inférieures à $5$5 : la symétrie autour de $x=2$x = 2 et le maximum sont confirmés. ✔

Rappel de cours : $a<0$a < 0 : croissante puis décroissante (maximum au sommet). $a>0$a > 0 : décroissante puis croissante (minimum au sommet).

Erreur fréquente : Oublier de multiplier le $-4$-4 par $-2$-2 en sortant du crochet. On obtiendrait $+1$+1 au lieu de $+5$+5 comme valeur maximale.

Correction détaillée

1. 1

   Le périmètre d'un rectangle vaut $2\times (\text{largeur}+\text{longueur})$2 × ( largeur + longueur ), et il doit être égal à $40$40 m.

2. 2

   Donc largeur $+$+ longueur $=20$= 20, et la longueur vaut $20-x$20 - x.

3. 3

   Aire : $A(x)=x(20-x)=20x-x^2$A(x) = x(20 - x) = 20x - x², soit $A(x)=-x^2+20x$A(x) = -x² + 20x.

4. 4

   Domaine : il faut $x>0$x > 0 (une largeur est positive) et $20-x>0$20 - x > 0, donc $x<20$x < 20.

   Le problème a un sens pour $x\in ]0;20[$x ∈ ]0 ;20[.

5. 5

   Cette question n'est pas décorative : sans elle, on pourrait « trouver » des dimensions négatives.

6. 6

   Pour le maximum, on met $A$A sous forme canonique.

   $-x^2+20x=-\left(x^2-20x\right)$-x² + 20x = -(x² - 20x).

7. 7

   $x^2-20x=(x-10{)}^2-100$x² - 20x = (x-10)² - 100, donc $A(x)=-\left[(x-10{)}^2-100\right]=-(x-10{)}^2+100$A(x) = -[(x-10)² - 100] = -(x-10)² + 100.

8. 8

   Comme $a=-1<0$a = -1 < 0, l'aire est maximale au sommet : $A_{\max }=100$A_max = 100 m², atteinte pour $x=10$x = 10 m.

9. 9

   Dimensions correspondantes : largeur $10$10 m et longueur $20-10=10$20 - 10 = 10 m.

   L'enclos optimal est donc un CARRÉ.

10. 10

    Vérification que $x=10$x = 10 appartient bien au domaine $]0;20[$]0 ;20[. ✔

11. 11

    Contrôle par comparaison : $x=8$x = 8 donne $8\times 12=96$8 × 12 = 96 m², $x=9$x = 9 donne $9\times 11=99$9 × 11 = 99 m², $x=10$x = 10 donne $100$100 m², $x=12$x = 12 donne $12\times 8=96$12 × 8 = 96 m². ✔ Le maximum est bien en $10$10.

12. 12

    Résultat général qu'il est utile de connaître : à périmètre fixé, c'est toujours le carré qui donne l'aire maximale parmi les rectangles.

Rappel de cours : Optimiser un trinôme, c'est trouver son sommet : on passe par la forme canonique, ou directement par $\alpha =-\frac{b}{2a}$α = -b/2a.

Erreur fréquente : Écrire longueur $=40-x$= 40 - x en confondant périmètre et demi-périmètre. Le périmètre comporte DEUX largeurs et DEUX longueurs.

Correction détaillée

1. 1

   On ne peut pas étudier le signe d'un trinôme tant que l'inéquation n'est pas comparée à ZÉRO.

   C'est la première étape, obligatoire.

2. 2

   On retranche $8$8 aux deux membres : $x^2+2x-8>0$x² + 2x - 8 > 0.

3. 3

   On étudie donc le signe de $f(x)=x^2+2x-8$f(x) = x² + 2x - 8, avec $a=1$a = 1, $b=2$b = 2, $c=-8$c = -8.

4. 4

   $\Delta =2^2-4\times 1\times (-8)=4+32=36$Δ = 2² - 4 × 1 × (-8) = 4 + 32 = 36.

5. 5

   $\sqrt{36}=6$√(36) = 6, donc $x_1=\frac{-2-6}{2}=-4$x₁ = (-2-6)/2 = -4 et $x_2=\frac{-2+6}{2}=2$x₂ = (-2+6)/2 = 2.

6. 6

   Contrôle : somme $-4+2=-2=-\frac{b}{a}$-4 + 2 = -2 = -b/a ✔ et produit $-4\times 2=-8=\frac{c}{a}$-4 × 2 = -8 = c/a ✔.

7. 7

   Comme $a=1>0$a = 1 > 0, le trinôme est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles.

8. 8

   L'inéquation $f(x)>0$f(x) > 0 est donc vérifiée pour $x<-4$x < -4 ou $x>2$x > 2, c'est-à-dire $S=]-\infty ;-4[\cup ]2;+\infty [$S = ]-∞ ;-4[ ∪ ]2 ;+∞[.

9. 9

   Les bornes sont exclues car l'inégalité est stricte et le trinôme s'annule en $-4$-4 et $2$2.

10. 10

    Vérification avec $x=3$x = 3 : $9+6=15>8$9 + 6 = 15 > 8 ✔.

    Avec $x=-5$x = -5 : $25-10=15>8$25 - 10 = 15 > 8 ✔.

11. 11

    Vérification qu'une valeur intérieure ne convient pas, avec $x=0$x = 0 : $0>8$0 > 8 est faux ✔ — cohérent, puisque $0$0 est entre les racines.

12. 12

    Erreur à éviter absolument : « simplifier » par $x$x pour obtenir $x+2>8$x + 2 > 8.

    On ne divise jamais une inéquation par une expression dont le signe est inconnu — et cela ferait de plus disparaître une solution.

Rappel de cours : Toute inéquation du second degré se ramène d'abord à « $\dots >0$… > 0 » ou « $\dots <0$… < 0 », puis se résout par le tableau de signes.

Erreur fréquente : Diviser les deux membres par $x$x. Le signe de $x$x est inconnu, donc le sens de l'inégalité aussi : la manipulation est interdite.