Exercices corrigés : Pourcentages et taux d'évolution — Première générale

Correction détaillée

1. 1

   Le taux d'évolution mesure la variation RELATIVE : de combien la grandeur a-t-elle varié, rapporté à ce qu'elle valait au départ.

2. 2

   La formule est $t=\frac{V_{\text{arriveˊe}}-V_{\text{deˊpart}}}{V_{\text{deˊpart}}}$t = (V_arrivée - V_départ)/V_départ, le résultat étant ensuite converti en pourcentage.

3. 3

   Le dénominateur est TOUJOURS la valeur de départ.

   C'est ce qui donne son sens à la comparaison : augmenter de $54$54 € n'a pas la même portée sur un loyer de $720$720 € ou de $2000$2 000 €.

4. 4

   On calcule d'abord la variation absolue : $774-720=54$774 - 720 = 54 €.

5. 5

   Puis le rapport : $t=\frac{54}{720}$t = 54/720.

6. 6

   Pour simplifier, on remarque que $54$54 et $720$720 sont divisibles par $18$18 : $\frac{54}{720}=\frac{3}{40}$54/720 = 3/40.

7. 7

   $\frac{3}{40}=\frac{7,5}{100}=0,075$3/40 = 7,5/100 = 0,075, soit $7,5\%$7,5 %.

8. 8

   Vérification par le calcul direct : $720\times 1,075=720+720\times 0,075=720+54=774$720 × 1,075 = 720 + 720 × 0,075 = 720 + 54 = 774 €. ✔

9. 9

   Contrôle de vraisemblance : $54$54 € représentent un peu plus de $7\%$7 % de $720$720 € ($10\%$10 % vaudraient $72$72 €).

   Le résultat est cohérent. ✔

Rappel de cours : $t=\frac{V_A-V_D}{V_D}$t = (V_A - V_D)/V_D : le dénominateur est la valeur de DÉPART, jamais celle d'arrivée.

Erreur fréquente : Diviser par $774$774 au lieu de $720$720. On trouverait environ $6,98\%$6,98 % — une valeur plausible en apparence, donc difficile à repérer sans vérification.

Correction détaillée

1. 1

   Le coefficient multiplicateur (noté CM) est le nombre par lequel on multiplie la valeur de départ pour obtenir la valeur d'arrivée.

2. 2

   Sa formule est $CM=1+\frac{t}{100}$CM = 1 + t/100, où $t$t est le taux SIGNÉ : positif pour une hausse, négatif pour une baisse.

3. 3

   Le $1$1 représente la valeur initiale conservée ($100\%$100 %) ; le second terme représente ce qu'on lui ajoute ou retire.

4. 4

   $+7,5\%$+7,5 % : $CM=1+0,075=1,075$CM = 1 + 0,075 = 1,075.

5. 5

   $-12\%$-12 % : $CM=1+(-0,12)=0,88$CM = 1 + (-0,12) = 0,88.

   On peut aussi le lire directement : après une baisse de $12\%$12 %, il reste $88\%$88 % de la valeur.

6. 6

   $+100\%$+100 % : $CM=1+1=2$CM = 1 + 1 = 2.

   Augmenter de $100\%$100 %, c'est doubler — une équivalence à connaître par cœur.

7. 7

   $-100\%$-100 % : $CM=1-1=0$CM = 1 - 1 = 0.

   La grandeur disparaît complètement.

   C'est d'ailleurs pourquoi une baisse ne peut jamais dépasser $100\%$100 %.

8. 8

   $+0,5\%$+0,5 % : $CM=1+0,005=1,005$CM = 1 + 0,005 = 1,005.

   Attention à ne pas écrire $1,05$1,05, qui correspondrait à $+5\%$+5 %, soit dix fois plus.

9. 9

   Repère utile pour se relire : un CM supérieur à $1$1 traduit une hausse, un CM compris entre $0$0 et $1$1 traduit une baisse.

   Un CM négatif n'a aucun sens.

Rappel de cours : $CM=1+\frac{t}{100}$CM = 1 + t/100. Hausse → $CM>1$CM > 1 · baisse → $0<CM<1$0 < CM < 1.

Erreur fréquente : Pour $+0,5\%$+0,5 %, écrire $1,05$1,05. L'erreur d'un facteur $10$10 sur les taux décimaux est extrêmement fréquente : on divise toujours le taux par $100$100, pas par $10$10.

Correction détaillée

1. 1

   On inverse la formule précédente.

   De $CM=1+\frac{t}{100}$CM = 1 + t/100, on tire $t=(CM-1)\times 100$t = (CM - 1) × 100.

2. 2

   Autrement dit : on retranche $1$1, puis on multiplie par $100$100.

   Le signe obtenu indique le sens de l'évolution.

3. 3

   $CM=1,24$CM = 1,24 : $t=(1,24-1)\times 100=24$t = (1,24 - 1) × 100 = 24, soit une hausse de $24\%$24 %.

4. 4

   $CM=0,91$CM = 0,91 : $t=(0,91-1)\times 100=-9$t = (0,91 - 1) × 100 = -9, soit une baisse de $9\%$9 %.

5. 5

   On peut le lire plus vite : il reste $91\%$91 % de la valeur, donc on a perdu $9\%$9 %.

6. 6

   $CM=1,005$CM = 1,005 : $t=0,5$t = 0,5, soit une hausse de $0,5\%$0,5 %.

7. 7

   $CM=0,4$CM = 0,4 : $t=(0,4-1)\times 100=-60$t = (0,4 - 1) × 100 = -60, soit une baisse de $60\%$60 %.

   Il ne reste que $40\%$40 % de la valeur initiale.

8. 8

   $CM=3$CM = 3 : $t=(3-1)\times 100=200$t = (3 - 1) × 100 = 200, soit une hausse de $200\%$200 %.

   La grandeur a triplé.

9. 9

   Attention à ce dernier cas : tripler correspond à $+200\%$+200 %, et non à $+300\%$+300 %.

   Le CM vaut $3$3, mais le taux vaut $200\%$200 % — c'est le $1$1 initial qu'on retranche.

Rappel de cours : $t=(CM-1)\times 100$t = (CM - 1) × 100. Doubler $=+100\%$= +100 % · tripler $=+200\%$= +200 % · diviser par deux $=-50\%$= -50 %.

Erreur fréquente : Lire $CM=3$CM = 3 comme $+300\%$+300 %. Une hausse de $300\%$300 % correspondrait à $CM=4$CM = 4, c'est-à-dire à une multiplication par quatre.

Correction détaillée

1. 1

   On passe par le coefficient multiplicateur : c'est le réflexe à installer, car il permet une seule opération au lieu de deux.

2. 2

   $CM=1+\frac{4}{100}=1,04$CM = 1 + 4/100 = 1,04.

3. 3

   Nouveau tarif : $34,50\times 1,04$34,50 × 1,04.

4. 4

   Calcul décomposé, utile sans calculatrice : $34,50\times 1,04=34,50+34,50\times 0,04$34,50 × 1,04 = 34,50 + 34,50 × 0,04.

5. 5

   $34,50\times 0,04=34,50\times 4÷100=138÷100=1,38$34,50 × 0,04 = 34,50 × 4 ÷ 100 = 138 ÷ 100 = 1,38 €.

6. 6

   Nouveau tarif : $34,50+1,38=35,88$34,50 + 1,38 = 35,88 €.

7. 7

   Vérification par le taux : l'augmentation vaut $1,38$1,38 € sur $34,50$34,50 €, soit $\frac{1,38}{34,50}=0,04$1,38/34,50 = 0,04. ✔

8. 8

   Contrôle de vraisemblance : $4\%$4 % c'est un peu moins que $5\%$5 %, lequel vaudrait environ $1,73$1,73 €.

   Une hausse de $1,38$1,38 € est cohérente. ✔

Rappel de cours : Une seule multiplication suffit : $V_A=V_D\times CM$V_A = V_D × CM. Inutile de calculer l'augmentation puis de l'ajouter.

Erreur fréquente : Répondre $1,38$1,38 €. C'est le montant de la hausse, pas le nouveau tarif — une erreur de lecture de l'énoncé, pas de calcul.

Correction détaillée

1. 1

   On connaît la valeur d'arrivée et on cherche celle de départ : on effectue donc l'opération INVERSE de la multiplication, c'est-à-dire une division.

2. 2

   La relation $V_A=V_D\times CM$V_A = V_D × CM donne $V_D=\frac{V_A}{CM}$V_D = V_A/CM.

3. 3

   Ici $CM=1,15$CM = 1,15, donc $V_D=\frac{92}{1,15}$V_D = 92/1,15.

4. 4

   Pour simplifier le calcul, on multiplie numérateur et dénominateur par $100$100 : $\frac{9200}{115}$(9 200)/115.

5. 5

   $115\times 80=9200$115 × 80 = 9 200, donc $V_D=80$V_D = 80 €.

6. 6

   Vérification : $80\times 1,15=80+12=92$80 × 1,15 = 80 + 12 = 92 €. ✔

7. 7

   Erreur à ne surtout pas commettre : retrancher $15\%$15 % à $92$92 €.

   On obtiendrait $92\times 0,85=78,20$92 × 0,85 = 78,20 €, ce qui est faux.

8. 8

   Pourquoi ?

   Parce que les $15\%$15 % se calculent sur le prix INITIAL ($80$80 €, soit $12$12 €), pas sur le prix final ($92$92 €, ce qui donnerait $13,80$13,80 €).

   Les deux bases sont différentes.

Rappel de cours : Pour remonter à la valeur de départ, on DIVISE par le coefficient. On n'applique jamais l'évolution inverse au taux.

Erreur fréquente : Calculer $92\times 0,85=78,20$92 × 0,85 = 78,20 €. La vérification ($78,20\times 1,15=89,93\ne 92$78,20 × 1,15 = 89,93 ≠ 92) démasque immédiatement l'erreur.

Correction détaillée

1. 1

   On applique la formule du taux d'évolution, sans se laisser troubler par le fait que la grandeur diminue.

2. 2

   Variation absolue : $11875-12500=-625$11 875 - 12 500 = -625 habitants.

   Le signe négatif traduit la baisse : il faut le conserver.

3. 3

   $t=\frac{-625}{12500}$t = (-625)/(12 500).

4. 4

   On simplifie : $\frac{625}{12500}=\frac{1}{20}$625/(12 500) = 1/20, car $12500=625\times 20$12 500 = 625 × 20.

5. 5

   $\frac{1}{20}=0,05$1/20 = 0,05, donc $t=-0,05$t = -0,05, soit une baisse de $5\%$5 %.

6. 6

   Coefficient multiplicateur : $CM=1+(-0,05)=0,95$CM = 1 + (-0,05) = 0,95.

7. 7

   On peut aussi l'obtenir directement, sans passer par le taux : $CM=\frac{V_A}{V_D}=\frac{11875}{12500}=0,95$CM = V_A/V_D = (11 875)/(12 500) = 0,95.

8. 8

   Cette seconde méthode est souvent la plus rapide : on calcule le CM d'abord, et le taux s'en déduit par $t=(CM-1)\times 100$t = (CM-1) × 100.

9. 9

   Vérification : $12500\times 0,95=12500-625=11875$12 500 × 0,95 = 12 500 - 625 = 11 875. ✔

Rappel de cours : Raccourci efficace : $CM=\frac{V_A}{V_D}$CM = V_A/V_D directement, puis $t=(CM-1)\times 100$t = (CM-1)× 100. Une seule division au lieu d'une soustraction suivie d'une division.

Erreur fréquente : Écrire le taux $+5\%$+5 % en oubliant le signe. Le sens de l'évolution fait partie de la réponse.

Correction détaillée

1. 1

   Le point essentiel du chapitre : deux évolutions successives ne s'ADDITIONNENT pas, elles se composent par MULTIPLICATION des coefficients.

2. 2

   Pourquoi ?

   Parce que la seconde évolution s'applique au prix DÉJÀ augmenté, pas au prix initial.

3. 3

   Coefficient de la première évolution : $C{M}_1=1,20$CM₁ = 1,20.

4. 4

   Coefficient de la seconde : $C{M}_2=1,15$CM₂ = 1,15.

5. 5

   Coefficient global : $CM=C{M}_1\times C{M}_2=1,20\times 1,15$CM = CM₁ × CM₂ = 1,20 × 1,15.

6. 6

   Calcul : $1,20\times 1,15=1,20+1,20\times 0,15=1,20+0,18=1,38$1,20 × 1,15 = 1,20 + 1,20 × 0,15 = 1,20 + 0,18 = 1,38.

7. 7

   Taux global : $t=(1,38-1)\times 100=38\%$t = (1,38 - 1) × 100 = 38 %.

8. 8

   Le résultat n'est donc PAS $20+15=35\%$20 + 15 = 35 %, mais $38\%$38 %.

   L'écart de $3$3 points vient de la hausse de $15\%$15 % appliquée aux $20\%$20 % déjà gagnés.

9. 9

   Illustration sur $100$100 € : après la première hausse, $120$120 € ; après la seconde, $120\times 1,15=138$120 × 1,15 = 138 €.

   On a bien gagné $38$38 € sur $100$100, soit $38\%$38 %. ✔

10. 10

    Remarque : l'ordre des deux évolutions n'a aucune importance, puisque la multiplication est commutative.

    $1,15\times 1,20$1,15 × 1,20 donne le même $1,38$1,38.

Rappel de cours : $C{M}_{\text{global}}=C{M}_1\times C{M}_2\times \dots$CM_global = CM₁ × CM₂ × … — on multiplie les coefficients, jamais on n'additionne les taux.

Erreur fréquente : Additionner $20+15=35\%$20 + 15 = 35 %. C'est l'erreur la plus sanctionnée du chapitre, et elle passe inaperçue car le résultat semble raisonnable.

Correction détaillée

1. 1

   « Revenir au prix initial » signifie que le coefficient global vaut exactement $1$1 : la valeur finale est égale à la valeur de départ.

2. 2

   On cherche donc $C{M}_2$CM₂ tel que $C{M}_1\times C{M}_2=1$CM₁ × CM₂ = 1.

3. 3

   Le coefficient recherché est l'INVERSE du premier : $C{M}_2=\frac{1}{C{M}_1}$CM₂ = 1/CM₁.

   On l'appelle coefficient de l'évolution réciproque.

4. 4

   Ici $C{M}_1=1,25$CM₁ = 1,25, donc $C{M}_2=\frac{1}{1,25}$CM₂ = 1/1,25.

5. 5

   $\frac{1}{1,25}=\frac{100}{125}=\frac{4}{5}=0,8$1/1,25 = 100/125 = 4/5 = 0,8.

6. 6

   Taux correspondant : $t=(0,8-1)\times 100=-20$t = (0,8 - 1) × 100 = -20, soit une baisse de $20\%$20 %.

7. 7

   Il faut donc baisser de $20\%$20 %, et non de $25\%$25 %.

8. 8

   Vérification sur $200$200 € : après $+25\%$+25 %, on a $250$250 € ; après $-20\%$-20 %, on a $250\times 0,8=200$250 × 0,8 = 200 €.

   On est bien revenu au départ. ✔

9. 9

   Interprétation : la baisse s'applique à une base plus grande ($250$250 € au lieu de $200$200 €), il faut donc un pourcentage PLUS PETIT pour retirer le même montant de $50$50 €.

10. 10

    Règle qui en découle : la baisse réciproque d'une hausse est toujours inférieure à cette hausse, en valeur de taux.

Rappel de cours : Évolution réciproque : $C{M}^{\prime }=\frac{1}{CM}$CM' = 1/CM. Le taux réciproque n'est jamais l'opposé du taux initial.

Erreur fréquente : Répondre $-25\%$-25 %. On obtiendrait $1,25\times 0,75=0,9375$1,25 × 0,75 = 0,9375, soit une baisse globale de $6,25\%$6,25 % au lieu d'un retour au point de départ.

Correction détaillée

1. 1

   On ne peut pas comparer en additionnant les taux : les deux placements donneraient $10\%$10 %, et l'exercice n'aurait pas de sens.

   Il faut passer par les coefficients globaux.

2. 2

   Placement A : $C{M}_A=1,08\times 1,02$CM_A = 1,08 × 1,02.

3. 3

   $1,08\times 1,02=1,08+1,08\times 0,02=1,08+0,0216=1,1016$1,08 × 1,02 = 1,08 + 1,08 × 0,02 = 1,08 + 0,0216 = 1,1016.

4. 4

   Taux global de A : $(1,1016-1)\times 100=10,16\%$(1,1016 - 1) × 100 = 10,16 %.

5. 5

   Placement B : $C{M}_B=1,05\times 1,05=1,05^2$CM_B = 1,05 × 1,05 = 1,05².

6. 6

   $1,05^2=1,05+1,05\times 0,05=1,05+0,0525=1,1025$1,05² = 1,05 + 1,05 × 0,05 = 1,05 + 0,0525 = 1,1025.

7. 7

   Taux global de B : $10,25\%$10,25 %.

8. 8

   Comme $1,1025>1,1016$1,1025 > 1,1016, le placement B est légèrement plus avantageux.

9. 9

   L'écart est faible : sur $10000$10 000 € placés, A rapporte $1016$1 016 € et B rapporte $1025$1 025 €, soit $9$9 € de différence.

10. 10

    Interprétation mathématique : à somme de taux égale, la répartition la plus ÉQUILIBRÉE donne toujours le meilleur résultat.

    C'est une propriété générale des produits à somme fixée.

Rappel de cours : Deux évolutions dont les taux ont la même somme ne donnent pas le même résultat : la répartition équilibrée l'emporte toujours.

Erreur fréquente : Conclure « c'est pareil, $8+2=5+5=10\%$8+2 = 5+5 = 10 % ». C'est précisément ce que l'exercice cherche à faire dire — et c'est faux.

Correction détaillée

1. 1

   Ces deux formulations décrivent la même réalité, mais elles ne se calculent pas de la même manière et n'ont pas la même valeur.

2. 2

   Le POINT de pourcentage mesure l'écart absolu entre deux pourcentages.

   C'est une simple soustraction.

3. 3

   $6,9-7,5=-0,6$6,9 - 7,5 = -0,6.

   Le taux de chômage a donc baissé de $0,6$0,6 point de pourcentage.

4. 4

   Le POURCENTAGE D'ÉVOLUTION mesure la variation relative du taux lui-même, rapportée à sa valeur de départ.

5. 5

   $t=\frac{6,9-7,5}{7,5}=\frac{-0,6}{7,5}$t = (6,9 - 7,5)/7,5 = (-0,6)/7,5.

6. 6

   $\frac{0,6}{7,5}=\frac{6}{75}=\frac{2}{25}=0,08$0,6/7,5 = 6/75 = 2/25 = 0,08, donc $t=-8\%$t = -8 %.

7. 7

   Le chômage a donc baissé de $0,6$0,6 point, ce qui représente une baisse de $8\%$8 % du chômage.

8. 8

   Vérification : $7,5\times 0,92=6,9$7,5 × 0,92 = 6,9. ✔

9. 9

   Pourquoi cette distinction est-elle importante ?

   Parce que les deux chiffres racontent la même chose avec des ampleurs très différentes — $0,6$0,6 paraît minime, $8\%$8 % paraît notable.

   Les deux sont pourtant exacts.

10. 10

    Règle de vocabulaire : quand la grandeur qui évolue est ELLE-MÊME un pourcentage, on parle de points pour l'écart absolu, et de pourcentage pour l'écart relatif.

Rappel de cours : Écart entre deux pourcentages → POINTS · évolution relative de ce pourcentage → POURCENTAGE.

Erreur fréquente : Dire « le chômage a baissé de $0,6\%$0,6 % ». Une baisse de $0,6\%$0,6 % donnerait $7,5\times 0,994=7,455\%$7,5 × 0,994 = 7,455 %, ce qui n'a rien à voir avec $6,9\%$6,9 %.

Correction détaillée

1. 1

   La méthode ne change pas avec le nombre d'évolutions : on multiplie tous les coefficients, quel que soit leur sens.

2. 2

   $C{M}_1=1,10$CM₁ = 1,10 (hausse de $10\%$10 %).

3. 3

   $C{M}_2=0,95$CM₂ = 0,95 (baisse de $5\%$5 %).

4. 4

   $C{M}_3=1,08$CM₃ = 1,08 (hausse de $8\%$8 %).

5. 5

   Coefficient global : $CM=1,10\times 0,95\times 1,08$CM = 1,10 × 0,95 × 1,08.

6. 6

   On procède par étapes pour limiter les erreurs.

   D'abord $1,10\times 0,95=1,045$1,10 × 0,95 = 1,045.

7. 7

   Puis $1,045\times 1,08=1,045+1,045\times 0,08=1,045+0,0836=1,1286$1,045 × 1,08 = 1,045 + 1,045 × 0,08 = 1,045 + 0,0836 = 1,1286.

8. 8

   Taux global : $t=(1,1286-1)\times 100=12,86\%$t = (1,1286 - 1) × 100 = 12,86 %.

9. 9

   Le chiffre d'affaires a donc augmenté de $12,86\%$12,86 % sur les trois années.

10. 10

    Vérification sur une base de $100$100 : $100\to 110\to 104,5\to 112,86$100 → 110 → 104,5 → 112,86.

    On retrouve bien $+12,86\%$+12,86 %. ✔

11. 11

    Remarque : la somme naïve des taux donnerait $10-5+8=13\%$10 - 5 + 8 = 13 %.

    L'écart avec la valeur exacte est faible ici, mais il croît vite avec l'ampleur des taux.

Rappel de cours : Prendre $100$100 comme valeur de départ fictive est la meilleure façon de vérifier un enchaînement d'évolutions : le résultat se lit directement en pourcentage.

Erreur fréquente : Additionner les taux signés ($+13\%$+13 %). Le résultat approché est parfois proche, ce qui rend l'erreur d'autant plus insidieuse.

Correction détaillée

1. 1

   On connaît le coefficient global et l'un des deux coefficients : on retrouve l'autre par division.

2. 2

   De $C{M}_1\times C{M}_2=C{M}_{\text{global}}$CM₁ × CM₂ = CM_global, on tire $C{M}_2=\frac{C{M}_{\text{global}}}{C{M}_1}$CM₂ = CM_global/CM₁.

3. 3

   Coefficient de la première évolution : $C{M}_1=1,25$CM₁ = 1,25.

4. 4

   Coefficient global : une baisse de $10\%$10 % donne $C{M}_{\text{global}}=0,90$CM_global = 0,90.

5. 5

   $C{M}_2=\frac{0,90}{1,25}$CM₂ = 0,90/1,25.

6. 6

   Pour calculer sans calculatrice, on multiplie haut et bas par $100$100 : $\frac{90}{125}$90/125.

   En simplifiant par $5$5 : $\frac{18}{25}$18/25.

7. 7

   $\frac{18}{25}=\frac{72}{100}=0,72$18/25 = 72/100 = 0,72.

8. 8

   Taux correspondant : $t=(0,72-1)\times 100=-28$t = (0,72 - 1) × 100 = -28, soit une baisse de $28\%$28 %.

9. 9

   Vérification : $1,25\times 0,72=0,90$1,25 × 0,72 = 0,90. ✔ Et sur $100$100 € : $100\to 125\to 125\times 0,72=90$100 → 125 → 125 × 0,72 = 90 €, soit bien $-10\%$-10 %. ✔

10. 10

    Contrôle de vraisemblance : le prix a monté puis fini plus bas qu'au départ, donc la seconde évolution doit être une baisse forte — plus forte, en taux, que la hausse initiale.

    $-28\%$-28 % est cohérent. ✔

Rappel de cours : Coefficient manquant = coefficient global DIVISÉ par le coefficient connu.

Erreur fréquente : Soustraire les taux ($-10-25=-35\%$-10 - 25 = -35 %). Les taux ne s'additionnent ni ne se soustraient : seuls les coefficients se composent.

Correction détaillée

1. 1

   Un indice base $100$100 est un coefficient multiplicateur exprimé en base $100$100 plutôt qu'en base $1$1.

   Il permet de comparer des évolutions d'un coup d'œil.

2. 2

   Formule : $I=\frac{V}{V_{\text{base}}}\times 100$I = V/V_base × 100.

3. 3

   Indice 2024 : $I_{2024}=\frac{2640}{2400}\times 100$I₂₀₂₄ = (2 640)/(2 400) × 100.

4. 4

   $\frac{2640}{2400}=\frac{264}{240}=\frac{11}{10}=1,1$(2 640)/(2 400) = 264/240 = 11/10 = 1,1, donc $I_{2024}=110$I₂₀₂₄ = 110.

5. 5

   Lecture immédiate : un indice de $110$110 signifie une hausse de $10\%$10 % par rapport à l'année de base.

   C'est tout l'intérêt de cette écriture.

6. 6

   Pour 2025, on fait le chemin inverse : $V=\frac{I}{100}\times V_{\text{base}}=1,21\times 2400$V = I/100 × V_base = 1,21 × 2 400.

7. 7

   $1,21\times 2400=2400+0,21\times 2400=2400+504=2904$1,21 × 2 400 = 2 400 + 0,21 × 2 400 = 2 400 + 504 = 2 904 k€.

8. 8

   Pour l'évolution 2024 → 2025, attention : les deux indices sont calculés par rapport à 2023, pas l'un par rapport à l'autre.

9. 9

   On ne peut donc PAS écrire $121-110=11\%$121 - 110 = 11 %.

   Il faut passer par le rapport des indices.

10. 10

    $CM=\frac{I_{2025}}{I_{2024}}=\frac{121}{110}=1,1$CM = I₂₀₂₅/I₂₀₂₄ = 121/110 = 1,1, soit une hausse de $10\%$10 %.

11. 11

    Vérification directe : $\frac{2904}{2640}=1,1$(2 904)/(2 640) = 1,1. ✔ Les deux méthodes concordent.

12. 12

    Remarque intéressante : le chiffre d'affaires a progressé de $10\%$10 % deux années de suite, et l'indice est passé de $100$100 à $110$110 puis $121$121 — soit $1,1^2=1,21$1,1² = 1,21.

    Les indices se composent comme les coefficients.

Rappel de cours : Un indice se lit comme un CM $\times 100$× 100. Pour comparer deux années non consécutives à la base, on divise les indices.

Erreur fréquente : Soustraire les indices ($121-110=11$121 - 110 = 11) et annoncer $+11\%$+11 %. L'écart d'indices ne donne un pourcentage que par rapport à l'année de BASE.

Correction détaillée

1. 1

   On cherche un taux $t$t tel que, appliqué trois fois, il donne le coefficient global.

2. 2

   Autrement dit, on cherche $C{M}_m$CM_m tel que $C{M}_m\times C{M}_m\times C{M}_m=C{M}_{\text{global}}$CM_m × CM_m × CM_m = CM_global, c'est-à-dire $(C{M}_m{)}^3=C{M}_{\text{global}}$(CM_m)³ = CM_global.

3. 3

   Coefficient global : une hausse de $33,1\%$33,1 % donne $CM=1,331$CM = 1,331.

4. 4

   On doit donc résoudre $(C{M}_m{)}^3=1,331$(CM_m)³ = 1,331, soit $C{M}_m=1,331^{1/3}$CM_m = 1,331^(1/3) — la racine cubique.

5. 5

   Ici le nombre est reconnaissable : $1,1^3=1,1\times 1,1\times 1,1=1,21\times 1,1=1,331$1,1³ = 1,1 × 1,1 × 1,1 = 1,21 × 1,1 = 1,331.

6. 6

   Donc $C{M}_m=1,1$CM_m = 1,1.

7. 7

   Taux moyen annuel : $t=(1,1-1)\times 100=10\%$t = (1,1 - 1) × 100 = 10 %.

8. 8

   Vérification sur $100$100 habitants : $100\to 110\to 121\to 133,1$100 → 110 → 121 → 133,1.

   L'évolution globale est bien de $33,1\%$33,1 %. ✔

9. 9

   Point de méthode important : le taux moyen n'est PAS la moyenne arithmétique des taux annuels.

   Ici, diviser $33,1$33,1 par $3$3 donnerait environ $11,03\%$11,03 %, ce qui est faux.

10. 10

    Pourquoi ?

    Parce que les évolutions se composent multiplicativement.

    Le taux moyen est une moyenne GÉOMÉTRIQUE, pas arithmétique.

11. 11

    À la calculatrice, on obtient $C{M}_m$CM_m en tapant $1,331^{(1÷3)}$1,331^((1 ÷ 3)), ou en utilisant la touche racine $n$n-ième.

Rappel de cours : Taux moyen sur $n$n périodes : $C{M}_m={\left(C{M}_{\text{global}}\right)}^{1/n}$CM_m = (CM_global)^(1/n), puis $t=(C{M}_m-1)\times 100$t = (CM_m - 1) × 100.

Erreur fréquente : Diviser le taux global par le nombre d'années. C'est l'erreur systématique sur ce type de question, et elle donne toujours un résultat trop élevé.

Correction détaillée

1. 1

   On lit d'abord les quatre valeurs sur le graphique : année 1 : $200$200 ; année 2 : $240$240 ; année 3 : $216$216 ; année 4 : $270$270.

2. 2

   Évolution année 1 → année 2 : $CM=\frac{240}{200}=1,2$CM = 240/200 = 1,2, soit une hausse de $20\%$20 %.

3. 3

   Évolution année 2 → année 3 : $CM=\frac{216}{240}$CM = 216/240.

4. 4

   $\frac{216}{240}=\frac{27}{30}=\frac{9}{10}=0,9$216/240 = 27/30 = 9/10 = 0,9, soit une baisse de $10\%$10 %.

5. 5

   Évolution globale année 1 → année 4 : $CM=\frac{270}{200}=1,35$CM = 270/200 = 1,35, soit une hausse de $35\%$35 %.

6. 6

   Pour la vérification, il faut d'abord le coefficient de la troisième évolution : $\frac{270}{216}=1,25$270/216 = 1,25, soit une hausse de $25\%$25 %.

7. 7

   Produit des trois coefficients annuels : $1,2\times 0,9\times 1,25$1,2 × 0,9 × 1,25.

8. 8

   $1,2\times 0,9=1,08$1,2 × 0,9 = 1,08, puis $1,08\times 1,25=1,35$1,08 × 1,25 = 1,35. ✔

9. 9

   Le produit des coefficients annuels redonne exactement le coefficient global, ce qui confirme les lectures graphiques et les calculs.

10. 10

    Remarque : la somme des taux annuels vaudrait $20-10+25=35\%$20 - 10 + 25 = 35 %, soit par coïncidence le bon résultat.

    C'est un hasard dû aux valeurs choisies — la méthode reste la multiplication.

Rappel de cours : Le coefficient global se lit directement comme le rapport de la valeur finale à la valeur initiale : $CM=\frac{V_{\text{fin}}}{V_{\text{deˊbut}}}$CM = V_fin/V_début.

Erreur fréquente : Se fier à la coïncidence numérique de cet exercice pour conclure que les taux s'additionnent. Refaire le test avec $+20\%$+20 % puis $+25\%$+25 % : $1,2\times 1,25=1,5$1,2 × 1,25 = 1,5, soit $+50\%$+50 % et non $+45\%$+45 %.

Correction détaillée

1. 1

   Chaque démarque s'applique au prix EN COURS, et non au prix initial : c'est le sens du mot « supplémentaires ».

2. 2

   Après la première démarque : $180\times 0,70=126$180 × 0,70 = 126 €.

3. 3

   Après la deuxième : $126\times 0,80=100,80$126 × 0,80 = 100,80 €.

4. 4

   Après la troisième : $100,80\times 0,75=75,60$100,80 × 0,75 = 75,60 €.

5. 5

   Méthode plus directe, à privilégier : on calcule d'abord le coefficient global.

6. 6

   $CM=0,70\times 0,80\times 0,75$CM = 0,70 × 0,80 × 0,75.

7. 7

   $0,70\times 0,80=0,56$0,70 × 0,80 = 0,56, puis $0,56\times 0,75=0,42$0,56 × 0,75 = 0,42.

8. 8

   Prix final : $180\times 0,42=75,60$180 × 0,42 = 75,60 €. ✔ Les deux méthodes concordent.

9. 9

   Taux de réduction global : $t=(0,42-1)\times 100=-58$t = (0,42 - 1) × 100 = -58, soit une réduction de $58\%$58 %.

10. 10

    Le client a donc TORT : il a bénéficié de $58\%$58 % de réduction, pas de $75\%$75 %.

11. 11

    Son erreur consiste à additionner les taux : $30+20+25=75$30 + 20 + 25 = 75.

    Or chaque démarque porte sur un prix déjà réduit, donc sur une base plus petite.

12. 12

    Vérification par le montant : il a économisé $180-75,60=104,40$180 - 75,60 = 104,40 €, et $\frac{104,40}{180}=0,58$104,40/180 = 0,58, soit bien $58\%$58 %. ✔

13. 13

    Ordre de grandeur pour se relire : il reste $42\%$42 % du prix, soit un peu moins de la moitié.

    Un prix final de $75,60$75,60 € sur $180$180 € est cohérent.

Rappel de cours : Le coefficient global se calcule en une fois : c'est plus rapide et cela évite d'accumuler les arrondis intermédiaires.

Erreur fréquente : Additionner les taux de démarque. Une réduction de $75\%$75 % donnerait $180\times 0,25=45$180 × 0,25 = 45 €, très loin des $75,60$75,60 € réellement payés.

Correction détaillée

1. 1

   Le pouvoir d'achat est le rapport entre le salaire et le niveau des prix : ce que l'on gagne, divisé par ce que coûtent les choses.

2. 2

   Si le salaire est multiplié par $C{M}_S$CM_S et les prix par $C{M}_P$CM_P, alors le pouvoir d'achat est multiplié par $\frac{C{M}_S}{C{M}_P}$CM_S/CM_P.

3. 3

   Il s'agit d'un quotient et non d'une différence, car pouvoir d'achat et prix se composent multiplicativement.

4. 4

   $C{M}_S=1,018$CM_S = 1,018 et $C{M}_P=1,032$CM_P = 1,032.

5. 5

   $C{M}_{\text{PA}}=\frac{1,018}{1,032}$CM_PA = 1,018/1,032.

6. 6

   Ce quotient est inférieur à $1$1, puisque le numérateur est plus petit que le dénominateur : le pouvoir d'achat diminue.

   On peut le savoir avant même de calculer.

7. 7

   $\frac{1,018}{1,032}\approx 0,986434$1,018/1,032 ≈ 0,986434.

8. 8

   Taux : $t=(0,986434-1)\times 100\approx -1,3566$t = (0,986434 - 1) × 100 ≈ -1,3566, soit environ $-1,36\%$-1,36 %.

9. 9

   Vérification : $1,032\times 0,986434\approx 1,018$1,032 × 0,986434 ≈ 1,018. ✔

10. 10

    Interprétation : bien que le salaire ait augmenté en euros, il permet d'acheter environ $1,36\%$1,36 % de biens en moins qu'un an plus tôt.

    Le pouvoir d'achat a donc baissé.

11. 11

    Approximation souvent utilisée dans la presse : $1,8-3,2=-1,4\%$1,8 - 3,2 = -1,4 %.

    Elle est proche de la valeur exacte ($-1,36\%$-1,36 %) parce que les taux sont faibles, mais elle reste une approximation.

12. 12

    Cette approximation se dégrade dès que les taux grandissent : avec $+20\%$+20 % de salaire et $+50\%$+50 % de prix, la soustraction donnerait $-30\%$-30 % alors que le calcul exact donne $\frac{1,2}{1,5}=0,8$1,2/1,5 = 0,8, soit $-20\%$-20 %.

Rappel de cours : Pouvoir d'achat : on DIVISE le coefficient des salaires par celui des prix. La soustraction des taux n'est qu'une approximation, valable pour de petits taux.

Erreur fréquente : Répondre $-1,4\%$-1,4 % en soustrayant les taux et présenter ce résultat comme exact. La question demande une valeur arrondie au centième : elle attend le calcul exact.

Correction détaillée

1. 1

   Coefficient global : $CM=\frac{48620,25}{40000}$CM = (48 620,25)/(40 000).

2. 2

   $CM=1,21550625$CM = 1,21550625.

3. 3

   Taux global : $t=(1,21550625-1)\times 100=21,550625$t = (1,21550625 - 1) × 100 = 21,550625, soit environ $21,55\%$21,55 %.

4. 4

   Pour le taux moyen sur quatre ans, on cherche $C{M}_m$CM_m tel que $(C{M}_m{)}^4=1,21550625$(CM_m)⁴ = 1,21550625.

5. 5

   Donc $C{M}_m=1,21550625^{1/4}$CM_m = 1,21550625^(1/4), c'est-à-dire la racine quatrième du coefficient global.

6. 6

   À la calculatrice : $C{M}_m=1,05$CM_m = 1,05 exactement.

7. 7

   Taux annuel moyen : $t=(1,05-1)\times 100=5\%$t = (1,05 - 1) × 100 = 5 %.

8. 8

   Vérification en reconstituant les quatre années à partir de $40000$40 000 €.

9. 9

   Année 1 : $40000\times 1,05=42000$40 000 × 1,05 = 42 000 €.

10. 10

    Année 2 : $42000\times 1,05=44100$42 000 × 1,05 = 44 100 €.

11. 11

    Année 3 : $44100\times 1,05=46305$44 100 × 1,05 = 46 305 €.

12. 12

    Année 4 : $46305\times 1,05=48620,25$46 305 × 1,05 = 48 620,25 €. ✔ On retrouve exactement la valeur de l'énoncé.

13. 13

    Contrôle sur la méthode fausse : diviser le taux global par $4$4 donnerait $21,55÷4\approx 5,39\%$21,55 ÷ 4 ≈ 5,39 %, ce qui est trop élevé.

14. 14

    Test de cette valeur erronée : $1,0539^4\approx 1,2337$1,0539⁴ ≈ 1,2337, soit $+23,37\%$+23,37 % au lieu de $+21,55\%$+21,55 %.

    L'écart confirme que la moyenne arithmétique ne convient pas.

Rappel de cours : Le taux moyen est toujours INFÉRIEUR à la moyenne arithmétique des taux : c'est une conséquence de la composition multiplicative.

Erreur fréquente : Arrondir le coefficient global à $1,22$1,22 avant d'extraire la racine. On obtiendrait $5,10\%$5,10 % au lieu de $5\%$5 % : on garde toutes les décimales jusqu'au dernier calcul.

Correction détaillée

1. 1

   Coefficient de la hausse : $1,20$1,20.

   Coefficient de la baisse : $0,80$0,80.

2. 2

   Coefficient global : $CM=1,20\times 0,80=0,96$CM = 1,20 × 0,80 = 0,96.

3. 3

   Taux global : $t=(0,96-1)\times 100=-4$t = (0,96 - 1) × 100 = -4, soit une baisse de $4\%$4 %.

4. 4

   Le prix final est donc INFÉRIEUR de $4\%$4 % au prix initial : le commerçant s'est trompé.

5. 5

   Illustration sur $100$100 € : après la hausse, $120$120 € ; après la baisse, $120\times 0,80=96$120 × 0,80 = 96 €.

   Il manque bien $4$4 €.

6. 6

   Explication du phénomène : la hausse de $20\%$20 % porte sur $100$100 € (soit $+20$+20 €), mais la baisse de $20\%$20 % porte sur $120$120 € (soit $-24$-24 €).

   Les deux montants diffèrent, car les BASES diffèrent.

7. 7

   Pour la deuxième question : la multiplication étant commutative, $0,80\times 1,20=0,96$0,80 × 1,20 = 0,96 également.

   L'ordre ne change rien.

8. 8

   Vérification sur $100$100 € dans l'autre sens : $100\to 80\to 80\times 1,20=96$100 → 80 → 80 × 1,20 = 96 €.

   Même résultat. ✔

9. 9

   Pour revenir exactement au prix de départ, il faut l'évolution réciproque de la hausse.

10. 10

    $C{M}^{\prime }=\frac{1}{1,20}=\frac{100}{120}=\frac{5}{6}\approx 0,8333$CM' = 1/1,20 = 100/120 = 5/6 ≈ 0,8333.

11. 11

    Taux : $t=(0,8333-1)\times 100\approx -16,67\%$t = (0,8333 - 1) × 100 ≈ -16,67 %.

12. 12

    Il aurait donc fallu baisser d'environ $16,67\%$16,67 %, et non de $20\%$20 %.

13. 13

    Vérification : $1,20\times \frac{5}{6}=\frac{6}{5}\times \frac{5}{6}=1$1,20 × 5/6 = 6/5 × 5/6 = 1 exactement. ✔

14. 14

    Généralisation : appliquer $+t\%$+t % puis $-t\%$-t % donne toujours un coefficient $(1+x)(1-x)=1-x^2$(1+x)(1-x) = 1 - x², strictement inférieur à $1$1 dès que $x\ne 0$x ≠ 0.

    Le résultat est donc TOUJOURS une baisse, quel que soit le taux.

Rappel de cours : $(1+x)(1-x)=1-x^2<1$(1+x)(1-x) = 1 - x² < 1 : une hausse suivie d'une baisse de même taux se solde toujours par une perte.

Erreur fréquente : Croire que les deux évolutions se compensent. Elles ne le font jamais, sauf si le taux est nul.

Correction détaillée

1. 1

   On commence par le coefficient global, qui servira à toutes les questions.

2. 2

   $CM=1,025\times 1,018\times 0,99$CM = 1,025 × 1,018 × 0,99.

3. 3

   Première étape : $1,025\times 1,018=1,04345$1,025 × 1,018 = 1,04345.

4. 4

   Deuxième étape : $1,04345\times 0,99=1,04345-1,04345\times 0,01=1,04345-0,0104345=1,0330155$1,04345 × 0,99 = 1,04345 - 1,04345 × 0,01 = 1,04345 - 0,0104345 = 1,0330155.

5. 5

   Loyer final : $650\times 1,0330155=671,460075$650 × 1,0330155 = 671,460075, soit $671,46$671,46 € au centime près.

6. 6

   Taux global : $t=(1,0330155-1)\times 100=3,30155$t = (1,0330155 - 1) × 100 = 3,30155, soit environ $3,30\%$3,30 %.

7. 7

   Pour le taux annuel moyen sur trois ans : $C{M}_m=1,0330155^{1/3}$CM_m = 1,0330155^(1/3).

8. 8

   À la calculatrice : $C{M}_m\approx 1,010886$CM_m ≈ 1,010886.

9. 9

   Taux moyen : $t\approx (1,010886-1)\times 100\approx 1,09\%$t ≈ (1,010886 - 1) × 100 ≈ 1,09 % par an.

10. 10

    Contrôle : la moyenne arithmétique des trois taux vaudrait $\frac{2,5+1,8-1}{3}=\frac{3,3}{3}=1,1\%$(2,5 + 1,8 - 1)/3 = 3,3/3 = 1,1 %.

    Le taux moyen exact ($1,09\%$1,09 %) lui est bien inférieur, comme attendu. ✔

11. 11

    Pour la dernière question, on cherche l'évolution réciproque du coefficient global.

12. 12

    $C{M}^{\prime }=\frac{1}{1,0330155}\approx 0,968040$CM' = 1/1,0330155 ≈ 0,968040.

13. 13

    Taux : $t=(0,968040-1)\times 100\approx -3,20\%$t = (0,968040 - 1) × 100 ≈ -3,20 %.

14. 14

    Il faudrait donc une baisse d'environ $3,20\%$3,20 % la quatrième année.

15. 15

    Vérification : $671,46\times 0,968040\approx 650,00$671,46 × 0,968040 ≈ 650,00 €. ✔

16. 16

    Remarque cohérente avec l'exercice précédent : la baisse nécessaire ($3,20\%$3,20 %) est légèrement inférieure à la hausse globale ($3,30\%$3,30 %), car elle s'applique à une base plus grande.