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Exercices corrigés : Suites numériques — Première générale

Besoin de revoir la leçon avant de te lancer ? Cours et fiche de révision : Suites numériques

Niveau: Première générale
Chapitre: Suites numériques
Nombre d'exercices: 20 exercices corrigés
Difficulté: Application directe à type bac

Une suite, c'est une liste de nombres numérotés : $u_{0}$ u₀, $u_{1}$ u₁, $u_{2}$ u₂… L'indice n'est pas un exposant, et $u_{n}$ uₙ n'est pas une multiplication — deux confusions qui suffisent à faire perdre l'exercice entier. Ces 20 exercices installent d'abord la notation et les deux modes de génération (formule explicite ou relation de récurrence), puis les deux modèles qui reviennent partout : la suite arithmétique, qui ajoute toujours la même chose, et la suite géométrique, qui multiplie toujours par la même chose — c'est-à-dire exactement une évolution à taux constant du chapitre précédent. Les derniers exercices traitent ce que le bac demande vraiment : modéliser une situation, chercher un seuil, et comparer une croissance linéaire à une croissance exponentielle.

Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée avec rappels de cours et erreurs fréquentes à éviter.

Exercice 1 — Lire la notation d'une suite

Application directe

Une suite $(u_{n})$ (uₙ) est définie pour tout entier $n ⩾ 0$ n ≥ 0 par $u_{n} = 3 n - 5$ uₙ = 3n - 5.

Calcule $u_{0}$ u₀, $u_{1}$ u₁, $u_{5}$ u₅ et $u_{10}$ u₁₀.

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Correction détaillée

1
La notation $u_{n}$ uₙ se lit « u indice n ».
L'indice $n$ n désigne le RANG du terme dans la liste : $u_{0}$ u₀ est le premier terme, $u_{1}$ u₁ le deuxième, et ainsi de suite.
2
Ici la suite est donnée par une formule EXPLICITE : $u_{n}$ uₙ s'exprime directement en fonction de $n$ n.
On peut donc calculer n'importe quel terme sans connaître les précédents.
3
Calcul de $u_{0}$ u₀ : on remplace $n$ n par $0$ 0 dans la formule.
$u_{0} = 3 \times 0 - 5 = - 5$ u₀ = 3 × 0 - 5 = -5.
4
Calcul de $u_{1}$ u₁ : $u_{1} = 3 \times 1 - 5 = 3 - 5 = - 2$ u₁ = 3 × 1 - 5 = 3 - 5 = -2.
5
Calcul de $u_{5}$ u₅ : $u_{5} = 3 \times 5 - 5 = 15 - 5 = 10$ u₅ = 3 × 5 - 5 = 15 - 5 = 10.
6
Calcul de $u_{10}$ u₁₀ : $u_{10} = 3 \times 10 - 5 = 30 - 5 = 25$ u₁₀ = 3 × 10 - 5 = 30 - 5 = 25.
7
Contrôle : d'un terme au suivant, on ajoute toujours $3$ 3 (de $- 5$ -5 à $- 2$ -2, puis de $- 2$ -2 à $1$ 1…).
C'est cohérent avec le coefficient de $n$ n dans la formule.
8
Vérification de $u_{10}$ u₁₀ par ce constat : de $u_{5} = 10$ u₅ = 10 à $u_{10}$ u₁₀, il y a $5$ 5 pas de $3$ 3, donc $10 + 5 \times 3 = 25$ 10 + 5 × 3 = 25. ✔
9
Attention au vocabulaire : $u_{10}$ u₁₀ est le ONZIÈME terme de la liste, puisqu'on a commencé à compter à $0$ 0.
Le rang et la position ne coïncident pas.

Réponse :

u_{0} = - 5

u₀ = -5 ;

u_{1} = - 2

u₁ = -2 ;

u_{5} = 10

u₅ = 10 ;

u_{10} = 25

u₁₀ = 25.

Rappel de cours : $u_{n}$ uₙ est le terme de RANG $n$ n, pas un produit $u \times n$ u × n ni une puissance. Pour une suite explicite, on remplace $n$ n par sa valeur.

Erreur fréquente : Lire $u_{10}$ u₁₀ comme « le dixième terme ». Quand la suite commence à $u_{0}$ u₀, le terme de rang $10$ 10 est le onzième de la liste.

Exercice 2 — Suite définie par récurrence

Application directe

Une suite $(u_{n})$ (uₙ) est définie par $u_{0} = 2$ u₀ = 2 et, pour tout entier $n ⩾ 0$ n ≥ 0, $u_{n + 1} = 3 u_{n} - 1$ uₙ₊₁ = 3uₙ - 1.

Calcule $u_{1}$ u₁, $u_{2}$ u₂, $u_{3}$ u₃ et $u_{4}$ u₄.

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Correction détaillée

1
Ici la suite est définie par RÉCURRENCE : chaque terme se calcule à partir du précédent, et non à partir de $n$ n.
2
La relation $u_{n + 1} = 3 u_{n} - 1$ uₙ₊₁ = 3uₙ - 1 se lit : « le terme suivant est égal au triple du terme actuel, diminué de $1$ 1 ».
3
Conséquence pratique : on ne peut pas sauter d'étape.
Pour obtenir $u_{4}$ u₄, il faut avoir calculé $u_{1}$ u₁, $u_{2}$ u₂ puis $u_{3}$ u₃.
4
Calcul de $u_{1}$ u₁ : on applique la relation avec $n = 0$ n = 0, donc $u_{1} = 3 u_{0} - 1 = 3 \times 2 - 1 = 6 - 1 = 5$ u₁ = 3u₀ - 1 = 3 × 2 - 1 = 6 - 1 = 5.
5
Calcul de $u_{2}$ u₂ : avec $n = 1$ n = 1, $u_{2} = 3 u_{1} - 1 = 3 \times 5 - 1 = 15 - 1 = 14$ u₂ = 3u₁ - 1 = 3 × 5 - 1 = 15 - 1 = 14.
6
Calcul de $u_{3}$ u₃ : $u_{3} = 3 u_{2} - 1 = 3 \times 14 - 1 = 42 - 1 = 41$ u₃ = 3u₂ - 1 = 3 × 14 - 1 = 42 - 1 = 41.
7
Calcul de $u_{4}$ u₄ : $u_{4} = 3 u_{3} - 1 = 3 \times 41 - 1 = 123 - 1 = 122$ u₄ = 3u₃ - 1 = 3 × 41 - 1 = 123 - 1 = 122.
8
Contrôle de vraisemblance : les termes triplent presque à chaque étape, donc leur croissance doit être très rapide.
Passer de $2$ 2 à $122$ 122 en quatre étapes est cohérent. ✔
9
Erreur classique à éviter : écrire $u_{n + 1} = 3 u_{n} - 1 = 3 u_{1} - 1$ uₙ₊₁ = 3uₙ - 1 = 3u₁ - 1 pour calculer $u_{2}$ u₂ en gardant l'indice $n + 1$ n+1.
On remplace $n$ n par une VALEUR, on ne mélange pas les deux écritures.
10
Autre confusion fréquente : $u_{n + 1}$ uₙ₊₁ n'est pas $u_{n} + 1$ uₙ + 1.
Le premier est le terme suivant, le second est le terme actuel augmenté de $1$ 1.

Réponse :

u_{1} = 5

u₁ = 5 ;

u_{2} = 14

u₂ = 14 ;

u_{3} = 41

u₃ = 41 ;

u_{4} = 122

u₄ = 122.

Rappel de cours : Suite par récurrence = calcul en cascade. Il faut le premier terme ET la relation ; l'un sans l'autre ne définit rien.

Erreur fréquente : Confondre $u_{n + 1}$ uₙ₊₁ (terme suivant) et $u_{n} + 1$ uₙ + 1 (terme actuel plus un). Ici cela donnerait $u_{1} = 3$ u₁ = 3 au lieu de $5$ 5.

Exercice 3 — Arithmétique, géométrique ou ni l'une ni l'autre

Application directe

Pour chacune de ces listes de termes consécutifs, dis si la suite est arithmétique, géométrique, ou ni l'une ni l'autre, en précisant la raison quand elle existe.

1. $3; 7; 11; 15$ 3 ; 7 ; 11 ; 15
2. $2; 6; 18; 54$ 2 ; 6 ; 18 ; 54
3. $1; 4; 9; 16$ 1 ; 4 ; 9 ; 16
4. $20; 15; 10; 5$ 20 ; 15 ; 10 ; 5
5. $64; 32; 16; 8$ 64 ; 32 ; 16 ; 8

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Correction détaillée

1
Méthode : on teste D'ABORD les différences (arithmétique ?), PUIS les quotients (géométrique ?).
Une suite peut n'être ni l'une ni l'autre.
2
Une suite est arithmétique si on passe d'un terme au suivant en AJOUTANT toujours le même nombre $r$ r, appelé raison.
3
Une suite est géométrique si on passe d'un terme au suivant en MULTIPLIANT toujours par le même nombre $q$ q, appelé raison lui aussi.
4
Liste a) : $7 - 3 = 4$ 7 - 3 = 4, $11 - 7 = 4$ 11 - 7 = 4, $15 - 11 = 4$ 15 - 11 = 4.
Les différences sont constantes : suite arithmétique de raison $r = 4$ r = 4.
5
Liste b) : $6 - 2 = 4$ 6 - 2 = 4 mais $18 - 6 = 12$ 18 - 6 = 12 : elle n'est pas arithmétique.
On teste les quotients : $\frac{6}{2} = 3$ 6/2 = 3, $\frac{18}{6} = 3$ 18/6 = 3, $\frac{54}{18} = 3$ 54/18 = 3.
Suite géométrique de raison $q = 3$ q = 3.
6
Liste c) : différences $3$ 3, $5$ 5, $7$ 7 — non constantes.
Quotients : $4$ 4, $2, 25$ 2,25, $\approx 1, 78$ ≈ 1,78 — non constants non plus.
La suite n'est ni arithmétique ni géométrique.
7
On reconnaît d'ailleurs les carrés $1^{2}$ 1², $2^{2}$ 2², $3^{2}$ 3², $4^{2}$ 4² : c'est une suite parfaitement définie, simplement d'un autre type.
8
Liste d) : $15 - 20 = - 5$ 15 - 20 = -5, $10 - 15 = - 5$ 10 - 15 = -5, $5 - 10 = - 5$ 5 - 10 = -5.
Suite arithmétique de raison $r = - 5$ r = -5.
Une raison négative signifie que la suite décroît.
9
Liste e) : quotients $\frac{32}{64} = 0, 5$ 32/64 = 0,5, $\frac{16}{32} = 0, 5$ 16/32 = 0,5, $\frac{8}{16} = 0, 5$ 8/16 = 0,5.
Suite géométrique de raison $q = 0, 5$ q = 0,5.
10
Repère utile : pour une suite géométrique, une raison comprise strictement entre $0$ 0 et $1$ 1 fait décroître la suite, une raison supérieure à $1$ 1 la fait croître.
11
Attention : il ne suffit JAMAIS de vérifier une seule différence ou un seul quotient.
La liste c) commence par $1$ 1 et $4$ 4, quotient $4$ 4 — conclure trop vite donnerait « géométrique de raison $4$ 4 », ce qui est faux dès le terme suivant.

Réponse : a) arithmétique,

r = 4

r = 4 · b) géométrique,

q = 3

q = 3 · c) ni l'une ni l'autre · d) arithmétique,

r = - 5

r = -5 · e) géométrique,

q = 0, 5

q = 0,5.

Rappel de cours : Arithmétique → on teste les DIFFÉRENCES · géométrique → on teste les QUOTIENTS. Toujours sur tous les couples disponibles.

Erreur fréquente : Conclure sur un seul calcul. Il faut vérifier que la différence (ou le quotient) est constante sur TOUS les termes fournis.

Exercice 4 — Terme général d'une suite arithmétique

Application directe

Une suite arithmétique $(u_{n})$ (uₙ) a pour premier terme $u_{0} = 7$ u₀ = 7 et pour raison $r = - 3$ r = -3.

Exprime $u_{n}$ uₙ en fonction de $n$ n, puis calcule $u_{20}$ u₂₀ et $u_{50}$ u₅₀.

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Correction détaillée

1
Dans une suite arithmétique, on ajoute la raison à chaque étape.
Pour passer de $u_{0}$ u₀ à $u_{n}$ uₙ, on effectue donc $n$ n pas de longueur $r$ r.
2
D'où la formule du terme général : $u_{n} = u_{0} + n \times r$ uₙ = u₀ + n × r.
3
On peut la retrouver en déroulant : $u_{1} = u_{0} + r$ u₁ = u₀ + r, $u_{2} = u_{0} + 2 r$ u₂ = u₀ + 2r, $u_{3} = u_{0} + 3 r$ u₃ = u₀ + 3r… le coefficient de $r$ r suit l'indice.
4
Ici : $u_{n} = 7 + n \times (- 3)$ uₙ = 7 + n × (-3), soit $u_{n} = 7 - 3 n$ uₙ = 7 - 3n.
5
Calcul de $u_{20}$ u₂₀ : $u_{20} = 7 - 3 \times 20 = 7 - 60 = - 53$ u₂₀ = 7 - 3 × 20 = 7 - 60 = -53.
6
Calcul de $u_{50}$ u₅₀ : $u_{50} = 7 - 3 \times 50 = 7 - 150 = - 143$ u₅₀ = 7 - 3 × 50 = 7 - 150 = -143.
7
Vérification sur les premiers termes : $u_{0} = 7$ u₀ = 7, $u_{1} = 4$ u₁ = 4, $u_{2} = 1$ u₂ = 1, $u_{3} = - 2$ u₃ = -2.
On retire bien $3$ 3 à chaque fois. ✔
8
Contrôle de vraisemblance : la raison est négative, donc la suite décroît, et $u_{50}$ u₅₀ doit être bien plus petit que $u_{20}$ u₂₀.
C'est le cas. ✔
9
Remarque : $u_{n} = - 3 n + 7$ uₙ = -3n + 7 est une expression AFFINE en $n$ n.
C'est pourquoi les points d'une suite arithmétique sont toujours alignés lorsqu'on les représente graphiquement, la raison jouant le rôle du coefficient directeur.

Réponse :

u_{n} = 7 - 3 n

uₙ = 7 - 3n, donc

u_{20} = - 53

u₂₀ = -53 et

u_{50} = - 143

u₅₀ = -143.

Rappel de cours : $u_{n} = u_{0} + n r$ uₙ = u₀ + nr si la suite démarre au rang $0$ 0. Si elle démarre à $u_{1}$ u₁, la formule devient $u_{n} = u_{1} + (n - 1) r$ uₙ = u₁ + (n-1)r : compter les PAS, pas les termes.

Erreur fréquente : Écrire $u_{n} = 7 - 3$ uₙ = 7 - 3 ou oublier le signe de la raison. Une raison négative reste dans la formule : $u_{n} = 7 + n \times (- 3)$ uₙ = 7 + n × (-3).

Exercice 5 — Terme général d'une suite géométrique

Application directe

Une suite géométrique $(v_{n})$ (vₙ) a pour premier terme $v_{0} = 5$ v₀ = 5 et pour raison $q = 2$ q = 2.

Exprime $v_{n}$ vₙ en fonction de $n$ n, puis calcule $v_{10}$ v₁₀ et $v_{12}$ v₁₂.

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Correction détaillée

1
Dans une suite géométrique, on multiplie par la raison à chaque étape.
Pour passer de $v_{0}$ v₀ à $v_{n}$ vₙ, on multiplie donc $n$ n fois par $q$ q.
2
D'où la formule du terme général : $v_{n} = v_{0} \times q^{n}$ vₙ = v₀ × qⁿ.
3
On la retrouve en déroulant : $v_{1} = v_{0} \times q$ v₁ = v₀ × q, $v_{2} = v_{0} \times q \times q = v_{0} q^{2}$ v₂ = v₀ × q × q = v₀ q², $v_{3} = v_{0} q^{3}$ v₃ = v₀ q³… l'exposant suit l'indice.
4
Ici : $v_{n} = 5 \times 2^{n}$ vₙ = 5 × 2ⁿ.
5
Calcul de $v_{10}$ v₁₀ : $2^{10} = 1024$ 2¹⁰ = 1 024, donc $v_{10} = 5 \times 1024 = 5120$ v₁₀ = 5 × 1 024 = 5 120.
6
Calcul de $v_{12}$ v₁₂ : $2^{12} = 4096$ 2¹² = 4 096, donc $v_{12} = 5 \times 4096 = 20480$ v₁₂ = 5 × 4 096 = 20 480.
7
Vérification par une autre route : $v_{12} = v_{10} \times q^{2} = 5120 \times 4 = 20480$ v₁₂ = v₁₀ × q² = 5 120 × 4 = 20 480. ✔ Les deux méthodes concordent.
8
Vérification sur les premiers termes : $v_{0} = 5$ v₀ = 5, $v_{1} = 10$ v₁ = 10, $v_{2} = 20$ v₂ = 20, $v_{3} = 40$ v₃ = 40.
On double bien à chaque fois. ✔
9
Point de vigilance sur la priorité des opérations : $5 \times 2^{n}$ 5 × 2ⁿ signifie « $2$ 2 puissance $n$ n, puis multiplié par $5$ 5 ».
Ce n'est pas $(5 \times 2)^{n} = 1 0^{n}$ (5 × 2)ⁿ = 10ⁿ, qui donnerait $10$ 10 milliards au rang $10$ 10.

Réponse :

v_{n} = 5 \times 2^{n}

vₙ = 5 × 2ⁿ, donc

v_{10} = 5120

v₁₀ = 5 120 et

v_{12} = 20480

v₁₂ = 20 480.

Rappel de cours : $v_{n} = v_{0} \times q^{n}$ vₙ = v₀ × qⁿ. Arithmétique → $\times n$ × n devant la raison · géométrique → raison à la PUISSANCE $n$ n.

Erreur fréquente : Calculer $(v_{0} \times q)^{n}$ (v₀ × q)ⁿ au lieu de $v_{0} \times q^{n}$ v₀ × qⁿ. La puissance ne porte que sur la raison.

Exercice 6 — Retrouver une suite arithmétique à partir de deux termes

À maîtriser

Une suite arithmétique $(u_{n})$ (uₙ) vérifie $u_{3} = 11$ u₃ = 11 et $u_{9} = 35$ u₉ = 35.

Détermine sa raison, son premier terme $u_{0}$ u₀, puis son terme général et $u_{20}$ u₂₀.

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Correction détaillée

1
Entre le rang $3$ 3 et le rang $9$ 9, il y a $9 - 3 = 6$ 9 - 3 = 6 pas, chacun valant la raison $r$ r.
2
On peut donc écrire $u_{9} = u_{3} + 6 r$ u₉ = u₃ + 6r, relation générale qui évite de repasser par $u_{0}$ u₀.
3
En remplaçant : $35 = 11 + 6 r$ 35 = 11 + 6r, d'où $6 r = 35 - 11 = 24$ 6r = 35 - 11 = 24, donc $r = 4$ r = 4.
4
Formulation équivalente à connaître : $r = \frac{u _{9} - u _{3}}{9 - 3} = \frac{24}{6} = 4$ r = (u₉ - u₃)/(9 - 3) = 24/6 = 4.
On reconnaît le calcul d'un coefficient directeur.
5
Pour $u_{0}$ u₀, on remonte de $3$ 3 pas depuis $u_{3}$ u₃ : $u_{0} = u_{3} - 3 r = 11 - 3 \times 4 = 11 - 12 = - 1$ u₀ = u₃ - 3r = 11 - 3 × 4 = 11 - 12 = -1.
6
Terme général : $u_{n} = u_{0} + n r = - 1 + 4 n$ uₙ = u₀ + nr = -1 + 4n.
7
Vérification sur les deux données de l'énoncé.
$u_{3} = - 1 + 4 \times 3 = - 1 + 12 = 11$ u₃ = -1 + 4 × 3 = -1 + 12 = 11 ✔ et $u_{9} = - 1 + 4 \times 9 = - 1 + 36 = 35$ u₉ = -1 + 4 × 9 = -1 + 36 = 35 ✔.
8
Calcul demandé : $u_{20} = - 1 + 4 \times 20 = - 1 + 80 = 79$ u₂₀ = -1 + 4 × 20 = -1 + 80 = 79.
9
Contrôle par un autre chemin : $u_{20} = u_{9} + 11 r = 35 + 11 \times 4 = 35 + 44 = 79$ u₂₀ = u₉ + 11r = 35 + 11 × 4 = 35 + 44 = 79. ✔
10
Erreur à éviter sur le nombre de pas : entre le rang $3$ 3 et le rang $9$ 9 il y a $6$ 6 intervalles, pas $7$ 7 — même si l'on énumère $7$ 7 termes de $u_{3}$ u₃ à $u_{9}$ u₉.
On compte les SAUTS, pas les termes.

Réponse :

r = 4

r = 4,

u_{0} = - 1

u₀ = -1,

u_{n} = - 1 + 4 n

uₙ = -1 + 4n et

u_{20} = 79

u₂₀ = 79.

Rappel de cours : Formule générale : $u_{p} = u_{k} + (p - k) r$ uₚ = uₖ + (p-k) r, valable dans les deux sens. La raison se lit comme un coefficient directeur.

Erreur fréquente : Diviser par $9$ 9 au lieu de $9 - 3$ 9 - 3. On trouverait une raison de $2, 67$ 2,67 qui ne vérifie aucune des deux données.

Exercice 7 — Retrouver une suite géométrique à partir de deux termes

À maîtriser

Une suite géométrique $(v_{n})$ (vₙ) à termes positifs vérifie $v_{2} = 18$ v₂ = 18 et $v_{5} = 486$ v₅ = 486.

Détermine sa raison, son premier terme $v_{0}$ v₀ et son terme général, puis calcule $v_{8}$ v₈.

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Correction détaillée

1
Le raisonnement est le même que pour une suite arithmétique, mais avec des multiplications : entre le rang $2$ 2 et le rang $5$ 5, il y a $3$ 3 pas, donc $3$ 3 multiplications par $q$ q.
2
On écrit donc $v_{5} = v_{2} \times q^{3}$ v₅ = v₂ × q³.
3
En remplaçant : $486 = 18 \times q^{3}$ 486 = 18 × q³, d'où $q^{3} = \frac{486}{18} = 27$ q³ = 486/18 = 27.
4
Comme $27 = 3^{3}$ 27 = 3³ et que la suite est à termes positifs, on obtient $q = 3$ q = 3.
5
Pour $v_{0}$ v₀, on remonte de $2$ 2 pas depuis $v_{2}$ v₂, donc on DIVISE deux fois par $q$ q : $v_{0} = \frac{v _{2}}{q ^{2}} = \frac{18}{9} = 2$ v₀ = v₂/q² = 18/9 = 2.
6
Terme général : $v_{n} = 2 \times 3^{n}$ vₙ = 2 × 3ⁿ.
7
Vérification sur les données.
$v_{2} = 2 \times 9 = 18$ v₂ = 2 × 9 = 18 ✔ et $v_{5} = 2 \times 243 = 486$ v₅ = 2 × 243 = 486 ✔.
8
Calcul demandé : $3^{8} = 6561$ 3⁸ = 6 561, donc $v_{8} = 2 \times 6561 = 13122$ v₈ = 2 × 6 561 = 13 122.
9
Contrôle par un autre chemin : $v_{8} = v_{5} \times q^{3} = 486 \times 27 = 13122$ v₈ = v₅ × q³ = 486 × 27 = 13 122. ✔
10
Remarque de méthode : pour remonter dans une suite géométrique on divise par la raison, alors que dans une suite arithmétique on soustrait la raison.
L'opération inverse change de nature selon le type de suite.

Réponse :

q = 3

q = 3,

v_{0} = 2

v₀ = 2,

v_{n} = 2 \times 3^{n}

vₙ = 2 × 3ⁿ et

v_{8} = 13122

v₈ = 13 122.

Rappel de cours : Formule générale : $v_{p} = v_{k} \times q^{p - k}$ vₚ = vₖ × q^(p-k). Pour trouver $q$ q, on isole $q^{p - k}$ q^(p-k) puis on prend la racine correspondante.

Erreur fréquente : Diviser $486$ 486 par $18$ 18 et annoncer $q = 27$ q = 27. C'est $q^{3}$ q³ qui vaut $27$ 27 ; la raison est sa racine cubique, soit $3$ 3.

Exercice 8 — Sens de variation par la différence

À maîtriser

Une suite $(u_{n})$ (uₙ) est définie pour $n ⩾ 0$ n ≥ 0 par $u_{n} = n^{2} - 6 n + 5$ uₙ = n² - 6n + 5.

1.Calcule les termes de $u_{0}$ u₀ à $u_{6}$ u₆.
2.Développe et réduis $u_{n + 1} - u_{n}$ uₙ₊₁ - uₙ.
3.Déduis-en le sens de variation de la suite.

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Correction détaillée

1
Calcul des premiers termes en remplaçant $n$ n par chaque valeur.
2
$u_{0} = 0 - 0 + 5 = 5$ u₀ = 0 - 0 + 5 = 5 ; $u_{1} = 1 - 6 + 5 = 0$ u₁ = 1 - 6 + 5 = 0 ; $u_{2} = 4 - 12 + 5 = - 3$ u₂ = 4 - 12 + 5 = -3 ; $u_{3} = 9 - 18 + 5 = - 4$ u₃ = 9 - 18 + 5 = -4.
3
$u_{4} = 16 - 24 + 5 = - 3$ u₄ = 16 - 24 + 5 = -3 ; $u_{5} = 25 - 30 + 5 = 0$ u₅ = 25 - 30 + 5 = 0 ; $u_{6} = 36 - 36 + 5 = 5$ u₆ = 36 - 36 + 5 = 5.
4
On observe une décroissance jusqu'au rang $3$ 3, puis une croissance.
La suite n'est donc ni croissante ni décroissante sur tout son domaine.
5
Pour le prouver, on étudie le signe de la différence $u_{n + 1} - u_{n}$ uₙ₊₁ - uₙ : positive, la suite croît ; négative, elle décroît.
6
$u_{n + 1} = (n + 1)^{2} - 6 (n + 1) + 5$ uₙ₊₁ = (n+1)² - 6(n+1) + 5.
On développe : $(n + 1)^{2} = n^{2} + 2 n + 1$ (n+1)² = n² + 2n + 1 et $- 6 (n + 1) = - 6 n - 6$ -6(n+1) = -6n - 6.
7
Donc $u_{n + 1} = n^{2} + 2 n + 1 - 6 n - 6 + 5 = n^{2} - 4 n$ uₙ₊₁ = n² + 2n + 1 - 6n - 6 + 5 = n² - 4n.
8
Différence : $u_{n + 1} - u_{n} = (n^{2} - 4 n) - (n^{2} - 6 n + 5)$ uₙ₊₁ - uₙ = (n² - 4n) - (n² - 6n + 5).
Attention au signe devant la parenthèse : $= n^{2} - 4 n - n^{2} + 6 n - 5$ = n² - 4n - n² + 6n - 5.
9
Après réduction : $u_{n + 1} - u_{n} = 2 n - 5$ uₙ₊₁ - uₙ = 2n - 5.
10
Signe : $2 n - 5 < 0$ 2n - 5 < 0 équivaut à $n < 2, 5$ n < 2,5, c'est-à-dire $n ⩽ 2$ n ≤ 2 pour un entier.
Et $2 n - 5 > 0$ 2n - 5 > 0 équivaut à $n ⩾ 3$ n ≥ 3.
11
Conclusion : la suite est décroissante de $u_{0}$ u₀ à $u_{3}$ u₃, puis croissante à partir de $u_{3}$ u₃.
Son minimum vaut $u_{3} = - 4$ u₃ = -4.
12
Vérification sur les valeurs calculées : $u_{3} - u_{2} = - 4 - (- 3) = - 1$ u₃ - u₂ = -4 - (-3) = -1, ce qui correspond bien à $2 \times 2 - 5 = - 1$ 2 × 2 - 5 = -1 ✔ ; et $u_{4} - u_{3} = - 3 - (- 4) = 1 = 2 \times 3 - 5$ u₄ - u₃ = -3 - (-4) = 1 = 2 × 3 - 5 ✔.

Réponse :

5; 0; - 3; - 4; - 3; 0; 5

5 ; 0 ; -3 ; -4 ; -3 ; 0 ; 5 ·

u_{n + 1} - u_{n} = 2 n - 5

uₙ₊₁ - uₙ = 2n - 5 · décroissante jusqu'au rang

3

3, croissante ensuite (minimum

u_{3} = - 4

u₃ = -4).

Rappel de cours : Sens de variation : on étudie le SIGNE de $u_{n + 1} - u_{n}$ uₙ₊₁ - uₙ. Le résultat peut dépendre de $n$ n : une suite n'est pas forcément monotone.

Erreur fréquente : Oublier de distribuer le signe moins sur toute la parenthèse de $u_{n}$ uₙ. On obtiendrait $2 n - 5 + 10$ 2n - 5 + 10 ou une expression fausse, donc un sens de variation erroné.

Exercice 9 — Une évolution en pourcentage est une suite géométrique

À maîtriser

La population d'une ville est de $25000$ 25 000 habitants en 2026 et baisse de $2 %$ 2 % par an.

On note $u_{n}$ uₙ la population $n$ n années après 2026, donc $u_{0} = 25000$ u₀ = 25 000.

1.Exprime $u_{n + 1}$ uₙ₊₁ en fonction de $u_{n}$ uₙ, puis donne la nature de la suite.
2.Exprime $u_{n}$ uₙ en fonction de $n$ n.
3.Estime la population en 2031.

Voir la correction

Correction détaillée

1
Une baisse de $2 %$ 2 % correspond au coefficient multiplicateur $1 - 0, 02 = 0, 98$ 1 - 0,02 = 0,98, vu au chapitre précédent.
2
Chaque année, la population est donc multipliée par $0, 98$ 0,98 : $u_{n + 1} = 0, 98 \times u_{n}$ uₙ₊₁ = 0,98 × uₙ.
3
Cette relation est exactement la définition d'une suite GÉOMÉTRIQUE de raison $q = 0, 98$ q = 0,98.
C'est le lien central du chapitre : une évolution à taux constant est une suite géométrique, et réciproquement.
4
Terme général : $u_{n} = u_{0} \times q^{n} = 25000 \times 0, 9 8^{n}$ uₙ = u₀ × qⁿ = 25 000 × 0,98^(n).
5
Pour 2031, il faut identifier le bon rang : $2031 - 2026 = 5$ 2031 - 2026 = 5, donc on cherche $u_{5}$ u₅.
6
$u_{5} = 25000 \times 0, 9 8^{5}$ u₅ = 25 000 × 0,98^(5).
7
À la calculatrice, $0, 9 8^{5} \approx 0, 903921$ 0,98^(5) ≈ 0,903921.
8
Donc $u_{5} \approx 25000 \times 0, 903921 \approx 22598, 02$ u₅ ≈ 25 000 × 0,903921 ≈ 22 598,02, soit environ $22598$ 22 598 habitants.
9
Contrôle de vraisemblance : cinq baisses de $2 %$ 2 % donnent un peu moins que $10 %$ 10 % de baisse totale ( $9, 61 %$ 9,61 % exactement), donc un résultat un peu au-dessus de $22500$ 22 500. ✔
10
Erreur fréquente : appliquer $- 10 %$ -10 % en additionnant les taux, ce qui donnerait $22500$ 22 500 habitants.
L'écart est ici modeste, mais la méthode est fausse et le devient d'autant plus que le nombre d'années grandit.
11
Autre erreur : prendre $n = 2031$ n = 2031 dans la formule.
Le rang compte les années ÉCOULÉES depuis l'origine, pas le millésime.

Réponse :

u_{n + 1} = 0, 98 u_{n}

uₙ₊₁ = 0,98 uₙ : suite géométrique de raison

0, 98

0,98 ·

u_{n} = 25000 \times 0, 9 8^{n}

uₙ = 25 000 × 0,98^(n) · environ

22598

22 598 habitants en 2031.

Rappel de cours : Évolution de $t %$ t % par période ⇔ suite géométrique de raison $q = 1 + \frac{t}{100}$ q = 1 + t/100. Les deux chapitres décrivent le même objet.

Erreur fréquente : Mal caler le rang : $u_{0}$ u₀ correspond à l'année de départ, donc l'année $2026 + n$ 2026 + n correspond à $u_{n}$ uₙ. 2031 donne $n = 5$ n = 5, pas $n = 6$ n = 6.

Exercice 10 — Modéliser par une suite arithmétique

À maîtriser

Pour financer un projet, Léa dépose $150$ 150 € sur un compte à l'ouverture, puis $45$ 45 € chaque mois.

On note $u_{n}$ uₙ la somme disponible après $n$ n mois de versements, donc $u_{0} = 150$ u₀ = 150.

1.Exprime $u_{n + 1}$ uₙ₊₁ en fonction de $u_{n}$ uₙ, puis $u_{n}$ uₙ en fonction de $n$ n.
2.Quelle somme aura-t-elle au bout d'un an, puis de deux ans ?
3.Au bout de combien de mois dépassera-t-elle $1000$ 1 000 € ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
Chaque mois, la somme AUGMENTE d'un montant fixe de $45$ 45 € : on ajoute toujours la même chose, c'est donc une suite arithmétique.
2
Relation de récurrence : $u_{n + 1} = u_{n} + 45$ uₙ₊₁ = uₙ + 45, de raison $r = 45$ r = 45.
3
Terme général : $u_{n} = u_{0} + n r = 150 + 45 n$ uₙ = u₀ + nr = 150 + 45n.
4
Au bout d'un an, $n = 12$ n = 12 : $u_{12} = 150 + 45 \times 12 = 150 + 540 = 690$ u₁₂ = 150 + 45 × 12 = 150 + 540 = 690 €.
5
Au bout de deux ans, $n = 24$ n = 24 : $u_{24} = 150 + 45 \times 24 = 150 + 1080 = 1230$ u₂₄ = 150 + 45 × 24 = 150 + 1 080 = 1 230 €.
6
Pour le seuil, on résout l'inéquation $150 + 45 n > 1000$ 150 + 45n > 1 000.
7
$45 n > 850$ 45n > 850, donc $n > \frac{850}{45} \approx 18, 89$ n > 850/45 ≈ 18,89.
8
Comme $n$ n est un nombre entier de mois, le premier rang qui convient est $n = 19$ n = 19.
9
Vérification : $u_{18} = 150 + 810 = 960$ u₁₈ = 150 + 810 = 960 € (insuffisant) et $u_{19} = 150 + 855 = 1005$ u₁₉ = 150 + 855 = 1 005 € (dépassement atteint). ✔
10
Remarque : contrairement à un placement à intérêts, ce modèle n'est PAS géométrique — la somme versée ne dépend pas de ce qui est déjà sur le compte.
Le graphique correspondant serait une droite.

Réponse :

u_{n + 1} = u_{n} + 45

uₙ₊₁ = uₙ + 45 et

u_{n} = 150 + 45 n

uₙ = 150 + 45n ·

690

690 € après un an,

1230

1 230 € après deux ans · seuil dépassé au

1 9^{e}

19ᵉ mois.

Rappel de cours : Montant fixe ajouté → arithmétique. Pourcentage appliqué → géométrique. C'est la première question à trancher devant un énoncé de modélisation.

Erreur fréquente : Répondre $n \approx 18, 9$ n ≈ 18,9 mois. Un rang est un entier : il faut conclure par le premier entier qui vérifie l'inéquation, en le vérifiant.

Exercice 11 — Linéaire contre exponentiel : lecture graphique

Type contrôle

Deux placements de $100$ 100 € sont représentés ci-dessous : le placement A suit la suite $u_{n} = 100 + 20 n$ uₙ = 100 + 20n, le placement B la suite $v_{n} = 100 \times 1, 1 5^{n}$ vₙ = 100 × 1,15^(n), où $n$ n est le nombre d'années.

Le tracé en trait plein est celui du placement A, le tracé en pointillés celui du placement B.

1.Donne la nature de chaque suite et sa raison.
2.Par lecture graphique, à partir de quelle année le placement B devient-il le plus avantageux ?
3.Confirme ce résultat par le calcul.

Voir la correction

Correction détaillée

1
Le placement A ajoute $20$ 20 € chaque année, indépendamment du capital : c'est une suite arithmétique de raison $r = 20$ r = 20.
Ses points sont alignés.
2
Le placement B multiplie le capital par $1, 15$ 1,15 chaque année, ce qui correspond à $+ 15 %$ +15 % par an : c'est une suite géométrique de raison $q = 1, 15$ q = 1,15.
Sa courbe s'incurve vers le haut.
3
Attention à une confusion de lecture : une suite n'est définie qu'aux rangs entiers.
Le tracé continu n'est qu'une aide visuelle ; seuls les points d'abscisse entière ont un sens.
4
Lecture graphique : au départ B est en dessous de A, puis les deux courbes se croisent entre les rangs $4$ 4 et $5$ 5.
À partir de $n = 5$ n = 5, B passe au-dessus.
5
Confirmation par le calcul, année par année autour du croisement.
6
Rang $4$ 4 : $u_{4} = 100 + 80 = 180$ u₄ = 100 + 80 = 180 € et $v_{4} = 100 \times 1, 1 5^{4}$ v₄ = 100 × 1,15⁴.
Or $1, 1 5^{4} \approx 1, 749$ 1,15⁴ ≈ 1,749, donc $v_{4} \approx 174, 90$ v₄ ≈ 174,90 € : A est encore devant.
7
Rang $5$ 5 : $u_{5} = 100 + 100 = 200$ u₅ = 100 + 100 = 200 € et $1, 1 5^{5} \approx 2, 0114$ 1,15⁵ ≈ 2,0114, donc $v_{5} \approx 201, 14$ v₅ ≈ 201,14 € : B passe devant.
8
C'est donc bien à partir de la cinquième année que le placement B devient le plus avantageux. ✔
9
Rang $10$ 10, pour mesurer l'ampleur du phénomène : $u_{10} = 300$ u₁₀ = 300 € contre $v_{10} = 100 \times 1, 1 5^{10} \approx 404, 56$ v₁₀ = 100 × 1,15¹⁰ ≈ 404,56 €.
L'écart s'est creusé.
10
Idée à retenir : une croissance arithmétique produit une droite, une croissance géométrique de raison supérieure à $1$ 1 une courbe qui monte de plus en plus vite.
La seconde finit TOUJOURS par dépasser la première, même en partant plus lentement.

Réponse : A : arithmétique de raison

20

20 · B : géométrique de raison

1, 15

1,15 · B devient plus avantageux à partir de

n = 5

n = 5 (

201, 14

201,14 € contre

200

200 €).

Rappel de cours : Suite arithmétique = points alignés · suite géométrique de raison $> 1$ > 1 = croissance de plus en plus rapide, qui rattrape toujours une droite.

Erreur fréquente : Conclure « B est meilleur » ou « A est meilleur » sans préciser à partir de quel rang. Sur les quatre premières années, c'est bien A qui l'emporte.

Exercice 12 — Somme de termes par regroupement

Type contrôle

Un club de sport propose un défi : le premier mois, on court $20$ 20 km ; chaque mois suivant, on ajoute $5$ 5 km à la distance du mois précédent.

Le défi dure $12$ 12 mois.

1.Quelle distance court-on le douzième mois ?
2.Quelle distance totale a-t-on parcourue sur les $12$ 12 mois ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
On note $u_{1} = 20$ u₁ = 20 la distance du premier mois.
La suite est arithmétique de raison $r = 5$ r = 5, et elle démarre au rang $1$ 1.
2
Comme le premier terme est $u_{1}$ u₁, la formule devient $u_{n} = u_{1} + (n - 1) \times r$ uₙ = u₁ + (n-1) × r : du mois $1$ 1 au mois $n$ n, il y a $n - 1$ n-1 ajouts.
3
Douzième mois : $u_{12} = 20 + (12 - 1) \times 5 = 20 + 55 = 75$ u₁₂ = 20 + (12 - 1) × 5 = 20 + 55 = 75 km.
4
Vérification en énumérant : $20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75$ 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75.
Le douzième terme vaut bien $75$ 75. ✔
5
Pour la distance totale, on additionne ces $12$ 12 nombres.
Plutôt que de tout cumuler, on utilise le regroupement par paires — l'astuce attribuée à Gauss.
6
On associe le premier et le dernier terme : $20 + 75 = 95$ 20 + 75 = 95.
Puis le deuxième et l'avant-dernier : $25 + 70 = 95$ 25 + 70 = 95.
Puis $30 + 65 = 95$ 30 + 65 = 95.
7
Toutes les paires donnent la même somme : quand on avance d'un rang à gauche, on ajoute $5$ 5, et quand on recule d'un rang à droite, on retire $5$ 5 — les deux effets se compensent exactement.
8
Avec $12$ 12 termes, on forme $6$ 6 paires valant chacune $95$ 95.
9
Total : $6 \times 95 = 570$ 6 × 95 = 570 km.
10
Formulation générale de ce raisonnement : somme $= \frac{nombre de termes \times ( premier + dernier )}{2}$ = (nombre de termes × ( premier + dernier ))/2, soit ici $\frac{12 \times ( 20 + 75 )}{2} = \frac{12 \times 95}{2} = 570$ (12 × (20 + 75))/2 = (12 × 95)/2 = 570. ✔
11
Contrôle de vraisemblance : la distance moyenne mensuelle est $\frac{20 + 75}{2} = 47, 5$ (20 + 75)/2 = 47,5 km, et $12 \times 47, 5 = 570$ 12 × 47,5 = 570 km. ✔ La moyenne d'une suite arithmétique est bien la moyenne de ses termes extrêmes.

Réponse :

75

75 km le douzième mois ·

570

570 km au total.

Rappel de cours : Somme d'une suite arithmétique : $\frac{n \times ( premier + dernier )}{2}$ (n × ( premier + dernier ))/2. Cette formule se RETROUVE par le regroupement en paires, il est inutile de l'apprendre par cœur.

Erreur fréquente : Utiliser $u_{n} = u_{0} + n r$ uₙ = u₀ + nr alors que la suite démarre à $u_{1}$ u₁. On obtiendrait $80$ 80 km au lieu de $75$ 75 : toujours vérifier le rang du premier terme.

Exercice 13 — Recherche de seuil

Type contrôle

On reprend la population $u_{n} = 25000 \times 0, 9 8^{n}$ uₙ = 25 000 × 0,98^(n) (baisse de $2 %$ 2 % par an à partir de 2026).

À partir de quelle année la population passera-t-elle sous la barre des $20000$ 20 000 habitants ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
On cherche le plus petit entier $n$ n tel que $u_{n} < 20000$ uₙ < 20 000, c'est-à-dire $25000 \times 0, 9 8^{n} < 20000$ 25 000 × 0,98^(n) < 20 000.
2
On isole la puissance en divisant les deux membres par $25000$ 25 000 : $0, 9 8^{n} < \frac{20 000}{25 000} = 0, 8$ 0,98^(n) < (20 000)/(25 000) = 0,8.
3
Cette inéquation ne se résout pas « à la main » avec les outils de Première générale : on procède par BALAYAGE, en testant les valeurs successives de $n$ n, à la calculatrice ou au tableur.
4
$n = 10$ n = 10 : $0, 9 8^{10} \approx 0, 8171$ 0,98¹⁰ ≈ 0,8171, donc $u_{10} \approx 20426, 82$ u₁₀ ≈ 20 426,82 — encore au-dessus.
5
$n = 11$ n = 11 : $0, 9 8^{11} \approx 0, 8007$ 0,98¹¹ ≈ 0,8007, donc $u_{11} \approx 20018, 28$ u₁₁ ≈ 20 018,28 — toujours au-dessus, mais de très peu.
6
$n = 12$ n = 12 : $0, 9 8^{12} \approx 0, 7847$ 0,98¹² ≈ 0,7847, donc $u_{12} \approx 19617, 92$ u₁₂ ≈ 19 617,92 — le seuil est franchi.
7
Le premier rang qui convient est donc $n = 12$ n = 12.
8
Il reste à traduire ce rang en année : $u_{0}$ u₀ correspond à 2026, donc $u_{12}$ u₁₂ correspond à $2026 + 12 = 2038$ 2026 + 12 = 2038.
9
Vérification du caractère « premier » du rang : $u_{11} \approx 20018 > 20000$ u₁₁ ≈ 20 018 > 20 000, donc l'année 2037 ne convient pas.
$n = 12$ n = 12 est bien le premier. ✔
10
Point de méthode : comme la suite est strictement décroissante, dès qu'un rang vérifie l'inégalité, tous les suivants la vérifient aussi.
Il suffit donc d'encadrer le seuil entre deux rangs consécutifs.
11
Remarque : au tableur, on remplit une colonne $n$ n et une colonne $u_{n}$ uₙ avec la formule « =25000*0,98^n », puis on lit la première ligne passant sous $20000$ 20 000.
En Python, une boucle « while » sur la condition donne le même résultat.

Réponse :

n = 12

n = 12, soit l'année 2038 (

u_{11} \approx 20018

u₁₁ ≈ 20 018 et

u_{12} \approx 19618

u₁₂ ≈ 19 618).

Rappel de cours : Un seuil se cherche par balayage, puis se JUSTIFIE en montrant que le rang précédent ne convient pas et que le rang trouvé convient.

Erreur fréquente : Donner le rang $12$ 12 comme réponse finale alors que la question porte sur une ANNÉE. Il faut convertir : $2026 + 12 = 2038$ 2026 + 12 = 2038.

Exercice 14 — Algorithme de calcul de seuil

Type contrôle

On considère l'algorithme suivant, écrit en Python, appliqué à la suite $u_{n} = 25000 \times 0, 9 8^{n}$ uₙ = 25 000 × 0,98^(n) :

u = 25000
n = 0
while u >= 20000 :
u = u * 0.98
n = n + 1
print(n)

1.Que contiennent les variables u et n après trois passages dans la boucle ?
2.Qu'affiche cet algorithme ?
3.Comment le modifier pour qu'il affiche la population correspondante en plus du rang ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
Le principe : tant que la population reste supérieure ou égale à $20000$ 20 000, on applique une baisse de $2 %$ 2 % et on compte une année de plus.
2
Avant la boucle, $u = 25000$ u = 25 000 et $n = 0$ n = 0 : c'est la situation de départ, en 2026.
3
Premier passage : $u = 25000 \times 0, 98 = 24500$ u = 25 000 × 0,98 = 24 500 et $n = 1$ n = 1.
4
Deuxième passage : $u = 24500 \times 0, 98 = 24010$ u = 24 500 × 0,98 = 24 010 et $n = 2$ n = 2.
5
Troisième passage : $u = 24010 \times 0, 98 = 23529, 8$ u = 24 010 × 0,98 = 23 529,8 et $n = 3$ n = 3.
6
On remarque que les deux variables restent synchronisées : après $k$ k passages, $u$ u vaut $u_{k}$ uₖ et $n$ n vaut $k$ k.
C'est ce qui rend l'algorithme correct.
7
La boucle s'arrête dès que la condition « u >= 20000 » devient fausse, c'est-à-dire au premier rang où la population passe SOUS $20000$ 20 000.
8
D'après l'exercice précédent, ce rang est $12$ 12 : l'algorithme affiche donc $12$ 12.
9
Point important : la valeur affichée est le rang APRÈS la dernière multiplication.
Si l'on avait incrémenté $n$ n avant de modifier $u$ u, le résultat serait identique ici, mais l'ordre des instructions doit toujours être vérifié sur les premiers tours.
10
Pour afficher aussi la population, il suffit de compléter la dernière ligne : « print(n, u) », ou de façon plus lisible « print(n, round(u)) », ce qui donnerait $12$ 12 et $19618$ 19 618.
11
Contrôle du bon fonctionnement : la suite est décroissante et tend vers $0$ 0, donc la condition finira nécessairement par être fausse.
L'algorithme se termine — ce ne serait pas le cas avec une raison supérieure à $1$ 1, où la boucle tournerait indéfiniment.

Réponse : Après trois passages :

u = 23529, 8

u = 23 529,8 et

n = 3

n = 3 · l'algorithme affiche

12

12 · il suffit d'écrire « print(n, u) » pour obtenir aussi la population (environ

19618

19 618).

Rappel de cours : Pour comprendre une boucle, on construit un tableau d'évolution des variables sur les trois premiers tours : c'est plus sûr que de raisonner en bloc.

Erreur fréquente : Croire que l'algorithme s'arrête quand u vaut exactement $20000$ 20 000. Il s'arrête au premier passage STRICTEMENT en dessous ; la condition d'arrêt est la négation de celle du while.

Exercice 15 — Une suite ni arithmétique ni géométrique

Type contrôle

Une suite $(u_{n})$ (uₙ) est définie par $u_{0} = 0$ u₀ = 0 et $u_{n + 1} = 0, 5 u_{n} + 3$ uₙ₊₁ = 0,5 uₙ + 3.

1.Calcule $u_{1}$ u₁, $u_{2}$ u₂, $u_{3}$ u₃ et $u_{4}$ u₄.
2.Montre que cette suite n'est ni arithmétique ni géométrique.
3.Que semble-t-il se passer quand $n$ n devient grand ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
Calcul des premiers termes en appliquant la relation de récurrence.
2
$u_{1} = 0, 5 \times 0 + 3 = 3$ u₁ = 0,5 × 0 + 3 = 3.
3
$u_{2} = 0, 5 \times 3 + 3 = 1, 5 + 3 = 4, 5$ u₂ = 0,5 × 3 + 3 = 1,5 + 3 = 4,5.
4
$u_{3} = 0, 5 \times 4, 5 + 3 = 2, 25 + 3 = 5, 25$ u₃ = 0,5 × 4,5 + 3 = 2,25 + 3 = 5,25.
5
$u_{4} = 0, 5 \times 5, 25 + 3 = 2, 625 + 3 = 5, 625$ u₄ = 0,5 × 5,25 + 3 = 2,625 + 3 = 5,625.
6
Test « arithmétique » : $u_{1} - u_{0} = 3$ u₁ - u₀ = 3 mais $u_{2} - u_{1} = 1, 5$ u₂ - u₁ = 1,5.
Les différences ne sont pas constantes, la suite n'est pas arithmétique.
7
Test « géométrique » : $\frac{u _{2}}{u _{1}} = \frac{4 , 5}{3} = 1, 5$ u₂/u₁ = 4,5/3 = 1,5 mais $\frac{u _{3}}{u _{2}} = \frac{5 , 25}{4 , 5} \approx 1, 167$ u₃/u₂ = 5,25/4,5 ≈ 1,167.
Les quotients ne sont pas constants non plus.
8
Un seul contre-exemple suffit dans chaque cas : la suite n'est ni arithmétique ni géométrique.
C'est le comportement le plus courant — les deux modèles du cours sont des cas particuliers.
9
Pour le comportement à long terme, on poursuit : $u_{5} = 5, 8125$ u₅ = 5,8125, $u_{6} \approx 5, 906$ u₆ ≈ 5,906, $u_{7} \approx 5, 953$ u₇ ≈ 5,953, $u_{8} \approx 5, 977$ u₈ ≈ 5,977.
10
Les termes croissent mais se rapprochent de plus en plus de $6$ 6 sans jamais l'atteindre : la suite semble se stabiliser vers $6$ 6.
11
On peut le justifier simplement : si la suite se stabilisait autour d'une valeur $x$ x, on aurait $x = 0, 5 x + 3$ x = 0,5x + 3, donc $0, 5 x = 3$ 0,5x = 3 et $x = 6$ x = 6.
12
Interprétation : à chaque étape, la moitié de l'écart avec $6$ 6 disparaît.
L'écart initial vaut $6$ 6, puis $3$ 3, puis $1, 5$ 1,5, puis $0, 75$ 0,75… il est divisé par deux à chaque fois. ✔
13
Vérification de cette lecture : $6 - u_{3} = 0, 75$ 6 - u₃ = 0,75 et $6 - u_{4} = 0, 375$ 6 - u₄ = 0,375, soit bien la moitié. ✔ Sur le graphique, la droite en pointillés d'équation $y = 6$ y = 6 matérialise cette valeur limite, que la suite approche sans jamais l'atteindre.

Réponse :

u_{1} = 3

u₁ = 3 ;

u_{2} = 4, 5

u₂ = 4,5 ;

u_{3} = 5, 25

u₃ = 5,25 ;

u_{4} = 5, 625

u₄ = 5,625 · ni arithmétique (différences

3

3 puis

1, 5

1,5) ni géométrique (quotients

1, 5

1,5 puis

\approx 1, 167

≈ 1,167) · les termes se rapprochent de

6

Rappel de cours : Pour montrer qu'une suite n'est PAS arithmétique (ou géométrique), un seul contre-exemple sur deux différences (ou deux quotients) suffit.

Erreur fréquente : Conclure « géométrique de raison $1, 5$ 1,5 » à partir du seul quotient $\frac{u _{2}}{u _{1}}$ u₂/u₁. Il faut toujours en tester au moins deux.

Exercice 16 — Épargne avec intérêts et versements

Type bac / défi

Un capital de $2000$ 2 000 € est placé à $3 %$ 3 % par an.

Chaque année, juste après le versement des intérêts, on ajoute $600$ 600 €.

On note $u_{n}$ uₙ le capital après $n$ n années, avec $u_{0} = 2000$ u₀ = 2 000.

1.Exprime $u_{n + 1}$ uₙ₊₁ en fonction de $u_{n}$ uₙ.
2.Calcule le capital au bout de $4$ 4 ans, au centime près.
3.Compare avec un placement sans intérêts où l'on ajouterait simplement $600$ 600 € par an.

Voir la correction

Correction détaillée

1
Chaque année, deux opérations se succèdent : le capital est d'abord multiplié par $1, 03$ 1,03 (intérêts de $3 %$ 3 %), puis augmenté de $600$ 600 € (versement).
2
D'où la relation : $u_{n + 1} = 1, 03 u_{n} + 600$ uₙ₊₁ = 1,03 uₙ + 600.
3
Cette suite n'est ni arithmétique (on ne se contente pas d'ajouter) ni géométrique (on ne se contente pas de multiplier).
C'est le modèle réaliste d'un plan d'épargne.
4
Calcul de $u_{1}$ u₁ : $2000 \times 1, 03 = 2060$ 2 000 × 1,03 = 2 060, puis $+ 600$ +600, donc $u_{1} = 2660$ u₁ = 2 660 €.
5
Calcul de $u_{2}$ u₂ : $2660 \times 1, 03 = 2739, 80$ 2 660 × 1,03 = 2 739,80, puis $+ 600$ +600, donc $u_{2} = 3339, 80$ u₂ = 3 339,80 €.
6
Calcul de $u_{3}$ u₃ : $3339, 80 \times 1, 03 = 3439, 994$ 3 339,80 × 1,03 = 3 439,994, puis $+ 600$ +600, donc $u_{3} = 4039, 994$ u₃ = 4 039,994 €.
7
Calcul de $u_{4}$ u₄ : $4039, 994 \times 1, 03 = 4161, 19382$ 4 039,994 × 1,03 = 4 161,19382, puis $+ 600$ +600, donc $u_{4} \approx 4761, 19$ u₄ ≈ 4 761,19 €.
8
Sans intérêts, le capital serait $2000 + 4 \times 600 = 4400$ 2 000 + 4 × 600 = 4 400 €.
9
Les intérêts ont donc rapporté $4761, 19 - 4400 = 361, 19$ 4 761,19 - 4 400 = 361,19 € sur quatre ans.
10
Contrôle de vraisemblance : le capital moyen sur la période est de l'ordre de $3200$ 3 200 €, et $3200 \times 0, 03 \times 4 \approx 384$ 3 200 × 0,03 × 4 ≈ 384 €.
L'ordre de grandeur est correct. ✔
11
Point de méthode important : on conserve toutes les décimales dans les calculs intermédiaires et on n'arrondit qu'à la fin.
Arrondir $u_{3}$ u₃ à $4040$ 4 040 € donnerait $4761, 20$ 4 761,20 € — une erreur d'un centime qui s'amplifie sur un grand nombre d'années.
12
Attention aussi à l'ORDRE des deux opérations : si le versement avait lieu AVANT le calcul des intérêts, la relation serait $u_{n + 1} = 1, 03 (u_{n} + 600)$ uₙ₊₁ = 1,03(uₙ + 600), et $u_{1}$ u₁ vaudrait $2678$ 2 678 € au lieu de $2660$ 2 660 €.

Réponse :

u_{n + 1} = 1, 03 u_{n} + 600

uₙ₊₁ = 1,03 uₙ + 600 ·

u_{4} \approx 4761, 19

u₄ ≈ 4 761,19 € · soit

361, 19

361,19 € de plus que les

4400

4 400 € obtenus sans intérêts.

Rappel de cours : Un modèle « pourcentage + versement fixe » n'est ni arithmétique ni géométrique. On calcule les termes un par un, sans chercher de formule explicite en Première.

Erreur fréquente : Inverser l'ordre des opérations dans l'année. Lire précisément l'énoncé : ici les intérêts portent sur le capital AVANT le nouveau versement.

Exercice 17 — Deux propositions de salaire

Type bac / défi

Une entreprise propose deux évolutions de salaire à partir de $30000$ 30 000 € annuels.

Offre A : une augmentation fixe de $1500$ 1 500 € par an.

Offre B : une augmentation de $4 %$ 4 % par an.

1.Exprime $A_{n}$ Aₙ et $B_{n}$ Bₙ, les salaires après $n$ n années, en fonction de $n$ n.
2.Compare les deux offres au bout de $5$ 5 ans, puis de $10$ 10 ans.
3.À partir de quelle année l'offre B devient-elle la plus intéressante ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
Offre A : on ajoute chaque année le même montant, c'est une suite arithmétique de raison $1500$ 1 500.
Donc $A_{n} = 30000 + 1500 n$ Aₙ = 30 000 + 1 500n.
2
Offre B : on multiplie chaque année par $1, 04$ 1,04, c'est une suite géométrique de raison $1, 04$ 1,04.
Donc $B_{n} = 30000 \times 1, 0 4^{n}$ Bₙ = 30 000 × 1,04^(n).
3
Au bout de $5$ 5 ans : $A_{5} = 30000 + 7500 = 37500$ A₅ = 30 000 + 7 500 = 37 500 €.
4
$1, 0 4^{5} \approx 1, 21665$ 1,04⁵ ≈ 1,21665, donc $B_{5} \approx 36499, 59$ B₅ ≈ 36 499,59 €.
L'offre A est devant, de près de $1000$ 1 000 €.
5
Au bout de $10$ 10 ans : $A_{10} = 30000 + 15000 = 45000$ A₁₀ = 30 000 + 15 000 = 45 000 €.
6
$1, 0 4^{10} \approx 1, 48024$ 1,04¹⁰ ≈ 1,48024, donc $B_{10} \approx 44407, 33$ B₁₀ ≈ 44 407,33 €.
L'offre A est encore devant, mais l'écart s'est réduit à environ $590$ 590 €.
7
Cette réduction de l'écart annonce un croisement : on cherche donc le premier rang où $B_{n} > A_{n}$ Bₙ > Aₙ par balayage.
8
$n = 11$ n = 11 : $A_{11} = 46500$ A₁₁ = 46 500 € et $B_{11} \approx 46183, 62$ B₁₁ ≈ 46 183,62 € — A reste devant.
9
$n = 12$ n = 12 : $A_{12} = 48000$ A₁₂ = 48 000 € et $B_{12} \approx 48030, 97$ B₁₂ ≈ 48 030,97 € — B passe devant, de $30, 97$ 30,97 €.
10
L'offre B devient donc la plus intéressante à partir de la douzième année.
11
Vérification que le croisement est définitif : $n = 13$ n = 13 donne $A_{13} = 49500$ A₁₃ = 49 500 € contre $B_{13} \approx 49952, 21$ B₁₃ ≈ 49 952,21 €.
L'écart se creuse en faveur de B. ✔
12
Interprétation : l'offre A ajoute toujours $1500$ 1 500 €, alors que l'offre B ajoute $4 %$ 4 % d'un salaire qui grandit — soit $1200$ 1 200 € la première année, mais plus de $1800$ 1 800 € à partir de la douzième.
C'est le mécanisme de tout rattrapage exponentiel.
13
Conclusion pratique : le choix dépend de la durée envisagée dans l'entreprise.
Sur cinq ans, A est nettement préférable ; au-delà de douze ans, B l'emporte et l'écart grandit ensuite.

Réponse :

A_{n} = 30000 + 1500 n

Aₙ = 30 000 + 1 500n et

B_{n} = 30000 \times 1, 0 4^{n}

Bₙ = 30 000 × 1,04^(n) · A devant à

5

5 ans (

37500

37 500 contre

36500

36 500) et à

10

10 ans (

45000

45 000 contre

44407

44 407) · B devient plus intéressante à partir de la

1 2^{e}

12ᵉ année.

Rappel de cours : Comparaison linéaire / exponentiel : on tabule, on encadre le croisement entre deux rangs consécutifs, on conclut avec les deux valeurs.

Erreur fréquente : Comparer les seuls taux de départ ( $1500$ 1 500 € contre $1200$ 1 200 €) et conclure que A est toujours meilleure. Le pourcentage s'applique à une base croissante.

Exercice 18 — Décote d'un véhicule

Type bac / défi

Une voiture achetée $22000$ 22 000 € perd $18 %$ 18 % de sa valeur la première année, puis $12 %$ 12 % par an les années suivantes.

On note $v_{n}$ vₙ sa valeur après $n$ n années.

1.Calcule $v_{1}$ v₁, puis exprime $v_{n}$ vₙ pour $n ⩾ 1$ n ≥ 1.
2.Quelle est sa valeur au bout de $5$ 5 ans ?
3.Au bout de combien d'années la voiture vaut-elle moins de la moitié de son prix d'achat ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
Première année : une baisse de $18 %$ 18 % correspond au coefficient $0, 82$ 0,82.
2
$v_{1} = 22000 \times 0, 82 = 18040$ v₁ = 22 000 × 0,82 = 18 040 €.
3
À partir de là, chaque année multiplie la valeur par $0, 88$ 0,88 (baisse de $12 %$ 12 %).
La suite est géométrique de raison $0, 88$ 0,88, mais SEULEMENT à partir du rang $1$ 1.
4
Pour aller du rang $1$ 1 au rang $n$ n, il y a $n - 1$ n - 1 multiplications par $0, 88$ 0,88.
D'où $v_{n} = 18040 \times 0, 8 8^{n - 1}$ vₙ = 18 040 × 0,88^(n-1) pour $n ⩾ 1$ n ≥ 1.
5
Valeur au bout de $5$ 5 ans : $v_{5} = 18040 \times 0, 8 8^{4}$ v₅ = 18 040 × 0,88^(4).
6
$0, 8 8^{2} = 0, 7744$ 0,88² = 0,7744, donc $0, 8 8^{4} = 0, 774 4^{2} \approx 0, 599695$ 0,88⁴ = 0,7744² ≈ 0,599695.
7
$v_{5} \approx 18040 \times 0, 599695 \approx 10818, 50$ v₅ ≈ 18 040 × 0,599695 ≈ 10 818,50 €.
8
Pour la dernière question, la moitié du prix d'achat vaut $11000$ 11 000 €.
On cherche le premier rang tel que $v_{n} < 11000$ vₙ < 11 000.
9
$v_{3} = 18040 \times 0, 8 8^{2} = 18040 \times 0, 7744 \approx 13970, 18$ v₃ = 18 040 × 0,88² = 18 040 × 0,7744 ≈ 13 970,18 € — au-dessus.
10
$v_{4} = 18040 \times 0, 8 8^{3} \approx 18040 \times 0, 681472 \approx 12293, 75$ v₄ = 18 040 × 0,88³ ≈ 18 040 × 0,681472 ≈ 12 293,75 € — encore au-dessus.
11
$v_{5} \approx 10818, 50$ v₅ ≈ 10 818,50 € — cette fois le seuil est franchi.
12
La voiture vaut donc moins de la moitié de son prix d'achat au bout de $5$ 5 ans. ✔
13
Contrôle de vraisemblance : perdre la moitié de sa valeur en cinq ans correspond à une décote annuelle moyenne d'environ $13 %$ 13 %, cohérente avec les taux de l'énoncé. ✔
14
Attention au décalage d'indice : l'exposant est $n - 1$ n - 1 et non $n$ n, parce que la première année suit une règle différente.
Écrire $18040 \times 0, 8 8^{5}$ 18 040 × 0,88⁵ donnerait $9520, 28$ 9 520,28 € — la valeur au bout de SIX ans.

Réponse :

v_{1} = 18040

v₁ = 18 040 € et

v_{n} = 18040 \times 0, 8 8^{n - 1}

vₙ = 18 040 × 0,88^(n-1) ·

v_{5} \approx 10818, 50

v₅ ≈ 10 818,50 € · la valeur passe sous

11000

11 000 € au bout de

5

5 ans.

Rappel de cours : Quand la première période suit une règle particulière, on repart du premier terme « régulier » et l'exposant compte les pas restants : $n - 1$ n - 1, pas $n$ n.

Erreur fréquente : Appliquer $0, 8 8^{n}$ 0,88^(n) dès le rang $1$ 1. Cela ajoute une année de décote et fausse toutes les réponses suivantes.

Exercice 19 — Population avec départs annuels

Type bac / défi

Une commune compte $40000$ 40 000 habitants.

Chaque année, la population augmente de $1, 2 %$ 1,2 % du fait des naissances, puis $250$ 250 habitants quittent la commune.

On note $u_{n}$ uₙ la population après $n$ n années, avec $u_{0} = 40000$ u₀ = 40 000.

1.Exprime $u_{n + 1}$ uₙ₊₁ en fonction de $u_{n}$ uₙ.
2.Calcule la population après $4$ 4 ans, arrondie à l'unité.
3.Existe-t-il une population de départ pour laquelle la commune serait stable ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
Deux effets se succèdent chaque année : une hausse de $1, 2 %$ 1,2 % (coefficient $1, 012$ 1,012), puis un départ de $250$ 250 personnes.
2
Relation de récurrence : $u_{n + 1} = 1, 012 u_{n} - 250$ uₙ₊₁ = 1,012 uₙ - 250.
3
Calcul de $u_{1}$ u₁ : $40000 \times 1, 012 = 40480$ 40 000 × 1,012 = 40 480, puis $- 250$ -250, donc $u_{1} = 40230$ u₁ = 40 230.
4
Calcul de $u_{2}$ u₂ : $40230 \times 1, 012 = 40712, 76$ 40 230 × 1,012 = 40 712,76, puis $- 250$ -250, donc $u_{2} = 40462, 76$ u₂ = 40 462,76.
5
Calcul de $u_{3}$ u₃ : $40462, 76 \times 1, 012 \approx 40948, 313$ 40 462,76 × 1,012 ≈ 40 948,313, puis $- 250$ -250, donc $u_{3} \approx 40698, 313$ u₃ ≈ 40 698,313.
6
Calcul de $u_{4}$ u₄ : $40698, 313 \times 1, 012 \approx 41186, 693$ 40 698,313 × 1,012 ≈ 41 186,693, puis $- 250$ -250, donc $u_{4} \approx 40936, 69$ u₄ ≈ 40 936,69, soit environ $40937$ 40 937 habitants.
7
On garde les décimales dans les calculs intermédiaires : ce sont des populations « moyennes » issues d'un modèle, pas des personnes réelles.
On n'arrondit qu'à la toute fin.
8
Pour la stabilité, on cherche une valeur $x$ x telle que, partant de $x$ x, la population reste égale à $x$ x : $1, 012 x - 250 = x$ 1,012x - 250 = x.
9
On regroupe : $1, 012 x - x = 250$ 1,012x - x = 250, soit $0, 012 x = 250$ 0,012x = 250.
10
D'où $x = \frac{250}{0 , 012} \approx 20833, 33$ x = 250/0,012 ≈ 20 833,33 habitants.
11
Vérification : $20833, 33 \times 1, 012 \approx 21083, 33$ 20 833,33 × 1,012 ≈ 21 083,33, puis $- 250$ -250 redonne bien $20833, 33$ 20 833,33. ✔
12
Interprétation : avec environ $20833$ 20 833 habitants, les naissances compensent exactement les $250$ 250 départs.
Cette valeur s'appelle un point d'équilibre.
13
Comme la commune compte $40000$ 40 000 habitants, soit bien plus que ce seuil, les naissances ( $480$ 480 la première année) dépassent les départs : la population augmente, ce que confirment les calculs. ✔
14
Conséquence utile pour se relire : sous $20833$ 20 833 habitants, le même modèle produirait au contraire une décroissance — le signe de l'évolution dépend de la position par rapport au point d'équilibre.

Réponse :

u_{n + 1} = 1, 012 u_{n} - 250

uₙ₊₁ = 1,012 uₙ - 250 · environ

40937

40 937 habitants après

4

4 ans · population d'équilibre

\approx 20833

≈ 20 833 habitants.

Rappel de cours : Point d'équilibre d'un modèle $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ uₙ₊₁ = a uₙ + b : on résout $a x + b = x$ ax + b = x. Au-dessus, la suite croît (si $a > 1$ a > 1) ; en dessous, elle décroît.

Erreur fréquente : Soustraire les $250$ 250 départs AVANT d'appliquer la hausse. On obtiendrait $u_{1} = 40227$ u₁ = 40 227 au lieu de $40230$ 40 230 : l'ordre imposé par l'énoncé compte.

Exercice 20 — Synthèse : choisir un plan d'épargne

Type bac / défi

Deux plans d'épargne partent d'un capital de $3000$ 3 000 €.

Le plan A ajoute $480$ 480 € chaque année.

Le plan B rapporte $9 %$ 9 % par an.

Le graphique représente les deux plans sur $20$ 20 ans : le trait plein est le plan A, les pointillés le plan B.

1.Donne la nature de chaque suite, sa raison et son terme général.
2.Compare les capitaux au bout de $10$ 10 ans.
3.Détermine l'année à partir de laquelle le plan B devient le plus rentable.
4.Quel plan conseiller à quelqu'un qui épargne pour un projet à $20$ 20 ans ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
Plan A : montant fixe ajouté chaque année, donc suite arithmétique de raison $r = 480$ r = 480, de terme général $A_{n} = 3000 + 480 n$ Aₙ = 3 000 + 480n.
2
Plan B : pourcentage appliqué au capital, donc suite géométrique de raison $q = 1, 09$ q = 1,09, de terme général $B_{n} = 3000 \times 1, 0 9^{n}$ Bₙ = 3 000 × 1,09^(n).
3
Au bout de $10$ 10 ans : $A_{10} = 3000 + 4800 = 7800$ A₁₀ = 3 000 + 4 800 = 7 800 €.
4
$1, 0 9^{10} \approx 2, 36736$ 1,09¹⁰ ≈ 2,36736, donc $B_{10} \approx 7102, 09$ B₁₀ ≈ 7 102,09 €.
Le plan A est devant d'environ $698$ 698 €.
5
Pour le croisement, on tabule autour de la zone où les courbes se rejoignent sur le graphique, entre $12$ 12 et $15$ 15 ans.
6
$n = 13$ n = 13 : $A_{13} = 3000 + 6240 = 9240$ A₁₃ = 3 000 + 6 240 = 9 240 € et $B_{13} \approx 9197, 41$ B₁₃ ≈ 9 197,41 € — A est encore devant, de $42, 59$ 42,59 €.
7
$n = 14$ n = 14 : $A_{14} = 3000 + 6720 = 9720$ A₁₄ = 3 000 + 6 720 = 9 720 € et $B_{14} \approx 10025, 18$ B₁₄ ≈ 10 025,18 € — B passe devant, de plus de $305$ 305 €.
8
Le plan B devient donc le plus rentable à partir de la quatorzième année.
9
Vérification que le dépassement est durable : $n = 15$ n = 15 donne $A_{15} = 10200$ A₁₅ = 10 200 € contre $B_{15} \approx 10927, 45$ B₁₅ ≈ 10 927,45 €.
L'écart continue de croître. ✔
10
Au bout de $20$ 20 ans : $A_{20} = 3000 + 9600 = 12600$ A₂₀ = 3 000 + 9 600 = 12 600 € et $B_{20} = 3000 \times 1, 0 9^{20} \approx 16813, 23$ B₂₀ = 3 000 × 1,09²⁰ ≈ 16 813,23 €.
11
Le plan B rapporte alors $4213, 23$ 4 213,23 € de plus, soit un tiers de capital supplémentaire.
12
Conseil argumenté : pour un projet à $20$ 20 ans, le plan B est nettement préférable.
Pour un projet à moins de $14$ 14 ans, c'est le plan A qui l'emporte — le choix dépend entièrement de l'horizon de temps.
13
Ce que montre cet exercice, et qui vaut pour tout le chapitre : une suite arithmétique progresse d'un pas constant, une suite géométrique de raison supérieure à $1$ 1 accélère.
La seconde part souvent moins vite, mais finit toujours par dépasser la première, et l'écart devient ensuite considérable.

Réponse :

A_{n} = 3000 + 480 n

Aₙ = 3 000 + 480n (arithmétique,

r = 480

r = 480) et

B_{n} = 3000 \times 1, 0 9^{n}

Bₙ = 3 000 × 1,09^(n) (géométrique,

q = 1, 09

q = 1,09) · à

10

10 ans A mène (

7800

7 800 € contre

7102

7 102 €) · B devient plus rentable à partir de la

1 4^{e}

14ᵉ année · à

20

20 ans, B rapporte

16813

16 813 € contre

12600

12 600 € : c'est lui qu'il faut conseiller.

Rappel de cours : Toujours conclure une comparaison par « à partir de quel rang », jamais par un vainqueur absolu : les deux modèles gagnent à des horizons différents.

Erreur fréquente : Lire le croisement au jugé sur le graphique et annoncer $13$ 13 ans. Au rang $13$ 13, A mène encore de $42, 59$ 42,59 € : seul le calcul tranche.

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