Exercices corrigés : Racines carrées — Troisième

Correction détaillée

1. 1

   $\sqrt{16}=4$√(16)=4 (car $4^2=16$4²=16).

2. 2

   $\sqrt{49}=7$√(49)=7 ; $\sqrt{100}=10$√(100)=10.

Rappel de cours : $\sqrt{a}$√a est le nombre positif dont le carré vaut $a$a.

Correction détaillée

1. 1

   $(\sqrt{7}{)}^2=7$( √7 )²=7 (le carré « annule » la racine).

2. 2

   $\sqrt{5}\times \sqrt{5}=(\sqrt{5}{)}^2=5$√5 × √5 =( √5 )²=5.

Rappel de cours : $(\sqrt{a}{)}^2=a$( √a )²=a pour $a\ge 0$a≥ 0 : racine et carré sont des opérations inverses.

Correction détaillée

1. 1

   $x^2=36$x²=36 : deux nombres ont pour carré $36$36, à savoir $6$6 et $-6$-6.

2. 2

   $x^2=7$x²=7 : $7$7 n'est pas un carré parfait, les solutions sont $\sqrt{7}$sqrt7 et $-\sqrt{7}$-sqrt7.

3. 3

   $x^2=-4$x²=-4 : un carré est toujours positif ou nul, il n'y a aucune solution.

Rappel de cours : Pour $a>0$a>0, $x^2=a$x²=a a deux solutions $\sqrt{a}$√a et $-\sqrt{a}$- √a ; pour $a=0$a=0, une seule ; pour $a<0$a<0, aucune.

Erreur fréquente : Oublier la solution négative : $(-6{)}^2=36$(-6)²=36 aussi.

Correction détaillée

1. 1

   On cherche les carrés autour de $30$30 : $5^2=25$5²=25 et $6^2=36$6²=36.

2. 2

   $25<30<36$25<30<36, donc $5<\sqrt{30}<6$5<√(30)<6.

Rappel de cours : On encadre par les carrés parfaits les plus proches.

Correction détaillée

1. 1

   $\sqrt{2}\times \sqrt{8}=\sqrt{2\times 8}=\sqrt{16}=4$√2 × √8 =√(2× 8)=√(16)=4.

2. 2

   $\sqrt{3}\times \sqrt{12}=\sqrt{36}=6$√3 ×√(12)=√(36)=6.

Rappel de cours : $\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{ab}$√a × √b =√(ab).

Correction détaillée

1. 1

   $\sqrt{12}=\sqrt{4\times 3}=\sqrt{4}\times \sqrt{3}=2\sqrt{3}$√(12)=√(4× 3)= √4 × √3 =2 √3.

2. 2

   $\sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=5\sqrt{2}$√(50)=√(25× 2)=5 √2.

Rappel de cours : On extrait le plus grand carré parfait facteur : $\sqrt{a^{2}b}=a\sqrt{b}$√(a² b)=a √b.

Correction détaillée

1. 1

   On cherche le plus grand carré parfait qui divise le nombre.

2. 2

   $72=36\times 2$72=36× 2, donc $\sqrt{72}=\sqrt{36}\times \sqrt{2}=6\sqrt{2}$√(72)=√(36)×sqrt2=6sqrt2.

3. 3

   $48=16\times 3$48=16× 3, donc $\sqrt{48}=\sqrt{16}\times \sqrt{3}=4\sqrt{3}$√(48)=√(16)×sqrt3=4sqrt3.

Rappel de cours : $\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$√(a× b)= √a × √b pour $a,b\ge 0$a,b≥ 0.

Erreur fréquente : $72=4\times 18$72=4× 18 donne $2\sqrt{18}$2√(18), qui n'est pas simplifié au maximum : prendre le plus grand carré ($36$36).

Correction détaillée

1. 1

   La diagonale partage le carré en deux triangles rectangles isocèles de côtés $5$5 et $5$5.

   Pythagore : $d^2=5^2+5^2=50$d²=5²+5²=50.

2. 2

   Valeur exacte : $d=\sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=5\sqrt{2}$d=√(50)=√(25× 2)=5sqrt2 cm.

3. 3

   Valeur approchée : $5\sqrt{2}\approx 5\times 1,4142\approx 7,07$5sqrt2≈ 5× 1,4142≈ 7,07, soit environ $7,1$7,1 cm.

Rappel de cours : La diagonale d'un carré de côté $c$c vaut $c\sqrt{2}$csqrt2.

Correction détaillée

1. 1

   $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$( √a )/( √b )=√(a/b), donc $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{18}{2}}=\sqrt{9}=3$√(18)/√2=√(18/2)= √9 =3.

Rappel de cours : $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$( √a )/( √b )=√(a/b).

Correction détaillée

1. 1

   $3\sqrt{2}+5\sqrt{2}=8\sqrt{2}$3 √2 +5 √2 =8 √2 (on additionne les coefficients, comme pour $3x+5x$3x+5x).

2. 2

   $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$√8 =2 √2, donc $\sqrt{8}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}$√8 + √2 =2 √2 + √2 =3 √2.

Rappel de cours : On n'additionne des racines que si elles ont le même radicande (après simplification).

Erreur fréquente : $\sqrt{a}+\sqrt{b}\ne \sqrt{a+b}$√a + √b ≠√(a+b) : on ne peut additionner que des racines « semblables ».

Correction détaillée

1. 1

   $\sqrt{3}\times \sqrt{3}+\sqrt{3}\times 2=3+2\sqrt{3}$√3 × √3 + √3 × 2=3+2 √3.

Rappel de cours : Distributivité : $\sqrt{3}\times \sqrt{3}=3$√3 × √3 =3.

Correction détaillée

1. 1

   $B{C}^2=2^2+3^2=4+9=13$BC²=2²+3²=4+9=13.

2. 2

   $BC=\sqrt{13}$BC=√(13) (ne se simplifie pas).

Rappel de cours : L'hypoténuse s'exprime souvent par une racine carrée exacte.

Correction détaillée

1. 1

   On simplifie chaque racine pour faire apparaître $\sqrt{5}$sqrt5.

2. 2

   $\sqrt{45}=\sqrt{9\times 5}=3\sqrt{5}$√(45)=√(9× 5)=3sqrt5, donc $2\sqrt{45}=6\sqrt{5}$2√(45)=6sqrt5.

3. 3

   $\sqrt{20}=\sqrt{4\times 5}=2\sqrt{5}$√(20)=√(4× 5)=2sqrt5.

4. 4

   $D=6\sqrt{5}-2\sqrt{5}+\sqrt{5}=(6-2+1)\sqrt{5}=5\sqrt{5}$D=6sqrt5-2sqrt5+sqrt5=(6-2+1)sqrt5=5sqrt5.

Rappel de cours : On additionne des racines comme des termes semblables : $a\sqrt{5}+b\sqrt{5}=(a+b)\sqrt{5}$asqrt5+bsqrt5=(a+b)sqrt5.

Correction détaillée

1. 1

   $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$√(9+16)=√(25)=5, alors que $\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7$sqrt9+√(16)=3+4=7.

   Les résultats sont différents : Sami a tort.

2. 2

   $\sqrt{9\times 16}=\sqrt{144}=12$√(9× 16)=√(144)=12 et $\sqrt{9}\times \sqrt{16}=3\times 4=12$sqrt9×√(16)=3× 4=12.

   Cette fois l'égalité est vraie.

3. 3

   La racine carrée « passe » dans un produit (ou un quotient), jamais dans une somme.

Rappel de cours : $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$√(ab)= √a √b mais en général $\sqrt{a+b}\ne \sqrt{a}+\sqrt{b}$√(a+b)≠ √a + √b.

Erreur fréquente : C'est exactement l'erreur du triangle $3$3-$4$4-$5$5 : l'hypoténuse vaut $\sqrt{9+16}=5$√(9+16)=5, pas $3+4$3+4.

Correction détaillée

1. 1

   $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$(a+b)²=a²+2ab+b² avec $a=\sqrt{5}$a= √5, $b=1$b=1.

2. 2

   $(\sqrt{5}{)}^2+2\sqrt{5}+1=5+2\sqrt{5}+1=6+2\sqrt{5}$( √5 )²+2 √5 +1=5+2 √5 +1=6+2 √5.

Rappel de cours : $(\sqrt{5}{)}^2=5$( √5 )²=5 : on applique l'identité comme d'habitude.

Correction détaillée

1. 1

   $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$(a-b)(a+b)=a²-b² avec $a=\sqrt{7}$a= √7, $b=2$b=2.

2. 2

   $(\sqrt{7}{)}^2-2^2=7-4=3$( √7 )²-2²=7-4=3.

Rappel de cours : $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$(a-b)(a+b)=a²-b² : la racine disparaît, le résultat est entier.

Correction détaillée

1. 1

   $\sqrt{75}=\sqrt{25\times 3}=5\sqrt{3}$√(75)=√(25× 3)=5 √3 et $\sqrt{12}=\sqrt{4\times 3}=2\sqrt{3}$√(12)=√(4× 3)=2 √3.

2. 2

   $5\sqrt{3}+2\sqrt{3}=7\sqrt{3}$5 √3 +2 √3 =7 √3.

Rappel de cours : On simplifie chaque racine pour faire apparaître le même radicande, puis on additionne.

Correction détaillée

1. 1

   Côté $c$c : $c^2=45$c²=45, avec $c>0$c>0, donc $c=\sqrt{45}$c=√(45).

2. 2

   $\sqrt{45}=\sqrt{9\times 5}=3\sqrt{5}$√(45)=√(9× 5)=3 √5 cm.

Rappel de cours : On simplifie la racine en extrayant le carré parfait : $\sqrt{45}=3\sqrt{5}$√(45)=3sqrt5.

Correction détaillée

1. 1

   On compare les carrés (les deux nombres sont positifs) : $(2\sqrt{3}{)}^2=4\times 3=12$(2 √3 )²=4× 3=12 et $(3\sqrt{2}{)}^2=9\times 2=18$(3 √2 )²=9× 2=18.

2. 2

   $12<18$12<18, donc $2\sqrt{3}<3\sqrt{2}$2 √3 <3 √2.

Rappel de cours : Pour comparer deux nombres positifs avec racines, on compare leurs carrés.

Correction détaillée

1. 1

   Aire : $\sqrt{50}\times \sqrt{8}=\sqrt{400}=20{\text{cm}}^2$√(50)×sqrt8=√(400)=20 cm ².

   Le résultat est un entier.

2. 2

   Périmètre : $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$√(50)=5sqrt2 et $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$sqrt8=2sqrt2, donc $P=2(5\sqrt{2}+2\sqrt{2})=2\times 7\sqrt{2}=14\sqrt{2}$P=2(5sqrt2+2sqrt2)=2× 7sqrt2=14sqrt2 cm.

3. 3

   Diagonale : Pythagore donne $d^2=(\sqrt{50}{)}^2+(\sqrt{8}{)}^2=50+8=58$d²=(√(50))²+(sqrt8)²=50+8=58, donc $d=\sqrt{58}$d=√(58) cm ($58=2\times 29$58=2× 29 n'a pas de facteur carré, on ne peut pas simplifier).

Rappel de cours : Simplifier les racines d'abord rend les sommes possibles : $5\sqrt{2}+2\sqrt{2}=7\sqrt{2}$5sqrt2+2sqrt2=7sqrt2.

Erreur fréquente : $\sqrt{50}+\sqrt{8}\ne \sqrt{58}$√(50)+sqrt8≠√(58) : on n'additionne jamais sous la racine.