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Exercices corrigés : Réciproque de Thalès — Troisième

Besoin de revoir la leçon avant de te lancer ? Cours et fiche de révision : Réciproque de Thalès

Niveau: Troisième
Chapitre: Réciproque de Thalès
Nombre d'exercices: 14 exercices corrigés
Difficulté: Facile à type brevet

La réciproque du théorème de Thalès sert à démontrer que deux droites sont parallèles : si les points $A, M, B$ A,M,B et $A, N, C$ A,N,C sont alignés dans le même ordre, et si $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}$ AM/AB=AN/AC, alors $(M N) ∥ (B C)$ (MN) ‖ (BC). Ces exercices corrigés couvrent la vérification de l'égalité des rapports, la conclusion sur le parallélisme et des applications type brevet. Difficulté croissante, correction d'un clic.

Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée avec rappels de cours et erreurs fréquentes à éviter.

Exercice 1 — Vérifier l'égalité des rapports

Application directe

$M \in [A B]$ M∈[AB], $N \in [A C]$ N∈[AC].

$A M = 2$ AM=2, $A B = 6$ AB=6, $A N = 3$ AN=3, $A C = 9$ AC=9.

Les rapports $\frac{A M}{A B}$ AM/AB et $\frac{A N}{A C}$ AN/AC sont-ils égaux ?

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Correction détaillée

1
$\frac{A M}{A B} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ AM/AB=2/6=1/3 et $\frac{A N}{A C} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ AN/AC=3/9=1/3.
2
Les deux rapports sont égaux à $\frac{1}{3}$ 1/3.

Réponse : Oui, les rapports valent tous deux

\frac{1}{3}

1/3.

Rappel de cours : On calcule chaque rapport et on les compare (en simplifiant les fractions).

Exercice 2 — Conclure le parallélisme

Application directe

Avec les données précédentes (rapports égaux à $\frac{1}{3}$ 1/3) et $A, M, B$ A,M,B ainsi que $A, N, C$ A,N,C alignés dans le même ordre, que peut-on conclure ?

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Correction détaillée

1
Les rapports $\frac{A M}{A B}$ AM/AB et $\frac{A N}{A C}$ AN/AC sont égaux, et les points sont alignés dans le même ordre.
2
Par la réciproque de Thalès, $(M N) ∥ (B C)$ (MN) ‖ (BC).

Réponse :

(M N) ∥ (B C)

(MN) ‖ (BC).

Rappel de cours : Réciproque de Thalès : rapports égaux + alignement dans le même ordre $\Rightarrow$ ⇒ droites parallèles.

Exercice 3 — Comparer par produit en croix

À maîtriser

$A M = 4$ AM=4, $A B = 10$ AB=10, $A N = 6$ AN=6, $A C = 15$ AC=15.

Vérifier l'égalité $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}$ AM/AB=AN/AC par produit en croix.

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Correction détaillée

1
On compare $\frac{4}{10}$ 4/10 et $\frac{6}{15}$ 6/15.
Produit en croix : $4 \times 15 = 60$ 4× 15=60 et $10 \times 6 = 60$ 10× 6=60.
2
Les produits sont égaux, donc les rapports sont égaux.

Réponse : Oui,

\frac{4}{10} = \frac{6}{15}

4/10=6/15 (produit en croix

60 = 60

60=60).

Rappel de cours : Deux fractions sont égales $⟺$ ⇔ leurs produits en croix sont égaux.

Exercice 4 — Cas non parallèle

À maîtriser

$A M = 3$ AM=3, $A B = 7$ AB=7, $A N = 4$ AN=4, $A C = 9$ AC=9.

Les droites $(M N)$ (MN) et $(B C)$ (BC) sont-elles parallèles ?

(MN) et (BC) sont-elles parallèles ?

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Correction détaillée

1
$\frac{A M}{A B} = \frac{3}{7}$ AM/AB=3/7 et $\frac{A N}{A C} = \frac{4}{9}$ AN/AC=4/9.
Produit en croix : $3 \times 9 = 27$ 3× 9=27, $7 \times 4 = 28$ 7× 4=28.
2
$27 \neq = 28$ 27≠ 28 : les rapports ne sont pas égaux, donc $(M N)$ (MN) et $(B C)$ (BC) ne sont pas parallèles.

Réponse : Non, pas parallèles (

\frac{3}{7} \neq = \frac{4}{9}

3/7≠4/9).

Rappel de cours : Si les rapports diffèrent, la réciproque ne s'applique pas : les droites ne sont pas parallèles.

Exercice 5 — Rédaction complète

À maîtriser

$A, M, B$ A,M,B alignés (dans cet ordre), $A, N, C$ A,N,C alignés, $A M = 5$ AM=5, $A B = 8$ AB=8, $A N = 7, 5$ AN=7,5, $A C = 12$ AC=12.

Démontrer que $(M N) ∥ (B C)$ (MN) ‖ (BC).

Démontrer que (MN) ∥ (BC)

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Correction détaillée

1
$\frac{A M}{A B} = \frac{5}{8} = 0, 625$ AM/AB=5/8=0,625 et $\frac{A N}{A C} = \frac{7 , 5}{12} = 0, 625$ AN/AC=7,5/12=0,625.
2
Les rapports sont égaux et les points alignés dans le même ordre.
3
Par la réciproque de Thalès, $(M N) ∥ (B C)$ (MN) ‖ (BC).

Réponse :

(M N) ∥ (B C)

(MN) ‖ (BC) (rapports égaux à

0, 625

0,625).

Rappel de cours : Rédaction type : calculer les deux rapports, constater l'égalité, citer la réciproque, conclure.

Exercice 6 — Configuration papillon

Type contrôle

Deux droites se coupent en $O$ O.

$O A = 3$ OA=3, $O B = 4$ OB=4 sur l'une ; $O C = 6$ OC=6, $O D = 8$ OD=8 sur l'autre, avec $A, O, B$ A,O,B et $C, O, D$ C,O,D alignés.

Les droites $(A C)$ (AC) et $(B D)$ (BD) sont-elles parallèles ?

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Correction détaillée

1
On compare $\frac{O A}{O B} = \frac{3}{4}$ OA/OB=3/4 et $\frac{O C}{O D} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ OC/OD=6/8=3/4.
2
Les rapports sont égaux ; en configuration papillon (points alignés via $O$ O), la réciproque de Thalès s'applique.
3
Donc $(A C) ∥ (B D)$ (AC) ‖ (BD).

Réponse : Oui,

(A C) ∥ (B D)

(AC) ‖ (BD) (rapports égaux à

\frac{3}{4}

3/4).

Rappel de cours : La réciproque marche aussi en « papillon » : il faut que les rapports $\frac{O A}{O B}$ OA/OB et $\frac{O C}{O D}$ OC/OD soient égaux.

Exercice 7 — Avec longueurs à reconstituer

Type contrôle

$M \in [A B]$ M∈[AB] avec $A M = 4$ AM=4, $M B = 2$ MB=2 ; $N \in [A C]$ N∈[AC] avec $A N = 6$ AN=6, $N C = 3$ NC=3.

Les droites $(M N)$ (MN) et $(B C)$ (BC) sont-elles parallèles ?

(MN) ∥ (BC) ? (longueurs à reconstituer)

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Correction détaillée

1
$A B = A M + M B = 4 + 2 = 6$ AB=AM+MB=4+2=6 et $A C = A N + N C = 6 + 3 = 9$ AC=AN+NC=6+3=9.
2
$\frac{A M}{A B} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ AM/AB=4/6=2/3 et $\frac{A N}{A C} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ AN/AC=6/9=2/3.
3
Rapports égaux et points dans le même ordre : $(M N) ∥ (B C)$ (MN) ‖ (BC).

Réponse : Oui,

(M N) ∥ (B C)

(MN) ‖ (BC) (rapports

\frac{2}{3}

2/3).

Rappel de cours : Si l'énoncé donne $M B$ MB et $N C$ NC, il faut reconstituer $A B = A M + M B$ AB=AM+MB et $A C = A N + N C$ AC=AN+NC.

Erreur fréquente : Ne pas comparer $\frac{A M}{M B}$ AM/MB et $\frac{A N}{N C}$ AN/NC directement : la réciproque utilise les longueurs depuis $A$ A.

Exercice 8 — Choisir le bon rapport

Type contrôle

$M \in [A B]$ M∈[AB], $N \in [A C]$ N∈[AC].

$A M = 3$ AM=3, $M B = 5$ MB=5, $A N = 4, 5$ AN=4,5, $N C = 7, 5$ NC=7,5.

$(M N) ∥ (B C)$ (MN) ‖ (BC) ?

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Correction détaillée

1
$A B = 3 + 5 = 8$ AB=3+5=8, $A C = 4, 5 + 7, 5 = 12$ AC=4,5+7,5=12.
2
$\frac{A M}{A B} = \frac{3}{8} = 0, 375$ AM/AB=3/8=0,375 et $\frac{A N}{A C} = \frac{4 , 5}{12} = 0, 375$ AN/AC=4,5/12=0,375.
3
Égalité : $(M N) ∥ (B C)$ (MN) ‖ (BC).

Réponse : Oui,

(M N) ∥ (B C)

(MN) ‖ (BC) (rapports

0, 375

0,375).

Rappel de cours : Toujours utiliser les longueurs complètes $A B$ AB et $A C$ AC depuis le sommet $A$ A.

Exercice 9 — Type brevet : justifier puis utiliser

Type contrôle

$M \in [A B]$ M∈[AB], $N \in [A C]$ N∈[AC], $A M = 6$ AM=6, $A B = 9$ AB=9, $A N = 8$ AN=8, $A C = 12$ AC=12. 1) Montrer que $(M N) ∥ (B C)$ (MN) ‖ (BC). 2) Sachant $B C = 7, 5$ BC=7,5, calculer $M N$ MN.

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Correction détaillée

1
$\frac{A M}{A B} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ AM/AB=6/9=2/3, $\frac{A N}{A C} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ AN/AC=8/12=2/3.
Rapports égaux + même ordre : $(M N) ∥ (B C)$ (MN) ‖ (BC) (réciproque).
2
On applique alors Thalès : $\frac{M N}{B C} = \frac{2}{3}$ MN/BC=2/3, donc $M N = \frac{2}{3} \times 7, 5 = 5$ MN=2/3× 7,5=5.

Réponse :

(M N) ∥ (B C)

(MN) ‖ (BC) et

M N = 5

MN=5.

Rappel de cours : On utilise d'abord la réciproque (parallélisme), puis le théorème direct (calcul de longueur).

Exercice 10 — Type brevet : valeur pour parallélisme

Approfondissement / défi

$M \in [A B]$ M∈[AB], $N \in [A C]$ N∈[AC], $A M = 4$ AM=4, $A B = 6$ AB=6, $A C = 9$ AC=9.

Quelle valeur de $A N$ AN rend $(M N) ∥ (B C)$ (MN) ‖ (BC) ?

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Correction détaillée

1
Pour le parallélisme, il faut $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}$ AM/AB=AN/AC, soit $\frac{4}{6} = \frac{A N}{9}$ 4/6=AN/9.
2
$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ 4/6=2/3, donc $A N = \frac{2}{3} \times 9 = 6$ AN=2/3× 9=6.

Réponse :

A N = 6

AN=6.

Rappel de cours : On impose l'égalité des rapports et on résout en l'inconnue.

Exercice 11 — Type brevet : produit en croix pour conclure

Approfondissement / défi

$A M = 2, 4$ AM=2,4, $A B = 4$ AB=4, $A N = 3$ AN=3, $A C = 5$ AC=5.

Démontrer si $(M N) ∥ (B C)$ (MN) ‖ (BC).

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Correction détaillée

1
On compare $\frac{A M}{A B} = \frac{2 , 4}{4}$ AM/AB=2,4/4 et $\frac{A N}{A C} = \frac{3}{5}$ AN/AC=3/5.
Produit en croix : $2, 4 \times 5 = 12$ 2,4× 5=12, $4 \times 3 = 12$ 4× 3=12.
2
Les produits sont égaux : les rapports le sont aussi.
Avec l'alignement dans le même ordre, $(M N) ∥ (B C)$ (MN) ‖ (BC).

Réponse : Oui,

(M N) ∥ (B C)

(MN) ‖ (BC) (produit en croix

12 = 12

12=12).

Rappel de cours : Le produit en croix évite de calculer des fractions décimales et conclut directement.

Exercice 12 — Type brevet : non parallèle (justification)

Approfondissement / défi

$A M = 5$ AM=5, $A B = 8$ AB=8, $A N = 6$ AN=6, $A C = 10$ AC=10.

Les droites $(M N)$ (MN) et $(B C)$ (BC) sont-elles parallèles ?

(MN) et (BC) sont-elles parallèles ?

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Correction détaillée

1
Produit en croix : $\frac{A M}{A B} = \frac{5}{8}$ AM/AB=5/8 vs $\frac{A N}{A C} = \frac{6}{10}$ AN/AC=6/10.
$5 \times 10 = 50$ 5× 10=50, $8 \times 6 = 48$ 8× 6=48.
2
$50 \neq = 48$ 50≠ 48 : les rapports diffèrent, donc $(M N)$ (MN) et $(B C)$ (BC) ne sont pas parallèles.

Réponse : Non, pas parallèles (

50 \neq = 48

50≠ 48).

Rappel de cours : Une différence, même petite, suffit à conclure « pas parallèles » par la contraposée.

Exercice 13 — Type brevet : figure avec deux conclusions

Approfondissement / défi

Dans un triangle $A B C$ ABC, $M$ M sur $[A B]$ [AB] et $N$ N sur $[A C]$ [AC].

$A M = 3, 6$ AM=3,6, $A B = 4, 5$ AB=4,5, $A N = 4, 8$ AN=4,8, $A C = 6$ AC=6. 1) $(M N) ∥ (B C)$ (MN) ‖ (BC) ? 2) Si oui, calculer le rapport de réduction.

(MN) ∥ (BC) ? Rapport de réduction ?

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Correction détaillée

1
$\frac{A M}{A B} = \frac{3 , 6}{4 , 5} = 0, 8$ AM/AB=3,6/4,5=0,8 et $\frac{A N}{A C} = \frac{4 , 8}{6} = 0, 8$ AN/AC=4,8/6=0,8.
Rapports égaux : $(M N) ∥ (B C)$ (MN) ‖ (BC).
2
Le rapport de réduction est $0, 8$ 0,8 : le petit triangle $A M N$ AMN est une réduction de $A B C$ ABC de coefficient $0, 8$ 0,8.

Réponse :

(M N) ∥ (B C)

(MN) ‖ (BC) ; rapport de réduction

0, 8

0,8.

Rappel de cours : Quand les rapports sont égaux, leur valeur commune est le coefficient de réduction (ou d'agrandissement).

Exercice 14 — Type brevet : application concrète

Approfondissement / défi

Deux poteaux verticaux de hauteurs $2$ 2 m et $5$ 5 m sont reliés par des câbles depuis un point $O$ O au sol.

Les distances au sol sont $O A = 4$ OA=4 m (poteau de $2$ 2 m) et $O B = 10$ OB=10 m (poteau de $5$ 5 m).

Les sommets des poteaux et $O$ O montrent-ils que les poteaux sont « vus » sous des câbles parallèles ? (Vérifier $\frac{2}{5}$ 2/5 et $\frac{4}{10}$ 4/10.)

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Correction détaillée

1
On compare $\frac{2}{5} = 0, 4$ 2/5=0,4 (hauteurs) et $\frac{4}{10} = 0, 4$ 4/10=0,4 (distances).
2
Les rapports sont égaux : par la réciproque de Thalès, les droites reliant les sommets sont parallèles (les poteaux « grandissent » proportionnellement à la distance).

Réponse : Oui :

\frac{2}{5} = \frac{4}{10} = 0, 4

2/5=4/10=0,4, configuration de Thalès.

Rappel de cours : Beaucoup de situations de proportionnalité géométrique se justifient par la réciproque de Thalès.

Tout sur thalès et pythagore

Les deux théorèmes du brevet : calculer une longueur, prouver un parallélisme, prouver un angle droit.

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