Exercices corrigés : Théorème de Pythagore — Troisième

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1. 1

   Pythagore : $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=3^2+4^2=9+16=25$BC²=AB²+AC²=3²+4²=9+16=25.

2. 2

   $BC=\sqrt{25}=5$BC=√(25)=5 cm.

Rappel de cours : Triangle rectangle en $A$A : $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$BC²=AB²+AC² ($BC$BC est l'hypoténuse, le côté opposé à l'angle droit).

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1. 1

   $B{C}^2=2^2+5^2=4+25=29$BC²=2²+5²=4+25=29.

2. 2

   $BC=\sqrt{29}\approx 5,4$BC=√(29)≈ 5,4 cm.

Rappel de cours : L'hypoténuse n'est pas toujours « ronde » : on laisse $\sqrt{29}$√(29) en valeur exacte.

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1. 1

   L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit.

2. 2

   L'angle droit est en $B$B, donc l'hypoténuse est $[AC]$[AC] (le côté qui ne touche pas $B$B).

Rappel de cours : L'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit (et le plus long).

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1. 1

   Le triangle est rectangle en $E$E : l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, c'est $[FG]$[FG].

2. 2

   D'après le théorème de Pythagore : $F{G}^2=E{F}^2+E{G}^2=7^2+24^2=49+576=625$FG²=EF²+EG²=7²+24²=49+576=625.

3. 3

   $FG$FG est une longueur, donc positive : $FG=\sqrt{625}=25$FG=√(625)=25.

Rappel de cours : Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Erreur fréquente : Ne pas additionner les longueurs ($7+24=31$7+24=31) : on additionne leurs carrés, puis on prend la racine carrée.

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1. 1

   Pythagore : $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$BC²=AB²+AC², donc $A{C}^2=B{C}^2-A{B}^2$AC²=BC²-AB².

2. 2

   $A{C}^2=13^2-5^2=169-25=144$AC²=13²-5²=169-25=144, donc $AC=\sqrt{144}=12$AC=√(144)=12 cm.

Rappel de cours : Pour un côté de l'angle droit, on SOUSTRAIT : $A{C}^2=B{C}^2-A{B}^2$AC²=BC²-AB².

Erreur fréquente : Quand on cherche un côté de l'angle droit, on retranche (pas additionne) : l'hypoténuse est le plus grand.

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1. 1

   $A{B}^2=B{C}^2-A{C}^2=8^2-6^2=64-36=28$AB²=BC²-AC²=8²-6²=64-36=28.

2. 2

   $AB=\sqrt{28}=2\sqrt{7}\approx 5,3$AB=√(28)=2 √7 ≈ 5,3 cm.

Rappel de cours : $\sqrt{28}=\sqrt{4\times 7}=2\sqrt{7}$√(28)=√(4× 7)=2 √7 : on simplifie la racine.

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1. 1

   La diagonale est l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés $6$6 et $8$8.

2. 2

   $d^2=6^2+8^2=36+64=100$d²=6²+8²=36+64=100, donc $d=10$d=10 cm.

Rappel de cours : La diagonale d'un rectangle partage celui-ci en deux triangles rectangles : on applique Pythagore.

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1. 1

   L'écran est un rectangle : la diagonale le coupe en deux triangles rectangles de côtés $96$96 et $54$54 cm, et la diagonale $d$d en est l'hypoténuse.

2. 2

   Pythagore : $d^2=96^2+54^2=9216+2916=12132$d²=96²+54²=9 216+2 916=12 132, donc $d=\sqrt{12132}\approx 110,1$d=√(12 132)≈ 110,1 cm.

3. 3

   Conversion en pouces : $110,1÷2,54\approx 43,4$110,1÷ 2,54≈ 43,4.

Rappel de cours : Pour une diagonale de rectangle de côtés $L$L et $\ell$ℓ : $d=\sqrt{L^2+{\ell }^2}$d=√(L²+ℓ²).

Erreur fréquente : Garder la valeur exacte (ou plusieurs décimales) jusqu'à la conversion : arrondir trop tôt peut fausser le dernier chiffre.

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1. 1

   L'hypoténuse est $[BC]$[BC] (opposée à l'angle droit en $A$A).

   Pythagore : $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$BC²=AB²+AC².

2. 2

   Donc $A{C}^2=B{C}^2-A{B}^2=400-144=256$AC²=BC²-AB²=400-144=256, et $AC=\sqrt{256}=16$AC=√(256)=16 cm.

3. 3

   Périmètre : $AB+AC+BC=12+16+20=48$AB+AC+BC=12+16+20=48 cm.

4. 4

   Aire : dans un triangle rectangle, les deux côtés de l'angle droit sont une base et la hauteur associée.

   $S=\frac{AB\times AC}{2}=\frac{12\times 16}{2}=96{\text{cm}}^2$S=(AB× AC)/2=(12× 16)/2=96 cm ².

Rappel de cours : Pour un côté de l'angle droit, on soustrait : $A{C}^2=B{C}^2-A{B}^2$AC²=BC²-AB².

Erreur fréquente : L'aire n'est pas $\frac{AB\times BC}{2}$(AB× BC)/2 : $[BC]$[BC] n'est pas perpendiculaire à $[AB]$[AB]. Seuls les côtés de l'angle droit servent de base et de hauteur.

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1. 1

   L'échelle ($5$5 m) est l'hypoténuse ; la distance au mur ($3$3 m) est un côté de l'angle droit.

   On cherche la hauteur $h$h.

2. 2

   $h^2=5^2-3^2=25-9=16$h²=5²-3²=25-9=16, donc $h=4$h=4 m.

Rappel de cours : Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle (angle droit au pied du mur).

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1. 1

   Le déplacement horizontal ($5$5) et vertical ($12$12) forment un angle droit ; la distance directe est l'hypoténuse.

2. 2

   $d^2=5^2+12^2=25+144=169$d²=5²+12²=25+144=169, donc $d=13$d=13 carreaux.

Rappel de cours : Sur un quadrillage, déplacements horizontal et vertical sont perpendiculaires : Pythagore donne la distance directe.

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1. 1

   Si $A$A est sur le cercle de diamètre $[BC]$[BC], alors le triangle $ABC$ABC est rectangle en $A$A.

2. 2

   $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=36+64=100$BC²=AB²+AC²=36+64=100, donc $BC=10$BC=10.

Rappel de cours : Propriété : un triangle inscrit dans un cercle avec un côté = diamètre est rectangle (angle droit au sommet opposé).

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1. 1

   Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est aussi la médiane : $H$H est le milieu de $[BC]$[BC], donc $BH=10÷2=5$BH=10÷ 2=5 cm.

2. 2

   Le triangle $ABH$ABH est rectangle en $H$H, d'hypoténuse $[AB]$[AB].

   Pythagore : $A{B}^2=A{H}^2+B{H}^2$AB²=AH²+BH², d'où $A{H}^2=169-25=144$AH²=169-25=144 et $AH=12$AH=12 cm.

3. 3

   Aire de $ABC$ABC : $\frac{BC\times AH}{2}=\frac{10\times 12}{2}=60{\text{cm}}^2$(BC× AH)/2=(10× 12)/2=60 cm ².

Rappel de cours : Pour appliquer Pythagore dans une figure qui n'est pas rectangle, on cherche un triangle rectangle caché : ici la hauteur en crée deux.

Erreur fréquente : Utiliser $BH=5$BH=5 et non $BC=10$BC=10 : le triangle rectangle est $ABH$ABH, pas $ABC$ABC.

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1. 1

   On note $L$L la main de Léa, $K$K le cerf-volant et $H$H le point à la verticale de $K$K et à la hauteur de la main.

   Le triangle $LHK$LHK est rectangle en $H$H, d'hypoténuse $[LK]$[LK] (la ficelle).

2. 2

   Pythagore : $L{K}^2=L{H}^2+H{K}^2$LK²=LH²+HK², donc $H{K}^2=50^2-30^2=2500-900=1600$HK²=50²-30²=2 500-900=1 600 et $HK=40$HK=40 m.

3. 3

   $HK$HK est mesurée depuis la main, qui est à $1,5$1,5 m du sol : hauteur totale $=40+1,5=41,5$=40+1,5=41,5 m.

Rappel de cours : Dans un problème concret, faire un schéma et repérer l'angle droit (la verticale et l'horizontale) avant de calculer.

Erreur fréquente : Ne pas oublier les $1,5$1,5 m de la main : Pythagore donne la hauteur au-dessus de la main, pas au-dessus du sol.

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1. 1

   $B{C}^2=9^2+12^2=81+144=225$BC²=9²+12²=81+144=225, donc $BC=15$BC=15.

2. 2

   Aire (côtés de l'angle droit) : $\frac{AB\times AC}{2}=\frac{9\times 12}{2}=54$(AB× AC)/2=(9× 12)/2=54.

3. 3

   Aire (base $BC$BC, hauteur $AH$AH) : $\frac{BC\times AH}{2}=\frac{15\times AH}{2}$(BC× AH)/2=(15× AH)/2.

   On égale : $\frac{15AH}{2}=54$(15 AH)/2=54, donc $AH=\frac{108}{15}=7,2$AH=108/15=7,2.

Rappel de cours : Astuce : calculer l'aire de deux manières (deux bases différentes) permet de trouver une hauteur.

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1. 1

   La distance du centre de la base à un coin est la demi-diagonale du carré : diagonale $=6\sqrt{2}$=6 √2, demi-diagonale $=3\sqrt{2}$=3 √2.

2. 2

   L'arête latérale $a$a est l'hypoténuse du triangle rectangle (hauteur $4$4, demi-diagonale $3\sqrt{2}$3 √2) : $a^2=4^2+(3\sqrt{2}{)}^2=16+18=34$a²=4²+(3 √2 )²=16+18=34.

3. 3

   $a=\sqrt{34}\approx 5,8$a=√(34)≈ 5,8 cm.

Rappel de cours : Dans l'espace, on repère un triangle rectangle (hauteur, demi-diagonale, arête) et on applique Pythagore. $(3\sqrt{2}{)}^2=9\times 2=18$(3sqrt2)²=9×2=18.

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1. 1

   $B{C}^2=4^2+4^2=16+16=32$BC²=4²+4²=16+16=32.

2. 2

   $BC=\sqrt{32}=\sqrt{16\times 2}=4\sqrt{2}$BC=√(32)=√(16× 2)=4 √2 cm.

Rappel de cours : Dans un triangle rectangle isocèle, l'hypoténuse vaut $\text{coˆteˊ}\times \sqrt{2}$côté × √2.

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1. 1

   Dans $ABC$ABC rectangle en $A$A : $AC=8$AC=8 (donné).

2. 2

   Dans $ACD$ACD rectangle en $C$C, l'hypoténuse est $[AD]$[AD] : $A{D}^2=A{C}^2+C{D}^2=8^2+15^2=64+225=289$AD²=AC²+CD²=8²+15²=64+225=289.

3. 3

   $AD=\sqrt{289}=17$AD=√(289)=17.

Rappel de cours : On applique Pythagore dans le bon triangle ($ACD$ACD), en identifiant bien l'angle droit (en $C$C) et donc l'hypoténuse $[AD]$[AD].

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1. 1

   La génératrice $g$g est l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés rayon ($3$3) et hauteur ($4$4).

2. 2

   $g^2=3^2+4^2=9+16=25$g²=3²+4²=9+16=25, donc $g=5$g=5 cm.

Rappel de cours : Dans un cône, génératrice, hauteur et rayon forment un triangle rectangle : $g^2=r^2+h^2$g²=r²+h².

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1. 1

   1) Le fond est un rectangle : sa diagonale $d$d est l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés $30$30 et $40$40.

   $d^2=30^2+40^2=900+1600=2500$d²=30²+40²=900+1 600=2 500, donc $d=50$d=50 cm.

2. 2

   2) L'arête verticale de $120$120 cm est perpendiculaire au fond, donc à cette diagonale.

   On obtient un nouveau triangle rectangle de côtés $50$50 et $120$120 cm, dont l'hypoténuse $D$D est la grande diagonale : $D^2=50^2+120^2=2500+14400=16900$D²=50²+120²=2 500+14 400=16 900, donc $D=130$D=130 cm.

3. 3

   3) La plus grande longueur disponible est $130$130 cm $=1,30$=1,30 m, supérieure à $1,25$1,25 m : la baguette rentre, posée en diagonale.

Rappel de cours : Dans un pavé, on applique Pythagore deux fois : d'abord dans le fond, puis dans le triangle vertical qui contient la grande diagonale.

Erreur fréquente : Comparer avec la hauteur seule ($1,20$1,20 m) ferait conclure à tort que la baguette ne rentre pas : la plus grande longueur d'un pavé est sa diagonale.