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Exercices corrigés : Théorème de Pythagore — Troisième

Besoin de revoir la leçon avant de te lancer ? Cours et fiche de révision : Théorème de Pythagore

Niveau: Troisième
Chapitre: Théorème de Pythagore
Nombre d'exercices: 14 exercices corrigés
Difficulté: Facile à type brevet

Le théorème de Pythagore relie les côtés d'un triangle rectangle : si $A B C$ ABC est rectangle en $A$ A, alors $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ BC²=AB²+AC² (le carré de l'hypoténuse égale la somme des carrés des deux autres côtés). Ces exercices corrigés couvrent le calcul de l'hypoténuse, d'un côté de l'angle droit, et des applications type brevet. Difficulté croissante, correction d'un clic.

Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée avec rappels de cours et erreurs fréquentes à éviter.

Exercice 1 — Calculer l'hypoténuse

Application directe

$A B C$ ABC est rectangle en $A$ A avec $A B = 3$ AB=3 cm et $A C = 4$ AC=4 cm.

Calculer $B C$ BC.

Triangle rectangle en A

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Correction détaillée

1
Pythagore : $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25$ BC²=AB²+AC²=3²+4²=9+16=25.
2
$B C = 25 = 5$ BC=√(25)=5 cm.

Réponse :

B C = 5

BC=5 cm.

Rappel de cours : Triangle rectangle en $A$ A : $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ BC²=AB²+AC² ( $B C$ BC est l'hypoténuse, le côté opposé à l'angle droit).

Exercice 2 — Hypoténuse (valeur non entière)

Application directe

$A B C$ ABC rectangle en $A$ A, $A B = 2$ AB=2 cm, $A C = 5$ AC=5 cm.

Calculer $B C$ BC (valeur exacte puis arrondie au mm).

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Correction détaillée

1
$B C^{2} = 2^{2} + 5^{2} = 4 + 25 = 29$ BC²=2²+5²=4+25=29.
2
$B C = 29 \approx 5, 4$ BC=√(29)≈ 5,4 cm.

Réponse :

B C = 29 \approx 5, 4

BC=√(29)≈ 5,4 cm.

Rappel de cours : L'hypoténuse n'est pas toujours « ronde » : on laisse $29$ √(29) en valeur exacte.

Exercice 3 — Identifier l'hypoténuse

Application directe

Dans un triangle rectangle en $B$ B, quel côté est l'hypoténuse ?

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Correction détaillée

1
L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit.
2
L'angle droit est en $B$ B, donc l'hypoténuse est $[A C]$ [AC] (le côté qui ne touche pas $B$ B).

Réponse : L'hypoténuse est

[A C]

[AC].

Rappel de cours : L'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit (et le plus long).

Exercice 4 — Calculer un côté de l'angle droit

À maîtriser

$A B C$ ABC rectangle en $A$ A, $B C = 13$ BC=13 cm (hypoténuse) et $A B = 5$ AB=5 cm.

Calculer $A C$ AC.

Rectangle en A ; hypoténuse [BC]

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Correction détaillée

1
Pythagore : $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ BC²=AB²+AC², donc $A C^{2} = B C^{2} - A B^{2}$ AC²=BC²-AB².
2
$A C^{2} = 1 3^{2} - 5^{2} = 169 - 25 = 144$ AC²=13²-5²=169-25=144, donc $A C = 144 = 12$ AC=√(144)=12 cm.

Réponse :

A C = 12

AC=12 cm.

Rappel de cours : Pour un côté de l'angle droit, on SOUSTRAIT : $A C^{2} = B C^{2} - A B^{2}$ AC²=BC²-AB².

Erreur fréquente : Quand on cherche un côté de l'angle droit, on retranche (pas additionne) : l'hypoténuse est le plus grand.

Exercice 5 — Côté de l'angle droit (non entier)

À maîtriser

$A B C$ ABC rectangle en $A$ A, $B C = 8$ BC=8 cm, $A C = 6$ AC=6 cm.

Calculer $A B$ AB.

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Correction détaillée

1
$A B^{2} = B C^{2} - A C^{2} = 8^{2} - 6^{2} = 64 - 36 = 28$ AB²=BC²-AC²=8²-6²=64-36=28.
2
$A B = 28 = 27 \approx 5, 3$ AB=√(28)=2 √7 ≈ 5,3 cm.

Réponse :

A B = 28 = 27 \approx 5, 3

AB=√(28)=2 √7 ≈ 5,3 cm.

Rappel de cours : $28 = 4 \times 7 = 27$ √(28)=√(4× 7)=2 √7 : on simplifie la racine.

Exercice 6 — Diagonale d'un rectangle

À maîtriser

Un rectangle a pour dimensions $6$ 6 cm et $8$ 8 cm.

Calculer la longueur de sa diagonale.

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Correction détaillée

1
La diagonale est l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés $6$ 6 et $8$ 8.
2
$d^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100$ d²=6²+8²=36+64=100, donc $d = 10$ d=10 cm.

Réponse : Diagonale

= 10

=10 cm.

Rappel de cours : La diagonale d'un rectangle partage celui-ci en deux triangles rectangles : on applique Pythagore.

Exercice 7 — Hauteur d'une échelle

Type contrôle

Une échelle de $5$ 5 m est posée contre un mur, son pied à $3$ 3 m du mur.

À quelle hauteur atteint-elle le mur ?

Le mur et le sol forment un angle droit en B

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Correction détaillée

1
L'échelle ( $5$ 5 m) est l'hypoténuse ; la distance au mur ( $3$ 3 m) est un côté de l'angle droit.
On cherche la hauteur $h$ h.
2
$h^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 25 - 9 = 16$ h²=5²-3²=25-9=16, donc $h = 4$ h=4 m.

Réponse : L'échelle atteint

4

4 m de haut.

Rappel de cours : Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle (angle droit au pied du mur).

Exercice 8 — Distance sur quadrillage

Type contrôle

Sur un quadrillage, on se déplace de $5$ 5 carreaux à droite et $12$ 12 carreaux vers le haut.

Quelle est la distance à vol d'oiseau (en carreaux) ?

5 à droite, 12 vers le haut

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Correction détaillée

1
Le déplacement horizontal ( $5$ 5) et vertical ( $12$ 12) forment un angle droit ; la distance directe est l'hypoténuse.
2
$d^{2} = 5^{2} + 1 2^{2} = 25 + 144 = 169$ d²=5²+12²=25+144=169, donc $d = 13$ d=13 carreaux.

Réponse :

d = 13

d=13 carreaux.

Rappel de cours : Sur un quadrillage, déplacements horizontal et vertical sont perpendiculaires : Pythagore donne la distance directe.

Exercice 9 — Triangle rectangle dans un cercle

Type contrôle

$[B C]$ [BC] est un diamètre d'un cercle, et $A$ A un point du cercle.

On donne $A B = 6$ AB=6, $A C = 8$ AC=8.

Calculer le diamètre $B C$ BC.

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Correction détaillée

1
Si $A$ A est sur le cercle de diamètre $[B C]$ [BC], alors le triangle $A B C$ ABC est rectangle en $A$ A.
2
$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} = 36 + 64 = 100$ BC²=AB²+AC²=36+64=100, donc $B C = 10$ BC=10.

Réponse :

B C = 10

BC=10.

Rappel de cours : Propriété : un triangle inscrit dans un cercle avec un côté = diamètre est rectangle (angle droit au sommet opposé).

Exercice 10 — Type brevet : calcul en plusieurs étapes

Approfondissement / défi

$A B C$ ABC est rectangle en $A$ A avec $A B = 9$ AB=9 et $A C = 12$ AC=12.

$H$ H est le pied de la hauteur issue de $A$ A. 1) Calculer $B C$ BC. 2) Calculer l'aire de $A B C$ ABC de deux façons pour en déduire $A H$ AH.

Rectangle en A ; AH = hauteur issue de A

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Correction détaillée

1
$B C^{2} = 9^{2} + 1 2^{2} = 81 + 144 = 225$ BC²=9²+12²=81+144=225, donc $B C = 15$ BC=15.
2
Aire (côtés de l'angle droit) : $\frac{A B \times A C}{2} = \frac{9 \times 12}{2} = 54$ (AB× AC)/2=(9× 12)/2=54.
3
Aire (base $B C$ BC, hauteur $A H$ AH) : $\frac{B C \times A H}{2} = \frac{15 \times A H}{2}$ (BC× AH)/2=(15× AH)/2.
On égale : $\frac{15 A H}{2} = 54$ (15 AH)/2=54, donc $A H = \frac{108}{15} = 7, 2$ AH=108/15=7,2.

Réponse :

B C = 15

BC=15 ;

A H = 7, 2

AH=7,2.

Rappel de cours : Astuce : calculer l'aire de deux manières (deux bases différentes) permet de trouver une hauteur.

Exercice 11 — Type brevet : pyramide

Approfondissement / défi

Une pyramide a une base carrée de côté $6$ 6 cm et une hauteur de $4$ 4 cm (du centre de la base au sommet).

Calculer l'arête latérale (du sommet à un coin de la base).

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Correction détaillée

1
La distance du centre de la base à un coin est la demi-diagonale du carré : diagonale $= 62$ =6 √2, demi-diagonale $= 32$ =3 √2.
2
L'arête latérale $a$ a est l'hypoténuse du triangle rectangle (hauteur $4$ 4, demi-diagonale $32$ 3 √2) : $a^{2} = 4^{2} + (32)^{2} = 16 + 18 = 34$ a²=4²+(3 √2 )²=16+18=34.
3
$a = 34 \approx 5, 8$ a=√(34)≈ 5,8 cm.

Réponse : Arête latérale

= 34 \approx 5, 8

=√(34)≈ 5,8 cm.

Rappel de cours : Dans l'espace, on repère un triangle rectangle (hauteur, demi-diagonale, arête) et on applique Pythagore. $(32)^{2} = 9 \times 2 = 18$ (3sqrt2)²=9×2=18.

Exercice 12 — Type brevet : valeur exacte demandée

Approfondissement / défi

$A B C$ ABC rectangle en $A$ A, $A B = A C = 4$ AB=AC=4 cm.

Calculer $B C$ BC en valeur exacte.

Triangle rectangle isocèle en A

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Correction détaillée

1
$B C^{2} = 4^{2} + 4^{2} = 16 + 16 = 32$ BC²=4²+4²=16+16=32.
2
$B C = 32 = 16 \times 2 = 42$ BC=√(32)=√(16× 2)=4 √2 cm.

Réponse :

B C = 42

BC=4 √2 cm.

Rappel de cours : Dans un triangle rectangle isocèle, l'hypoténuse vaut $c \overset{o}{ˆ} t \overset{e}{ˊ} \times 2$ côté × √2.

Exercice 13 — Type brevet : deux triangles

Approfondissement / défi

Soit un triangle rectangle en $A$ A : $A B = 6$ AB=6, $A C = 8$ AC=8.

On prolonge pour former un point $D$ D tel que $A C D$ ACD est rectangle en $C$ C avec $C D = 15$ CD=15.

Calculer $A D$ AD.

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Correction détaillée

1
Dans $A B C$ ABC rectangle en $A$ A : $A C = 8$ AC=8 (donné).
2
Dans $A C D$ ACD rectangle en $C$ C, l'hypoténuse est $[A D]$ [AD] : $A D^{2} = A C^{2} + C D^{2} = 8^{2} + 1 5^{2} = 64 + 225 = 289$ AD²=AC²+CD²=8²+15²=64+225=289.
3
$A D = 289 = 17$ AD=√(289)=17.

Réponse :

A D = 17

AD=17.

Rappel de cours : On applique Pythagore dans le bon triangle ( $A C D$ ACD), en identifiant bien l'angle droit (en $C$ C) et donc l'hypoténuse $[A D]$ [AD].

Exercice 14 — Type brevet : cône

Approfondissement / défi

Un cône a un rayon de base $3$ 3 cm et une hauteur de $4$ 4 cm.

Calculer sa génératrice (du sommet au bord de la base).

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Correction détaillée

1
La génératrice $g$ g est l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés rayon ( $3$ 3) et hauteur ( $4$ 4).
2
$g^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25$ g²=3²+4²=9+16=25, donc $g = 5$ g=5 cm.

Réponse : Génératrice

= 5

=5 cm.

Rappel de cours : Dans un cône, génératrice, hauteur et rayon forment un triangle rectangle : $g^{2} = r^{2} + h^{2}$ g²=r²+h².

Tout sur thalès et pythagore

Les deux théorèmes du brevet : calculer une longueur, prouver un parallélisme, prouver un angle droit.

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