Exercices corrigés : Probabilités — Troisième

Correction détaillée

1. 1

   $6$6 issues équiprobables, une favorable.

2. 2

   $P=\frac{1}{6}$P=1/6.

Rappel de cours : $P=\frac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}$P=(cas favorables)/(cas possibles).

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1. 1

   Total : $10$10 boules, $4$4 favorables.

2. 2

   $P(\text{rouge})=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}=0,4$P( rouge )=4/10=2/5=0,4.

Rappel de cours : On simplifie la fraction si possible.

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1. 1

   $P(\overline{A})=1-P(A)=1-0,35=0,65$P(A̅)=1-P(A)=1-0,35=0,65.

Rappel de cours : $P(\overline{A})=1-P(A)$P(A̅)=1-P(A).

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1. 1

   Les $8$8 secteurs ont la même taille : ils ont tous la même probabilité $\frac{1}{8}$1/8 (situation d'équiprobabilité).

2. 2

   $P(\text{vert})=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$P( vert )=4/8=1/2.

3. 3

   « Pas rouge » est l'événement contraire de « rouge » : $P=1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$P=1-3/8=5/8. (On retrouve $4$4 verts $+1$+1 jaune $=5$=5 secteurs sur $8$8.)

Rappel de cours : En situation d'équiprobabilité : $P(A)=\frac{\text{nombre d’issues favorables}}{\text{nombre total d’issues}}$P(A)=(nombre d'issues favorables)/(nombre total d'issues).

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1. 1

   Pairs : $2,4,6$2,4,6, soit $3$3 cas sur $6$6.

2. 2

   $P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$P=3/6=1/2.

Rappel de cours : On compte les cas favorables ($3$3) sur le total ($6$6).

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1. 1

   Il y a $8$8 cœurs (une couleur sur $4$4) sur $32$32 cartes.

2. 2

   $P=\frac{8}{32}=\frac{1}{4}$P=8/32=1/4.

Rappel de cours : Un jeu de $32$32 cartes a $4$4 couleurs de $8$8 cartes chacune.

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1. 1

   Deux issues favorables ($1$1 et $2$2), incompatibles.

2. 2

   $P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$P=2/6=1/3.

Rappel de cours : Pour des issues distinctes, on additionne les cas favorables.

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1. 1

   Fréquence : $\frac{130}{600}\approx 0,217$130/600≈ 0,217, soit environ $21,7\%$21,7 %.

2. 2

   Pour un dé équilibré, $P(6)=\frac{1}{6}\approx 0,167$P(6)=1/6≈ 0,167 : on attendrait environ $600\times \frac{1}{6}=100$600×1/6=100 fois le $6$6.

3. 3

   Sur un grand nombre de lancers, la fréquence se rapproche de la probabilité.

   Un écart de $30$30 apparitions sur $600$600 lancers est important : on peut soupçonner que le dé est truqué (sans en être certain).

Rappel de cours : Loi des grands nombres : quand on répète une expérience un grand nombre de fois, la fréquence d'un événement se stabilise autour de sa probabilité.

Erreur fréquente : Une fréquence n'est pas une probabilité : sur peu de lancers, un écart est normal. Ici, c'est la taille de l'échantillon qui rend l'écart suspect.

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1. 1

   Méthode 1 : non-menthe = fraise ou citron = $5+3=8$5+3=8 sur $10$10, donc $P=\frac{8}{10}=0,8$P=8/10=0,8.

2. 2

   Méthode 2 (contraire) : $P(\text{menthe})=\frac{2}{10}=0,2$P( menthe )=2/10=0,2, donc $P(\text{non menthe})=1-0,2=0,8$P( non menthe )=1-0,2=0,8.

Rappel de cours : « Ne pas » se calcule par le contraire : $1-P(\text{eˊveˊnement})$1-P( événement ).

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1. 1

   $P(\text{fille})=0,6$P( fille )=0,6.

   Le contraire « garçon » : $P(\text{garc¸on})=1-0,6=0,4$P( garçon )=1-0,6=0,4.

Rappel de cours : Un pourcentage se convertit en probabilité : $60\%=0,6$60%=0,6.

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1. 1

   « Thé mais pas café » : $30-12=18$30-12=18 personnes.

2. 2

   $P=\frac{18}{50}=0,36$P=18/50=0,36.

Rappel de cours : On retranche les cas communs pour isoler « thé seulement ».

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1. 1

   Un tableau à double entrée (dé 1 en ligne, dé 2 en colonne) donne $6\times 6=36$6× 6=36 issues équiprobables.

2. 2

   Somme $7$7 : $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1), soit $6$6 issues.

   $P(7)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$P(7)=6/36=1/6.

3. 3

   Somme $12$12 : seulement $(6,6)$(6,6).

   $P(12)=\frac{1}{36}$P(12)=1/36.

4. 4

   Aucune autre somme n'a autant d'issues que $7$7 ($6$6 et $8$8 en ont $5$5 chacune) : $7$7 est la somme la plus probable.

Rappel de cours : Les sommes $2$2 à $12$12 ne sont pas équiprobables : on compte les couples dans un tableau.

Erreur fréquente : Dire « $11$11 sommes possibles, donc $P(7)=\frac{1}{11}$P(7)=1/11 » est faux : les $11$11 sommes n'ont pas la même probabilité.

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1. 1

   Nombres premiers entre $1$1 et $6$6 : $2$2, $3$3, $5$5 ($1$1 n'est pas premier).

   $P(\text{Alice})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$P( Alice )=3/6=1/2.

2. 2

   Multiples de $3$3 : $3$3 et $6$6.

   $P(\text{Bruno})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$P( Bruno )=2/6=1/3.

3. 3

   $\frac{1}{2}>\frac{1}{3}$1/2>1/3 : Alice a plus de chances de gagner, le jeu n'est pas équitable. (Remarque : avec un $3$3, les deux gagnent.)

Rappel de cours : Un jeu est équitable si chaque joueur a la même probabilité de gagner.

Erreur fréquente : $1$1 n'est pas un nombre premier : il n'a qu'un seul diviseur.

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1. 1

   Avec remise, les tirages sont indépendants : $P(\text{rouge})=\frac{3}{5}$P( rouge )=3/5 à chaque fois.

2. 2

   $P(\text{2 rouges})=\frac{3}{5}\times \frac{3}{5}=\frac{9}{25}=0,36$P( 2 rouges )=3/5×3/5=9/25=0,36.

Rappel de cours : Avec remise = tirages indépendants : on multiplie le long du chemin de l'arbre.

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1. 1

   Premier tirage : $P(\text{rouge})=\frac{3}{5}$P( rouge )=3/5.

   Après avoir retiré une rouge, il reste $2$2 rouges sur $4$4 : $P=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$P=2/4=1/2.

2. 2

   $P(\text{2 rouges})=\frac{3}{5}\times \frac{1}{2}=\frac{3}{10}=0,3$P( 2 rouges )=3/5×1/2=3/10=0,3.

Rappel de cours : Sans remise, la composition change : on adapte la 2ᵉ probabilité (une boule en moins).

Erreur fréquente : Sans remise, ne pas garder $\frac{3}{5}$3/5 au 2ᵉ tirage : il reste $4$4 boules dont $2$2 rouges.

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1. 1

   Contraire : « aucun Face » = « Pile, Pile », de probabilité $\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$1/2×1/2=1/4.

2. 2

   $P(\text{au moins un Face})=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$P( au moins un Face )=1-1/4=3/4.

Rappel de cours : « Au moins un » : on passe par le contraire « aucun ».

Correction détaillée

1. 1

   $P(\text{verte})=\frac{5}{5+n}=0,5$P( verte )=5/(5+n)=0,5.

2. 2

   $5=0,5(5+n)$5=0,5(5+n), soit $5=2,5+0,5n$5=2,5+0,5n, donc $0,5n=2,5$0,5n=2,5 et $n=5$n=5.

Rappel de cours : On pose l'équation de la probabilité et on résout en $n$n.

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1. 1

   Deux chemins : (R puis B) de proba $\frac{2}{5}\times \frac{3}{5}=\frac{6}{25}$2/5×3/5=6/25, et (B puis R) de proba $\frac{3}{5}\times \frac{2}{5}=\frac{6}{25}$3/5×2/5=6/25.

2. 2

   On additionne : $\frac{6}{25}+\frac{6}{25}=\frac{12}{25}=0,48$6/25+6/25=12/25=0,48.

Rappel de cours : « Dans n'importe quel ordre » : on additionne les probabilités des chemins (R,B) et (B,R).

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1. 1

   1) $10$10 choix pour chaque chiffre : $10\times 10\times 10=1000$10× 10× 10=1 000 codes.

   Probabilité : $\frac{1}{1000}=0,001$1/(1 000)=0,001.

2. 2

   2) $10$10 choix pour le premier chiffre, $9$9 pour le deuxième (différent du premier), $8$8 pour le troisième : $10\times 9\times 8=720$10× 9× 8=720 codes.

3. 3

   3) Le premier chiffre est fixé : il reste $9$9 choix pour le deuxième et $8$8 pour le troisième, soit $72$72 codes.

   Probabilité : $\frac{1}{72}\approx 0,014$1/72≈ 0,014.

Rappel de cours : Pour compter des issues en plusieurs étapes, on multiplie les nombres de choix de chaque étape (principe de l'arbre).

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1. 1

   Probabilité actuelle : $\frac{4}{10}=0,4$4/10=0,4.

   On note $k$k le nombre de jetons rouges ajoutés : il y a alors $4+k$4+k rouges sur $10+k$10+k jetons.

2. 2

   Équation : $\frac{4+k}{10+k}=0,6$(4+k)/(10+k)=0,6, soit $4+k=0,6(10+k)=6+0,6k$4+k=0,6(10+k)=6+0,6k.

3. 3

   $0,4k=2$0,4k=2, donc $k=5$k=5.

4. 4

   Vérification : $9$9 rouges sur $15$15 jetons, $\frac{9}{15}=0,6$9/15=0,6.

Rappel de cours : Ajouter des jetons change à la fois le numérateur et le dénominateur : on pose une équation.

Erreur fréquente : Ajouter $2$2 jetons (« pour passer de $4$4 à $6$6 ») donnerait $\frac{6}{12}=0,5$6/12=0,5 : le total augmente aussi.