Exercices corrigés : Théorème de Thalès — Troisième

Correction détaillée

1. 1

   Les droites $(MN)$(MN) et $(BC)$(BC) sont parallèles : on applique le théorème de Thalès.

   $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$AM/AB=AN/AC.

2. 2

   On remplace : $\frac{2}{6}=\frac{3}{AC}$2/6=3/AC.

3. 3

   Produit en croix : $AC=\frac{6\times 3}{2}=9$AC = (6× 3)/2 = 9 cm.

Rappel de cours : Théorème de Thalès : si $(MN)\Vert (BC)$(MN) ‖ (BC), alors $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$AM/AB=AN/AC=MN/BC.

Correction détaillée

1. 1

   Le sommet commun est $A$A.

   On place « la petite longueur sur la grande » depuis $A$A, côté par côté.

2. 2

   Sur $(AB)$(AB) : $\frac{AM}{AB}$AM/AB.

   Sur $(AC)$(AC) : $\frac{AN}{AC}$AN/AC.

   Entre les parallèles : $\frac{MN}{BC}$MN/BC.

Erreur fréquente : Toujours partir du sommet commun $A$A. Ne pas mélanger $\frac{AM}{AB}$AM/AB avec $\frac{AM}{MB}$AM/MB : le théorème utilise les longueurs depuis $A$A.

Correction détaillée

1. 1

   Thalès donne $\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}$AM/AB=MN/BC, soit $\frac{2}{6}=\frac{MN}{9}$2/6=MN/9.

2. 2

   Produit en croix : $MN=\frac{9\times 2}{6}=3$MN = (9× 2)/6 = 3 cm.

Rappel de cours : Le rapport $\frac{AM}{AB}=\frac{1}{3}$AM/AB=1/3 est le rapport de réduction : toutes les longueurs du petit triangle valent $\frac{1}{3}$1/3 de celles du grand.

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1. 1

   Les points $A,O,B$A,O,B d'une part, $C,O,D$C,O,D d'autre part sont alignés, et $(AC)\Vert (BD)$(AC) ‖ (BD) : c'est une configuration de Thalès « en papillon », de sommet $O$O.

2. 2

   Le théorème de Thalès donne : $\frac{OA}{OB}=\frac{OC}{OD}=\frac{AC}{BD}$OA/OB=OC/OD=AC/BD.

3. 3

   On utilise le premier et le dernier rapport : $\frac{3}{9}=\frac{AC}{12}$3/9=AC/12, donc $AC=\frac{3\times 12}{9}=4$AC=(3× 12)/9=4.

Rappel de cours : Dans les deux configurations, chaque rapport compare un côté du « petit » triangle ($OAC$OAC) au côté correspondant du « grand » ($OBD$OBD).

Erreur fréquente : Ne pas écrire $\frac{OA}{AB}$OA/AB : les longueurs se mesurent toutes depuis le point d'intersection $O$O.

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1. 1

   Les points sont en configuration « papillon » ($O$O entre les deux segments) avec $(AC)\Vert (BD)$(AC) ‖ (BD) : Thalès s'applique encore.

2. 2

   $\frac{OA}{OB}=\frac{OC}{OD}$OA/OB=OC/OD, soit $\frac{4}{6}=\frac{6}{OD}$4/6=6/OD.

3. 3

   Produit en croix : $OD=\frac{6\times 6}{4}=9$OD = (6× 6)/4 = 9.

Rappel de cours : Le théorème de Thalès marche aussi quand le point commun est entre les deux parallèles (configuration papillon).

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1. 1

   Thalès : $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$AM/AB=AN/AC, soit $\frac{2,5}{4}=\frac{3}{AC}$2,5/4=3/AC.

2. 2

   Produit en croix : $AC=\frac{4\times 3}{2,5}=\frac{12}{2,5}=4,8$AC = (4× 3)/2,5 = 12/2,5 = 4,8 cm.

Rappel de cours : Diviser par un décimal : $\frac{12}{2,5}=\frac{120}{25}=4,8$12/2,5=120/25=4,8. On peut multiplier numérateur et dénominateur par $10$10.

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1. 1

   Thalès : $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$AM/AB=AN/AC, soit $\frac{3}{AB}=\frac{4}{10}$3/AB=4/10.

2. 2

   Produit en croix : $4\times AB=3\times 10=30$4× AB = 3× 10 = 30, donc $AB=\frac{30}{4}=7,5$AB = 30/4 = 7,5 cm.

Erreur fréquente : Quand l'inconnue est au dénominateur, le produit en croix la fait « monter » : $\frac{3}{AB}=\frac{4}{10}$3/AB=4/10 donne $4\times AB=3\times 10$4× AB = 3× 10.

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1. 1

   Rapport de réduction : $k=\frac{AM}{AB}=\frac{4}{10}=0,4$k=AM/AB=4/10=0,4.

2. 2

   Toutes les longueurs du petit triangle valent $0,4$0,4 fois celles du grand : $MN=k\times BC=0,4\times 15=6$MN = k× BC = 0,4× 15 = 6 cm.

Rappel de cours : Le rapport $k=\frac{AM}{AB}$k=AM/AB est le coefficient de réduction (si $k<1$k<1) ou d'agrandissement (si $k>1$k>1).

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1. 1

   Thalès s'écrit avec des longueurs mesurées depuis $A$A : il faut d'abord $AC=AN+NC=5+2,5=7,5$AC=AN+NC=5+2,5=7,5 cm.

2. 2

   $(MN)\Vert (BC)$(MN) ‖ (BC), donc $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$AM/AB=AN/AC, soit $\frac{4}{AB}=\frac{5}{7,5}$4/AB=5/7,5.

3. 3

   Produit en croix : $AB=\frac{4\times 7,5}{5}=6$AB=(4× 7,5)/5=6 cm.

4. 4

   Enfin $MB=AB-AM=6-4=2$MB=AB-AM=6-4=2 cm.

Rappel de cours : Les rapports de Thalès sont $\frac{AM}{AB}$AM/AB, $\frac{AN}{AC}$AN/AC, $\frac{MN}{BC}$MN/BC : on compare une partie au côté entier, jamais deux morceaux.

Erreur fréquente : Écrire $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$AM/MB=AN/NC puis enchaîner sans vérifier est risqué ; la méthode sûre passe par $AB$AB et $AC$AC.

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1. 1

   On compare les deux rapports : $\frac{AM}{AB}=\frac{3}{5}=0,6$AM/AB=3/5=0,6 et $\frac{AN}{AC}=\frac{4,2}{7}=0,6$AN/AC=4,2/7=0,6.

2. 2

   Les rapports sont égaux, et les points $A,M,B$A,M,B d'une part, $A,N,C$A,N,C d'autre part sont alignés dans le même ordre.

3. 3

   Par la réciproque du théorème de Thalès, on conclut que $(MN)\Vert (BC)$(MN) ‖ (BC).

Rappel de cours : Réciproque de Thalès : si $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$AM/AB=AN/AC ET que les points sont alignés dans le même ordre, alors $(MN)\Vert (BC)$(MN) ‖ (BC).

Correction détaillée

1. 1

   $\frac{AM}{AB}=\frac{2}{5}=0,4$AM/AB=2/5=0,4 et $\frac{AN}{AC}=\frac{3}{7}\approx 0,43$AN/AC=3/7≈ 0,43.

2. 2

   Les rapports ne sont pas égaux ($0,4\ne 0,43$0,4 ≠ 0,43).

3. 3

   La réciproque ne s'applique pas : les droites $(MN)$(MN) et $(BC)$(BC) ne sont pas parallèles.

Erreur fréquente : Pour comparer deux fractions, on peut les ramener au même dénominateur ou utiliser le produit en croix : $2\times 7=14$2× 7 = 14 et $5\times 3=15$5× 3 = 15, différents, donc rapports différents.

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1. 1

   $ABC$ABC rectangle en $A$A : par Pythagore, $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=4^2+3^2=16+9=25$BC²=AB²+AC²=4²+3²=16+9=25, donc $BC=5$BC=5 cm.

2. 2

   Thalès avec $(MN)\Vert (BC)$(MN) ‖ (BC) : $\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}$AM/AB=MN/BC, soit $\frac{2}{4}=\frac{MN}{5}$2/4=MN/5.

3. 3

   $MN=\frac{5\times 2}{4}=2,5$MN = (5× 2)/4 = 2,5 cm.

Rappel de cours : Pythagore : dans un triangle rectangle en $A$A, $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$BC²=AB²+AC². On l'enchaîne souvent avec Thalès.

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1. 1

   Le soleil donne des rayons parallèles : piquet et arbre forment deux triangles en configuration de Thalès, donc les longueurs sont proportionnelles.

2. 2

   $\frac{\text{hauteur arbre}}{\text{ombre arbre}}=\frac{\text{hauteur piquet}}{\text{ombre piquet}}$(hauteur arbre)/(ombre arbre)=(hauteur piquet)/(ombre piquet), soit $\frac{h}{9}=\frac{1}{1,5}$h/9=1/1,5.

3. 3

   $h=\frac{9\times 1}{1,5}=6$h = (9× 1)/1,5 = 6 m.

Rappel de cours : Les rayons du soleil étant parallèles, le rapport $\frac{\text{hauteur}}{\text{ombre}}$hauteur/ombre est le même pour tous les objets au même instant.

Correction détaillée

1. 1

   Le rapport est $\frac{AM}{AB}=\frac{3}{8}$AM/AB=3/8.

2. 2

   $MN$MN : $\frac{MN}{BC}=\frac{3}{8}$MN/BC=3/8 donne $MN=\frac{6\times 3}{8}=2,25$MN=(6× 3)/8=2,25 cm.

3. 3

   $AC$AC : $\frac{AN}{AC}=\frac{3}{8}$AN/AC=3/8 donne $AC=\frac{8\times 4,5}{3}=12$AC=(8× 4,5)/3=12 cm.

Rappel de cours : Un seul rapport $\frac{AM}{AB}$AM/AB sert pour toutes les longueurs : on l'égalise tour à tour à $\frac{MN}{BC}$MN/BC et $\frac{AN}{AC}$AN/AC.

Correction détaillée

1. 1

   On reconnaît une configuration papillon de sommet $O$O avec $(AC)\Vert (BD)$(AC) ‖ (BD).

2. 2

   Thalès : $\frac{OB}{OA}=\frac{OD}{OC}=\frac{BD}{AC}$OB/OA=OD/OC=BD/AC.

3. 3

   Avec le premier et le dernier rapport : $\frac{5}{20}=\frac{8}{AC}$5/20=8/AC, d'où $AC=\frac{20\times 8}{5}=32$AC=(20× 8)/5=32 m.

4. 4

   Contrôle : le grand triangle est $4$4 fois plus grand que le petit ($20=4\times 5$20=4× 5), et $32=4\times 8$32=4× 8.

Rappel de cours : Thalès permet de mesurer une distance inaccessible à partir de mesures faites d'un seul côté.

Erreur fréquente : Bien associer les côtés correspondants : $BD$BD (petit triangle, côté $B$B) correspond à $AC$AC (grand triangle, côté $A$A), car $B$B et $A$A sont sur la même droite issue de $O$O.

Correction détaillée

1. 1

   1) $(MN)\Vert (BC)$(MN) ‖ (BC) : Thalès donne $\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}$AM/AB=MN/BC, soit $\frac{x}{8}=\frac{MN}{6}$x/8=MN/6.

2. 2

   Donc $MN=\frac{6x}{8}=\frac{3x}{4}=0,75x$MN=6x/8=3x/4=0,75x.

3. 3

   2) On résout $0,75x=4,5$0,75x=4,5 : $x=\frac{4,5}{0,75}=6$x=4,5/0,75=6.

4. 4

   Vérification : $M$M est aux $\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$6/8=3/4 de $[AB]$[AB], donc $MN=\frac{3}{4}\times 6=4,5$MN=3/4× 6=4,5 cm.

Rappel de cours : Une longueur inconnue peut s'écrire en fonction de $x$x : Thalès donne alors une expression, qu'on exploite par une équation.

Erreur fréquente : $x$x doit rester entre $0$0 et $8$8 (le point $M$M est sur $[AB]$[AB]) : vérifier que la solution trouvée est dans cet intervalle.

Correction détaillée

1. 1

   $M$M est entre $A$A et $B$B, donc $AB=AM+MB=4,5+1,5=6$AB = AM + MB = 4,5 + 1,5 = 6 cm.

2. 2

   Thalès : $\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}$AM/AB=MN/BC, soit $\frac{4,5}{6}=\frac{6}{BC}$4,5/6=6/BC.

3. 3

   Produit en croix : $BC=\frac{6\times 6}{4,5}=\frac{36}{4,5}=8$BC = (6× 6)/4,5 = 36/4,5 = 8 cm.

Erreur fréquente : L'énoncé donne $MB$MB, pas $AB$AB : il faut d'abord reconstituer $AB=AM+MB$AB = AM + MB avant d'appliquer Thalès.

Correction détaillée

1. 1

   $\frac{AM}{AB}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$AM/AB=6/9=2/3 et $\frac{AN}{AC}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$AN/AC=8/12=2/3 : les rapports sont égaux.

2. 2

   Les points $A,M,B$A,M,B et $A,N,C$A,N,C sont alignés dans le même ordre : d'après la réciproque de Thalès, $(MN)\Vert (BC)$(MN) ‖ (BC).

3. 3

   On peut donc utiliser Thalès : $\frac{MN}{BC}=\frac{2}{3}$MN/BC=2/3, donc $MN=\frac{2}{3}\times 7,5=5$MN=2/3× 7,5 = 5 cm.

Rappel de cours : On utilise d'abord la réciproque (pour prouver le parallélisme), puis le théorème direct (pour calculer une longueur).

Correction détaillée

1. 1

   Rapport de réduction des longueurs : $k=\frac{AM}{AB}=\frac{2}{5}=0,4$k=AM/AB=2/5=0,4.

   Donc $AMN$AMN est une réduction de $ABC$ABC.

2. 2

   Pour les aires, le coefficient est $k^2$k² : l'aire du petit triangle vaut $k^2$k² fois celle du grand.

   Ici $k^2=0,4^2=0,16$k² = 0,4² = 0,16.

3. 3

   Donc $\text{aire}(AMN)=0,16\times \text{aire}(ABC)$aire (AMN)=0,16× aire (ABC), d'où $\text{aire}(ABC)=\frac{8}{0,16}=50{\text{cm}}^2$aire (ABC)=8/0,16=50 cm ².

Rappel de cours : Dans un agrandissement/réduction de rapport $k$k : les longueurs sont multipliées par $k$k, les aires par $k^2$k², les volumes par $k^3$k³.

Erreur fréquente : L'aire n'est PAS multipliée par $k$k mais par $k^2$k². Oublier le carré est l'erreur la plus fréquente du brevet.

Correction détaillée

1. 1

   1) $(MN)\Vert (BC)$(MN) ‖ (BC) avec $M\in [AB]$M∈[AB] et $N\in [AC]$N∈[AC] : d'après Thalès, $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$AM/AB=AN/AC=MN/BC, et $\frac{AM}{AB}=\frac{4}{10}=0,4$AM/AB=4/10=0,4.

2. 2

   $AN=0,4\times AC=0,4\times 8=3,2$AN=0,4× AC=0,4× 8=3,2 cm et $MN=0,4\times BC=0,4\times 12=4,8$MN=0,4× BC=0,4× 12=4,8 cm.

3. 3

   2) Les côtés de $MBCN$MBCN sont $MB$MB, $BC$BC, $CN$CN et $NM$NM : $MB=10-4=6$MB=10-4=6 cm et $CN=8-3,2=4,8$CN=8-3,2=4,8 cm.

4. 4

   Périmètre : $6+12+4,8+4,8=27,6$6+12+4,8+4,8=27,6 cm.

Rappel de cours : Le coefficient $k=\frac{AM}{AB}$k=AM/AB est le coefficient de réduction : toutes les longueurs du petit triangle valent $k$k fois celles du grand.

Erreur fréquente : Le périmètre du trapèze ne contient pas $AM$AM ni $AN$AN : ce sont $MB$MB et $NC$NC qui bordent la figure.