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Exercices corrigés : Réciproque de Pythagore — Troisième

Besoin de revoir la leçon avant de te lancer ? Cours et fiche de révision : Réciproque de Pythagore

Niveau: Troisième
Chapitre: Réciproque de Pythagore
Nombre d'exercices: 14 exercices corrigés
Difficulté: Facile à type brevet

La réciproque du théorème de Pythagore sert à démontrer qu'un triangle est rectangle : si $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ BC²=AB²+AC² (avec $B C$ BC le plus grand côté), alors le triangle est rectangle en $A$ A. Sa contraposée prouve qu'un triangle n'est PAS rectangle. Ces exercices corrigés couvrent la méthode, les deux conclusions possibles et des applications type brevet. Difficulté croissante, correction d'un clic.

Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée avec rappels de cours et erreurs fréquentes à éviter.

Exercice 1 — Triangle rectangle ?

Application directe

Un triangle a pour côtés $3$ 3, $4$ 4, $5$ 5.

Est-il rectangle ?

Côtés 3, 4, 5 — rectangle ?

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Correction détaillée

1
Le plus grand côté est $5$ 5.
On compare $5^{2}$ 5² et $3^{2} + 4^{2}$ 3²+4².
2
$5^{2} = 25$ 5²=25 et $3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25$ 3²+4²=9+16=25.
Égalité : par la réciproque de Pythagore, le triangle est rectangle.

Réponse : Oui, rectangle (

5^{2} = 3^{2} + 4^{2}

5²=3²+4²).

Rappel de cours : Réciproque : si (plus grand côté)² = somme des carrés des deux autres, le triangle est rectangle.

Exercice 2 — Identifier le plus grand côté

Application directe

Un triangle a pour côtés $6$ 6, $8$ 8, $10$ 10.

Quel côté serait l'hypoténuse si le triangle était rectangle ?

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Correction détaillée

1
L'hypoténuse est toujours le plus grand côté.
2
Ici, le plus grand côté est $10$ 10 : ce serait l'hypoténuse.

Réponse : L'hypoténuse serait le côté de longueur

10

10.

Rappel de cours : On compare toujours le carré du PLUS GRAND côté à la somme des carrés des deux autres.

Exercice 3 — Vérifier (cas rectangle)

À maîtriser

Un triangle a pour côtés $6$ 6, $8$ 8, $10$ 10.

Est-il rectangle ?

Côtés 6, 8, 10 — rectangle ?

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Correction détaillée

1
Plus grand côté : $10$ 10.
$1 0^{2} = 100$ 10²=100.
2
$6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100$ 6²+8²=36+64=100.
Égalité : le triangle est rectangle.

Réponse : Oui, rectangle (l'angle droit est opposé au côté

10

10).

Rappel de cours : On rédige : « D'une part $1 0^{2} = 100$ 10²=100, d'autre part $6^{2} + 8^{2} = 100$ 6²+8²=100. Les résultats sont égaux, donc... »

Exercice 4 — Vérifier (cas non rectangle)

À maîtriser

Un triangle a pour côtés $4$ 4, $5$ 5, $6$ 6.

Est-il rectangle ?

Côtés 4, 5, 6 — rectangle ?

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Correction détaillée

1
Plus grand côté : $6$ 6.
$6^{2} = 36$ 6²=36.
2
$4^{2} + 5^{2} = 16 + 25 = 41$ 4²+5²=16+25=41.
$36 \neq = 41$ 36≠ 41 : les résultats sont différents.
3
Par la contraposée de Pythagore, le triangle n'est pas rectangle.

Réponse : Non, pas rectangle (

36 \neq = 41

36≠ 41).

Rappel de cours : Si (plus grand côté)² $\neq =$ ≠ somme des carrés, le triangle n'est PAS rectangle (contraposée).

Exercice 5 — Rédaction complète

À maîtriser

Un triangle $A B C$ ABC a $A B = 9$ AB=9, $A C = 12$ AC=12, $B C = 15$ BC=15.

Démontrer qu'il est rectangle et préciser en quel sommet.

AB = 9, AC = 12, BC = 15

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Correction détaillée

1
Le plus grand côté est $B C = 15$ BC=15.
D'une part $B C^{2} = 1 5^{2} = 225$ BC²=15²=225.
2
D'autre part $A B^{2} + A C^{2} = 9^{2} + 1 2^{2} = 81 + 144 = 225$ AB²+AC²=9²+12²=81+144=225.
3
$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ BC²=AB²+AC² : par la réciproque de Pythagore, $A B C$ ABC est rectangle en $A$ A (sommet opposé à l'hypoténuse $[B C]$ [BC]).

Réponse : Rectangle en

A

A (

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} = 225

BC²=AB²+AC²=225).

Rappel de cours : L'angle droit est au sommet opposé au plus grand côté (l'hypoténuse).

Exercice 6 — Triangle presque rectangle

Type contrôle

Un triangle a pour côtés $5$ 5, $12$ 12, $13$ 13.

Est-il rectangle ?

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Correction détaillée

1
Plus grand côté : $13$ 13.
$1 3^{2} = 169$ 13²=169.
2
$5^{2} + 1 2^{2} = 25 + 144 = 169$ 5²+12²=25+144=169.
Égalité : le triangle est rectangle.

Réponse : Oui, rectangle (

1 3^{2} = 5^{2} + 1 2^{2}

13²=5²+12²).

Rappel de cours : $(5, 12, 13)$ (5,12,13) est un « triplet pythagoricien » classique, comme $(3, 4, 5)$ (3,4,5).

Exercice 7 — Avec des décimaux

Type contrôle

Un triangle a pour côtés $1, 5$ 1,5, $2$ 2, $2, 5$ 2,5.

Est-il rectangle ?

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Correction détaillée

1
Plus grand côté : $2, 5$ 2,5.
$2, 5^{2} = 6, 25$ 2,5²=6,25.
2
$1, 5^{2} + 2^{2} = 2, 25 + 4 = 6, 25$ 1,5²+2²=2,25+4=6,25.
Égalité : rectangle.

Réponse : Oui, rectangle (

6, 25 = 6, 25

6,25=6,25).

Rappel de cours : La méthode est la même avec des décimaux : on compare les carrés.

Exercice 8 — Type brevet : montrer qu'un angle est droit

Type contrôle

$A B C D$ ABCD est un quadrilatère avec $A B = 8$ AB=8, $B C = 6$ BC=6, $A C = 10$ AC=10.

L'angle $A B C$ ABĈ est-il droit ?

Triangle ABC : angle en B droit ?

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Correction détaillée

1
Dans le triangle $A B C$ ABC, le plus grand côté est $A C = 10$ AC=10.
$A C^{2} = 100$ AC²=100.
2
$A B^{2} + B C^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 64 + 36 = 100$ AB²+BC²=8²+6²=64+36=100.
Égalité : $A B C$ ABC est rectangle en $B$ B.
3
Donc l'angle $A B C$ ABĈ est droit.

Réponse : Oui,

A B C = 90°

ABĈ=90° (

A C^{2} = A B^{2} + B C^{2}

AC²=AB²+BC²).

Rappel de cours : Pour prouver un angle droit, on applique la réciproque dans le triangle qui contient cet angle.

Exercice 9 — Type brevet : conclure une nature

Type contrôle

Un triangle a pour côtés $7$ 7, $8$ 8, $11$ 11.

Est-il rectangle, acutangle ou obtusangle ? (On comparera $1 1^{2}$ 11² à $7^{2} + 8^{2}$ 7²+8².)

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Correction détaillée

1
$1 1^{2} = 121$ 11²=121 et $7^{2} + 8^{2} = 49 + 64 = 113$ 7²+8²=49+64=113.
2
$121 > 113$ 121>113 : le carré du plus grand côté dépasse la somme des autres.
3
Le triangle est obtusangle (angle obtus opposé au côté $11$ 11) ; il n'est pas rectangle.

Réponse : Pas rectangle ; il est obtusangle (

121 > 113

121>113).

Rappel de cours : Si (grand côté)² > somme des carrés : angle obtus. Si < : angle aigu. Si = : angle droit.

Exercice 10 — Type brevet : démonstration rédigée

Approfondissement / défi

Un terrain triangulaire mesure $60$ 60 m, $80$ 80 m et $100$ 100 m.

Le propriétaire affirme que deux côtés sont perpendiculaires.

A-t-il raison ?

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Correction détaillée

1
Plus grand côté : $100$ 100.
$10 0^{2} = 10000$ 100²=10000.
2
$6 0^{2} + 8 0^{2} = 3600 + 6400 = 10000$ 60²+80²=3600+6400=10000.
Égalité : le triangle est rectangle.
3
Les côtés de $60$ 60 m et $80$ 80 m (ceux de l'angle droit) sont donc perpendiculaires : le propriétaire a raison.

Réponse : Oui :

10 0^{2} = 6 0^{2} + 8 0^{2}

100²=60²+80², les côtés de

60

60 et

80

80 m sont perpendiculaires.

Rappel de cours : La réciproque de Pythagore garantit la perpendicularité des deux côtés de l'angle droit.

Exercice 11 — Type brevet : choix d'un triangle

Approfondissement / défi

Parmi les triangles de côtés (a) $9, 40, 41$ 9,40,41 et (b) $10, 24, 27$ 10,24,27, lequel est rectangle ?

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Correction détaillée

1
(a) : $4 1^{2} = 1681$ 41²=1681 et $9^{2} + 4 0^{2} = 81 + 1600 = 1681$ 9²+40²=81+1600=1681.
Égalité : rectangle.
2
(b) : $2 7^{2} = 729$ 27²=729 et $1 0^{2} + 2 4^{2} = 100 + 576 = 676$ 10²+24²=100+576=676.
$729 \neq = 676$ 729≠ 676 : non rectangle.

Réponse : Le triangle (a)

9, 40, 41

9,40,41 est rectangle ; (b) ne l'est pas.

Rappel de cours : On teste chaque triangle séparément avec la réciproque.

Exercice 12 — Type brevet : perpendicularité dans une figure

Approfondissement / défi

Sur un plan, $O (0; 0)$ O(0 ;0), $A (4; 0)$ A(4 ;0), $B (0; 3)$ B(0 ;3).

Vérifier par les longueurs que $(O A) ⊥ (O B)$ (OA)⊥(OB).

O(0;0), A(4;0), B(0;3)

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Correction détaillée

1
$O A = 4$ OA=4, $O B = 3$ OB=3, et $A B = (4 - 0)^{2} + (0 - 3)^{2} = 16 + 9 = 5$ AB=√((4-0)²+(0-3)²)=√(16+9)=5.
2
Plus grand côté $A B = 5$ AB=5 : $5^{2} = 25$ 5²=25 et $O A^{2} + O B^{2} = 16 + 9 = 25$ OA²+OB²=16+9=25.
Égalité : $O A B$ OAB rectangle en $O$ O.
3
Donc $(O A) ⊥ (O B)$ (OA)⊥(OB).

Réponse : Oui,

(O A) ⊥ (O B)

(OA)⊥(OB) (triangle rectangle en

O

O).

Rappel de cours : On calcule les trois longueurs (distance) puis on applique la réciproque pour prouver une perpendicularité.

Exercice 13 — Type brevet : valeur d'un côté pour rectangle

Approfondissement / défi

Pour quelle longueur du côté $B C$ BC le triangle de côtés $A B = 5$ AB=5, $A C = 12$ AC=12 est-il rectangle en $A$ A ?

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Correction détaillée

1
Rectangle en $A$ A $⟺ B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ ⇔ BC²=AB²+AC² ( $B C$ BC est alors l'hypoténuse).
2
$B C^{2} = 5^{2} + 1 2^{2} = 25 + 144 = 169$ BC²=5²+12²=25+144=169, donc $B C = 13$ BC=13.

Réponse :

B C = 13

BC=13.

Rappel de cours : Pour que l'angle droit soit en $A$ A, $[B C]$ [BC] doit être l'hypoténuse : $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ BC²=AB²+AC².

Exercice 14 — Type brevet : triangle agrandi

Approfondissement / défi

Le triangle $(3, 4, 5)$ (3,4,5) est rectangle.

Le triangle $(6, 8, 10)$ (6,8,10) (toutes longueurs doublées) l'est-il aussi ?

Justifier sans tout recalculer puis en vérifiant.

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Correction détaillée

1
Multiplier toutes les longueurs par $2$ 2 est un agrandissement : il conserve les angles, donc l'angle droit.
2
Vérification : $1 0^{2} = 100$ 10²=100 et $6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100$ 6²+8²=36+64=100.
Égalité : rectangle.

Réponse : Oui,

(6, 8, 10)

(6,8,10) est rectangle (agrandissement de

(3, 4, 5)

(3,4,5)).

Rappel de cours : Un agrandissement (ou réduction) conserve les angles : un triangle rectangle reste rectangle.

Tout sur thalès et pythagore

Les deux théorèmes du brevet : calculer une longueur, prouver un parallélisme, prouver un angle droit.

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