Exercices corrigés : Réciproque de Pythagore — Troisième

Correction détaillée

1. 1

   Le plus grand côté est $5$5.

   On compare $5^2$5² et $3^2+4^2$3²+4².

2. 2

   $5^2=25$5²=25 et $3^2+4^2=9+16=25$3²+4²=9+16=25.

   Égalité : par la réciproque de Pythagore, le triangle est rectangle.

Rappel de cours : Réciproque : si (plus grand côté)² = somme des carrés des deux autres, le triangle est rectangle.

Correction détaillée

1. 1

   L'hypoténuse est toujours le plus grand côté.

2. 2

   Ici, le plus grand côté est $10$10 : ce serait l'hypoténuse.

Rappel de cours : On compare toujours le carré du PLUS GRAND côté à la somme des carrés des deux autres.

Correction détaillée

1. 1

   Le plus grand côté est $[RT]$[RT].

   On calcule séparément son carré et la somme des carrés des deux autres.

2. 2

   $R{T}^2=17^2=289$RT²=17²=289 et $R{S}^2+S{T}^2=64+225=289$RS²+ST²=64+225=289.

3. 3

   Les deux résultats sont égaux : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, $RST$RST est rectangle, et l'angle droit est opposé au plus grand côté, en $S$S.

Rappel de cours : Réciproque : si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, le triangle est rectangle, l'angle droit étant en face du plus grand côté.

Correction détaillée

1. 1

   Plus grand côté : $10$10.

   $10^2=100$10²=100.

2. 2

   $6^2+8^2=36+64=100$6²+8²=36+64=100.

   Égalité : le triangle est rectangle.

Rappel de cours : On rédige : « D'une part $10^2=100$10²=100, d'autre part $6^2+8^2=100$6²+8²=100. Les résultats sont égaux, donc... »

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1. 1

   Plus grand côté : $6$6.

   $6^2=36$6²=36.

2. 2

   $4^2+5^2=16+25=41$4²+5²=16+25=41.

   $36\ne 41$36≠ 41 : les résultats sont différents.

3. 3

   Par la contraposée de Pythagore, le triangle n'est pas rectangle.

Rappel de cours : Si (plus grand côté)² $\ne$≠ somme des carrés, le triangle n'est PAS rectangle (contraposée).

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1. 1

   Le plus grand côté est $BC=15$BC=15.

   D'une part $B{C}^2=15^2=225$BC²=15²=225.

2. 2

   D'autre part $A{B}^2+A{C}^2=9^2+12^2=81+144=225$AB²+AC²=9²+12²=81+144=225.

3. 3

   $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$BC²=AB²+AC² : par la réciproque de Pythagore, $ABC$ABC est rectangle en $A$A (sommet opposé à l'hypoténuse $[BC]$[BC]).

Rappel de cours : L'angle droit est au sommet opposé au plus grand côté (l'hypoténuse).

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1. 1

   On repère d'abord le plus grand côté : c'est $[BC]$[BC] avec $2,6$2,6 m.

2. 2

   $B{C}^2=2,6^2=6,76$BC²=2,6²=6,76.

3. 3

   $A{B}^2+A{C}^2=1^2+2,4^2=1+5,76=6,76$AB²+AC²=1²+2,4²=1+5,76=6,76.

4. 4

   Égalité : d'après la réciproque de Pythagore, $ABC$ABC est rectangle.

   Le sommet de l'angle droit est celui qui n'appartient pas à $[BC]$[BC] : c'est $A$A.

Rappel de cours : L'angle droit est au sommet opposé à l'hypoténuse, c'est-à-dire le seul sommet qui n'est pas une extrémité du plus grand côté.

Erreur fréquente : Ne pas tester $A{B}^2+B{C}^2=A{C}^2$AB²+BC²=AC² dans l'ordre de l'énoncé : on compare toujours le plus grand côté aux deux autres.

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1. 1

   Plus grand côté : $13$13.

   $13^2=169$13²=169.

2. 2

   $5^2+12^2=25+144=169$5²+12²=25+144=169.

   Égalité : le triangle est rectangle.

Rappel de cours : $(5,12,13)$(5,12,13) est un « triplet pythagoricien » classique, comme $(3,4,5)$(3,4,5).

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1. 1

   Plus grand côté : $2,5$2,5.

   $2,5^2=6,25$2,5²=6,25.

2. 2

   $1,5^2+2^2=2,25+4=6,25$1,5²+2²=2,25+4=6,25.

   Égalité : rectangle.

Rappel de cours : La méthode est la même avec des décimaux : on compare les carrés.

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1. 1

   Dans le triangle $ABC$ABC, le plus grand côté est $AC=10$AC=10.

   $A{C}^2=100$AC²=100.

2. 2

   $A{B}^2+B{C}^2=8^2+6^2=64+36=100$AB²+BC²=8²+6²=64+36=100.

   Égalité : $ABC$ABC est rectangle en $B$B.

3. 3

   Donc l'angle $\widehat{ABC}$ABĈ est droit.

Rappel de cours : Pour prouver un angle droit, on applique la réciproque dans le triangle qui contient cet angle.

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1. 1

   $11^2=121$11²=121 et $7^2+8^2=49+64=113$7²+8²=49+64=113.

2. 2

   $121>113$121>113 : le carré du plus grand côté dépasse la somme des autres.

3. 3

   Le triangle est obtusangle (angle obtus opposé au côté $11$11) ; il n'est pas rectangle.

Rappel de cours : Si (grand côté)² > somme des carrés : angle obtus. Si < : angle aigu. Si = : angle droit.

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1. 1

   Le plus grand côté est $\sqrt{12}$√(12) (car $12>7>5$12>7>5).

2. 2

   Le carré d'une racine carrée redonne le nombre : $(\sqrt{12}{)}^2=12$(√(12))²=12, $(\sqrt{5}{)}^2=5$(sqrt5)²=5, $(\sqrt{7}{)}^2=7$(sqrt7)²=7.

3. 3

   $5+7=12$5+7=12 : le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres.

4. 4

   D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle.

Rappel de cours : Pour $a\ge 0$a≥ 0 : $(\sqrt{a}{)}^2=a$( √a )²=a. Les racines rendent ici le calcul plus simple, pas plus difficile.

Erreur fréquente : Ne pas écrire $\sqrt{5}+\sqrt{7}=\sqrt{12}$sqrt5+sqrt7=√(12) : c'est faux ($\approx 4,88$≈ 4,88 contre $\approx 3,46$≈ 3,46). La réciproque porte sur les carrés.

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1. 1

   Les deux marques et le coin forment un triangle de côtés $1,2$1,2, $1,6$1,6 et $2,05$2,05 m ; le plus grand est $2,05$2,05 m.

2. 2

   $2,05^2=4,2025$2,05²=4,2025 et $1,2^2+1,6^2=1,44+2,56=4$1,2²+1,6²=1,44+2,56=4.

3. 3

   $4,2025\ne 4$4,2025≠ 4 : l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée.

   Si l'angle était droit, le triangle serait rectangle et l'égalité serait vraie : l'angle n'est donc pas droit.

4. 4

   Comme $4,2025>4$4,2025>4, la diagonale est trop longue : l'angle est un peu plus ouvert qu'un angle droit (obtus).

   Pour qu'il soit droit, la diagonale devrait mesurer $\sqrt{4}=2$sqrt4=2 m.

Rappel de cours : Contraposée de Pythagore : si l'égalité n'est pas vérifiée, le triangle n'est pas rectangle.

Erreur fréquente : « Presque égal » ne suffit pas : $4,2025$4,2025 et $4$4 sont différents, la conclusion est « non rectangle ».

Correction détaillée

1. 1

   Plus grand côté : $100$100.

   $100^2=10000$100²=10000.

2. 2

   $60^2+80^2=3600+6400=10000$60²+80²=3600+6400=10000.

   Égalité : le triangle est rectangle.

3. 3

   Les côtés de $60$60 m et $80$80 m (ceux de l'angle droit) sont donc perpendiculaires : le propriétaire a raison.

Rappel de cours : La réciproque de Pythagore garantit la perpendicularité des deux côtés de l'angle droit.

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1. 1

   (a) : $41^2=1681$41²=1681 et $9^2+40^2=81+1600=1681$9²+40²=81+1600=1681.

   Égalité : rectangle.

2. 2

   (b) : $27^2=729$27²=729 et $10^2+24^2=100+576=676$10²+24²=100+576=676.

   $729\ne 676$729≠ 676 : non rectangle.

Rappel de cours : On teste chaque triangle séparément avec la réciproque.

Correction détaillée

1. 1

   $OA=4$OA=4, $OB=3$OB=3, et $AB=\sqrt{(4-0{)}^2+(0-3{)}^2}=\sqrt{16+9}=5$AB=√((4-0)²+(0-3)²)=√(16+9)=5.

2. 2

   Plus grand côté $AB=5$AB=5 : $5^2=25$5²=25 et $O{A}^2+O{B}^2=16+9=25$OA²+OB²=16+9=25.

   Égalité : $OAB$OAB rectangle en $O$O.

3. 3

   Donc $(OA)\perp (OB)$(OA)⊥(OB).

Rappel de cours : On calcule les trois longueurs (distance) puis on applique la réciproque pour prouver une perpendicularité.

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1. 1

   Rectangle en $A$A $⟺B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$⇔ BC²=AB²+AC² ($BC$BC est alors l'hypoténuse).

2. 2

   $B{C}^2=5^2+12^2=25+144=169$BC²=5²+12²=25+144=169, donc $BC=13$BC=13.

Rappel de cours : Pour que l'angle droit soit en $A$A, $[BC]$[BC] doit être l'hypoténuse : $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$BC²=AB²+AC².

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1. 1

   Multiplier toutes les longueurs par $2$2 est un agrandissement : il conserve les angles, donc l'angle droit.

2. 2

   Vérification : $10^2=100$10²=100 et $6^2+8^2=36+64=100$6²+8²=36+64=100.

   Égalité : rectangle.

Rappel de cours : Un agrandissement (ou réduction) conserve les angles : un triangle rectangle reste rectangle.

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1. 1

   On calcule chaque longueur avec Pythagore dans un triangle rectangle formé par les lignes du quadrillage (déplacement horizontal, déplacement vertical).

2. 2

   $AB$AB : $3$3 et $4$4 carreaux, $A{B}^2=9+16=25$AB²=9+16=25, $AB=5$AB=5.

3. 3

   $BC$BC : de $B$B à $C$C, $7-3=4$7-3=4 carreaux à droite et $4-1=3$4-1=3 vers le bas, $B{C}^2=16+9=25$BC²=16+9=25, $BC=5$BC=5.

4. 4

   $AC$AC : $7$7 et $1$1 carreaux, $A{C}^2=49+1=50$AC²=49+1=50.

5. 5

   Plus grand côté $[AC]$[AC] : $A{B}^2+B{C}^2=25+25=50=A{C}^2$AB²+BC²=25+25=50=AC².

   D'après la réciproque de Pythagore, $ABC$ABC est rectangle en $B$B.

   Comme de plus $AB=BC=5$AB=BC=5, il est isocèle.

Rappel de cours : Sur un quadrillage, une distance oblique se calcule avec Pythagore à partir des déplacements horizontal et vertical.

Erreur fréquente : On garde $A{C}^2=50$AC²=50 sans arrondir $\sqrt{50}$√(50) : la comparaison des carrés est exacte, celle d'arrondis ne l'est pas.

Correction détaillée

1. 1

   1) Le triangle $ABH$ABH est rectangle en $H$H : $A{B}^2=A{H}^2+B{H}^2=144+81=225$AB²=AH²+BH²=144+81=225, donc $AB=15$AB=15 cm.

2. 2

   Le triangle $ACH$ACH est rectangle en $H$H : $A{C}^2=A{H}^2+H{C}^2=144+256=400$AC²=AH²+HC²=144+256=400, donc $AC=20$AC=20 cm.

3. 3

   2) $H\in [BC]$H∈[BC], donc $BC=BH+HC=9+16=25$BC=BH+HC=9+16=25 cm, le plus grand côté.

4. 4

   $B{C}^2=625$BC²=625 et $A{B}^2+A{C}^2=225+400=625$AB²+AC²=225+400=625.

   Égalité : d'après la réciproque de Pythagore, $ABC$ABC est rectangle en $A$A.

Rappel de cours : Le théorème sert à calculer une longueur dans un triangle déjà rectangle ; la réciproque sert à prouver qu'un triangle est rectangle.

Erreur fréquente : Ne pas déduire « rectangle en $A$A » de la figure : il faut le démontrer par le calcul.