Exercices corrigés : Expressions littérales — Cinquième

Correction détaillée

1. 1

   a) Devant une lettre, le signe $\times$× et le nombre se collent : $4\times x$4 × x s'écrit $4x$4x.

2. 2

   b) Entre deux lettres, on supprime aussi le signe : $a\times b$a × b s'écrit $ab$ab.

3. 3

   c) Multiplier par $1$1 ne change rien : $1\times y$1 × y s'écrit simplement $y$y.

4. 4

   d) Un nombre multiplié par lui-même s'écrit avec un exposant : $x\times x=x^2$x × x = x², qui se lit « $x$x au carré ».

Rappel de cours : On supprime le $\times$× devant une lettre, jamais entre deux nombres : $4\times 5$4 × 5 ne s'écrit pas $45$45.

Erreur fréquente : Écrire $x4$x4 au lieu de $4x$4x : le nombre se place toujours avant la lettre.

Correction détaillée

1. 1

   On remplace la lettre par sa valeur, en rétablissant le signe $\times$× sous-entendu.

2. 2

   Pour $x=4$x = 4 : $A=3\times 4+5$A = 3 × 4 + 5.

3. 3

   On respecte les priorités : la multiplication d'abord, donc $12+5=17$12 + 5 = 17.

4. 4

   Pour $x=0$x = 0 : $A=3\times 0+5=0+5=5$A = 3 × 0 + 5 = 0 + 5 = 5.

Rappel de cours : Substituer, c'est remplacer la lettre par sa valeur — sans oublier le $\times$× sous-entendu.

Erreur fréquente : Écrire $34+5$34 + 5 pour $x=4$x=4 : $3x$3x signifie $3\times x$3 × x, pas « $3$3 suivi de $x$x ».

Correction détaillée

1. 1

   a) Le double signifie « multiplié par $2$2 » : $2n$2n.

2. 2

   b) « Augmenté de $7$7 » signifie qu'on ajoute $7$7 : $n+7$n + 7.

3. 3

   c) La somme de $n$n et $2$2 s'écrit $n+2$n + 2.

4. 4

   c) Le triple de cette somme s'écrit $3(n+2)$3(n+2) : les parenthèses sont indispensables, car c'est toute la somme qui est triplée.

Rappel de cours : Double $=\times 2$= × 2 · triple $=\times 3$= × 3 · augmenté de $=+$= + · diminué de $=-$= -.

Erreur fréquente : Écrire $3n+2$3n + 2 pour c) : sans parenthèses, seul $n$n serait triplé.

Correction détaillée

1. 1

   Le périmètre d'un rectangle vaut $2\times (\text{longueur}+\text{largeur})$2 × ( longueur + largeur ).

2. 2

   Ici : $P=2\times (x+3)$P = 2 × (x + 3), ce qui s'écrit $2(x+3)$2(x+3).

3. 3

   On peut aussi additionner les quatre côtés : $x+3+x+3=2x+6$x + 3 + x + 3 = 2x + 6.

4. 4

   Les deux écritures sont équivalentes : $2(x+3)=2x+6$2(x+3) = 2x + 6.

5. 5

   Pour $x=7$x = 7 : $P=2\times 7+6=14+6=20$P = 2 × 7 + 6 = 14 + 6 = 20 cm.

Rappel de cours : Une même grandeur peut s'exprimer par plusieurs écritures équivalentes.

Erreur fréquente : Écrire $2x+3$2x + 3 : la largeur compte elle aussi deux fois dans le périmètre.

Correction détaillée

1. 1

   Un terme est un morceau de l'expression séparé par un signe $+$+ ou $-$-.

2. 2

   Les termes sont : $5x$5x, $+3y$+3y, $-2x$-2x et $+7$+7.

3. 3

   Les termes en $x$x sont $5x$5x et $-2x$-2x.

4. 4

   Le seul terme en $y$y est $3y$3y.

5. 5

   Le terme constant (sans lettre) est $7$7.

Rappel de cours : Seuls les termes qui ont la MÊME lettre peuvent être regroupés.

Erreur fréquente : Oublier d'emporter le signe $-$- avec le terme : c'est $-2x$-2x, pas $2x$2x.

Correction détaillée

1. 1

   On regroupe les termes qui contiennent la même lettre.

2. 2

   Termes en $x$x : $5x-2x=3x$5x - 2x = 3x.

3. 3

   Termes en $y$y : $3y+2y=5y$3y + 2y = 5y.

4. 4

   Terme constant : $7$7.

5. 5

   Expression réduite : $3x+5y+7$3x + 5y + 7.

6. 6

   On ne peut pas aller plus loin : $3x$3x, $5y$5y et $7$7 ne sont pas de même nature.

Rappel de cours : On additionne les coefficients des termes de même lettre : $5x-2x=(5-2)x$5x - 2x = (5-2)x.

Erreur fréquente : Écrire $3x+5y=8xy$3x + 5y = 8xy : on ne peut pas additionner des termes de lettres différentes.

Correction détaillée

1. 1

   On remplace $x$x par $-3$-3, en gardant les parenthèses pour ne pas mélanger les signes.

2. 2

   $B=2\times (-3)+9$B = 2 × (-3) + 9.

3. 3

   Multiplication d'abord : $2\times (-3)=-6$2 × (-3) = -6.

4. 4

   Puis $B=-6+9$B = -6 + 9.

   Signes contraires : $9-6=3$9 - 6 = 3, signe du plus éloigné de zéro ($+9$+9) : $+3$+3.

5. 5

   Donc $B=3$B = 3.

Rappel de cours : On met toujours la valeur négative entre parenthèses au moment de la substitution.

Erreur fréquente : Écrire $2\times -3+9$2 × -3 + 9 sans parenthèses et se tromper de signe.

Correction détaillée

1. 1

   Développer, c'est transformer un produit en somme : on multiplie le facteur par CHAQUE terme de la parenthèse.

2. 2

   a) $4(x+3)=4\times x+4\times 3=4x+12$4(x+3) = 4 × x + 4 × 3 = 4x + 12.

3. 3

   b) $5(2y-1)=5\times 2y-5\times 1$5(2y-1) = 5 × 2y - 5 × 1.

4. 4

   $5\times 2y=10y$5 × 2y = 10y et $5\times 1=5$5 × 1 = 5.

5. 5

   Donc $5(2y-1)=10y-5$5(2y-1) = 10y - 5.

Rappel de cours : $k(a+b)=ka+kb$k(a+b) = ka + kb : le facteur multiplie TOUS les termes de la parenthèse.

Erreur fréquente : Écrire $4(x+3)=4x+3$4(x+3) = 4x + 3 : le $4$4 doit aussi multiplier le $3$3.

Correction détaillée

1. 1

   Factoriser, c'est l'opération inverse de développer : on transforme une somme en produit.

2. 2

   a) Les deux termes contiennent le facteur $3$3 : $3x+21=3\times x+3\times 7$3x + 21 = 3 × x + 3 × 7.

3. 3

   On met $3$3 en facteur : $3(x+7)$3(x + 7).

4. 4

   b) Les deux termes contiennent le facteur $5$5 : $5a+5b=5\times a+5\times b=5(a+b)$5a + 5b = 5 × a + 5 × b = 5(a+b).

5. 5

   Vérification en développant : $5(a+b)=5a+5b$5(a+b) = 5a + 5b. ✔

Rappel de cours : On repère le facteur commun à tous les termes, puis on le sort de la parenthèse.

Erreur fréquente : Oublier un terme dans la parenthèse : on vérifie toujours en redéveloppant.

Correction détaillée

1. 1

   Tester une valeur, c'est calculer séparément les deux membres et voir s'ils sont égaux.

2. 2

   Pour $x=4$x = 4 : membre de gauche $=3\times 4-5=12-5=7$= 3 × 4 - 5 = 12 - 5 = 7.

   Membre de droite $=7$= 7.

3. 3

   Les deux membres sont égaux : $4$4 est bien solution.

4. 4

   Pour $x=5$x = 5 : membre de gauche $=3\times 5-5=15-5=10$= 3 × 5 - 5 = 15 - 5 = 10.

   Membre de droite $=7$= 7.

5. 5

   $10\ne 7$10 ≠ 7 : $5$5 n'est pas solution.

Rappel de cours : Une valeur est solution quand elle rend l'égalité vraie : on calcule chaque membre à part.

Erreur fréquente : Calculer $3\times 4-5$3 × 4 - 5 comme $3\times (4-5)$3 × (4-5) : la multiplication est prioritaire.

Correction détaillée

1. 1

   Le périmètre est la somme des trois côtés.

2. 2

   Deux côtés valent $a$a et le troisième vaut $b$b.

3. 3

   $P=a+a+b$P = a + a + b, ce qui se réduit en $P=2a+b$P = 2a + b.

4. 4

   Pour $a=6$a = 6 et $b=4$b = 4 : $P=2\times 6+4=12+4=16$P = 2 × 6 + 4 = 12 + 4 = 16 cm.

5. 5

   Vérification directe : $6+6+4=16$6 + 6 + 4 = 16 cm. ✔

Rappel de cours : Une expression littérale permet de calculer le périmètre pour n'importe quelles valeurs, sans tout refaire.

Erreur fréquente : Écrire $P=3a$P = 3a : les trois côtés ne sont pas tous égaux dans un triangle isocèle.

Correction détaillée

1. 1

   L'aire d'un rectangle est le produit de la longueur par la largeur.

2. 2

   $\mathcal{A}=5(x+2)$A = 5(x+2).

3. 3

   On développe : $5\times x+5\times 2=5x+10$5 × x + 5 × 2 = 5x + 10.

4. 4

   Pour $x=3$x = 3 : $\mathcal{A}=5\times 3+10=15+10=25$A = 5 × 3 + 10 = 15 + 10 = 25.

5. 5

   Vérification par la forme non développée : la longueur vaut $3+2=5$3 + 2 = 5, donc l'aire vaut $5\times 5=25$5 × 5 = 25. ✔

Rappel de cours : Les deux formes (factorisée et développée) donnent toujours le même résultat : c'est un bon moyen de vérifier.

Erreur fréquente : Écrire $\mathcal{A}=5x+2$A = 5x + 2 : le $5$5 multiplie toute la longueur, donc aussi le $2$2.

Correction détaillée

1. 1

   On traduit chaque étape en gardant $n$n comme point de départ.

2. 2

   « Multiplie par $4$4 » : $4n$4n.

3. 3

   « Ajoute $6$6 » : $4n+6$4n + 6.

4. 4

   « Divise par $2$2 » : $\frac{4n+6}{2}$(4n+6)/2.

   Les parenthèses sont sous-entendues par la barre de fraction : c'est TOUT le résultat qui est divisé.

5. 5

   On simplifie en divisant chaque terme par $2$2 : $\frac{4n}{2}+\frac{6}{2}=2n+3$4n/2 + 6/2 = 2n + 3.

6. 6

   Vérification avec $n=5$n = 5 : le programme donne $20$20, puis $26$26, puis $13$13.

   Et $2\times 5+3=13$2 × 5 + 3 = 13. ✔

Rappel de cours : Quand on divise une somme, chaque terme doit être divisé.

Erreur fréquente : Écrire $4n+3$4n + 3 en ne divisant que le $6$6 : la division porte sur toute l'expression.

Correction détaillée

1. 1

   Pour $x=0$x = 0 : $A=3\times 4=12$A = 3 × 4 = 12 et $B=0+12=12$B = 0 + 12 = 12.

   Égales.

2. 2

   Pour $x=2$x = 2 : $A=3\times 6=18$A = 3 × 6 = 18 et $B=6+12=18$B = 6 + 12 = 18.

   Égales.

3. 3

   Pour $x=5$x = 5 : $A=3\times 9=27$A = 3 × 9 = 27 et $B=15+12=27$B = 15 + 12 = 27.

   Égales.

4. 4

   Ces trois exemples ne prouvent rien à eux seuls : ils rendent seulement l'égalité crédible.

5. 5

   La preuve vient du développement : $3(x+4)=3\times x+3\times 4=3x+12$3(x+4) = 3 × x + 3 × 4 = 3x + 12, donc $A=B$A = B quelle que soit la valeur de $x$x.

Rappel de cours : Des exemples ne démontrent jamais une égalité générale : seul le calcul littéral le fait.

Erreur fréquente : Conclure après un seul essai : deux expressions peuvent coïncider pour une valeur sans être égales partout.

Correction détaillée

1. 1

   On observe la progression : $4$4, $7$7, $10$10… On ajoute $3$3 allumettes à chaque nouveau carré.

2. 2

   Explication : le premier carré coûte $4$4 allumettes ; chaque carré suivant n'en coûte que $3$3, car il réutilise un côté déjà posé.

3. 3

   Pour $n$n carrés : $4$4 allumettes pour le premier, puis $3$3 pour chacun des $n-1$n - 1 suivants.

4. 4

   Nombre d'allumettes $=4+3(n-1)=4+3n-3=3n+1$= 4 + 3(n-1) = 4 + 3n - 3 = 3n + 1.

5. 5

   Vérification : pour $n=1$n=1, $3+1=4$3+1=4 ✔ ; pour $n=2$n=2, $6+1=7$6+1=7 ✔ ; pour $n=3$n=3, $9+1=10$9+1=10 ✔.

6. 6

   Pour $10$10 carrés, il faudrait $3\times 10+1=31$3 × 10 + 1 = 31 allumettes.

Rappel de cours : Pour trouver une formule, on cherche « ce qui s'ajoute à chaque étape » : c'est le coefficient de $n$n.

Erreur fréquente : Écrire $4n$4n : les carrés voisins partagent un côté, on ne recompte pas les allumettes communes.

Correction détaillée

1. 1

   Formule A : chaque séance coûte $9$9 €, donc $P_A=9n$P_A = 9n.

2. 2

   Formule B : l'abonnement est payé une fois, puis $4$4 € par séance, donc $P_B=30+4n$P_B = 30 + 4n.

3. 3

   Pour $n=4$n = 4 : $P_A=36$P_A = 36 € et $P_B=30+16=46$P_B = 30 + 16 = 46 €.

   La formule A est meilleure.

4. 4

   Pour $n=10$n = 10 : $P_A=90$P_A = 90 € et $P_B=30+40=70$P_B = 30 + 40 = 70 €.

   La formule B est meilleure.

5. 5

   On cherche le basculement en testant les valeurs intermédiaires.

6. 6

   $n=6$n = 6 : $P_A=54$P_A = 54 et $P_B=54$P_B = 54 : les deux formules coûtent pareil.

7. 7

   $n=7$n = 7 : $P_A=63$P_A = 63 et $P_B=58$P_B = 58 : la formule B devient moins chère.

8. 8

   La formule B est donc plus avantageuse à partir de $7$7 séances.

Rappel de cours : Un abonnement rend une formule intéressante seulement au-delà d'un certain nombre d'utilisations.

Erreur fréquente : Répondre $6$6 séances : à $6$6 séances les prix sont ÉGAUX, B n'est pas encore plus avantageuse.

Correction détaillée

1. 1

   Aire du grand carré : $x\times x=x^2$x × x = x².

2. 2

   Aire du carré retiré : $3\times 3=9$3 × 3 = 9.

3. 3

   Aire de la figure en L : on soustrait le morceau enlevé, donc $\mathcal{A}=x^2-9$A = x² - 9.

4. 4

   Pour $x=8$x = 8 : $\mathcal{A}=8^2-9=64-9=55$A = 8² - 9 = 64 - 9 = 55.

5. 5

   Vérification : le grand carré fait $64$64 unités d'aire, le petit $9$9, et $64-9=55$64 - 9 = 55. ✔

6. 6

   Remarque : pour que la figure existe, il faut que $x$x soit supérieur à $3$3, sinon le carré retiré ne tiendrait pas dedans.

Rappel de cours : $x^2$x² signifie $x\times x$x × x, à ne pas confondre avec $2x=x+x$2x = x + x.

Erreur fréquente : Écrire $\mathcal{A}=2x-9$A = 2x - 9 : l'aire d'un carré est $x^2$x², pas $2x$2x.

Correction détaillée

1. 1

   On appelle $n$n le nombre choisi et on traduit chaque étape.

2. 2

   « Ajoute $3$3 » : $n+3$n + 3.

3. 3

   « Multiplie par $2$2 » : $2(n+3)$2(n+3), qu'on développe en $2n+6$2n + 6.

4. 4

   « Retire le double du nombre choisi » : le double de $n$n est $2n$2n, donc on calcule $2n+6-2n$2n + 6 - 2n.

5. 5

   Les termes $2n$2n et $-2n$-2n s'annulent : il reste $6$6.

6. 6

   Le résultat est donc toujours $6$6, quelle que soit la valeur de $n$n.

7. 7

   Vérification : avec $n=10$n = 10, on obtient $13$13, puis $26$26, puis $26-20=6$26 - 20 = 6. ✔

Rappel de cours : Le calcul littéral permet de PROUVER qu'un programme donne toujours le même résultat — les exemples, eux, ne prouvent rien.

Erreur fréquente : Tester deux ou trois nombres et affirmer « c'est toujours $6$6 » : ce n'est pas une démonstration.

Correction détaillée

1. 1

   Les deux entiers suivants sont $n+1$n+1 et $n+2$n+2.

2. 2

   Somme des trois : $n+(n+1)+(n+2)$n + (n+1) + (n+2).

3. 3

   On regroupe les termes en $n$n : $n+n+n=3n$n + n + n = 3n.

4. 4

   On regroupe les constantes : $1+2=3$1 + 2 = 3.

5. 5

   La somme vaut donc $3n+3$3n + 3, ce qui se factorise en $3(n+1)$3(n+1).

6. 6

   En divisant par $3$3 : $\frac{3(n+1)}{3}=n+1$(3(n+1))/3 = n+1, c'est-à-dire le nombre du milieu.

7. 7

   Conclusion : la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de $3$3, et sa division par $3$3 redonne l'entier central.

8. 8

   Vérification : $7+8+9=24$7 + 8 + 9 = 24, et $24÷3=8$24 ÷ 3 = 8, qui est bien celui du milieu. ✔

Rappel de cours : Factoriser fait apparaître les propriétés cachées : ici, le facteur $3$3 prouve la divisibilité.

Erreur fréquente : Écrire les entiers suivants $n+1$n+1 et $n+3$n+3 : les entiers consécutifs se suivent de $1$1 en $1$1.

Correction détaillée

1. 1

   a) Additionner $2x$2x et $3x$3x, c'est additionner les coefficients : $2x+3x=5x$2x + 3x = 5x, et non $5x^2$5x².

2. 2

   a) L'exposant apparaît en multipliant, pas en additionnant.

   L'affirmation est FAUSSE.

3. 3

   b) $x^2$x² signifie $x\times x$x × x tandis que $2x$2x signifie $x+x$x + x.

   Ce sont deux choses différentes.

4. 4

   b) Contre-exemple avec $x=3$x = 3 : $x^2=9$x² = 9 alors que $2x=6$2x = 6.

   L'affirmation est FAUSSE.

5. 5

   b) Remarque : elles coïncident pour $x=0$x=0 et $x=2$x=2, mais pas pour les autres valeurs — ce qui montre bien qu'un exemple ne suffit jamais.

6. 6

   c) C'est la distributivité : $3\times x+3\times 2=3x+6$3 × x + 3 × 2 = 3x + 6.

   L'affirmation est VRAIE.

Rappel de cours : $2x=x+x$2x = x+x (addition) tandis que $x^2=x\times x$x² = x × x (multiplication) : ne jamais confondre.

Erreur fréquente : Pour b), tester uniquement $x=2$x=2 et conclure « vrai » : c'est justement une des deux valeurs où l'égalité fonctionne par hasard.