Exercices corrigés : Algorithmique et Scratch — Cinquième

Correction détaillée

1. 1

   Une variable est une case mémoire : à chaque instruction, elle est écrasée par la nouvelle valeur.

2. 2

   Au départ, $a=5$a = 5.

3. 3

   « $a$a prend la valeur $a+3$a + 3 » : on calcule $5+3=8$5 + 3 = 8, donc $a$a vaut maintenant $8$8.

4. 4

   « $a$a prend la valeur $a\times 2$a × 2 » : on calcule $8\times 2=16$8 × 2 = 16, donc $a$a vaut $16$16.

5. 5

   La valeur finale est $16$16.

Rappel de cours : « $a$a prend la valeur $a+3$a+3 » n'est pas une équation : c'est un ordre de remplacement.

Erreur fréquente : Résoudre $a=a+3$a = a + 3 comme une équation : en algorithmique, l'ancienne valeur est simplement remplacée.

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1. 1

   Au départ : $x=4$x = 4 et $y=9$y = 9.

2. 2

   « $x$x prend la valeur $y$y » : $x$x devient $9$9.

   La valeur $4$4 est perdue !

3. 3

   « $y$y prend la valeur $x$x » : $x$x vaut maintenant $9$9, donc $y$y devient $9$9 aussi.

4. 4

   À la fin, $x=9$x = 9 et $y=9$y = 9 : l'échange a échoué.

5. 5

   Pour échanger correctement, il faut une troisième variable : « $t$t prend la valeur $x$x ; $x$x prend la valeur $y$y ; $y$y prend la valeur $t$t ».

Rappel de cours : Pour échanger deux variables, on garde d'abord une copie dans une troisième.

Erreur fréquente : Croire que les deux affectations se font « en même temps » : elles s'exécutent l'une après l'autre.

Correction détaillée

1. 1

   Pour $15$15 : la condition « $15>10$15 > 10 » est vraie, donc on affiche « grand ».

2. 2

   Pour $10$10 : la condition « $10>10$10 > 10 » est FAUSSE, car $10$10 n'est pas strictement supérieur à $10$10.

3. 3

   On exécute donc la branche « sinon » : on affiche « petit ».

4. 4

   Pour $3$3 : la condition est fausse, on affiche « petit ».

Rappel de cours : « Supérieur à » est strict : $10>10$10 > 10 est faux. Pour inclure la valeur, il faut « supérieur ou égal ».

Erreur fréquente : Traiter le cas limite ($10$10) comme « grand » : c'est là que se cachent la plupart des erreurs de programme.

Correction détaillée

1. 1

   Au départ, $s=0$s = 0.

2. 2

   Tour 1 : $s=0+5=5$s = 0 + 5 = 5.

3. 3

   Tour 2 : $s=5+5=10$s = 5 + 5 = 10.

4. 4

   Tour 3 : $s=10+5=15$s = 10 + 5 = 15.

5. 5

   Tour 4 : $s=15+5=20$s = 15 + 5 = 20.

6. 6

   À la fin, $s=20$s = 20.

   On aurait pu le prévoir : ajouter $5$5 quatre fois revient à ajouter $4\times 5=20$4 × 5 = 20.

Rappel de cours : Une variable qui accumule des valeurs dans une boucle s'appelle un « compteur » ou un « accumulateur ».

Erreur fréquente : Répondre $5$5 en oubliant que la boucle répète l'instruction quatre fois.

Correction détaillée

1. 1

   La boucle est exécutée $5$5 fois : le tracé comporte $5$5 segments de même longueur.

2. 2

   Somme des rotations : $5\times 72=360°$5 × 72 = 360°, soit un tour complet.

3. 3

   La figure se referme donc sur elle-même.

4. 4

   Cinq côtés égaux et cinq angles égaux : c'est un pentagone régulier de côté $70$70.

Rappel de cours : Polygone régulier à $n$n côtés : répéter $n$n fois, tourner de $360÷n$360 ÷ n degrés.

Erreur fréquente : Ne pas vérifier que la somme des rotations fait $360°$360° : sinon la figure resterait ouverte.

Correction détaillée

1. 1

   Au départ, $n=1$n = 1.

2. 2

   Tour 1 : le lutin avance de $1\times 30=30$1 × 30 = 30.

   Puis $n$n devient $2$2.

3. 3

   Tour 2 : il avance de $2\times 30=60$2 × 30 = 60.

   Puis $n$n devient $3$3.

4. 4

   Tour 3 : il avance de $3\times 30=90$3 × 30 = 90.

   Puis $n$n devient $4$4.

5. 5

   Tour 4 : il avance de $4\times 30=120$4 × 30 = 120.

   Puis $n$n devient $5$5, mais la boucle s'arrête.

6. 6

   Les segments mesurent $30$30, $60$60, $90$90 et $120$120 : le tracé est une spirale carrée, pas un carré.

Rappel de cours : Une variable modifiée dans la boucle fait changer le tracé à chaque tour.

Erreur fréquente : Croire que les quatre côtés sont égaux : $n$n augmente à chaque passage.

Correction détaillée

1. 1

   La boucle intérieure exécute $5$5 fois « avancer », et elle est répétée $3$3 fois.

2. 2

   Nombre total d'exécutions : $3\times 5=15$3 × 5 = 15.

3. 3

   La boucle intérieure trace un pentagone régulier (car $5\times 72=360°$5 × 72 = 360°).

4. 4

   Entre deux pentagones, le lutin tourne de $120°$120°.

5. 5

   Comme $3\times 120=360°$3 × 120 = 360°, les trois pentagones sont disposés en rosace autour du point de départ.

Rappel de cours : Boucles imbriquées : on MULTIPLIE les nombres de répétitions.

Erreur fréquente : Additionner $3+5=8$3 + 5 = 8 : les boucles se multiplient, elles ne s'additionnent pas.

Correction détaillée

1. 1

   Avec « ET », les DEUX conditions doivent être vraies en même temps.

2. 2

   $12$12 : il est pair ✔ et supérieur à $10$10 ✔ → « OK ».

3. 3

   $7$7 : il n'est pas pair ✘ → « NON » (inutile de tester la suite).

4. 4

   $8$8 : il est pair ✔ mais n'est pas supérieur à $10$10 ✘ → « NON ».

5. 5

   $15$15 : il n'est pas pair ✘ → « NON ».

6. 6

   Seul $12$12 satisfait les deux conditions.

Rappel de cours : « ET » exige les deux conditions · « OU » se contente d'une seule.

Erreur fréquente : Traiter « ET » comme « OU » : $8$8 serait accepté à tort.

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1. 1

   Étape 1 : demander la valeur du côté et la stocker dans une variable, appelons-la $c$c.

2. 2

   Étape 2 : créer une variable $p$p et lui donner la valeur $4\times c$4 × c, puisque le périmètre d'un carré vaut quatre fois le côté.

3. 3

   Étape 3 : afficher $p$p.

4. 4

   Un algorithme se compose souvent de trois phases : entrée des données, calcul, affichage du résultat.

Rappel de cours : Une variable sert à retenir une donnée pour la réutiliser plus loin.

Erreur fréquente : Écrire « calculer le périmètre » comme instruction : il faut détailler le calcul.

Correction détaillée

1. 1

   Pour qu'une figure se referme, la somme des rotations doit valoir exactement $360°$360°.

2. 2

   Ici : $6\times 120=720°$6 × 120 = 720°, soit DEUX tours complets.

3. 3

   Le lutin repasse donc deux fois sur le même chemin : il trace un triangle parcouru deux fois, pas un hexagone.

4. 4

   L'angle correct est $360÷6=60°$360 ÷ 6 = 60°.

5. 5

   Programme corrigé : « répéter $6$6 fois [ avancer de $50$50 ; tourner de $60°$60° ] ».

6. 6

   Vérification : $6\times 60=360°$6 × 60 = 360°. ✔

Rappel de cours : Test rapide : nombre de répétitions $\times$× angle doit donner $360°$360°.

Erreur fréquente : Utiliser l'angle intérieur de l'hexagone ($120°$120°) : le lutin tourne de l'angle EXTÉRIEUR.

Correction détaillée

1. 1

   La variable $c$c compte les nombres qui vérifient la condition.

   Au départ, $c=0$c = 0.

2. 2

   $3$3 : $3>6$3 > 6 est faux, $c$c reste $0$0.

3. 3

   $8$8 : $8>6$8 > 6 est vrai, $c$c devient $1$1.

4. 4

   $12$12 : vrai, $c$c devient $2$2.

5. 5

   $5$5 : faux, $c$c reste $2$2.

6. 6

   $20$20 : vrai, $c$c devient $3$3.

7. 7

   À la fin, $c=3$c = 3 : trois nombres de la liste dépassent $6$6.

Rappel de cours : Une variable qui s'incrémente sous condition est un « compteur ».

Erreur fréquente : Compter tous les nombres de la liste ($5$5) : seuls ceux qui vérifient la condition sont comptés.

Correction détaillée

1. 1

   On a besoin de deux variables : $s$s pour accumuler la somme, et $i$i pour parcourir les entiers.

2. 2

   Programme : « $s$s prend la valeur $0$0 ; $i$i prend la valeur $1$1 ; répéter $10$10 fois [ $s$s prend la valeur $s+i$s + i ; $i$i prend la valeur $i+1$i + 1 ] ; afficher $s$s ».

3. 3

   Suivons les premiers tours : $s$s vaut successivement $1$1, puis $3$3, puis $6$6, puis $10$10…

4. 4

   Le résultat final est $1+2+3+4+5+6+7+8+9+10$1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.

5. 5

   On peut le calculer astucieusement en regroupant : $(1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6)=11\times 5=55$(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6) = 11 × 5 = 55.

6. 6

   Le programme affiche donc $55$55.

Rappel de cours : Il faut TOUJOURS initialiser l'accumulateur ($s=0$s = 0) avant la boucle.

Erreur fréquente : Oublier d'incrémenter $i$i : la boucle ajouterait dix fois le même nombre.

Correction détaillée

1. 1

   Le motif à répéter est : « tracer un carré, puis se déplacer sans tracer ».

2. 2

   Le tracé d'un carré est lui-même une boucle : « répéter $4$4 fois [ avancer de $40$40 ; tourner de $90°$90° ] ».

3. 3

   Après ce tracé, le lutin est revenu à son point de départ, orienté comme au début.

4. 4

   Déplacement : il faut franchir le côté du carré ($40$40) plus l'espace ($20$20), soit $60$60.

5. 5

   On relève le stylo pour ne pas laisser de trace : « relever le stylo ; avancer de $60$60 ; baisser le stylo ».

6. 6

   Programme complet : « baisser le stylo ; répéter $4$4 fois [ répéter $4$4 fois [ avancer de $40$40 ; tourner de $90°$90° ] ; relever le stylo ; avancer de $60$60 ; baisser le stylo ] ».

Rappel de cours : « Relever le stylo » permet de déplacer le lutin sans laisser de trace.

Erreur fréquente : Avancer de $20$20 seulement : il faut aussi franchir le côté du carré précédent.

Correction détaillée

1. 1

   Avec $n=3$n = 3 : $a=8$a = 8, $b=16$b = 16, $c=6$c = 6.

2. 2

   Avec $n=7$n = 7 : $a=12$a = 12, $b=24$b = 24, $c=14$c = 14.

3. 3

   On observe que le résultat semble valoir le double du nombre choisi.

4. 4

   Pour le prouver, on traduit chaque étape en calcul littéral.

5. 5

   $a=n+5$a = n + 5, puis $b=2(n+5)=2n+10$b = 2(n+5) = 2n + 10, puis $c=2n+10-10=2n$c = 2n + 10 - 10 = 2n.

6. 6

   Le programme affiche donc toujours le double du nombre choisi.

Rappel de cours : Le calcul littéral PROUVE ce que les exemples laissent seulement deviner.

Erreur fréquente : Se contenter de deux exemples pour affirmer une règle générale.

Correction détaillée

1. 1

   Suivons le programme : $s$s vaut $12$12, puis $27$27, puis $36$36.

   La somme est correcte.

2. 2

   Ensuite, $m=36÷2=18$m = 36 ÷ 2 = 18.

3. 3

   Or une moyenne doit être comprise entre la plus petite valeur ($9$9) et la plus grande ($15$15) : $18$18 est impossible.

4. 4

   L'erreur est dans le diviseur : il y a TROIS notes, pas deux.

5. 5

   Correction : « $m$m prend la valeur $s÷3$s ÷ 3 », ce qui donne $36÷3=12$36 ÷ 3 = 12.

6. 6

   Vérification : $12$12 est bien compris entre $9$9 et $15$15. ✔

Rappel de cours : Un contrôle de vraisemblance (la moyenne est entre le min et le max) détecte l'erreur immédiatement.

Erreur fréquente : Faire confiance au programme sans vérifier la plausibilité du résultat.

Correction détaillée

1. 1

   La meilleure stratégie consiste à proposer à chaque fois le MILIEU de l'intervalle encore possible.

2. 2

   Premier essai : $50$50.

   Quelle que soit la réponse, il ne reste au plus que $50$50 nombres possibles.

3. 3

   Deuxième essai : le milieu du nouvel intervalle, par exemple $25$25 ou $75$75.

   Il reste au plus $25$25 nombres.

4. 4

   À chaque essai, on divise environ par $2$2 le nombre de possibilités : $100\to 50\to 25\to 13\to 7\to 4\to 2\to 1$100 → 50 → 25 → 13 → 7 → 4 → 2 → 1.

5. 5

   En comptant les étapes, $7$7 essais suffisent au pire pour isoler le nombre.

6. 6

   Cette méthode s'appelle la recherche par dichotomie : elle est bien plus efficace que d'essayer les nombres un par un, ce qui pourrait demander $100$100 essais.

Rappel de cours : Diviser le problème en deux à chaque étape est une stratégie très efficace en algorithmique.

Erreur fréquente : Essayer les nombres dans l'ordre : c'est correct mais très lent.

Correction détaillée

1. 1

   À chaque tour de boucle, le lutin fait un pas horizontal puis un pas vertical.

2. 2

   Les deux rotations (une à gauche, une à droite) s'annulent : il retrouve son orientation de départ à chaque tour.

3. 3

   Le motif est donc une « marche » d'escalier de $25$25 de large et $25$25 de haut.

4. 4

   Répété $5$5 fois, cela dessine un escalier de $5$5 marches.

5. 5

   Distance totale : $5\times (25+25)=5\times 50=250$5 × (25 + 25) = 5 × 50 = 250.

6. 6

   Déplacement horizontal : seuls les $5$5 segments horizontaux comptent, soit $5\times 25=125$5 × 25 = 125.

   Le déplacement vertical vaut également $125$125.

Rappel de cours : Deux rotations opposées de même mesure ramènent le lutin à sa direction initiale.

Erreur fréquente : Confondre la distance parcourue ($250$250) et le déplacement horizontal ($125$125).

Correction détaillée

1. 1

   Les conditions sont testées DANS L'ORDRE, et on s'arrête à la première qui est vraie.

2. 2

   $18$18 : la première condition ($18⩾16$18 ≥ 16) est vraie → « TB ».

3. 3

   $14$14 : $14⩾16$14 ≥ 16 est faux ; $14⩾14$14 ≥ 14 est vrai → « B ».

4. 4

   $10$10 : les deux premières sont fausses ; $10⩾10$10 ≥ 10 est vrai → « Passable ».

5. 5

   $9,5$9,5 : les trois conditions sont fausses → « Insuffisant ».

6. 6

   Remarque importante : l'ordre des tests est essentiel.

   Si on testait $⩾10$≥ 10 en premier, la note $18$18 afficherait « Passable ».

Rappel de cours : Dans une cascade de « sinon si », on s'arrête à la première condition vraie : l'ordre est décisif.

Erreur fréquente : Traiter les cas limites ($14$14 et $10$10) au mauvais niveau : « supérieur ou égal » les inclut.

Correction détaillée

1. 1

   Un nombre est multiple de $3$3 si le reste de sa division par $3$3 vaut $0$0.

2. 2

   Programme : « demander $n$n ; si le reste de $n$n divisé par $3$3 est égal à $0$0, alors afficher "multiple de 3", sinon afficher "pas multiple de 3" ».

3. 3

   Pour $27$27 : $27=3\times 9$27 = 3 × 9, le reste vaut $0$0 → « multiple de $3$3 ».

4. 4

   Pour $41$41 : $41=3\times 13+2$41 = 3 × 13 + 2, le reste vaut $2$2 → « pas multiple de $3$3 ».

5. 5

   On peut vérifier avec le critère de divisibilité : $2+7=9$2+7 = 9, multiple de $3$3 ✔ ; $4+1=5$4+1 = 5, non multiple de $3$3 ✔.

Rappel de cours : Le bloc « reste de la division » (modulo) est l'outil standard pour tester une divisibilité.

Erreur fréquente : Tester si le QUOTIENT est entier sans regarder le reste : le quotient entier existe toujours.

Correction détaillée

1. 1

   La boucle intérieure trace un triangle équilatéral : $3$3 côtés et $3\times 120=360°$3 × 120 = 360°.

2. 2

   Le côté de ce triangle vaut $c$c, qui change à chaque tour de la boucle extérieure.

3. 3

   Tour 1 : triangle de côté $20$20.

   Puis rotation de $60°$60°, et $c$c devient $30$30.

4. 4

   Tour 2 : triangle de côté $30$30, etc.

5. 5

   Les côtés successifs valent $20$20, $30$30, $40$40, $50$50, $60$60 et $70$70.

6. 6

   Entre deux triangles, le lutin pivote de $60°$60°, et $6\times 60=360°$6 × 60 = 360° : les six triangles forment une rosace complète.

7. 7

   Le résultat est une rosace de $6$6 triangles équilatéraux de tailles croissantes, disposés autour du point de départ.

Rappel de cours : Boucle intérieure = le motif · boucle extérieure = sa répétition et sa transformation.

Erreur fréquente : Croire que les six triangles sont identiques : la variable $c$c grandit à chaque tour.