Exercices corrigés : Nombres relatifs — Cinquième

Correction détaillée

1. 1

   Un nombre relatif est positif quand la grandeur est « au-dessus » de la référence, négatif quand elle est « en dessous ».

2. 2

   a) « Au-dessous de zéro » se traduit par un nombre négatif : $-7$-7 °C.

3. 3

   b) « Au-dessus du niveau de la mer » est la situation positive : $+120$+120 m.

4. 4

   c) Un compte débiteur signifie qu'on doit de l'argent : $-45$-45 €.

Rappel de cours : Le signe indique le sens par rapport à la référence $0$0, le nombre indique l'écart.

Erreur fréquente : Oublier le signe $-$- : $7$7 °C et $-7$-7 °C sont deux températures très différentes.

Correction détaillée

1. 1

   Deux nombres sont opposés quand ils ont la même distance à zéro mais des signes contraires.

2. 2

   L'opposé de $+8$+8 est $-8$-8.

3. 3

   L'opposé de $-3$-3 est $+3$+3.

4. 4

   L'opposé de $0$0 est $0$0 : c'est le seul nombre qui est son propre opposé.

5. 5

   L'opposé de $-12,5$-12,5 est $+12,5$+12,5.

Rappel de cours : Pour trouver l'opposé, on change uniquement le signe : la distance à zéro reste la même.

Erreur fréquente : Croire que l'opposé de $-3$-3 est $-\frac{1}{3}$-1/3 : c'est l'inverse, pas l'opposé.

Correction détaillée

1. 1

   La distance à zéro d'un nombre relatif est le nombre écrit sans son signe.

2. 2

   La distance à zéro de $-9$-9 est $9$9.

3. 3

   La distance à zéro de $+4$+4 est $4$4.

4. 4

   Comme $9>4$9 > 4, c'est $-9$-9 qui est le plus éloigné de zéro.

5. 5

   Attention : être plus éloigné de zéro ne veut pas dire être plus grand.

   Ici $-9$-9 est le plus petit des deux.

Rappel de cours : Distance à zéro = le nombre sans son signe. Elle est toujours positive ou nulle.

Erreur fréquente : Confondre « le plus éloigné de zéro » et « le plus grand » : pour les négatifs, c'est l'inverse.

Correction détaillée

1. 1

   a) Un nombre négatif est toujours plus petit qu'un nombre positif : $-5<+2$-5 < +2.

2. 2

   b) Pour deux négatifs, le plus grand est celui qui est le plus proche de zéro.

   $-3$-3 est à $3$3 de zéro, $-8$-8 est à $8$8 : donc $-8<-3$-8 < -3.

3. 3

   c) Zéro est plus grand que tous les négatifs : $0>-1$0 > -1.

4. 4

   Moyen sûr : sur la droite graduée, le plus petit est toujours celui qui est le plus à gauche.

Rappel de cours : Sur une droite graduée orientée vers la droite, plus on va à droite, plus les nombres sont grands.

Erreur fréquente : Ranger $-8$-8 avant $-3$-3 « parce que $8>3$8 > 3 » : pour les négatifs, l'ordre s'inverse.

Correction détaillée

1. 1

   On sépare d'abord les négatifs des positifs : négatifs $-3$-3, $-7,5$-7,5, $-0,5$-0,5 ; positifs $+5$+5, $+1$+1 ; plus $0$0.

2. 2

   Chez les négatifs, le plus petit est le plus éloigné de zéro : $-7,5$-7,5, puis $-3$-3, puis $-0,5$-0,5.

3. 3

   Vient ensuite $0$0.

4. 4

   Chez les positifs, l'ordre est l'ordre habituel : $+1$+1 puis $+5$+5.

5. 5

   Ordre complet : $-7,5<-3<-0,5<0<+1<+5$-7,5 < -3 < -0,5 < 0 < +1 < +5.

Rappel de cours : Méthode fiable : placer mentalement les nombres sur une droite graduée et lire de gauche à droite.

Erreur fréquente : Traiter $-0,5$-0,5 comme un tout petit négatif « presque nul » et le placer avant $-3$-3 : $-0,5$-0,5 est plus grand que $-3$-3.

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1. 1

   Quand les deux nombres ont le même signe, on additionne leurs distances à zéro et on garde le signe commun.

2. 2

   a) Distances : $4$4 et $7$7, donc $4+7=11$4 + 7 = 11.

   Le signe commun est $-$-.

3. 3

   Donc $(-4)+(-7)=-11$(-4) + (-7) = -11.

4. 4

   b) Distances : $6$6 et $9$9, donc $6+9=15$6 + 9 = 15.

   Le signe commun est $+$+.

5. 5

   Donc $(+6)+(+9)=+15$(+6) + (+9) = +15.

6. 6

   Image concrète : devoir $4$4 € puis devoir encore $7$7 €, c'est devoir $11$11 € en tout.

Rappel de cours : Même signe : on ajoute les distances à zéro, on garde le signe.

Erreur fréquente : Répondre $-3$-3 pour $(-4)+(-7)$(-4)+(-7) en soustrayant : la soustraction ne concerne que les signes contraires.

Correction détaillée

1. 1

   Quand les signes sont contraires, on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande, et on garde le signe du nombre le plus éloigné de zéro.

2. 2

   a) Distances $9$9 et $4$4 : $9-4=5$9 - 4 = 5.

   Le plus éloigné de zéro est $-9$-9, donc le résultat est négatif : $-5$-5.

3. 3

   b) Distances $12$12 et $5$5 : $12-5=7$12 - 5 = 7.

   Le plus éloigné est $+12$+12, donc le résultat est $+7$+7.

4. 4

   c) Distances égales ($6$6 et $6$6) : $6-6=0$6 - 6 = 0.

   Le résultat est $0$0.

5. 5

   c) illustre une propriété : la somme de deux opposés vaut toujours $0$0.

Rappel de cours : Signes contraires : on soustrait les distances à zéro et on garde le signe du « plus fort ».

Erreur fréquente : Garder le signe du premier nombre par réflexe : c'est le signe du plus éloigné de zéro qui l'emporte.

Correction détaillée

1. 1

   Soustraire un nombre revient à additionner son opposé : on transforme chaque soustraction en addition.

2. 2

   a) $(+5)-(+8)=(+5)+(-8)$(+5) - (+8) = (+5) + (-8).

   Signes contraires : $8-5=3$8 - 5 = 3, signe du plus éloigné ($-8$-8) : $-3$-3.

3. 3

   b) $(-3)-(+7)=(-3)+(-7)$(-3) - (+7) = (-3) + (-7).

   Même signe : $3+7=10$3 + 7 = 10, signe $-$- : $-10$-10.

4. 4

   c) $(+2)-(-6)=(+2)+(+6)$(+2) - (-6) = (+2) + (+6).

   Même signe : $2+6=8$2 + 6 = 8, signe $+$+ : $+8$+8.

5. 5

   Le cas c) est le plus surprenant : soustraire un nombre négatif augmente le résultat.

Rappel de cours : Soustraire, c'est ajouter l'opposé : $a-b=a+(-b)$a - b = a + (-b).

Erreur fréquente : Écrire $(+2)-(-6)=-4$(+2)-(-6) = -4 : deux signes $-$- qui se suivent donnent une addition.

Correction détaillée

1. 1

   L'augmentation se calcule en faisant « température d'arrivée moins température de départ ».

2. 2

   Écart $=(+3)-(-4)$= (+3) - (-4).

3. 3

   Soustraire $-4$-4 revient à ajouter $+4$+4 : $(+3)+(+4)=+7$(+3) + (+4) = +7.

4. 4

   La température a donc augmenté de $7$7 °C.

5. 5

   Vérification en comptant sur la droite graduée : de $-4$-4 à $0$0, il y a $4$4 degrés ; de $0$0 à $+3$+3, il y en a $3$3.

   Total $4+3=7$4+3=7. ✔

Rappel de cours : Un écart se calcule toujours par « arrivée $-$- départ », même avec des relatifs.

Erreur fréquente : Répondre $1$1 °C en faisant $4-3$4 - 3 : il faut passer par zéro et cumuler les deux portions.

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1. 1

   Une méthode efficace consiste à regrouper les positifs entre eux et les négatifs entre eux.

2. 2

   Positifs : $(+8)+(+1)=+9$(+8) + (+1) = +9.

3. 3

   Négatifs : $(-5)+(-3)=-8$(-5) + (-3) = -8.

4. 4

   Il reste à calculer $(+9)+(-8)$(+9) + (-8) : signes contraires, $9-8=1$9 - 8 = 1, signe du plus éloigné ($+9$+9) donc $+1$+1.

5. 5

   Le résultat est $+1$+1.

Rappel de cours : Dans une somme, on peut changer l'ordre des termes : on regroupe ce qui se calcule facilement.

Erreur fréquente : Calculer de gauche à droite sans regrouper : c'est juste, mais on multiplie les risques d'erreur de signe.

Correction détaillée

1. 1

   On lit les cinq valeurs sur le graphique : lundi $+2$+2 °C, mardi $-3$-3 °C, mercredi $-5$-5 °C, jeudi $0$0 °C, vendredi $+4$+4 °C.

2. 2

   Le plus froid est le point le plus bas : mercredi, à $-5$-5 °C.

3. 3

   Le plus chaud est le point le plus haut : vendredi, à $+4$+4 °C.

4. 4

   Écart $=(+4)-(-5)=(+4)+(+5)=+9$= (+4) - (-5) = (+4) + (+5) = +9.

5. 5

   L'écart est donc de $9$9 °C.

Rappel de cours : Sur un graphique, les valeurs négatives sont sous l'axe horizontal.

Erreur fréquente : Calculer $5-4=1$5 - 4 = 1 : les deux températures sont de part et d'autre de zéro, il faut les additionner en distance.

Correction détaillée

1. 1

   On transforme d'abord toutes les soustractions en additions de l'opposé.

2. 2

   $(-7)-(-2)=(-7)+(+2)$(-7) - (-2) = (-7) + (+2) et $-(+3)=+(-3)$- (+3) = + (-3).

3. 3

   L'expression devient $(-7)+(+2)+(-4)+(-3)$(-7) + (+2) + (-4) + (-3).

4. 4

   On regroupe : positifs $+2$+2 ; négatifs $(-7)+(-4)+(-3)=-14$(-7) + (-4) + (-3) = -14.

5. 5

   Il reste $(-14)+(+2)$(-14) + (+2) : signes contraires, $14-2=12$14 - 2 = 12, signe du plus éloigné ($-14$-14) : $-12$-12.

Rappel de cours : Première étape systématique : tout transformer en additions, puis regrouper.

Erreur fréquente : Oublier de changer le signe du $-2$-2 : $-(-2)$-(-2) vaut $+2$+2, pas $-2$-2.

Correction détaillée

1. 1

   a) On cherche ce qu'il faut ajouter à $-6$-6 pour arriver à $+2$+2.

   C'est l'écart entre $-6$-6 et $+2$+2.

2. 2

   Écart $=(+2)-(-6)=(+2)+(+6)=+8$= (+2) - (-6) = (+2) + (+6) = +8.

3. 3

   Vérification : $(-6)+(+8)=+2$(-6) + (+8) = +2. ✔

4. 4

   b) L'expression $\dots -(+5)=-9$… - (+5) = -9 revient à $\dots +(-5)=-9$… + (-5) = -9.

5. 5

   Le nombre cherché vaut $(-9)+(+5)=-4$(-9) + (+5) = -4.

6. 6

   Vérification : $(-4)-(+5)=(-4)+(-5)=-9$(-4) - (+5) = (-4) + (-5) = -9. ✔

Rappel de cours : Pour retrouver un terme manquant dans une somme, on soustrait le terme connu du résultat.

Erreur fréquente : Se contenter d'essayer des valeurs au hasard : le calcul de l'écart donne directement la réponse.

Correction détaillée

1. 1

   Position de départ : $-18$-18 m.

2. 2

   Remonter de $7$7 m, c'est ajouter $+7$+7 : $(-18)+(+7)=-11$(-18) + (+7) = -11 m.

3. 3

   Redescendre de $12$12 m, c'est ajouter $-12$-12 : $(-11)+(-12)=-23$(-11) + (-12) = -23 m.

4. 4

   Le plongeur se trouve donc à $-23$-23 m, c'est-à-dire à $23$23 m de profondeur.

5. 5

   Vérification globale : $-18+7-12=-23$-18 + 7 - 12 = -23. ✔

Rappel de cours : Monter = ajouter un positif · descendre = ajouter un négatif.

Erreur fréquente : Écrire la profondeur $+23$+23 m : sous le niveau de la mer, l'altitude est négative.

Correction détaillée

1. 1

   Solde de départ : $-35$-35 €.

2. 2

   Recevoir $120$120 € : $(-35)+(+120)$(-35) + (+120).

   Signes contraires, $120-35=85$120 - 35 = 85, signe du plus éloigné ($+120$+120) : $+85$+85 €.

3. 3

   Dépenser $48$48 € : $(+85)+(-48)=+37$(+85) + (-48) = +37 €.

4. 4

   Dépenser $75$75 € : $(+37)+(-75)$(+37) + (-75).

   Signes contraires, $75-37=38$75 - 37 = 38, signe $-$- : $-38$-38 €.

5. 5

   Le solde final est $-38$-38 € : le compte est de nouveau débiteur.

Rappel de cours : Recette = nombre positif · dépense = nombre négatif. Le solde est la somme de tous les mouvements.

Erreur fréquente : Additionner toutes les dépenses au solde initial sans tenir compte du dépôt : l'ordre importe peu, mais aucun mouvement ne doit être oublié.

Correction détaillée

1. 1

   Avec $-2$-2 : $(-2)+(-5)=-7$(-2) + (-5) = -7, puis $(-7)-(-8)=(-7)+(+8)=+1$(-7) - (-8) = (-7) + (+8) = +1.

2. 2

   Avec $+4$+4 : $(+4)+(-5)=-1$(+4) + (-5) = -1, puis $(-1)-(-8)=(-1)+(+8)=+7$(-1) - (-8) = (-1) + (+8) = +7.

3. 3

   On remarque que le résultat vaut à chaque fois le nombre de départ augmenté de $3$3 : $-2$-2 donne $+1$+1, et $+4$+4 donne $+7$+7.

4. 4

   Explication : ajouter $-5$-5 puis soustraire $-8$-8 revient à ajouter $-5$-5 puis $+8$+8, soit $+3$+3 au total.

Rappel de cours : Enchaîner $+a$+a puis $+b$+b revient à ajouter $a+b$a+b : on peut simplifier un programme avant de l'appliquer.

Erreur fréquente : Croire que le programme retire des valeurs parce qu'il contient des nombres négatifs.

Correction détaillée

1. 1

   On range les scores dans l'ordre croissant : $-5<-3<0<+2$-5 < -3 < 0 < +2.

2. 2

   Classement : $1^{\text{re}}$1^(re) Chloé ($-5$-5), $2^{\text{e}}$2ᵉ Alice ($-3$-3), $3^{\text{e}}$3ᵉ David ($0$0), $4^{\text{e}}$4ᵉ Bruno ($+2$+2).

3. 3

   Écart entre Chloé et Bruno : $(+2)-(-5)=(+2)+(+5)=+7$(+2) - (-5) = (+2) + (+5) = +7, soit $7$7 coups.

4. 4

   Somme des scores : on regroupe les négatifs $(-5)+(-3)=-8$(-5) + (-3) = -8 et les positifs $(+2)+0=+2$(+2) + 0 = +2.

5. 5

   $(-8)+(+2)=-6$(-8) + (+2) = -6.

Rappel de cours : Attention au contexte : au golf, contrairement à l'habitude, le plus petit score est le meilleur.

Erreur fréquente : Classer Bruno premier parce que $+2$+2 est le plus grand nombre : l'énoncé précise la règle inverse.

Correction détaillée

1. 1

   On part de l'encadrement $-6<a<-2$-6 < a < -2.

2. 2

   Ajouter $10$10 à chaque membre décale tout l'encadrement de $10$10 vers la droite, sans changer l'ordre.

3. 3

   $-6+10=4$-6 + 10 = 4 et $-2+10=8$-2 + 10 = 8, donc $4<a+10<8$4 < a + 10 < 8.

4. 4

   Pour l'opposé, il faut faire attention : prendre l'opposé inverse l'ordre.

5. 5

   Si $a$a est entre $-6$-6 et $-2$-2, alors son opposé est entre $+2$+2 et $+6$+6, soit $2<-a<6$2 < -a < 6.

6. 6

   Vérification avec un exemple : $a=-4$a = -4 est bien dans l'encadrement, $a+10=6$a+10 = 6 est entre $4$4 et $8$8, et $-a=4$-a = 4 est entre $2$2 et $6$6. ✔

Rappel de cours : Ajouter un nombre conserve l'ordre ; prendre l'opposé l'inverse.

Erreur fréquente : Écrire $-6<-a<-2$-6 < -a < -2 pour l'opposé : les bornes changent de signe ET s'échangent.

Correction détaillée

1. 1

   La somme magique se lit sur une ligne complètement connue : la première.

2. 2

   $(-4)+(+3)+(+1)$(-4) + (+3) + (+1).

   On regroupe les positifs : $3+1=4$3 + 1 = 4, puis $(-4)+(+4)=0$(-4) + (+4) = 0.

3. 3

   La somme magique vaut donc $0$0.

4. 4

   On utilise ensuite la diagonale qui part du coin en haut à gauche : elle contient $-4$-4, le centre $0$0, et la case en bas à droite.

5. 5

   Cette diagonale doit aussi totaliser $0$0 : $(-4)+0+x=0$(-4) + 0 + x = 0.

6. 6

   Donc $x=0-(-4)=+4$x = 0 - (-4) = +4.

7. 7

   La case en bas à droite vaut $+4$+4.

Rappel de cours : Dans un carré magique, on cherche d'abord une ligne complète pour connaître la somme.

Erreur fréquente : Utiliser une ligne incomplète pour calculer la somme magique : il faut trois cases connues.

Correction détaillée

1. 1

   a) Deux négatifs qui s'additionnent voient leurs distances à zéro s'ajouter, en gardant le signe $-$-.

   Par exemple $(-3)+(-5)=-8$(-3)+(-5)=-8.

   L'affirmation est VRAIE.

2. 2

   b) Contre-exemple : $(-2)-(-7)=(-2)+(+7)=+5$(-2) - (-7) = (-2) + (+7) = +5, qui est positif.

   L'affirmation est FAUSSE.

3. 3

   b) Explication : soustraire un négatif revient à ajouter un positif, ce qui peut faire basculer le résultat au-dessus de zéro.

4. 4

   c) Retirer $1$1 déplace toujours d'un cran vers la gauche sur la droite graduée, donc vers les plus petits.

   Par exemple $-4-1=-5$-4 - 1 = -5, et $-5<-4$-5 < -4.

   L'affirmation est VRAIE — et elle l'est d'ailleurs pour tout nombre, pas seulement les négatifs.

Rappel de cours : Un seul contre-exemple suffit à prouver qu'une affirmation générale est fausse.

Erreur fréquente : Confondre a) et b) : l'addition et la soustraction de négatifs ne se comportent pas du tout de la même façon.