Expressions littérales en Cinquième

Les expressions littérales en 5ème : cours complet

Une expression littérale est une expression qui contient des lettres (souvent $x$x, $a$a, $b$b…) à la place de nombres. Ces lettres représentent des nombres qui peuvent varier. C'est le premier pas vers l'algèbre, et c'est une notion fondamentale pour tout ton parcours en mathématiques.

Pourquoi utiliser des lettres ?

Les lettres permettent d'exprimer une formule générale valable pour n'importe quel nombre.

Exemple

• Au lieu d'écrire « le périmètre d'un carré de côté $3$3 vaut $4\times 3=12$4 × 3 = 12 »…
• … on écrit la formule générale : $P=4\times c$P = 4 × c, où $c$c est le côté.

Cette formule fonctionne pour tout carré, peu importe sa taille.

Lire et écrire une expression littérale

Conventions d'écriture

• On peut enlever le signe $\times$× entre un nombre et une lettre, ou entre deux lettres : $$3\times x=3xa\times b=ab$$3 × x = 3x a × b = ab
• On peut écrire $x\times x=x^2$x × x = x² (« $x$x au carré »).
• Le nombre s'écrit avant la lettre : on écrit $3x$3x, pas $x3$x3.

Exemples

Attention

On ne supprime jamais le signe $\times$× entre deux nombres : $3\times 4=12$3 × 4 = 12 et pas $34$34.

Calculer la valeur d'une expression littérale

Calculer la valeur d'une expression, c'est remplacer chaque lettre par sa valeur, puis effectuer le calcul.

Exemple

Calculer $A=3x+5$A = 3x + 5 pour $x=2$x = 2 :

$$A=3\times 2+5=6+5=11$$A = 3 × 2 + 5 = 6 + 5 = 11

Autre exemple

Calculer $B=2a+3b$B = 2a + 3b pour $a=4$a = 4 et $b=7$b = 7 :

$$B=2\times 4+3\times 7=8+21=29$$B = 2 × 4 + 3 × 7 = 8 + 21 = 29

Important

On respecte les priorités opératoires : multiplications avant les additions.

Tester une égalité

Pour vérifier si une égalité est vraie pour une certaine valeur, on calcule séparément les deux membres.

Exemple

L'égalité $3x+2=14$3x + 2 = 14 est-elle vraie pour $x=4$x = 4 ?

• Membre de gauche : $3\times 4+2=12+2=14$3 × 4 + 2 = 12 + 2 = 14.
• Membre de droite : $14$14.

Les deux membres sont égaux : l'égalité est vraie pour $x=4$x = 4.

Pour $x=5$x = 5 :

• $3\times 5+2=17\ne 14$3 × 5 + 2 = 17 ≠ 14.

L'égalité est fausse pour $x=5$x = 5.

Écrire une expression à partir d'un énoncé

Méthode

1. Identifie la lettre qui représente la grandeur inconnue.
2. Traduis chaque mot clé : « somme » = $+$+, « différence » = $-$-, « produit » = $\times$×, « le double » = $2\times$2 ×, etc.

Exemple

« Le triple d'un nombre $x$x augmenté de $5$5 » $$3x+5$$3x + 5

« Le carré de $x$x diminué de $4$4 » $$x^2-4$$x² - 4

« La somme de deux nombres consécutifs $n$n et $n+1$n+1 » $$n+(n+1)=2n+1$$n + (n + 1) = 2n + 1

Réduire une expression

Réduire une expression, c'est l'écrire plus simplement en regroupant les termes semblables (qui ont la même partie littérale).

Exemple

$$3x+5x=8x7a-2a=5a4x+3+2x-1=6x+2$$3x + 5x = 8x 7a - 2a = 5a 4x + 3 + 2x - 1 = 6x + 2

Attention

On ne peut pas réduire $3x+5y$3x + 5y : ce sont des termes différents (les lettres sont différentes).

Distributivité simple

$$k\times (a+b)=k\times a+k\times b=ka+kb$$k × (a + b) = k × a + k × b = ka + kb

$$k\times (a-b)=ka-kb$$k × (a - b) = ka - kb

Exemple

$$3(x+4)=3x+125(2x-3)=10x-15$$3(x + 4) = 3x + 12 5(2x - 3) = 10x - 15

C'est très utile pour développer des expressions.

Erreurs fréquentes à éviter

• Écrire $x^2=2x$x² = 2x : faux ! $x^2=x\times x$x² = x × x alors que $2x=x+x$2x = x + x.
• Oublier la distributivité : $3(x+4)=3x+12$3(x + 4) = 3x + 12, pas $3x+4$3x + 4.
• Combiner des termes différents : $3x+5y$3x + 5y ne donne pas $8xy$8xy ni $8$8.
• Écrire $3+x\times 2=5\times 2$3 + x × 2 = 5 × 2 : faux, il y a une priorité opératoire. Le calcul est $3+2x$3 + 2x.

FAQ — Les expressions littérales

Pourquoi utilise-t-on souvent la lettre $x$x ?

Par convention historique. Mais on peut utiliser n'importe quelle lettre : $a,b,t,n,y$a, b, t, n, y… Choisis une lettre qui a du sens (par exemple $t$t pour un temps).

Que veut dire « réduire une expression » ?

C'est la simplifier en regroupant les termes qui se ressemblent. $3x+5x$3x + 5x se réduit en $8x$8x.

Quelle est la différence entre $x^2$x² et $2x$2x ?

$x^2=x\times x$x² = x × x (multiplication), alors que $2x=x+x$2x = x + x (addition). Pour $x=3$x = 3 : $x^2=9$x² = 9 et $2x=6$2x = 6.

À quoi sert l'algèbre ?

À résoudre des problèmes plus généraux que l'arithmétique : on cherche un nombre inconnu, on prouve une propriété, on modélise un phénomène (physique, économie, etc.).