Exercices corrigés : Triangles et quadrilatères — Cinquième

Correction détaillée

1. 1

   Dans tout triangle, la somme des trois angles vaut $180°$180°.

2. 2

   On additionne les deux angles connus : $48+72=120°$48 + 72 = 120°.

3. 3

   L'angle restant vaut donc $180-120=60°$180 - 120 = 60°.

4. 4

   Vérification : $48+72+60=180°$48 + 72 + 60 = 180°. ✔

Rappel de cours : Somme des angles d'un triangle $=180°$= 180°, quelle que soit sa forme.

Erreur fréquente : Soustraire un seul angle de $180°$180° : il faut retirer la SOMME des deux angles connus.

Correction détaillée

1. 1

   Dans un triangle isocèle en $R$R, les deux angles à la base (en $S$S et en $T$T) sont égaux.

2. 2

   L'angle en $T$T mesure donc également $55°$55°.

3. 3

   Les deux angles de base totalisent $55+55=110°$55 + 55 = 110°.

4. 4

   L'angle au sommet, en $R$R, vaut $180-110=70°$180 - 110 = 70°.

5. 5

   Vérification : $70+55+55=180°$70 + 55 + 55 = 180°. ✔

Rappel de cours : Isocèle en $R$R : les deux angles à la base (les autres sommets) sont égaux.

Erreur fréquente : Croire que c'est l'angle en $R$R qui est égal à celui en $S$S : les angles égaux sont ceux de la BASE.

Correction détaillée

1. 1

   Un triangle existe si le plus grand côté est plus court que la somme des deux autres.

2. 2

   Premier cas : le plus grand côté vaut $12$12, et la somme des deux autres vaut $5+6=11$5 + 6 = 11.

3. 3

   Comme $11<12$11 < 12, les deux petits côtés sont trop courts pour se rejoindre : le triangle est IMPOSSIBLE.

4. 4

   Second cas : le plus grand côté vaut $12$12, et la somme des deux autres vaut $5+9=14$5 + 9 = 14.

5. 5

   Comme $14>12$14 > 12, le triangle est POSSIBLE.

Rappel de cours : Inégalité triangulaire : le plus grand côté doit être inférieur à la somme des deux autres.

Erreur fréquente : Tester une somme au hasard : c'est toujours le PLUS GRAND côté qu'on compare à la somme des deux autres.

Correction détaillée

1. 1

   Un triangle rectangle possède un angle droit, qui mesure $90°$90°.

2. 2

   La somme des trois angles vaut $180°$180°.

3. 3

   Les deux angles aigus totalisent donc $180-90=90°$180 - 90 = 90°.

4. 4

   Si l'un mesure $35°$35°, l'autre mesure $90-35=55°$90 - 35 = 55°.

5. 5

   Vérification : $90+35+55=180°$90 + 35 + 55 = 180°. ✔

Rappel de cours : Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires : leur somme vaut $90°$90°.

Erreur fréquente : Soustraire $35$35 de $180$180 sans retirer d'abord l'angle droit.

Correction détaillée

1. 1

   Ses côtés opposés sont parallèles deux à deux — c'est la définition.

2. 2

   Ses côtés opposés ont la même longueur.

3. 3

   Ses diagonales se coupent en leur milieu.

4. 4

   Ses angles opposés ont la même mesure.

5. 5

   On peut ajouter une cinquième propriété : il possède un centre de symétrie, le point d'intersection des diagonales.

Rappel de cours : Chacune de ces propriétés peut servir à DÉMONTRER qu'un quadrilatère est un parallélogramme.

Erreur fréquente : Croire que les diagonales sont égales : c'est vrai pour le rectangle, pas pour un parallélogramme quelconque.

Correction détaillée

1. 1

   Vérification préalable : le plus grand côté vaut $7$7, et la somme des deux autres vaut $5+4=9$5 + 4 = 9.

2. 2

   Comme $9>7$9 > 7, le triangle existe.

3. 3

   Construction : on trace d'abord le plus grand côté, $[AB]=7$[AB] = 7 cm, à la règle graduée.

4. 4

   Au compas pointé en $A$A, on trace un arc de rayon $5$5 cm : tous ses points sont à $5$5 cm de $A$A.

5. 5

   Au compas pointé en $B$B, on trace un arc de rayon $4$4 cm.

6. 6

   Le point $C$C est à l'intersection des deux arcs.

   On termine en traçant $[AC]$[AC] et $[BC]$[BC].

Rappel de cours : On commence toujours par tracer le plus grand côté : la figure tient mieux sur la feuille.

Erreur fréquente : Se lancer dans la construction sans vérifier l'inégalité triangulaire : les arcs pourraient ne jamais se couper.

Correction détaillée

1. 1

   Une hauteur issue d'un sommet est la droite qui passe par ce sommet et qui est PERPENDICULAIRE au côté opposé.

2. 2

   Le point où la hauteur rencontre le côté opposé s'appelle le pied de la hauteur.

3. 3

   Un triangle a trois sommets, donc trois hauteurs.

4. 4

   Ces trois hauteurs sont concourantes : elles se coupent en un même point, appelé orthocentre.

5. 5

   Remarque : dans un triangle obtusangle, certaines hauteurs coupent le PROLONGEMENT du côté opposé, et l'orthocentre se trouve à l'extérieur du triangle.

Rappel de cours : Hauteur = sommet + perpendiculaire au côté opposé. Ne pas confondre avec la médiane (sommet + milieu).

Erreur fréquente : Tracer la hauteur vers le milieu du côté opposé : c'est la médiane, sauf dans un triangle isocèle où les deux coïncident.

Correction détaillée

1. 1

   Une médiane part d'un SOMMET et rejoint le MILIEU du côté opposé.

   Elle n'est pas forcément perpendiculaire à ce côté.

2. 2

   Une médiatrice d'un côté est la droite PERPENDICULAIRE à ce côté et passant par son MILIEU.

   Elle ne passe pas forcément par un sommet.

3. 3

   Point commun : les deux passent par le milieu d'un côté.

4. 4

   Différence : la médiane est liée à un sommet, la médiatrice à un angle droit.

5. 5

   Les trois médianes se coupent au centre de gravité ; les trois médiatrices se coupent au centre du cercle circonscrit.

6. 6

   Cas particulier : dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal est aussi la médiatrice de la base, ainsi que la hauteur et l'axe de symétrie.

Rappel de cours : Hauteur (⊥ au côté), médiane (vers le milieu), médiatrice (⊥ ET par le milieu) : trois droites différentes.

Erreur fréquente : Les confondre : elles ne coïncident que dans les triangles isocèles ou équilatéraux.

Correction détaillée

1. 1

   On utilise la propriété : « Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme. »

2. 2

   Ici, l'hypothèse est exactement celle-là.

3. 3

   On conclut donc que $ABCD$ABCD est un parallélogramme.

4. 4

   On peut alors en déduire ses autres propriétés : côtés opposés parallèles et de même longueur, angles opposés égaux.

Rappel de cours : Pour démontrer, on énonce toujours la propriété utilisée : « si … alors … ».

Erreur fréquente : Répondre « c'est un losange » : rien ne dit que les diagonales sont perpendiculaires.

Correction détaillée

1. 1

   Dans un parallélogramme, les angles opposés sont égaux : l'angle en $C$C mesure donc aussi $115°$115°.

2. 2

   Deux angles consécutifs sont supplémentaires : leur somme vaut $180°$180°.

3. 3

   Angle en $B$B : $180-115=65°$180 - 115 = 65°.

4. 4

   Angle en $D$D : également $65°$65°, puisqu'il est opposé à celui en $B$B.

5. 5

   Vérification : la somme des angles d'un quadrilatère vaut $360°$360°.

   Ici $115+65+115+65=360°$115 + 65 + 115 + 65 = 360°. ✔

Rappel de cours : Parallélogramme : angles opposés égaux, angles consécutifs supplémentaires (somme $180°$180°).

Erreur fréquente : Croire que les quatre angles sont égaux : ce n'est vrai que pour le rectangle et le carré.

Correction détaillée

1. 1

   Première condition : il suffit qu'un seul angle soit droit.

2. 2

   En effet, dans un parallélogramme, les angles consécutifs sont supplémentaires : si l'un vaut $90°$90°, son voisin vaut $180-90=90°$180 - 90 = 90° aussi, et les angles opposés suivent.

3. 3

   Deuxième condition : il suffit que les diagonales aient la même longueur.

4. 4

   C'est la propriété caractéristique du rectangle parmi les parallélogrammes.

5. 5

   Ces deux conditions sont suffisantes : chacune, à elle seule, transforme le parallélogramme en rectangle.

Rappel de cours : Un seul angle droit suffit dans un parallélogramme : les trois autres suivent automatiquement.

Erreur fréquente : Exiger les quatre angles droits : c'est vrai, mais c'est bien plus que nécessaire.

Correction détaillée

1. 1

   Première condition : il suffit que deux côtés CONSÉCUTIFS aient la même longueur.

2. 2

   En effet, dans un parallélogramme les côtés opposés sont déjà égaux : si deux côtés voisins le sont aussi, les quatre le sont.

3. 3

   Deuxième condition : il suffit que les diagonales soient perpendiculaires.

4. 4

   C'est la propriété caractéristique du losange parmi les parallélogrammes.

5. 5

   Remarque symétrique avec l'exercice précédent : diagonales ÉGALES donnent un rectangle, diagonales PERPENDICULAIRES donnent un losange.

Rappel de cours : Rectangle ↔ diagonales égales · losange ↔ diagonales perpendiculaires · carré ↔ les deux.

Erreur fréquente : Dire « deux côtés opposés égaux » : c'est déjà vrai dans tout parallélogramme, cela n'apporte rien.

Correction détaillée

1. 1

   Un carré a ses quatre angles droits : il vérifie donc la définition du rectangle.

   C'est un rectangle.

2. 2

   Un carré a ses quatre côtés égaux : il vérifie donc la définition du losange.

   C'est un losange.

3. 3

   Un rectangle est un parallélogramme particulier, donc le carré en est un aussi.

4. 4

   On peut le voir directement : ses côtés opposés sont parallèles.

5. 5

   Conclusion : le carré cumule toutes les propriétés du rectangle et du losange.

   C'est le quadrilatère le plus « riche » en propriétés.

6. 6

   Attention à la réciproque : un rectangle n'est pas forcément un carré, et un losange non plus.

Rappel de cours : Les inclusions vont dans un seul sens : carré $\subset$⊂ rectangle $\subset$⊂ parallélogramme, et carré $\subset$⊂ losange $\subset$⊂ parallélogramme.

Erreur fréquente : Croire que « rectangle » exclut « carré » : un carré est bel et bien un rectangle particulier.

Correction détaillée

1. 1

   Deux angles alternes-internes sont situés de part et d'autre de la sécante, entre les deux droites parallèles.

2. 2

   Propriété du cours : si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes sont égaux.

3. 3

   L'angle alterne-interne mesure donc également $65°$65°.

4. 4

   Cette propriété est très utile pour démontrer : elle sert notamment à établir que la somme des angles d'un triangle vaut $180°$180°.

5. 5

   Réciproque : si deux angles alternes-internes sont égaux, alors les droites sont parallèles.

Rappel de cours : Alternes-internes égaux $\iff$⇔ droites parallèles.

Erreur fréquente : Confondre alternes-internes (égaux) et angles consécutifs le long de la sécante (supplémentaires).

Correction détaillée

1. 1

   Méthode 1, par les diagonales : dans $ABCD$ABCD, les diagonales sont $[AC]$[AC] et $[BD]$[BD].

   Elles doivent se couper en leur milieu.

2. 2

   On construit donc $O$O, le milieu de $[AC]$[AC], puis on place $D$D comme symétrique de $B$B par rapport à $O$O.

3. 3

   Méthode 2, par les côtés : dans $ABCD$ABCD, le côté $[AD]$[AD] doit être parallèle à $[BC]$[BC] et de même longueur.

4. 4

   On trace donc la parallèle à $(BC)$(BC) passant par $A$A, et la parallèle à $(AB)$(AB) passant par $C$C : leur intersection donne $D$D.

5. 5

   Attention à l'ordre des lettres : dans $ABCD$ABCD, les sommets se suivent, donc $[AC]$[AC] et $[BD]$[BD] sont bien les diagonales.

Rappel de cours : Dans un quadrilatère $ABCD$ABCD, les diagonales relient les sommets NON consécutifs : $[AC]$[AC] et $[BD]$[BD].

Erreur fréquente : Construire $D$D tel que $ABDC$ABDC soit un parallélogramme : l'ordre des lettres change complètement la figure.

Correction détaillée

1. 1

   Propriété clé : un point appartient à la médiatrice d'un segment si et seulement s'il est à égale distance des deux extrémités.

2. 2

   Appelons $O$O le point d'intersection des médiatrices de $[AB]$[AB] et de $[AC]$[AC].

3. 3

   Comme $O$O est sur la médiatrice de $[AB]$[AB], on a $OA=OB$OA = OB.

4. 4

   Comme $O$O est sur la médiatrice de $[AC]$[AC], on a $OA=OC$OA = OC.

5. 5

   On en déduit $OB=OC$OB = OC, donc $O$O est aussi sur la médiatrice de $[BC]$[BC] : les trois médiatrices passent bien par $O$O.

6. 6

   Comme $OA=OB=OC$OA = OB = OC, le point $O$O est le centre d'un cercle passant par les trois sommets : c'est le cercle circonscrit au triangle.

Rappel de cours : Médiatrice de $[AB]$[AB] = ensemble des points à égale distance de $A$A et $B$B.

Erreur fréquente : Confondre cercle circonscrit (passe par les sommets) et cercle inscrit (tangent aux côtés).

Correction détaillée

1. 1

   On trace une diagonale du quadrilatère : elle le partage en DEUX triangles.

2. 2

   Chaque triangle a une somme d'angles égale à $180°$180°.

3. 3

   Les angles des deux triangles, mis bout à bout, reconstituent exactement les quatre angles du quadrilatère.

4. 4

   La somme vaut donc $2\times 180=360°$2 × 180 = 360°.

5. 5

   Application : les trois angles connus totalisent $80+95=175$80 + 95 = 175, puis $175+110=285°$175 + 110 = 285°.

6. 6

   Le quatrième angle vaut $360-285=75°$360 - 285 = 75°.

Rappel de cours : Tracer une diagonale ramène un quadrilatère à deux triangles : c'est la clé de la démonstration.

Erreur fréquente : Utiliser $180°$180° pour un quadrilatère : cette valeur ne concerne que le triangle.

Correction détaillée

1. 1

   Données : $ABCD$ABCD est un parallélogramme, et $AB=BC$AB = BC.

2. 2

   Les segments $[AB]$[AB] et $[BC]$[BC] sont deux côtés CONSÉCUTIFS (ils partagent le sommet $B$B).

3. 3

   Propriété du parallélogramme : les côtés opposés ont la même longueur, donc $AB=DC$AB = DC et $BC=AD$BC = AD.

4. 4

   Comme $AB=BC$AB = BC, on obtient par transitivité : $AB=BC=DC=AD$AB = BC = DC = AD.

5. 5

   Les quatre côtés sont donc de même longueur.

6. 6

   Or un quadrilatère dont les quatre côtés sont égaux est un losange.

   Donc $ABCD$ABCD est un losange.

Rappel de cours : Une démonstration se rédige en trois temps : données, propriété du cours, conclusion.

Erreur fréquente : Conclure directement de $AB=BC$AB = BC : il faut passer par la propriété des côtés opposés pour atteindre les quatre côtés.

Correction détaillée

1. 1

   Première raison, sur les angles : leur somme vaut $90+60+40=190°$90 + 60 + 40 = 190°.

2. 2

   Or la somme des angles d'un triangle vaut toujours exactement $180°$180°.

   C'est donc impossible.

3. 3

   Deuxième raison, sur les côtés : le plus grand côté mesure $8$8 cm.

4. 4

   La somme des deux autres vaut $3+4=7$3 + 4 = 7 cm, or $7<8$7 < 8.

5. 5

   L'inégalité triangulaire n'est pas respectée : les deux petits côtés ne peuvent pas se rejoindre.

6. 6

   Chacune de ces deux raisons suffit à elle seule à rendre la construction impossible.

Rappel de cours : Deux contrôles rapides sur un triangle : somme des angles $=180°$= 180° et inégalité triangulaire.

Erreur fréquente : S'arrêter à la première raison alors que l'énoncé en demande deux.

Correction détaillée

1. 1

   a) C'est une propriété du cours : si les côtés opposés d'un quadrilatère sont égaux deux à deux, alors c'est un parallélogramme.

   VRAI.

2. 2

   b) Des diagonales égales font d'un parallélogramme un RECTANGLE, pas nécessairement un carré.

3. 3

   b) Contre-exemple : un rectangle de $3$3 cm sur $7$7 cm a bien ses diagonales égales, mais ce n'est pas un carré.

   FAUX.

4. 4

   b) Pour obtenir un carré, il faudrait en plus que les diagonales soient perpendiculaires.

5. 5

   c) Un angle obtus mesure plus de $90°$90°.

   Deux angles obtus dépasseraient donc $180°$180° à eux seuls.

6. 6

   c) Il ne resterait rien pour le troisième angle, ce qui est impossible.

   FAUX.

Rappel de cours : Diagonales égales → rectangle · diagonales perpendiculaires → losange · les deux → carré.

Erreur fréquente : Pour c), chercher un exemple : le raisonnement sur la somme règle la question pour tous les triangles.