Exercices corrigés : Opérations sur les fractions — Cinquième

Correction détaillée

1. 1

   On cherche un nombre qui divise à la fois $24$24 et $36$36.

2. 2

   Les deux sont pairs : on divise par $2$2 et on obtient $\frac{12}{18}$12/18.

3. 3

   Encore pairs : on divise par $2$2, ce qui donne $\frac{6}{9}$6/9.

4. 4

   $6$6 et $9$9 sont dans la table de $3$3 : on divise par $3$3 et on obtient $\frac{2}{3}$2/3.

5. 5

   $2$2 et $3$3 n'ont plus de diviseur commun : la fraction est irréductible.

6. 6

   Plus rapide : $24=12\times 2$24 = 12 × 2 et $36=12\times 3$36 = 12 × 3, on pouvait diviser directement par $12$12.

Rappel de cours : Une fraction est irréductible quand numérateur et dénominateur n'ont plus de diviseur commun autre que $1$1.

Erreur fréquente : Simplifier « en biais » (le numérateur d'une fraction avec le dénominateur d'une autre) hors d'une multiplication.

Correction détaillée

1. 1

   Les dénominateurs sont identiques : les parts ont la même taille, on additionne simplement les numérateurs.

2. 2

   $\frac{5}{9}+\frac{2}{9}=\frac{5+2}{9}=\frac{7}{9}$5/9 + 2/9 = (5+2)/9 = 7/9.

3. 3

   $7$7 et $9$9 n'ont pas de diviseur commun : la fraction est déjà irréductible.

4. 4

   Pour la soustraction, même principe : $\frac{7}{4}-\frac{3}{4}=\frac{7-3}{4}=\frac{4}{4}$7/4 - 3/4 = (7-3)/4 = 4/4.

5. 5

   Or $\frac{4}{4}=1$4/4 = 1.

Rappel de cours : Même dénominateur : on calcule sur les numérateurs, le dénominateur ne bouge pas.

Erreur fréquente : Additionner aussi les dénominateurs : $\frac{5}{9}+\frac{2}{9}$5/9+2/9 ne vaut pas $\frac{7}{18}$7/18.

Correction détaillée

1. 1

   Prendre $\frac{3}{5}$3/5 d'un nombre, c'est le diviser par $5$5 puis multiplier par $3$3.

2. 2

   $75÷5=15$75 ÷ 5 = 15 : un cinquième vaut $15$15.

3. 3

   $3\times 15=45$3 × 15 = 45.

4. 4

   On peut aussi écrire $\frac{3}{5}\times 75=\frac{3\times 75}{5}=\frac{225}{5}=45$3/5 × 75 = (3 × 75)/5 = 225/5 = 45.

Rappel de cours : « Fraction de » se traduit toujours par une multiplication.

Erreur fréquente : Diviser par $3$3 et multiplier par $5$5 : c'est le dénominateur qui divise.

Correction détaillée

1. 1

   Les dénominateurs sont différents : on les met au même dénominateur.

2. 2

   On cherche un multiple commun à $6$6 et $9$9.

   Les multiples de $9$9 sont $9,18,27\dots$9, 18, 27… et $18$18 est aussi multiple de $6$6.

3. 3

   $\frac{5}{6}=\frac{5\times 3}{6\times 3}=\frac{15}{18}$5/6 = (5 × 3)/(6 × 3) = 15/18.

4. 4

   $\frac{7}{9}=\frac{7\times 2}{9\times 2}=\frac{14}{18}$7/9 = (7 × 2)/(9 × 2) = 14/18.

5. 5

   Les parts ont maintenant la même taille : on compare les numérateurs, $15>14$15 > 14.

6. 6

   Donc $\frac{5}{6}>\frac{7}{9}$5/6 > 7/9.

Rappel de cours : Pour comparer, on cherche le plus petit multiple commun des dénominateurs.

Erreur fréquente : Comparer les numérateurs sans avoir mis au même dénominateur : $5<7$5 < 7 mais $\frac{5}{6}>\frac{7}{9}$5/6 > 7/9.

Correction détaillée

1. 1

   Une fraction est une division : $\frac{9}{4}=9÷4$9/4 = 9 ÷ 4.

2. 2

   Dans $9$9 il y a $2$2 fois $4$4 (soit $8$8), reste $1$1.

   On pose la virgule et on abaisse un zéro.

3. 3

   $10$10 dixièmes contiennent $2$2 fois $4$4 (soit $8$8), reste $2$2.

   Puis $20$20 centièmes contiennent exactement $5$5 fois $4$4.

4. 4

   Donc $\frac{9}{4}=2,25$9/4 = 2,25, ce qui est cohérent car $\frac{9}{4}>2$9/4 > 2.

5. 5

   Pour $\frac{3}{8}=3÷8$3/8 = 3 ÷ 8 : $30$30 dixièmes contiennent $3$3 fois $8$8 ($24$24), reste $6$6 ; $60$60 centièmes contiennent $7$7 fois $8$8 ($56$56), reste $4$4 ; $40$40 millièmes contiennent $5$5 fois $8$8, reste $0$0.

6. 6

   Donc $\frac{3}{8}=0,375$3/8 = 0,375.

Rappel de cours : Le trait de fraction est un signe de division : on peut toujours poser l'opération.

Erreur fréquente : Répondre $0,38$0,38 pour $\frac{3}{8}$3/8 en recopiant les chiffres : il faut vraiment diviser.

Correction détaillée

1. 1

   On observe que $12$12 est un multiple de $3$3 : $3\times 4=12$3 × 4 = 12.

   Le dénominateur commun sera donc $12$12.

2. 2

   On transforme la première fraction : $\frac{2}{3}=\frac{2\times 4}{3\times 4}=\frac{8}{12}$2/3 = (2 × 4)/(3 × 4) = 8/12.

3. 3

   La seconde est déjà en douzièmes.

4. 4

   $\frac{8}{12}+\frac{5}{12}=\frac{13}{12}$8/12 + 5/12 = 13/12.

5. 5

   $13$13 et $12$12 n'ont pas de diviseur commun : la fraction est irréductible.

   Elle est supérieure à $1$1, ce qui est logique puisque $\frac{2}{3}$2/3 est déjà proche de $1$1.

Rappel de cours : Quand un dénominateur est multiple de l'autre, il suffit de transformer une seule fraction.

Erreur fréquente : Multiplier les deux dénominateurs ($3\times 12=36$3 × 12 = 36) : ça marche, mais on complique inutilement les calculs.

Correction détaillée

1. 1

   Aucun des deux dénominateurs n'est multiple de l'autre : on prend leur produit comme dénominateur commun, soit $4\times 5=20$4 × 5 = 20.

2. 2

   $\frac{3}{4}=\frac{3\times 5}{4\times 5}=\frac{15}{20}$3/4 = (3 × 5)/(4 × 5) = 15/20.

3. 3

   $\frac{2}{5}=\frac{2\times 4}{5\times 4}=\frac{8}{20}$2/5 = (2 × 4)/(5 × 4) = 8/20.

4. 4

   $\frac{15}{20}-\frac{8}{20}=\frac{7}{20}$15/20 - 8/20 = 7/20.

5. 5

   $7$7 et $20$20 n'ont pas de diviseur commun : le résultat est irréductible.

Rappel de cours : En dernier recours, le produit des deux dénominateurs fournit toujours un dénominateur commun.

Erreur fréquente : Soustraire numérateurs et dénominateurs séparément : $\frac{3-2}{4-5}$(3-2)/(4-5) n'a aucun sens.

Correction détaillée

1. 1

   Un entier peut toujours s'écrire sous forme de fraction : $3=\frac{3}{1}$3 = 3/1.

2. 2

   On le met au dénominateur $7$7 : $3=\frac{3\times 7}{7}=\frac{21}{7}$3 = (3 × 7)/7 = 21/7.

3. 3

   Le calcul devient $\frac{21}{7}-\frac{4}{7}=\frac{17}{7}$21/7 - 4/7 = 17/7.

4. 4

   $17$17 et $7$7 n'ont pas de diviseur commun : c'est irréductible.

5. 5

   Cohérence : $\frac{17}{7}$17/7 est un peu plus grand que $2$2, ce qui est logique puisqu'on a retiré un peu plus d'un demi à $3$3.

Rappel de cours : Tout entier $n$n s'écrit $\frac{n}{1}$n/1, donc $\frac{n\times d}{d}$(n × d)/d pour n'importe quel dénominateur $d$d.

Erreur fréquente : Soustraire $4$4 à $3$3 et garder le $7$7 : on obtiendrait un résultat négatif totalement faux.

Correction détaillée

1. 1

   Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

   Aucun dénominateur commun n'est nécessaire.

2. 2

   Numérateurs : $3\times 2=6$3 × 2 = 6.

3. 3

   Dénominateurs : $5\times 7=35$5 × 7 = 35.

4. 4

   Résultat : $\frac{6}{35}$6/35.

5. 5

   $6$6 et $35$35 n'ont pas de diviseur commun : la fraction est irréductible.

Rappel de cours : Multiplication : « haut fois haut, bas fois bas ». C'est plus simple que l'addition !

Erreur fréquente : Chercher un dénominateur commun pour multiplier : c'est inutile et source d'erreurs.

Correction détaillée

1. 1

   On écrit le produit sous forme d'une seule fraction : $\frac{4\times 3}{9\times 8}$(4 × 3)/(9 × 8).

2. 2

   Avant de calculer, on repère les facteurs communs entre le haut et le bas.

3. 3

   $4$4 (en haut) et $8$8 (en bas) se simplifient par $4$4 : il reste $1$1 en haut et $2$2 en bas.

4. 4

   $3$3 (en haut) et $9$9 (en bas) se simplifient par $3$3 : il reste $1$1 en haut et $3$3 en bas.

5. 5

   Il reste $\frac{1\times 1}{3\times 2}=\frac{1}{6}$(1 × 1)/(3 × 2) = 1/6.

6. 6

   Vérification sans simplifier : $\frac{12}{72}$12/72, qui se simplifie bien en $\frac{1}{6}$1/6. ✔

Rappel de cours : Dans une multiplication, on peut simplifier n'importe quel numérateur avec n'importe quel dénominateur.

Erreur fréquente : Simplifier de la même façon dans une ADDITION : c'est interdit, la simplification « en croix » ne vaut que pour les produits.

Correction détaillée

1. 1

   « Une fraction d'une fraction » se traduit par une multiplication.

2. 2

   On cherche $\frac{1}{4}$1/4 de $\frac{3}{5}$3/5, c'est-à-dire $\frac{1}{4}\times \frac{3}{5}$1/4 × 3/5.

3. 3

   Numérateurs : $1\times 3=3$1 × 3 = 3.

   Dénominateurs : $4\times 5=20$4 × 5 = 20.

4. 4

   Le résultat est $\frac{3}{20}$3/20.

5. 5

   Vérification concrète avec $200$200 élèves : $\frac{3}{5}$3/5 de $200$200 font $120$120 demi-pensionnaires, dont $\frac{1}{4}$1/4, soit $30$30 élèves.

   Et $\frac{3}{20}$3/20 de $200$200 vaut bien $30$30. ✔

Rappel de cours : « De » entre deux fractions signifie « multiplié par ».

Erreur fréquente : Additionner les deux fractions : les végétariens sont une partie des demi-pensionnaires, pas un groupe qui s'ajoute.

Correction détaillée

1. 1

   Diviser par $3$3 revient à multiplier par $\frac{1}{3}$1/3.

2. 2

   $\frac{6}{7}÷3=\frac{6}{7}\times \frac{1}{3}=\frac{6\times 1}{7\times 3}=\frac{6}{21}$6/7 ÷ 3 = 6/7 × 1/3 = (6 × 1)/(7 × 3) = 6/21.

3. 3

   On simplifie par $3$3 : $\frac{6}{21}=\frac{2}{7}$6/21 = 2/7.

4. 4

   Interprétation : partager $\frac{6}{7}$6/7 en trois parts égales donne $\frac{2}{7}$2/7 à chacun, ce qui est cohérent puisque $6÷3=2$6 ÷ 3 = 2 septièmes.

Rappel de cours : Diviser par un nombre, c'est multiplier par son inverse : $÷3$÷ 3 devient $\times \frac{1}{3}$× 1/3.

Erreur fréquente : Diviser le dénominateur ($\frac{6}{7÷3}$6/(7 ÷ 3)) : diviser une fraction la rend plus petite, donc c'est le numérateur qui diminue.

Correction détaillée

1. 1

   Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.

2. 2

   L'inverse de $\frac{2}{3}$2/3 est $\frac{3}{2}$3/2 : on échange numérateur et dénominateur.

3. 3

   $\frac{4}{5}÷\frac{2}{3}=\frac{4}{5}\times \frac{3}{2}$4/5 ÷ 2/3 = 4/5 × 3/2.

4. 4

   On simplifie avant de multiplier : $4$4 et $2$2 se simplifient par $2$2, il reste $2$2 en haut.

5. 5

   $\frac{2\times 3}{5\times 1}=\frac{6}{5}$(2 × 3)/(5 × 1) = 6/5.

6. 6

   Le résultat est supérieur à $1$1, ce qui est logique : on divise par un nombre plus petit que $1$1, donc le résultat augmente.

Rappel de cours : Inverse de $\frac{a}{b}$a/b : $\frac{b}{a}$b/a. Ne pas confondre avec l'opposé, qui change le signe.

Erreur fréquente : Diviser numérateurs et dénominateurs entre eux : $\frac{4÷2}{5÷3}$(4 ÷ 2)/(5 ÷ 3) n'est pas une méthode valable.

Correction détaillée

1. 1

   On respecte les priorités : la multiplication se calcule avant l'addition.

2. 2

   $\frac{1}{3}\times \frac{3}{4}=\frac{1\times 3}{3\times 4}$1/3 × 3/4 = (1 × 3)/(3 × 4).

   Le $3$3 du haut et le $3$3 du bas se simplifient : il reste $\frac{1}{4}$1/4.

3. 3

   L'expression devient $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$1/2 + 1/4.

4. 4

   $4$4 est multiple de $2$2 : $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$1/2 = 2/4.

5. 5

   $\frac{2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$2/4 + 1/4 = 3/4.

Rappel de cours : Les priorités opératoires s'appliquent aussi aux fractions : $\times$× et $÷$÷ avant $+$+ et $-$-.

Erreur fréquente : Calculer de gauche à droite : on obtiendrait $\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)\times \frac{3}{4}$(1/2+1/3) × 3/4, qui vaut $\frac{5}{8}$5/8, un résultat différent.

Correction détaillée

1. 1

   Les quantités sont proportionnelles au nombre de personnes : on passe par une personne.

2. 2

   Pour $1$1 personne : $\frac{3}{4}÷6=\frac{3}{4}\times \frac{1}{6}=\frac{3}{24}$3/4 ÷ 6 = 3/4 × 1/6 = 3/24.

3. 3

   On simplifie par $3$3 : $\frac{3}{24}=\frac{1}{8}$3/24 = 1/8 de litre par personne.

4. 4

   Pour $4$4 personnes : $4\times \frac{1}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$4 × 1/8 = 4/8 = 1/2 litre.

5. 5

   Vérification : $\frac{1}{2}$1/2 L pour $4$4 personnes et $\frac{3}{4}$3/4 L pour $6$6 personnes donnent bien le même rapport ($\frac{1}{8}$1/8 L par personne). ✔

Rappel de cours : Le passage par l'unité fonctionne aussi avec des fractions.

Erreur fréquente : Soustraire les deux tiers de la quantité parce qu'il y a « deux personnes de moins » : la proportionnalité se calcule par multiplication.

Correction détaillée

1. 1

   On cherche un dénominateur commun à $8$8, $3$3 et $12$12.

2. 2

   $24$24 convient : $8\times 3=24$8 × 3 = 24, $3\times 8=24$3 × 8 = 24, $12\times 2=24$12 × 2 = 24.

3. 3

   $\frac{5}{8}=\frac{5\times 3}{24}=\frac{15}{24}$5/8 = (5 × 3)/24 = 15/24.

4. 4

   $\frac{2}{3}=\frac{2\times 8}{24}=\frac{16}{24}$2/3 = (2 × 8)/24 = 16/24.

5. 5

   $\frac{7}{12}=\frac{7\times 2}{24}=\frac{14}{24}$7/12 = (7 × 2)/24 = 14/24.

6. 6

   On compare les numérateurs : $14<15<16$14 < 15 < 16.

7. 7

   Donc $\frac{7}{12}<\frac{5}{8}<\frac{2}{3}$7/12 < 5/8 < 2/3.

Rappel de cours : Pour trois fractions, on cherche un multiple commun aux trois dénominateurs.

Erreur fréquente : Comparer deux par deux sans dénominateur commun : les trois fractions sont ici très proches.

Correction détaillée

1. 1

   Pour additionner $\frac{1}{3}$1/3 et $\frac{2}{5}$2/5, on prend le dénominateur commun $15$15 ($3\times 5$3 × 5).

2. 2

   $\frac{1}{3}=\frac{5}{15}$1/3 = 5/15 et $\frac{2}{5}=\frac{6}{15}$2/5 = 6/15.

3. 3

   Parcouru : $\frac{5}{15}+\frac{6}{15}=\frac{11}{15}$5/15 + 6/15 = 11/15 du trajet.

4. 4

   Le trajet entier vaut $\frac{15}{15}$15/15, donc il reste $\frac{15}{15}-\frac{11}{15}=\frac{4}{15}$15/15 - 11/15 = 4/15.

5. 5

   Distance restante : $\frac{4}{15}$4/15 de $45$45 km.

   Un quinzième vaut $45÷15=3$45 ÷ 15 = 3 km.

6. 6

   Quatre quinzièmes valent $4\times 3=12$4 × 3 = 12 km.

7. 7

   Vérification : il a parcouru $11\times 3=33$11 × 3 = 33 km, et $33+12=45$33 + 12 = 45 km. ✔

Rappel de cours : « Ce qui reste » se calcule en soustrayant de la fraction qui représente le tout.

Erreur fréquente : Additionner les fractions sans dénominateur commun : $\frac{1+2}{3+5}$(1+2)/(3+5) est faux.

Correction détaillée

1. 1

   La fraction cherchée vaut la différence : $\frac{5}{6}-\frac{2}{9}$5/6 - 2/9.

2. 2

   On cherche un dénominateur commun à $6$6 et $9$9.

   Les multiples de $9$9 sont $9,18,\dots$9, 18, … et $18$18 est aussi multiple de $6$6.

3. 3

   $\frac{5}{6}=\frac{5\times 3}{18}=\frac{15}{18}$5/6 = (5 × 3)/18 = 15/18.

4. 4

   $\frac{2}{9}=\frac{2\times 2}{18}=\frac{4}{18}$2/9 = (2 × 2)/18 = 4/18.

5. 5

   Différence : $\frac{15}{18}-\frac{4}{18}=\frac{11}{18}$15/18 - 4/18 = 11/18.

6. 6

   Vérification : $\frac{2}{9}+\frac{11}{18}=\frac{4}{18}+\frac{11}{18}=\frac{15}{18}=\frac{5}{6}$2/9 + 11/18 = 4/18 + 11/18 = 15/18 = 5/6. ✔

Rappel de cours : Terme manquant dans une somme : on soustrait le terme connu du résultat.

Erreur fréquente : Prendre $18$18 comme dénominateur commun mais oublier de multiplier aussi les numérateurs.

Correction détaillée

1. 1

   Le potager représente $\frac{1}{4}$1/4 du terrain et mesure $150$150 m².

   Le terrain entier vaut donc $4$4 fois plus.

2. 2

   Aire totale : $4\times 150=600$4 × 150 = 600 m².

3. 3

   Fraction occupée par le potager et le verger : $\frac{1}{4}+\frac{1}{3}$1/4 + 1/3.

   Dénominateur commun $12$12.

4. 4

   $\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$1/4 = 3/12 et $\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$1/3 = 4/12, donc ensemble $\frac{7}{12}$7/12.

5. 5

   Pelouse : $\frac{12}{12}-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}$12/12 - 7/12 = 5/12 du terrain.

6. 6

   Aire de la pelouse : $\frac{5}{12}$5/12 de $600$600 m².

   Un douzième vaut $600÷12=50$600 ÷ 12 = 50 m², donc $5\times 50=250$5 × 50 = 250 m².

7. 7

   Vérification : potager $150$150, verger $\frac{1}{3}$1/3 de $600=200$600 = 200, pelouse $250$250.

   Total : $150+200+250=600$150+200+250 = 600 m². ✔

Rappel de cours : Pour remonter au tout à partir d'une part : on multiplie par le dénominateur.

Erreur fréquente : Multiplier $150$150 par $\frac{1}{4}$1/4 : on chercherait une part de la part au lieu de remonter au tout.

Correction détaillée

1. 1

   a) $\frac{2}{3}$2/3 est plus petit que $1$1.

   Multiplier un nombre positif par un nombre inférieur à $1$1 le diminue : par exemple $\frac{2}{3}\times 9=6$2/3 × 9 = 6, et $6<9$6 < 9.

   L'affirmation est VRAIE pour les nombres positifs.

2. 2

   b) On calcule correctement : dénominateur commun $6$6, $\frac{1}{2}=\frac{3}{6}$1/2=3/6 et $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$1/3=2/6, donc la somme vaut $\frac{5}{6}$5/6.

3. 3

   b) Or $\frac{5}{6}$5/6 est proche de $1$1 alors que $\frac{2}{5}$2/5 est inférieur à $\frac{1}{2}$1/2 : les deux résultats sont très différents.

   L'affirmation est FAUSSE.

4. 4

   c) L'inverse de $\frac{1}{2}$1/2 est $\frac{2}{1}=2$2/1 = 2.

   Diviser par $\frac{1}{2}$1/2 revient donc bien à multiplier par $2$2.

   Exemple : $3÷\frac{1}{2}=6$3 ÷ 1/2 = 6, ce qui se comprend en se demandant « combien de demis dans $3$3 ? ».

   L'affirmation est VRAIE.

Rappel de cours : Additionner « les hauts entre eux et les bas entre eux » est l'erreur numéro un sur les fractions.

Erreur fréquente : Ne pas vérifier la vraisemblance : $\frac{2}{5}$2/5 est plus petit que $\frac{1}{2}$1/2, donc il ne peut pas être la somme de $\frac{1}{2}$1/2 et d'autre chose de positif.