Exercices corrigés : Aires et volumes — Cinquième

Correction détaillée

1. 1

   L'aire d'un parallélogramme se calcule par « base $\times$× hauteur ».

2. 2

   Attention : la hauteur est la distance entre la base et le côté opposé, mesurée perpendiculairement.

   Ce n'est PAS la longueur du côté oblique.

3. 3

   $\mathcal{A}=9\times 4=36$A = 9 × 4 = 36 cm².

4. 4

   Pour comprendre la formule : en découpant un triangle sur un côté et en le déplaçant à l'autre bout, on transforme le parallélogramme en rectangle de $9$9 cm sur $4$4 cm.

Rappel de cours : Aire d'un parallélogramme : $\mathcal{A}=b\times h$A = b × h, où $h$h est perpendiculaire à la base $b$b.

Erreur fréquente : Utiliser la longueur du côté oblique comme hauteur : elle est toujours plus grande que la vraie hauteur.

Correction détaillée

1. 1

   L'aire d'un triangle vaut la moitié de « base $\times$× hauteur ».

2. 2

   $\mathcal{A}=\frac{12\times 5}{2}$A = (12 × 5)/2.

3. 3

   $12\times 5=60$12 × 5 = 60, puis $60÷2=30$60 ÷ 2 = 30.

4. 4

   L'aire vaut $30$30 cm².

5. 5

   Explication de la division par $2$2 : un triangle est toujours la moitié d'un parallélogramme de même base et de même hauteur.

Rappel de cours : Aire d'un triangle : $\mathcal{A}=\frac{b\times h}{2}$A = (b × h)/2.

Erreur fréquente : Oublier de diviser par $2$2 : on obtiendrait l'aire du parallélogramme associé.

Correction détaillée

1. 1

   L'aire d'un disque se calcule par $\mathcal{A}=\pi \times r\times r$A = π × r × r.

2. 2

   On calcule d'abord $6\times 6=36$6 × 6 = 36.

3. 3

   Puis $\mathcal{A}=3,14\times 36$A = 3,14 × 36.

4. 4

   $3,14\times 36=3,14\times 30+3,14\times 6=94,2+18,84=113,04$3,14 × 36 = 3,14 × 30 + 3,14 × 6 = 94,2 + 18,84 = 113,04.

5. 5

   L'aire vaut environ $113,04$113,04 cm².

Rappel de cours : Aire du disque : $\pi r^2$π r² · périmètre du cercle : $2\pi r$2π r. Ne pas les confondre.

Erreur fréquente : Utiliser le diamètre à la place du rayon : l'aire serait multipliée par $4$4.

Correction détaillée

1. 1

   Le volume d'un pavé droit est le produit de ses trois dimensions.

2. 2

   $V=8\times 5\times 4$V = 8 × 5 × 4.

3. 3

   $8\times 5=40$8 × 5 = 40, puis $40\times 4=160$40 × 4 = 160.

4. 4

   Le volume vaut $160$160 cm³.

5. 5

   Autre lecture : c'est « aire de la base $\times$× hauteur », soit $40\times 4$40 × 4 — la formule générale des prismes.

Rappel de cours : Un pavé droit est un prisme : $V={\mathcal{A}}_{\text{base}}\times h$V = A _base × h.

Erreur fréquente : Additionner les dimensions : le volume est un produit.

Correction détaillée

1. 1

   Un carré de $1$1 m de côté mesure $100$100 cm sur $100$100 cm, donc $1$1 m² $=10000$= 10 000 cm².

2. 2

   Pour $2,5$2,5 m² : $2,5\times 10000=25000$2,5 × 10 000 = 25 000 cm².

3. 3

   Dans l'autre sens, on divise : $35000÷10000=3,5$35 000 ÷ 10 000 = 3,5 m².

Rappel de cours : Pour les aires, on multiplie ou divise par $100$100 à chaque changement d'unité.

Erreur fréquente : Utiliser $1$1 m² $=100$= 100 cm² : c'est l'erreur la plus fréquente.

Correction détaillée

1. 1

   Le volume d'un prisme droit vaut « aire de la base $\times$× hauteur ».

2. 2

   Ici l'aire de la base est déjà donnée : $15$15 cm².

3. 3

   $V=15\times 9=135$V = 15 × 9 = 135 cm³.

4. 4

   Cette formule vaut pour TOUS les prismes droits, quelle que soit la forme de la base : triangle, pentagone, etc.

Rappel de cours : Prisme droit : $V={\mathcal{A}}_{\text{base}}\times h$V = A _base × h, où $h$h est la hauteur du prisme.

Erreur fréquente : Diviser par $2$2 parce que la base est un triangle : la division par $2$2 est déjà incluse dans l'aire de la base.

Correction détaillée

1. 1

   Un cylindre suit la même logique qu'un prisme : $V={\mathcal{A}}_{\text{base}}\times h$V = A _base × h.

2. 2

   Sa base est un disque, dont l'aire vaut $\pi \times r\times r$π × r × r.

3. 3

   ${\mathcal{A}}_{\text{base}}=3,14\times 3\times 3=3,14\times 9=28,26$A _base = 3,14 × 3 × 3 = 3,14 × 9 = 28,26 cm².

4. 4

   $V=28,26\times 10=282,6$V = 28,26 × 10 = 282,6 cm³.

5. 5

   Le volume vaut donc environ $282,6$282,6 cm³, soit un peu plus de $0,28$0,28 litre.

Rappel de cours : Cylindre : $V=\pi r^2\times h$V = π r² × h. C'est le cas particulier de ${\mathcal{A}}_{\text{base}}\times h$A _base × h avec une base circulaire.

Erreur fréquente : Multiplier le périmètre du cercle par la hauteur : cela donnerait l'aire latérale, pas le volume.

Correction détaillée

1. 1

   On part de la formule $\mathcal{A}=b\times h$A = b × h, soit $56=8\times h$56 = 8 × h.

2. 2

   Pour retrouver $h$h, on effectue l'opération inverse de la multiplication : la division.

3. 3

   $h=56÷8=7$h = 56 ÷ 8 = 7 cm.

4. 4

   Vérification : $8\times 7=56$8 × 7 = 56 cm². ✔

Rappel de cours : Si $\mathcal{A}=b\times h$A = b × h, alors $h=\mathcal{A}÷b$h = A ÷ b.

Erreur fréquente : Soustraire $8$8 à $56$56 : l'aire est un produit, on divise pour revenir en arrière.

Correction détaillée

1. 1

   Un cube de $1$1 dm de côté mesure $10$10 cm sur $10$10 cm sur $10$10 cm, donc $1$1 dm³ $=1000$= 1000 cm³.

2. 2

   $3$3 dm³ $=3\times 1000=3000$= 3 × 1000 = 3000 cm³.

3. 3

   Comme $1$1 dm³ $=1$= 1 L, on a aussi $1000$1000 cm³ $=1$= 1 L.

4. 4

   $2500$2500 cm³ $=2500÷1000=2,5$= 2500 ÷ 1000 = 2,5 L.

5. 5

   Enfin $1$1 m³ $=1000$= 1000 L, donc $0,5$0,5 m³ $=500$= 500 L.

Rappel de cours : $1$1 L $=1$= 1 dm³ $=1000$= 1000 cm³ · $1$1 m³ $=1000$= 1000 L.

Erreur fréquente : Passer d'une unité de volume à la suivante en multipliant par $10$10 : c'est par $1000$1000.

Correction détaillée

1. 1

   En déroulant la surface latérale d'un cylindre, on obtient un RECTANGLE.

2. 2

   Sa hauteur est celle du cylindre : $12$12 cm.

3. 3

   Sa largeur est le périmètre du cercle de base : $2\times \pi \times r=2\times 3,14\times 4=25,12$2 × π × r = 2 × 3,14 × 4 = 25,12 cm.

4. 4

   Aire latérale : $25,12\times 12=301,44$25,12 × 12 = 301,44 cm².

5. 5

   On peut retenir la formule directe : ${\mathcal{A}}_{\text{lat}}=2\pi r\times h$A _lat = 2π r × h.

Rappel de cours : La surface latérale d'un cylindre est un rectangle de dimensions $2\pi r$2π r et $h$h.

Erreur fréquente : Utiliser $\pi r^2$π r² : c'est l'aire du disque de base, pas celle de la surface latérale.

Correction détaillée

1. 1

   On découpe la figure en morceaux dont on connaît les formules.

2. 2

   Aire du rectangle : $10\times 6=60$10 × 6 = 60 cm².

3. 3

   Aire du triangle : $\frac{10\times 4}{2}=\frac{40}{2}=20$(10 × 4)/2 = 40/2 = 20 cm².

4. 4

   Les deux morceaux ne se chevauchent pas : on additionne.

5. 5

   $\mathcal{A}=60+20=80$A = 60 + 20 = 80 cm².

Rappel de cours : Aire d'une figure composée = somme des aires des morceaux qui ne se recouvrent pas.

Erreur fréquente : Oublier de diviser par $2$2 pour le triangle : on trouverait $100$100 cm².

Correction détaillée

1. 1

   Aire du carré : $12\times 12=144$12 × 12 = 144 cm².

2. 2

   Aire du disque : $\pi \times 5\times 5=3,14\times 25=78,5$π × 5 × 5 = 3,14 × 25 = 78,5 cm².

3. 3

   Surface restante : on retire le disque du carré.

4. 4

   $\mathcal{A}=144-78,5=65,5$A = 144 - 78,5 = 65,5 cm².

5. 5

   Cohérence : le disque occupe un peu plus de la moitié du carré, il doit donc rester un peu moins de la moitié. ✔

Rappel de cours : Quand on retire une partie, on soustrait son aire de l'aire totale.

Erreur fréquente : Soustraire les longueurs ($12-5$12 - 5) au lieu des aires.

Correction détaillée

1. 1

   On calcule d'abord l'aire de la base, un triangle rectangle.

2. 2

   ${\mathcal{A}}_{\text{base}}=\frac{6\times 8}{2}=\frac{48}{2}=24$A _base = (6 × 8)/2 = 48/2 = 24 cm².

3. 3

   Volume : $V={\mathcal{A}}_{\text{base}}\times h=24\times 15=360$V = A _base × h = 24 × 15 = 360 cm³.

4. 4

   Conversion en litres : $1000$1000 cm³ $=1$= 1 L.

5. 5

   $360÷1000=0,36$360 ÷ 1000 = 0,36 L.

Rappel de cours : Deux étapes toujours : aire de la base, puis multiplication par la hauteur.

Erreur fréquente : Multiplier les trois dimensions $6\times 8\times 15$6 × 8 × 15 : ce serait le volume du pavé droit, deux fois trop grand.

Correction détaillée

1. 1

   On part de $\mathcal{A}=\pi \times r\times r$A = π × r × r, soit $50,24=3,14\times r^2$50,24 = 3,14 × r².

2. 2

   On isole $r^2$r² en divisant par $3,14$3,14 : $r^2=50,24÷3,14=16$r² = 50,24 ÷ 3,14 = 16.

3. 3

   On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne $16$16.

4. 4

   $4\times 4=16$4 × 4 = 16, donc $r=4$r = 4 cm.

5. 5

   Vérification : $3,14\times 4\times 4=3,14\times 16=50,24$3,14 × 4 × 4 = 3,14 × 16 = 50,24 cm². ✔

Rappel de cours : On « défait » la formule dans l'ordre inverse : d'abord diviser par $\pi$π, puis chercher la racine.

Erreur fréquente : Diviser $50,24$50,24 par $2$2 puis par $3,14$3,14 : la formule ne contient pas de facteur $2$2.

Correction détaillée

1. 1

   Volume : $V=10\times 5\times 1,6$V = 10 × 5 × 1,6.

2. 2

   $10\times 5=50$10 × 5 = 50, puis $50\times 1,6=80$50 × 1,6 = 80 m³.

3. 3

   Conversion : $1$1 m³ $=1000$= 1000 L, donc $80$80 m³ $=80000$= 80 000 L.

4. 4

   Aux trois quarts : $\frac{3}{4}$3/4 de $80000$80 000.

   Un quart vaut $80000÷4=20000$80 000 ÷ 4 = 20 000 L.

5. 5

   Trois quarts : $3\times 20000=60000$3 × 20 000 = 60 000 L.

Rappel de cours : $1$1 m³ $=1000$= 1000 L : c'est le volume d'un cube de $1$1 m de côté.

Erreur fréquente : Multiplier par $100$100 pour passer des m³ aux litres : le facteur est $1000$1000.

Correction détaillée

1. 1

   Volume de A : aire de base $=3,14\times 5\times 5=3,14\times 25=78,5$= 3,14 × 5 × 5 = 3,14 × 25 = 78,5 cm².

2. 2

   $V_A=78,5\times 10=785$V_A = 78,5 × 10 = 785 cm³.

3. 3

   Volume de B : $8\times 8\times 12$8 × 8 × 12.

4. 4

   $8\times 8=64$8 × 8 = 64, puis $64\times 12=768$64 × 12 = 768 cm³.

5. 5

   On compare : $785>768$785 > 768.

6. 6

   Le cylindre A contient donc un peu plus, avec $785-768=17$785 - 768 = 17 cm³ d'écart.

Rappel de cours : On ne peut pas comparer « à l'œil » deux solides de formes différentes : il faut calculer.

Erreur fréquente : Comparer les hauteurs ($10$10 contre $12$12) pour conclure : c'est le volume complet qui compte.

Correction détaillée

1. 1

   Prenons un disque de rayon $3$3 : son aire vaut $\pi \times 9$π × 9.

2. 2

   Avec un rayon de $6$6 : l'aire vaut $\pi \times 36$π × 36.

3. 3

   $36÷9=4$36 ÷ 9 = 4 : l'aire est multipliée par $4$4, et non par $2$2.

4. 4

   Explication : l'aire dépend de $r\times r$r × r, donc doubler $r$r multiplie l'aire par $2\times 2=4$2 × 2 = 4.

5. 5

   Pour un pavé de $2\times 3\times 4=24$2 × 3 × 4 = 24, doubler tout donne $4\times 6\times 8=192$4 × 6 × 8 = 192.

6. 6

   $192÷24=8$192 ÷ 24 = 8 : le volume est multiplié par $8$8, soit $2\times 2\times 2$2 × 2 × 2, car trois dimensions sont doublées.

Rappel de cours : Longueurs $\times k$× k → aires $\times k^2$× k² → volumes $\times k^3$× k³.

Erreur fréquente : Croire que tout double : c'est vrai pour les longueurs seulement.

Correction détaillée

1. 1

   Le rayon est la moitié du diamètre : $r=8÷2=4$r = 8 ÷ 2 = 4 cm.

2. 2

   Aire de base : $3,14\times 4\times 4=3,14\times 16=50,24$3,14 × 4 × 4 = 3,14 × 16 = 50,24 cm².

3. 3

   Volume : $50,24\times 11=552,64$50,24 × 11 = 552,64 cm³.

4. 4

   Conversion : $1000$1000 cm³ $=1$= 1 L $=100$= 100 cL, donc $1$1 cm³ $=0,1$= 0,1 cL.

5. 5

   $552,64$552,64 cm³ $=55,264$= 55,264 cL, soit environ $55$55 cL.

6. 6

   Pour les deux disques : $2\times 50,24=100,48$2 × 50,24 = 100,48 cm² de métal.

Rappel de cours : Toujours passer du diamètre au rayon AVANT d'appliquer les formules.

Erreur fréquente : Utiliser $8$8 comme rayon : le volume serait quatre fois trop grand.

Correction détaillée

1. 1

   Aire du terrain : $20\times 15=300$20 × 15 = 300 m².

2. 2

   Aire de la terrasse : $6\times 6=36$6 × 6 = 36 m².

3. 3

   Aire du bassin : $3,14\times 2\times 2=3,14\times 4=12,56$3,14 × 2 × 2 = 3,14 × 4 = 12,56 m².

4. 4

   Aire occupée : $36+12,56=48,56$36 + 12,56 = 48,56 m².

5. 5

   Aire engazonnée : $300-48,56=251,44$300 - 48,56 = 251,44 m².

6. 6

   Nombre de sacs : $251,44÷25=10,0576$251,44 ÷ 25 = 10,0576.

7. 7

   Un sac ne se coupe pas : il en faut $11$11 pour couvrir toute la surface.

Rappel de cours : Pour un achat, on arrondit toujours à l'entier SUPÉRIEUR, sinon il en manque.

Erreur fréquente : Arrondir $10,06$10,06 à $10$10 sacs : il resterait $1,44$1,44 m² sans gazon.

Correction détaillée

1. 1

   On remonte étape par étape.

   D'abord l'aire de la base du prisme.

2. 2

   $V={\mathcal{A}}_{\text{base}}\times h$V = A _base × h, donc ${\mathcal{A}}_{\text{base}}=504÷14=36$A _base = 504 ÷ 14 = 36 cm².

3. 3

   La base est un triangle, dont l'aire vaut $\frac{b\times h_t}{2}$(b × h_t)/2, avec $b=12$b = 12 cm.

4. 4

   $36=\frac{12\times h_t}{2}$36 = (12 × h_t)/2, c'est-à-dire $36=6\times h_t$36 = 6 × h_t.

5. 5

   On divise : $h_t=36÷6=6$h_t = 36 ÷ 6 = 6 cm.

6. 6

   Vérification : aire du triangle $=\frac{12\times 6}{2}=36$= (12 × 6)/2 = 36 cm², puis $36\times 14=504$36 × 14 = 504 cm³. ✔

Rappel de cours : Deux formules imbriquées : on les « défait » l'une après l'autre, en partant du volume.

Erreur fréquente : Diviser directement $504$504 par $12$12 : il faut d'abord remonter à l'aire de la base.