Exercices corrigés : Proportionnalité et pourcentages — Cinquième

Correction détaillée

1. 1

   Le coefficient de proportionnalité est le nombre par lequel on multiplie la masse pour obtenir le prix.

2. 2

   Il correspond au prix d'un kilogramme : on divise le prix par la masse.

3. 3

   $9,60÷4=2,40$9,60 ÷ 4 = 2,40.

4. 4

   Le coefficient vaut $2,4$2,4 (en euros par kilogramme).

5. 5

   Vérification : $4\times 2,4=9,6$4 × 2,4 = 9,6 €. ✔

Rappel de cours : Coefficient de proportionnalité = valeur d'arrivée $÷$÷ valeur de départ.

Erreur fréquente : Calculer $4÷9,6$4 ÷ 9,6 : on obtiendrait la masse par euro, ce qui répond à une autre question.

Correction détaillée

1. 1

   On cherche d'abord le coefficient : $7,5÷3=2,5$7,5 ÷ 3 = 2,5.

2. 2

   À $1$1 correspond donc $1\times 2,5=2,5$1 × 2,5 = 2,5 : c'est exactement le coefficient.

3. 3

   À $8$8 correspond $8\times 2,5=20$8 × 2,5 = 20.

4. 4

   Vérification : $20÷8=2,5$20 ÷ 8 = 2,5, c'est bien le même coefficient. ✔

Rappel de cours : Dans un tableau de proportionnalité, tous les quotients « arrivée $÷$÷ départ » sont égaux.

Erreur fréquente : Ajouter $5$5 pour passer de $3$3 à $8$8 et faire pareil sur l'autre ligne : la proportionnalité se lit en multipliant, pas en ajoutant.

Correction détaillée

1. 1

   On calcule le quotient de chaque colonne (ligne 2 divisée par ligne 1).

2. 2

   Colonne 1 : $6÷2=3$6 ÷ 2 = 3.

3. 3

   Colonne 2 : $15÷5=3$15 ÷ 5 = 3.

4. 4

   Colonne 3 : $20÷8=2,5$20 ÷ 8 = 2,5.

5. 5

   Les deux premiers quotients valent $3$3, mais le troisième vaut $2,5$2,5 : ils ne sont pas tous égaux.

6. 6

   Le tableau n'est donc PAS proportionnel.

   Pour qu'il le soit, la dernière case devrait valoir $8\times 3=24$8 × 3 = 24.

Rappel de cours : Test de proportionnalité : tous les quotients d'une ligne par l'autre doivent être égaux.

Erreur fréquente : Vérifier une seule colonne et conclure : il faut tester toutes les colonnes.

Correction détaillée

1. 1

   On passe par le prix d'un cahier : $15,40÷7=2,20$15,40 ÷ 7 = 2,20 €.

2. 2

   Prix de $12$12 cahiers : $12\times 2,20$12 × 2,20.

3. 3

   $12\times 2,2=12\times 2+12\times 0,2=24+2,4=26,4$12 × 2,2 = 12 × 2 + 12 × 0,2 = 24 + 2,4 = 26,4 €.

4. 4

   Les $12$12 cahiers coûtent donc $26,40$26,40 €.

5. 5

   Ordre de grandeur : $12$12 cahiers, c'est un peu moins du double de $7$7, et $26,40$26,40 est bien un peu moins du double de $15,40$15,40. ✔

Rappel de cours : Le passage par l'unité est la méthode la plus sûre pour une quatrième proportionnelle.

Erreur fréquente : Ajouter le prix de $5$5 cahiers « à la louche » sans avoir calculé le prix unitaire.

Correction détaillée

1. 1

   $10\%$10 %, c'est un dixième : $180÷10=18$180 ÷ 10 = 18.

2. 2

   $25\%$25 %, c'est un quart : $180÷4=45$180 ÷ 4 = 45.

3. 3

   $75\%$75 %, c'est trois quarts : $3\times 45=135$3 × 45 = 135.

4. 4

   Vérification : $25\%+75\%=100\%$25 % + 75 % = 100 %, et $45+135=180$45 + 135 = 180. ✔

Rappel de cours : $10\%=÷10$10 % = ÷ 10 · $25\%=÷4$25 % = ÷ 4 · $50\%=÷2$50 % = ÷ 2 · $75\%=\frac{3}{4}$75 % = 3/4.

Erreur fréquente : Diviser par $75$75 pour trouver $75\%$75 % : un pourcentage supérieur à $50\%$50 % donne plus de la moitié du nombre.

Correction détaillée

1. 1

   Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : $5\times 30=12\times x$5 × 30 = 12 × x.

2. 2

   On calcule le membre de gauche : $5\times 30=150$5 × 30 = 150.

3. 3

   L'égalité devient $150=12\times x$150 = 12 × x.

4. 4

   On divise par $12$12 : $x=150÷12=12,5$x = 150 ÷ 12 = 12,5.

5. 5

   Vérification : $12,5\times 12=150$12,5 × 12 = 150 et $5\times 30=150$5 × 30 = 150.

   Les produits en croix sont bien égaux. ✔

Rappel de cours : Produit en croix : dans un tableau proportionnel, $a\times d=b\times c$a × d = b × c pour les cases disposées en croix.

Erreur fréquente : Multiplier les deux cases d'une même colonne : le produit en croix relie les diagonales.

Correction détaillée

1. 1

   On calcule d'abord le montant de l'augmentation : $15\%$15 % de $240$240 €.

2. 2

   $10\%$10 % de $240$240 valent $24$24 €, donc $5\%$5 % valent $12$12 €.

3. 3

   $15\%=10\%+5\%$15 % = 10 % + 5 %, soit $24+12=36$24 + 12 = 36 €.

4. 4

   Nouveau prix : $240+36=276$240 + 36 = 276 €.

5. 5

   Autre méthode : après une hausse de $15\%$15 %, on paie $115\%$115 % du prix, soit $240\times 1,15=276$240 × 1,15 = 276 €.

   Même résultat. ✔

Rappel de cours : Augmenter de $p\%$p % revient à multiplier par $1+\frac{p}{100}$1 + p/100.

Erreur fréquente : Répondre $36$36 € : c'est l'augmentation, pas le nouveau prix.

Correction détaillée

1. 1

   Montant de la remise : $35\%$35 % de $80$80 €.

2. 2

   $10\%$10 % de $80$80 valent $8$8 €, donc $30\%$30 % valent $24$24 € et $5\%$5 % valent $4$4 €.

3. 3

   $35\%=24+4=28$35 % = 24 + 4 = 28 €.

4. 4

   Prix payé : $80-28=52$80 - 28 = 52 €.

5. 5

   Autre méthode : après une remise de $35\%$35 %, on paie $65\%$65 % du prix, soit $80\times 0,65=52$80 × 0,65 = 52 €. ✔

Rappel de cours : Après une remise de $p\%$p %, on paie $(100-p)\%$(100-p) % du prix initial.

Erreur fréquente : Soustraire $35$35 au prix : $35\%$35 % de $80$80 € ne fait pas $35$35 €.

Correction détaillée

1. 1

   On cherche la part que représentent $96$96 élèves sur $480$480.

2. 2

   Cette part vaut $\frac{96}{480}$96/480.

3. 3

   On simplifie : $96$96 et $480$480 sont tous deux divisibles par $96$96, et $480÷96=5$480 ÷ 96 = 5.

   Donc $\frac{96}{480}=\frac{1}{5}$96/480 = 1/5.

4. 4

   $\frac{1}{5}=\frac{20}{100}$1/5 = 20/100, c'est-à-dire $20\%$20 %.

5. 5

   Vérification : $20\%$20 % de $480$480 valent $480÷5=96$480 ÷ 5 = 96. ✔

Rappel de cours : Pourcentage $=$= (partie $÷$÷ total) $\times 100$× 100.

Erreur fréquente : Diviser le total par la partie : $480÷96=5$480 ÷ 96 = 5 ne s'exprime pas en pourcentage.

Correction détaillée

1. 1

   La vitesse moyenne est la distance parcourue en une heure.

2. 2

   $45÷3=15$45 ÷ 3 = 15 : sa vitesse est de $15$15 km/h.

3. 3

   À allure régulière, la distance est proportionnelle à la durée.

4. 4

   En $5$5 heures : $5\times 15=75$5 × 15 = 75 km.

5. 5

   Vérification : $75÷5=15$75 ÷ 5 = 15 km/h, c'est bien la même vitesse. ✔

Rappel de cours : Vitesse $=$= distance $÷$÷ durée. La vitesse est le coefficient de proportionnalité entre durée et distance.

Erreur fréquente : Additionner $45+2\times 15$45 + 2 × 15 sans avoir vérifié la vitesse : la méthode par le coefficient est plus sûre.

Correction détaillée

1. 1

   On lit deux points sur le graphique : $2$2 kg coûtent $5$5 €, et $6$6 kg coûtent $15$15 €.

2. 2

   Premier indice de proportionnalité : la représentation est une droite.

3. 3

   Deuxième indice, décisif : cette droite passe par l'origine, c'est-à-dire le point $(0;0)$(0 ; 0).

   Acheter $0$0 kg coûte bien $0$0 €.

4. 4

   On vérifie les quotients : $5÷2=2,5$5 ÷ 2 = 2,5 et $15÷6=2,5$15 ÷ 6 = 2,5.

   Ils sont égaux.

5. 5

   Le prix d'un kilogramme est donc $2,50$2,50 €.

Rappel de cours : Une situation est proportionnelle si son graphique est une droite QUI PASSE PAR L'ORIGINE.

Erreur fréquente : Conclure « c'est une droite donc c'est proportionnel » : une droite qui ne passe pas par l'origine ne l'est pas.

Correction détaillée

1. 1

   On calcule le prix pour quelques valeurs.

2. 2

   Pour $1$1 séance : $60+8=68$60 + 8 = 68 €.

3. 3

   Pour $2$2 séances : $60+16=76$60 + 16 = 76 €.

4. 4

   Pour $4$4 séances : $60+32=92$60 + 32 = 92 €.

5. 5

   Si la situation était proportionnelle, doubler le nombre de séances devrait doubler le prix : de $1$1 à $2$2 séances, on devrait passer de $68$68 à $136$136 €.

6. 6

   Or on obtient $76$76 € : ce n'est pas proportionnel.

7. 7

   La cause est l'inscription de $60$60 €, payée une seule fois quel que soit le nombre de séances.

   Sur un graphique, la droite ne passerait pas par l'origine mais par le point $(0;60)$(0 ; 60).

Rappel de cours : Une somme fixe (abonnement, inscription, frais de port) détruit toujours la proportionnalité.

Erreur fréquente : Voir « $8$8 € par séance » et conclure trop vite : c'est le prix TOTAL qu'il faut tester.

Correction détaillée

1. 1

   L'échelle $\frac{1}{200000}$1/(200 000) signifie que $1$1 cm sur la carte représente $200000$200 000 cm dans la réalité.

2. 2

   Distance réelle en centimètres : $7\times 200000=1400000$7 × 200 000 = 1 400 000 cm.

3. 3

   On convertit en mètres en divisant par $100$100 : $1400000÷100=14000$1 400 000 ÷ 100 = 14 000 m.

4. 4

   On convertit en kilomètres en divisant par $1000$1000 : $14000÷1000=14$14 000 ÷ 1000 = 14 km.

5. 5

   Astuce : $1$1 km $=100000$= 100 000 cm, donc $200000$200 000 cm $=2$= 2 km.

   Chaque centimètre vaut $2$2 km, d'où $7\times 2=14$7 × 2 = 14 km. ✔

Rappel de cours : Échelle $\frac{1}{n}$1/n : la réalité est $n$n fois plus grande que le plan.

Erreur fréquente : Oublier une conversion : $1400000$1 400 000 cm n'est évidemment pas $1400000$1 400 000 km.

Correction détaillée

1. 1

   Après une remise de $20\%$20 %, le prix payé représente $100-20=80\%$100 - 20 = 80 % du prix initial.

2. 2

   Donc $80\%$80 % du prix initial valent $96$96 €.

3. 3

   On cherche d'abord $10\%$10 % : si $80\%$80 % valent $96$96 €, alors $10\%$10 % valent $96÷8=12$96 ÷ 8 = 12 €.

4. 4

   Le prix initial, c'est $100\%$100 %, soit $10\times 12=120$10 × 12 = 120 €.

5. 5

   Vérification : $20\%$20 % de $120$120 € valent $24$24 €, et $120-24=96$120 - 24 = 96 €. ✔

Rappel de cours : Pour remonter au prix initial, on repart du pourcentage effectivement payé ($80\%$80 % ici), pas de $100\%$100 %.

Erreur fréquente : Ajouter $20\%$20 % à $96$96 € : on obtiendrait $115,20$115,20 €, ce qui est faux car les $20\%$20 % se calculent sur le prix initial.

Correction détaillée

1. 1

   Pour comparer, il faut ramener les deux offres à la même quantité : le prix au kilogramme.

2. 2

   Magasin A : $700$700 g $=0,7$= 0,7 kg.

   Prix au kilo : $4,20÷0,7$4,20 ÷ 0,7.

3. 3

   Pour diviser par $0,7$0,7, on multiplie les deux nombres par $10$10 : $42÷7=6$42 ÷ 7 = 6.

4. 4

   Le magasin A vend donc à $6$6 € le kilogramme.

5. 5

   Le magasin B vend à $5,40$5,40 € le kilogramme.

6. 6

   Comme $5,40<6$5,40 < 6, c'est le magasin B qui est le plus avantageux, avec $0,60$0,60 € d'économie par kilogramme.

Rappel de cours : Comparer deux offres se fait toujours à quantité égale.

Erreur fréquente : Comparer $4,20$4,20 € et $5,40$5,40 € directement : les quantités ne sont pas les mêmes.

Correction détaillée

1. 1

   On cherche $30\%$30 % de $60\%$60 % : c'est un pourcentage d'un pourcentage, donc une multiplication.

2. 2

   $30\%=\frac{30}{100}=0,3$30 % = 30/100 = 0,3 et $60\%=0,6$60 % = 0,6.

3. 3

   $0,3\times 0,6=0,18$0,3 × 0,6 = 0,18.

4. 4

   $0,18=\frac{18}{100}$0,18 = 18/100, soit $18\%$18 %.

5. 5

   Vérification concrète avec $500$500 élèves : $60\%$60 % font $300$300 demi-pensionnaires, dont $30\%$30 %, soit $90$90 élèves.

   Et $18\%$18 % de $500$500 valent bien $90$90. ✔

Rappel de cours : Deux pourcentages successifs se multiplient, ils ne s'additionnent pas.

Erreur fréquente : Répondre $30\%$30 % ou $90\%$90 % : les $30\%$30 % ne portent que sur une partie des élèves.

Correction détaillée

1. 1

   Le mélange contient $3+2=5$3 + 2 = 5 volumes au total.

2. 2

   Le bleu en représente $2$2 sur $5$5, soit la fraction $\frac{2}{5}$2/5.

3. 3

   En pourcentage : $\frac{2}{5}=\frac{40}{100}=40\%$2/5 = 40/100 = 40 %.

4. 4

   Pour $4$4 litres, on partage en $5$5 volumes : chaque volume vaut $4÷5=0,8$4 ÷ 5 = 0,8 litre.

5. 5

   Blanc : $3\times 0,8=2,4$3 × 0,8 = 2,4 L.

6. 6

   Bleu : $2\times 0,8=1,6$2 × 0,8 = 1,6 L.

7. 7

   Vérification : $2,4+1,6=4$2,4 + 1,6 = 4 L, et $1,6$1,6 est bien $40\%$40 % de $4$4. ✔

Rappel de cours : Dans un mélange « 3 pour 2 », le total vaut $5$5 parts : c'est ce total qu'il faut ramener à la quantité voulue.

Erreur fréquente : Prendre $\frac{2}{3}$2/3 pour le bleu : le $3$3 désigne le blanc, pas le total.

Correction détaillée

1. 1

   Après la hausse de $10\%$10 % : l'augmentation vaut $10\%$10 % de $200=20$200 = 20 €, donc le prix devient $220$220 €.

2. 2

   La baisse de $10\%$10 % s'applique alors au NOUVEAU prix, c'est-à-dire à $220$220 € et non à $200$200 €.

3. 3

   Baisse : $10\%$10 % de $220=22$220 = 22 €.

4. 4

   Prix final : $220-22=198$220 - 22 = 198 €.

5. 5

   Le prix final ($198$198 €) est donc inférieur au prix de départ ($200$200 €), de $2$2 €.

6. 6

   Explication : la hausse porte sur $200$200 € tandis que la baisse porte sur $220$220 €, une base plus grande.

   La baisse « pèse » donc davantage.

Rappel de cours : Un pourcentage s'applique toujours à la valeur du moment, pas à la valeur initiale.

Erreur fréquente : Croire que $+10\%$+10 % puis $-10\%$-10 % se compensent : c'est faux, sauf si le prix est nul.

Correction détaillée

1. 1

   Coefficient : $15÷6=2,5$15 ÷ 6 = 2,5.

2. 2

   Farine : $450\times 2,5$450 × 2,5.

   On calcule $450\times 2=900$450 × 2 = 900 et $450\times 0,5=225$450 × 0,5 = 225, donc $900+225=1125$900 + 225 = 1125 g.

3. 3

   Lait : $300\times 2,5=750$300 × 2,5 = 750 mL.

4. 4

   Œufs : $4\times 2,5=10$4 × 2,5 = 10 œufs.

5. 5

   Farine nécessaire : $1125$1125 g, soit $1,125$1,125 kg.

   Un paquet de $1$1 kg ne suffit pas.

6. 6

   Il faut donc $2$2 paquets de farine (on ne peut pas acheter une fraction de paquet).

Rappel de cours : Toutes les quantités d'une recette se multiplient par le même coefficient.

Erreur fréquente : Arrondir à $1$1 paquet parce que $1,125$1,125 est « presque $1$1 » : il en manquerait $125$125 g.

Correction détaillée

1. 1

   On calcule d'abord l'augmentation en valeur absolue : $186-150=36$186 - 150 = 36 adhérents.

2. 2

   Le pourcentage se calcule toujours par rapport à la valeur de DÉPART, ici $150$150.

3. 3

   On cherche donc quelle part $36$36 représente sur $150$150 : $\frac{36}{150}$36/150.

4. 4

   On simplifie par $6$6 : $\frac{36}{150}=\frac{6}{25}$36/150 = 6/25.

5. 5

   On met sur $100$100 : $\frac{6}{25}=\frac{6\times 4}{100}=\frac{24}{100}$6/25 = (6 × 4)/100 = 24/100, soit $24\%$24 %.

6. 6

   Vérification : $24\%$24 % de $150$150 valent $36$36, et $150+36=186$150 + 36 = 186. ✔

Rappel de cours : Pourcentage d'évolution $=$= (écart $÷$÷ valeur de départ) $\times 100$× 100.

Erreur fréquente : Diviser par la valeur d'arrivée ($36÷186$36 ÷ 186) : on obtiendrait environ $19\%$19 %, un résultat faux.