Exercices corrigés : Probabilités — Cinquième

Correction détaillée

1. 1

   Une expérience est aléatoire quand on ne peut pas prévoir son résultat à l'avance, même en connaissant parfaitement les conditions.

2. 2

   C'est le cas du lancer de dé : on ne sait pas quelle face va sortir.

3. 3

   Les issues sont tous les résultats possibles : $1$1, $2$2, $3$3, $4$4, $5$5 et $6$6.

4. 4

   Il y a donc $6$6 issues possibles.

Rappel de cours : Issue = un résultat possible de l'expérience · événement = un ensemble d'issues.

Erreur fréquente : Confondre issue et événement : « obtenir $3$3 » est une issue, « obtenir un nombre pair » est un événement qui regroupe trois issues.

Correction détaillée

1. 1

   Le dé est équilibré : les six faces ont la même chance de sortir, on est en situation d'équiprobabilité.

2. 2

   La probabilité d'une issue vaut alors $\frac{1}{\text{nombre d’issues}}$1/(nombre d'issues).

3. 3

   Il y a $6$6 issues, donc la probabilité d'obtenir $4$4 est $\frac{1}{6}$1/6.

4. 4

   En valeur approchée : $1÷6\approx 0,17$1 ÷ 6 ≈ 0,17, soit environ $17\%$17 %.

Rappel de cours : En situation d'équiprobabilité, chaque issue a la probabilité $\frac{1}{n}$1/n.

Erreur fréquente : Répondre $\frac{4}{6}$4/6 : le $4$4 est le résultat cherché, pas un nombre de cas favorables.

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1. 1

   Les boules sont indiscernables au toucher : chaque boule a la même chance d'être tirée.

2. 2

   Nombre de cas possibles : $3+5=8$3 + 5 = 8 boules.

3. 3

   Nombre de cas favorables (les rouges) : $3$3.

4. 4

   Probabilité $=\frac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}=\frac{3}{8}$= (cas favorables)/(cas possibles) = 3/8.

5. 5

   En décimal : $3÷8=0,375$3 ÷ 8 = 0,375, soit $37,5\%$37,5 %.

Rappel de cours : $P=\frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$P = (nombre de cas favorables)/(nombre de cas possibles).

Erreur fréquente : Écrire $\frac{3}{5}$3/5 : le dénominateur est le TOTAL des boules, pas le nombre de bleues.

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1. 1

   a) Aucune face ne porte le $7$7 : c'est un événement impossible, sa probabilité vaut $0$0.

2. 2

   b) Les faces paires sont $2$2, $4$4 et $6$6, soit $3$3 cas favorables sur $6$6 : la probabilité vaut $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0,5$3/6 = 1/2 = 0,5.

3. 3

   c) Toutes les faces ($1$1 à $6$6) sont inférieures à $7$7 : c'est un événement certain, sa probabilité vaut $1$1.

4. 4

   Rangés du moins au plus probable : a) puis b) puis c), c'est-à-dire $0<0,5<1$0 < 0,5 < 1.

Rappel de cours : Une probabilité est toujours comprise entre $0$0 (impossible) et $1$1 (certain).

Erreur fréquente : Donner une probabilité supérieure à $1$1 ou négative : c'est mathématiquement impossible.

Correction détaillée

1. 1

   Deux événements sont contraires quand l'un se produit exactement lorsque l'autre ne se produit pas.

2. 2

   « Il pleut » et « il ne pleut pas » sont contraires : l'un des deux se produit forcément.

3. 3

   La somme de leurs probabilités vaut donc $1$1.

4. 4

   $P(\text{ne pleut pas})=1-0,3=0,7$P( ne pleut pas ) = 1 - 0,3 = 0,7.

5. 5

   Soit $70\%$70 % de chances qu'il ne pleuve pas.

Rappel de cours : $P(\text{contraire})=1-P(\text{eˊveˊnement})$P( contraire ) = 1 - P( événement ).

Erreur fréquente : Répondre $0,3$0,3 : le contraire n'a pas la même probabilité, sauf si celle-ci vaut exactement $0,5$0,5.

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1. 1

   On liste les issues favorables : les nombres strictement supérieurs à $4$4 sont $5$5 et $6$6.

2. 2

   Attention : « strictement supérieur à $4$4 » exclut le $4$4 lui-même.

3. 3

   Nombre de cas favorables : $2$2.

4. 4

   Nombre de cas possibles : $6$6.

5. 5

   $P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\approx 0,33$P = 2/6 = 1/3 ≈ 0,33, soit environ $33\%$33 %.

Rappel de cours : « Strictement supérieur » exclut la valeur · « supérieur ou égal » l'inclut.

Erreur fréquente : Compter le $4$4 parmi les cas favorables : on obtiendrait $\frac{3}{6}$3/6, soit une probabilité trop grande.

Correction détaillée

1. 1

   Un jeu de $32$32 cartes comporte $4$4 couleurs (cœur, carreau, pique, trèfle) de $8$8 cartes chacune.

2. 2

   Cas favorables pour un cœur : $8$8 cartes.

3. 3

   $P(\text{cœur})=\frac{8}{32}=\frac{1}{4}=0,25$P( cœur ) = 8/32 = 1/4 = 0,25, soit $25\%$25 %.

4. 4

   Il y a un roi par couleur, donc $4$4 rois dans le jeu.

5. 5

   $P(\text{roi})=\frac{4}{32}=\frac{1}{8}=0,125$P( roi ) = 4/32 = 1/8 = 0,125, soit $12,5\%$12,5 %.

Rappel de cours : Un jeu de $32$32 cartes : $4$4 couleurs $\times$× $8$8 valeurs ($7$7, $8$8, $9$9, $10$10, valet, dame, roi, as).

Erreur fréquente : Compter $1$1 seul roi : il y en a un dans chacune des quatre couleurs.

Correction détaillée

1. 1

   Nombre total de jetons : $6+9+5=20$6 + 9 + 5 = 20.

2. 2

   Cas favorables : $9$9 jetons jaunes.

3. 3

   $P(\text{jaune})=\frac{9}{20}$P( jaune ) = 9/20.

4. 4

   $9$9 et $20$20 n'ont pas de diviseur commun autre que $1$1 : la fraction est déjà irréductible.

5. 5

   En décimal : $9÷20=0,45$9 ÷ 20 = 0,45, soit $45\%$45 %.

Rappel de cours : On donne toujours une probabilité sous forme irréductible, ou en décimal.

Erreur fréquente : Oublier une couleur dans le total : le dénominateur doit compter TOUS les jetons.

Correction détaillée

1. 1

   La somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience vaut toujours $1$1.

2. 2

   On additionne les deux probabilités connues : $0,45+0,3=0,75$0,45 + 0,3 = 0,75.

3. 3

   La troisième couleur a donc pour probabilité $1-0,75=0,25$1 - 0,75 = 0,25.

4. 4

   Soit $25\%$25 % de chances.

5. 5

   Vérification : $0,45+0,3+0,25=1$0,45 + 0,3 + 0,25 = 1. ✔

Rappel de cours : La somme des probabilités de toutes les issues vaut $1$1.

Erreur fréquente : Oublier de vérifier que la somme fait bien $1$1 : c'est le contrôle le plus rapide.

Correction détaillée

1. 1

   A regroupe les issues $2$2, $4$4, $6$6 ; B ne contient que l'issue $3$3.

2. 2

   Aucune issue n'est commune aux deux : $3$3 n'est pas pair.

   Les événements sont donc incompatibles.

3. 3

   Pour « A ou B », on réunit les issues favorables : $2$2, $3$3, $4$4 et $6$6, soit $4$4 cas.

4. 4

   $P(\text{A ou B})=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\approx 0,67$P( A ou B ) = 4/6 = 2/3 ≈ 0,67.

5. 5

   On peut aussi additionner les probabilités, puisque les événements sont incompatibles : $\frac{3}{6}+\frac{1}{6}=\frac{4}{6}$3/6 + 1/6 = 4/6. ✔

Rappel de cours : Deux événements incompatibles n'ont aucune issue commune : leurs probabilités peuvent alors s'additionner.

Erreur fréquente : Additionner les probabilités d'événements qui ont des issues communes : on compterait ces issues deux fois.

Correction détaillée

1. 1

   Les $8$8 secteurs sont identiques : chacun a la même chance d'être désigné, on est en équiprobabilité sur les secteurs.

2. 2

   $P(\text{rouge})=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}=0,5$P( rouge ) = 4/8 = 1/2 = 0,5.

3. 3

   $P(\text{bleu})=\frac{3}{8}=0,375$P( bleu ) = 3/8 = 0,375.

4. 4

   $P(\text{vert})=\frac{1}{8}=0,125$P( vert ) = 1/8 = 0,125.

5. 5

   Vérification : $0,5+0,375+0,125=1$0,5 + 0,375 + 0,125 = 1. ✔

6. 6

   Remarque : les couleurs ne sont pas équiprobables entre elles, alors que les secteurs le sont.

Rappel de cours : L'équiprobabilité porte sur les secteurs identiques, pas nécessairement sur les couleurs.

Erreur fréquente : Croire que trois couleurs donnent trois probabilités égales de $\frac{1}{3}$1/3 : les secteurs ne sont pas répartis également.

Correction détaillée

1. 1

   Nombre total de boules : $5+n$5 + n.

2. 2

   $P(\text{blanche})=\frac{5}{5+n}$P( blanche ) = 5/(5+n), et cette probabilité vaut $\frac{1}{4}$1/4.

3. 3

   Si une boule sur quatre est blanche, alors le total est $4$4 fois le nombre de blanches.

4. 4

   Total $=4\times 5=20$= 4 × 5 = 20 boules.

5. 5

   Nombre de noires : $20-5=15$20 - 5 = 15.

6. 6

   Vérification : $\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$5/20 = 1/4. ✔

Rappel de cours : $P=\frac{1}{4}$P = 1/4 signifie « une chance sur quatre » : le total vaut quatre fois les cas favorables.

Erreur fréquente : Répondre $n=20$n = 20 : $20$20 est le total, pas le nombre de boules noires.

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1. 1

   Nombre d'externes : $25-15=10$25 - 15 = 10 élèves.

2. 2

   $P(\text{externe})=\frac{10}{25}$P( externe ) = 10/25.

3. 3

   On simplifie par $5$5 : $\frac{10}{25}=\frac{2}{5}$10/25 = 2/5.

4. 4

   En décimal : $2÷5=0,4$2 ÷ 5 = 0,4.

5. 5

   En pourcentage : $40\%$40 %.

6. 6

   Vérification par l'événement contraire : $P(\text{DP})=\frac{15}{25}=0,6$P( DP ) = 15/25 = 0,6, et $0,4+0,6=1$0,4 + 0,6 = 1. ✔

Rappel de cours : Une probabilité peut toujours s'exprimer en fraction, en décimal ou en pourcentage.

Erreur fréquente : Utiliser directement $15$15 comme cas favorables : la question porte sur les externes.

Correction détaillée

1. 1

   Chaque dé a $6$6 faces.

   Pour chaque résultat du premier dé, le second peut donner $6$6 résultats.

2. 2

   Nombre de couples possibles : $6\times 6=36$6 × 6 = 36.

3. 3

   On cherche les couples dont la somme vaut $7$7 : $(1;6)$(1;6), $(2;5)$(2;5), $(3;4)$(3;4), $(4;3)$(4;3), $(5;2)$(5;2), $(6;1)$(6;1).

4. 4

   Il y a donc $6$6 couples favorables.

5. 5

   $P(\text{somme}=7)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\approx 0,17$P( somme = 7) = 6/36 = 1/6 ≈ 0,17.

6. 6

   Remarque : $7$7 est la somme la plus probable, car c'est celle qui s'obtient du plus grand nombre de façons.

Rappel de cours : Avec deux dés, on compte les COUPLES : $(2;5)$(2;5) et $(5;2)$(5;2) sont deux issues distinctes.

Erreur fréquente : Compter $11$11 issues (les sommes de $2$2 à $12$12) et croire qu'elles sont équiprobables : elles ne le sont pas du tout.

Correction détaillée

1. 1

   Fréquence observée $=\frac{107}{200}=0,535$= 107/200 = 0,535, soit $53,5\%$53,5 %.

2. 2

   La probabilité théorique de « pile » avec une pièce équilibrée vaut $\frac{1}{2}=0,5$1/2 = 0,5.

3. 3

   L'écart entre les deux vaut $0,535-0,5=0,035$0,535 - 0,5 = 0,035, soit $3,5$3,5 points.

4. 4

   Cet écart est petit : le résultat est tout à fait cohérent avec une pièce équilibrée.

5. 5

   En effet, la fréquence observée n'est jamais exactement égale à la probabilité, mais elle s'en rapproche quand le nombre de lancers augmente.

Rappel de cours : Fréquence = ce qu'on OBSERVE · probabilité = ce qu'on PRÉVOIT. Elles se rapprochent quand l'expérience est répétée un grand nombre de fois.

Erreur fréquente : Conclure que la pièce est truquée dès que la fréquence n'est pas exactement $0,5$0,5.

Correction détaillée

1. 1

   Rouges : $\frac{1}{3}$1/3 de $12=12÷3=4$12 = 12 ÷ 3 = 4 boules.

2. 2

   Vertes : $\frac{1}{4}$1/4 de $12=12÷4=3$12 = 12 ÷ 4 = 3 boules.

3. 3

   Bleues : le reste, soit $12-4-3=5$12 - 4 - 3 = 5 boules.

4. 4

   Vérification des probabilités : $P(\text{rouge})=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$P( rouge ) = 4/12 = 1/3 ✔ et $P(\text{verte})=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$P( verte ) = 3/12 = 1/4 ✔.

5. 5

   $P(\text{bleue})=\frac{5}{12}$P( bleue ) = 5/12, et la somme vaut $\frac{4+3+5}{12}=1$(4+3+5)/12 = 1. ✔

Rappel de cours : Pour composer une urne, on applique chaque probabilité à l'effectif total.

Erreur fréquente : Additionner $\frac{1}{3}$1/3 et $\frac{1}{4}$1/4 en $\frac{2}{7}$2/7 : il faut passer par le dénominateur commun $12$12.

Correction détaillée

1. 1

   Un jeu est équitable quand tous les joueurs ont la même probabilité de gagner.

2. 2

   $P(\text{A gagne})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0,5$P( A gagne ) = 3/6 = 1/2 = 0,5.

3. 3

   $P(\text{B gagne})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\approx 0,33$P( B gagne ) = 2/6 = 1/3 ≈ 0,33.

4. 4

   $P(\text{personne})=\frac{1}{6}\approx 0,17$P( personne ) = 1/6 ≈ 0,17.

5. 5

   Comme $0,5\ne 0,33$0,5 ≠ 0,33, le jeu n'est pas équitable : il avantage nettement le joueur A.

6. 6

   Pour le rendre équitable, on pourrait par exemple donner $1$1, $2$2, $3$3 à A et $4$4, $5$5, $6$6 à B : chacun aurait alors $\frac{1}{2}$1/2.

7. 7

   Vérification de la somme : $\frac{3}{6}+\frac{2}{6}+\frac{1}{6}=1$3/6 + 2/6 + 1/6 = 1. ✔

Rappel de cours : Équitable = mêmes chances pour chaque joueur, pas forcément « toutes les issues attribuées ».

Erreur fréquente : Comparer le nombre de faces sans les rapporter au total : ici le raisonnement fonctionne, mais il échoue dès que les cas ne sont pas équiprobables.

Correction détaillée

1. 1

   Comme on remet la boule, chaque tirage se fait dans les mêmes conditions : $3$3 issues à chaque fois.

2. 2

   Nombre de couples possibles : $3\times 3=9$3 × 3 = 9.

3. 3

   Notons les boules $R_1$R₁, $R_2$R₂ et $V$V.

   Les couples donnant deux rouges sont : $(R_1;R_1)$(R₁;R₁), $(R_1;R_2)$(R₁;R₂), $(R_2;R_1)$(R₂;R₁), $(R_2;R_2)$(R₂;R₂), soit $4$4 couples.

4. 4

   $P(\text{deux rouges})=\frac{4}{9}\approx 0,44$P( deux rouges ) = 4/9 ≈ 0,44.

5. 5

   « Au moins une verte » est l'événement contraire de « aucune verte », c'est-à-dire de « deux rouges ».

6. 6

   $P(\text{au moins une verte})=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}\approx 0,56$P( au moins une verte ) = 1 - 4/9 = 5/9 ≈ 0,56.

Rappel de cours : « Au moins un » se calcule souvent plus vite par l'événement contraire « aucun ».

Erreur fréquente : Compter les couples de couleurs ($3$3 : RR, RV, VV) et les croire équiprobables : il faut distinguer les deux boules rouges.

Correction détaillée

1. 1

   La somme de toutes les probabilités vaut $1$1.

2. 2

   Somme des probabilités connues : $4\times 0,1=0,4$4 × 0,1 = 0,4, plus $0,2$0,2, soit $0,6$0,6.

3. 3

   $P(6)=1-0,6=0,4$P(6) = 1 - 0,6 = 0,4.

4. 4

   Pour « nombre pair », les issues favorables sont $2$2, $4$4 et $6$6.

5. 5

   Comme ce dé n'est pas équilibré, on ne peut PAS écrire $\frac{3}{6}$3/6 : il faut additionner les probabilités individuelles.

6. 6

   $P(\text{pair})=P(2)+P(4)+P(6)=0,1+0,1+0,4=0,6$P( pair ) = P(2) + P(4) + P(6) = 0,1 + 0,1 + 0,4 = 0,6.

Rappel de cours : La formule « cas favorables sur cas possibles » ne vaut QUE si toutes les issues sont équiprobables.

Erreur fréquente : Répondre $\frac{3}{6}=0,5$3/6 = 0,5 pour « pair » : ici le $6$6 est bien plus probable que les autres faces.

Correction détaillée

1. 1

   a) La probabilité de $0,5$0,5 ne garantit rien sur $10$10 lancers : on peut très bien obtenir $3$3 ou $7$7 piles.

   C'est seulement sur un grand nombre de lancers que la fréquence se rapproche de $0,5$0,5.

   FAUX.

2. 2

   b) La pièce n'a pas de mémoire : chaque lancer est indépendant des précédents.

   La probabilité de « face » reste $0,5$0,5, quels que soient les résultats antérieurs.

   FAUX.

3. 3

   b) Cette erreur porte un nom : c'est le « biais du joueur ».

4. 4

   c) Une probabilité mesure une proportion de cas favorables : elle est toujours comprise entre $0$0 et $1$1.

   Une valeur de $1,2$1,2 est donc impossible.

   FAUX.

Rappel de cours : Chaque lancer est indépendant ; une probabilité reste toujours entre $0$0 et $1$1.

Erreur fréquente : Le « biais du joueur » (b) est très répandu : après plusieurs résultats identiques, on croit à tort que l'autre résultat est « dû ».