Exercices corrigés : Statistiques — Cinquième

Correction détaillée

1. 1

   L'effectif d'une valeur est le nombre de fois où elle apparaît.

2. 2

   L'effectif total est la somme de tous les effectifs.

3. 3

   $12+8=20$12 + 8 = 20, puis $20+15=35$20 + 15 = 35, puis $35+5=40$35 + 5 = 40.

4. 4

   L'effectif total est $40$40 personnes.

5. 5

   La couleur la plus citée est celle qui a le plus grand effectif : le vert, avec $15$15.

Rappel de cours : Effectif = « combien de fois » · effectif total = somme de tous les effectifs.

Erreur fréquente : Compter le nombre de catégories ($4$4) au lieu de l'effectif total ($40$40).

Correction détaillée

1. 1

   La fréquence est la part que représente un effectif dans l'effectif total.

2. 2

   Fréquence $=\frac{8}{40}$= 8/40.

3. 3

   On simplifie par $8$8 : $\frac{8}{40}=\frac{1}{5}$8/40 = 1/5.

4. 4

   En décimal : $1÷5=0,2$1 ÷ 5 = 0,2.

5. 5

   En pourcentage : $0,2=\frac{20}{100}=20\%$0,2 = 20/100 = 20 %.

Rappel de cours : Fréquence $=$= effectif $÷$÷ effectif total. Elle est toujours comprise entre $0$0 et $1$1.

Erreur fréquente : Répondre $8\%$8 % : la fréquence se calcule, elle ne se lit pas dans l'effectif.

Correction détaillée

1. 1

   La somme de toutes les fréquences d'une série vaut toujours $1$1 (c'est-à-dire $100\%$100 %).

2. 2

   On additionne les trois fréquences connues : $0,25+0,4=0,65$0,25 + 0,4 = 0,65.

3. 3

   $0,65+0,15=0,80$0,65 + 0,15 = 0,80.

4. 4

   La quatrième fréquence vaut donc $1-0,80=0,20$1 - 0,80 = 0,20.

5. 5

   En pourcentage : $20\%$20 %.

Rappel de cours : La somme des fréquences vaut $1$1 ; la somme des pourcentages vaut $100\%$100 %.

Erreur fréquente : Oublier cette propriété et chercher un calcul compliqué : c'est une simple soustraction.

Correction détaillée

1. 1

   La moyenne s'obtient en additionnant toutes les valeurs, puis en divisant par leur nombre.

2. 2

   Somme : $11+14=25$11 + 14 = 25, puis $25+9=34$25 + 9 = 34, puis $34+16=50$34 + 16 = 50, puis $50+10=60$50 + 10 = 60.

3. 3

   Nombre de notes : $5$5.

4. 4

   Moyenne : $60÷5=12$60 ÷ 5 = 12.

5. 5

   Cohérence : la moyenne doit se situer entre la plus petite note ($9$9) et la plus grande ($16$16). ✔

Rappel de cours : Moyenne $=$= somme des valeurs $÷$÷ nombre de valeurs.

Erreur fréquente : Diviser par une valeur au hasard : on divise par l'effectif, ici $5$5.

Correction détaillée

1. 1

   L'étendue mesure la dispersion : c'est l'écart entre la plus grande et la plus petite valeur.

2. 2

   Valeur maximale : $35$35.

3. 3

   Valeur minimale : $18$18.

4. 4

   Étendue $=35-18=17$= 35 - 18 = 17.

Rappel de cours : Étendue $=$= maximum $-$- minimum. Elle indique à quel point les valeurs sont dispersées.

Erreur fréquente : Confondre étendue et moyenne : l'étendue ne dit rien du « centre » de la série.

Correction détaillée

1. 1

   Chaque note doit être comptée autant de fois qu'il y a d'élèves l'ayant obtenue : c'est une moyenne pondérée.

2. 2

   Total des points : $8\times 10=80$8 × 10 = 80 ; $12\times 14=168$12 × 14 = 168 ; $5\times 18=90$5 × 18 = 90.

3. 3

   Somme : $80+168=248$80 + 168 = 248, puis $248+90=338$248 + 90 = 338.

4. 4

   Effectif total : $8+12+5=25$8 + 12 + 5 = 25 élèves.

5. 5

   Moyenne : $338÷25=13,52$338 ÷ 25 = 13,52.

6. 6

   Cohérence : la moyenne est comprise entre $10$10 et $18$18, et plus proche de $14$14 car c'est la note la plus fréquente. ✔

Rappel de cours : Moyenne pondérée : on multiplie chaque valeur par son effectif avant d'additionner, puis on divise par l'effectif total.

Erreur fréquente : Calculer $(10+14+18)÷3=14$(10+14+18) ÷ 3 = 14 : on oublierait que les trois notes n'ont pas le même nombre d'élèves.

Correction détaillée

1. 1

   Un coefficient fonctionne comme un effectif : il indique le « poids » de la note.

2. 2

   Total des points : $12\times 1=12$12 × 1 = 12 ; $15\times 2=30$15 × 2 = 30 ; $9\times 1=9$9 × 1 = 9.

3. 3

   Somme : $12+30+9=51$12 + 30 + 9 = 51.

4. 4

   Somme des coefficients : $1+2+1=4$1 + 2 + 1 = 4.

5. 5

   Moyenne : $51÷4=12,75$51 ÷ 4 = 12,75.

6. 6

   Comparaison : sans coefficients, la moyenne serait $(12+15+9)÷3=12$(12+15+9) ÷ 3 = 12.

   Le coefficient $2$2 sur la meilleure note a tiré la moyenne vers le haut.

Rappel de cours : On divise par la somme des coefficients, jamais par le nombre de notes.

Erreur fréquente : Diviser $51$51 par $3$3 : il y a trois notes, mais quatre coefficients au total.

Correction détaillée

1. 1

   « Au moins un » signifie $1$1, $2$2 ou $3$3, c'est-à-dire tous sauf ceux qui en ont $0$0.

2. 2

   On additionne les effectifs correspondants : $11+7+2=20$11 + 7 + 2 = 20 élèves.

3. 3

   On peut aussi passer par le total : effectif total $=6+11+7+2=26$= 6 + 11 + 7 + 2 = 26 élèves.

4. 4

   Puis $26-6=20$26 - 6 = 20 élèves.

   Les deux méthodes concordent. ✔

Rappel de cours : « Au moins $n$n » = $n$n ou plus · « au plus $n$n » = $n$n ou moins.

Erreur fréquente : Inclure les $6$6 élèves sans frère ni sœur : ils sont justement exclus par « au moins un ».

Correction détaillée

1. 1

   On multiplie chaque valeur par son effectif.

2. 2

   $0\times 6=0$0 × 6 = 0 ; $1\times 11=11$1 × 11 = 11 ; $2\times 7=14$2 × 7 = 14 ; $3\times 2=6$3 × 2 = 6.

3. 3

   Somme : $0+11+14+6=31$0 + 11 + 14 + 6 = 31 frères et sœurs en tout.

4. 4

   Effectif total : $6+11+7+2=26$6 + 11 + 7 + 2 = 26 élèves.

5. 5

   Moyenne : $31÷26\approx 1,19$31 ÷ 26 ≈ 1,19.

6. 6

   On arrondit au centième : environ $1,19$1,19 frère ou sœur par élève.

Rappel de cours : Une moyenne peut être un nombre décimal même si les valeurs sont entières.

Erreur fréquente : Trouver la réponse absurde parce qu'on ne peut pas avoir $1,19$1,19 frère : c'est une moyenne, pas un effectif réel.

Correction détaillée

1. 1

   Fréquence $=\frac{90}{250}$= 90/250.

2. 2

   Pour la mettre sur $100$100, on remarque que $250\times 0,4=100$250 × 0,4 = 100.

   Plus simple : on divise.

3. 3

   $90÷250=0,36$90 ÷ 250 = 0,36.

4. 4

   $0,36=\frac{36}{100}$0,36 = 36/100, soit $36\%$36 %.

5. 5

   Vérification : $36\%$36 % de $250$250 valent $250\times 0,36=90$250 × 0,36 = 90. ✔

Rappel de cours : Pour passer d'une fréquence décimale à un pourcentage, on multiplie par $100$100.

Erreur fréquente : Répondre $90\%$90 % : l'effectif total n'est pas $100$100.

Correction détaillée

1. 1

   On lit les valeurs sur le graphique : lundi $120$120, mardi $180$180, mercredi $260$260, jeudi $150$150, vendredi $190$190.

2. 2

   Le mercredi a accueilli $260$260 visiteurs : c'est le maximum de la semaine.

3. 3

   Total : $120+180=300$120 + 180 = 300 ; $300+260=560$300 + 260 = 560 ; $560+150=710$560 + 150 = 710 ; $710+190=900$710 + 190 = 900.

4. 4

   Le total est de $900$900 visiteurs.

5. 5

   Moyenne journalière : $900÷5=180$900 ÷ 5 = 180 visiteurs par jour.

6. 6

   Remarque : cette moyenne correspond exactement à la fréquentation du mardi, mais elle ne dit rien du pic du mercredi.

Rappel de cours : Avant de lire un graphique, on vérifie toujours la valeur d'une graduation.

Erreur fréquente : Confondre le total ($900$900) et la moyenne ($180$180).

Correction détaillée

1. 1

   Avec $11$11 carreaux, le plus grand effectif ($11$11) doit tenir dans $11$11 carreaux : un carreau vaut $11÷11=1$11 ÷ 11 = 1 élève.

2. 2

   Les bâtons mesureraient alors $6$6, $11$11, $7$7 et $2$2 carreaux : tout tombe juste.

3. 3

   Avec seulement $6$6 carreaux, il faut que $11$11 tienne dans $6$6 carreaux : un carreau doit valoir au moins $11÷6\approx 1,83$11 ÷ 6 ≈ 1,83.

4. 4

   On choisit une valeur pratique et supérieure : $1$1 carreau $=2$= 2 élèves.

5. 5

   Les bâtons mesureraient alors $3$3 ; $5,5$5,5 ; $3,5$3,5 et $1$1 carreau : c'est jouable, mais moins précis à lire.

Rappel de cours : L'échelle se choisit à partir du plus grand effectif, pour que tout tienne sur la feuille.

Erreur fréquente : Choisir une échelle où le plus grand bâton dépasse : le graphique serait inutilisable.

Correction détaillée

1. 1

   Série A — somme : $8+12+12+16=48$8 + 12 + 12 + 16 = 48.

   Moyenne : $48÷4=12$48 ÷ 4 = 12.

2. 2

   Série A — étendue : $16-8=8$16 - 8 = 8.

3. 3

   Série B — somme : $2+11+13+22=48$2 + 11 + 13 + 22 = 48.

   Moyenne : $48÷4=12$48 ÷ 4 = 12.

4. 4

   Série B — étendue : $22-2=20$22 - 2 = 20.

5. 5

   Les deux séries ont exactement la même moyenne ($12$12), mais des étendues très différentes ($8$8 contre $20$20).

6. 6

   Conclusion : la série B est bien plus dispersée.

   La moyenne seule ne permet pas de distinguer les deux séries — c'est l'étendue qui les sépare.

Rappel de cours : Deux séries de même moyenne peuvent être très différentes : il faut un indicateur de dispersion.

Erreur fréquente : Conclure que les deux séries sont identiques parce que les moyennes le sont.

Correction détaillée

1. 1

   On repasse par la somme : si la moyenne de $20$20 valeurs vaut $7,5$7,5, alors leur somme vaut $20\times 7,5$20 × 7,5.

2. 2

   $20\times 7,5=150$20 × 7,5 = 150.

3. 3

   On ajoute les trois nouvelles valeurs : $9+11+10=30$9 + 11 + 10 = 30.

4. 4

   Nouvelle somme : $150+30=180$150 + 30 = 180.

5. 5

   Nouvel effectif : $20+3=23$20 + 3 = 23 valeurs.

6. 6

   Nouvelle moyenne : $180÷23\approx 7,83$180 ÷ 23 ≈ 7,83.

7. 7

   Cohérence : les valeurs ajoutées sont supérieures à $7,5$7,5, donc la moyenne devait augmenter. ✔

Rappel de cours : Si moyenne $=$= somme $÷$÷ effectif, alors somme $=$= moyenne $\times$× effectif.

Erreur fréquente : Faire la moyenne des moyennes : $(7,5+10)÷2$(7,5 + 10) ÷ 2 donnerait un résultat faux, car les deux groupes n'ont pas la même taille.

Correction détaillée

1. 1

   Sportifs : $42+30=72$42 + 30 = 72 élèves.

2. 2

   Fréquence : $\frac{72}{120}$72/120.

   On simplifie par $24$24 : $\frac{3}{5}=0,6$3/5 = 0,6, soit $60\%$60 %.

3. 3

   Chez les filles, on ne rapporte plus au total de $120$120 mais au nombre de filles, soit $70$70.

4. 4

   $\frac{42}{70}$42/70.

   On simplifie par $14$14 : $\frac{3}{5}=0,6$3/5 = 0,6, soit $60\%$60 %.

5. 5

   Curiosité : les deux pourcentages sont identiques ici.

   Vérifions chez les garçons : $120-70=50$120 - 70 = 50 garçons, et $\frac{30}{50}=0,6$30/50 = 0,6, soit $60\%$60 % également.

Rappel de cours : Un pourcentage n'a de sens que si l'on précise « sur quel total » il est calculé.

Erreur fréquente : Calculer $\frac{42}{120}$42/120 pour la dernière question : on demande le pourcentage PARMI LES FILLES.

Correction détaillée

1. 1

   Calculons d'abord l'évolution réelle : $510-480=30$510 - 480 = 30 articles.

2. 2

   En pourcentage : $\frac{30}{480}=0,0625$30/480 = 0,0625, soit $6,25\%$6,25 %.

   C'est une progression modeste.

3. 3

   Sur le premier diagramme (axe partant de $0$0), les bâtons mesurent $480$480 et $510$510 unités : ils se ressemblent, ce qui reflète fidèlement la réalité.

4. 4

   Sur le second (axe partant de $470$470), les bâtons ne représentent plus que $480-470=10$480-470=10 et $510-470=40$510-470=40 unités.

5. 5

   Le second bâton paraît alors QUATRE FOIS plus grand que le premier, alors que la hausse réelle n'est que de $6,25\%$6,25 %.

6. 6

   Conclusion : avant d'interpréter un graphique, il faut toujours regarder où commence l'axe vertical.

Rappel de cours : Un graphique honnête part de $0$0, ou signale clairement que l'axe est tronqué.

Erreur fréquente : Juger une évolution à la hauteur des bâtons sans lire les graduations.

Correction détaillée

1. 1

   Somme actuelle des notes : $5\times 11,4=57$5 × 11,4 = 57.

2. 2

   Pour avoir $12$12 de moyenne sur $6$6 contrôles, la somme devra valoir $6\times 12=72$6 × 12 = 72.

3. 3

   La note manquante vaut donc $72-57=15$72 - 57 = 15.

4. 4

   Vérification : $(57+15)÷6=72÷6=12$(57 + 15) ÷ 6 = 72 ÷ 6 = 12. ✔

5. 5

   Remarque : il faut une note nettement supérieure à $12$12 pour faire remonter la moyenne, car les cinq notes précédentes « pèsent » cinq fois plus.

Rappel de cours : Pour ce type de problème, on raisonne toujours sur les SOMMES, pas sur les moyennes.

Erreur fréquente : Penser qu'une note de $12$12 suffirait : elle maintiendrait la moyenne au-dessus de $11,4$11,4 mais ne la ferait pas atteindre $12$12.

Correction détaillée

1. 1

   On ne peut pas faire la moyenne des moyennes : les deux classes n'ont pas le même effectif.

2. 2

   Total des points de la classe A : $20\times 13=260$20 × 13 = 260.

3. 3

   Total des points de la classe B : $30\times 11=330$30 × 11 = 330.

4. 4

   Total général : $260+330=590$260 + 330 = 590 points.

5. 5

   Effectif total : $20+30=50$20 + 30 = 50 élèves.

6. 6

   Moyenne globale : $590÷50=11,8$590 ÷ 50 = 11,8.

7. 7

   Cohérence : la moyenne ($11,8$11,8) est plus proche de $11$11 que de $13$13, car la classe B est plus nombreuse. ✔

Rappel de cours : Pour réunir deux groupes, on additionne les totaux de points et les effectifs.

Erreur fréquente : Calculer $(13+11)÷2=12$(13+11) ÷ 2 = 12 : ce serait la moyenne si les deux classes avaient le même effectif.

Correction détaillée

1. 1

   La somme des quatre nombres vaut $4\times 10=40$4 × 10 = 40.

2. 2

   L'étendue vaut $12$12 et le minimum est $4$4, donc le maximum vaut $4+12=16$4 + 12 = 16.

3. 3

   Deux valeurs sont donc connues : $4$4 et $16$16, qui totalisent $20$20.

4. 4

   Les deux nombres restants doivent totaliser $40-20=20$40 - 20 = 20, tout en restant compris entre $4$4 et $16$16.

5. 5

   Par exemple $10$10 et $10$10 conviennent : la série $4$4 ; $10$10 ; $10$10 ; $16$16 a bien pour somme $40$40 et pour étendue $12$12.

6. 6

   D'autres réponses sont possibles, comme $4$4 ; $8$8 ; $12$12 ; $16$16 — mais pas $4$4 ; $2$2 ; $18$18 ; $16$16, car $2$2 serait inférieur au minimum annoncé.

Rappel de cours : Plusieurs séries différentes peuvent partager la même moyenne et la même étendue.

Erreur fréquente : Proposer des valeurs hors de l'intervalle $[4;16]$[4 ; 16] : cela changerait l'étendue.

Correction détaillée

1. 1

   Somme totale des salaires : $10\times 3000=30000$10 × 3000 = 30 000 €.

2. 2

   Somme des $9$9 salaires connus : $9\times 1800=16200$9 × 1800 = 16 200 €.

3. 3

   Salaire du dixième : $30000-16200=13800$30 000 - 16 200 = 13 800 €.

4. 4

   Commentaire : la moyenne de $3000$3000 € ne correspond au salaire de personne.

   Neuf salariés sur dix gagnent bien moins, et un seul gagne bien plus.

5. 5

   Une seule valeur très élevée (une « valeur extrême ») suffit à tirer fortement la moyenne vers le haut.

6. 6

   Ici, un indicateur plus représentatif serait le salaire médian ($1800$1800 €), qui partage l'effectif en deux moitiés.

Rappel de cours : Une valeur extrême déforme fortement la moyenne, surtout si l'effectif est petit.

Erreur fréquente : Conclure que « les salariés gagnent en moyenne bien leur vie » : la moyenne seule peut donner une image trompeuse.