Opérations sur les fractions en Cinquième

Opérations sur les fractions en 5ème : cours complet

En cinquième, tu approfondis ta connaissance des fractions : tu apprends à simplifier, à additionner, à soustraire et à multiplier des fractions. Ces opérations sont fondamentales : on les retrouve en quatrième, en troisième, au lycée et bien au-delà.

Rappels — vocabulaire des fractions

Une fraction $\frac{a}{b}$a/b comporte :

• un numérateur $a$a (au-dessus du trait) ;
• un dénominateur $b$b (en-dessous du trait, $b\ne 0$b ≠ 0).

Simplifier une fraction

Fractions égales

On obtient une fraction égale en multipliant (ou en divisant) le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul :

$$\frac{a}{b}=\frac{a\times k}{b\times k}=\frac{a÷k}{b÷k}$$a/b = (a × k)/(b × k) = (a ÷ k)/(b ÷ k)

Simplification

Simplifier une fraction, c'est trouver une fraction égale plus simple (avec des nombres plus petits).

Exemple

$$\frac{24}{36}=\frac{24÷12}{36÷12}=\frac{2}{3}$$24/36 = (24 ÷ 12)/(36 ÷ 12) = 2/3

On a divisé en haut et en bas par $12$12, qui est un diviseur commun à $24$24 et $36$36.

Fraction irréductible

Une fraction est irréductible quand on ne peut plus la simplifier. $\frac{2}{3}$2/3 est irréductible (pas de diviseur commun à $2$2 et $3$3 autre que $1$1).

Additionner et soustraire des fractions

Même dénominateur

On additionne (ou on soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur commun :

$$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}$$a/c + b/c = (a + b)/c a/c - b/c = (a - b)/c

Exemple

$$\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7}\frac{4}{9}-\frac{1}{9}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$$2/7 + 3/7 = 5/7 4/9 - 1/9 = 3/9 = 1/3

Dénominateurs différents

Avant d'additionner, il faut mettre les fractions au même dénominateur :

1. Trouve un dénominateur commun (souvent le produit des deux dénominateurs).
2. Multiplie numérateur et dénominateur de chaque fraction pour obtenir ce dénominateur commun.
3. Additionne les numérateurs.
4. Simplifie si possible.

Exemple

$$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{1\times 4}{3\times 4}+\frac{1\times 3}{4\times 3}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$$1/3 + 1/4 = (1 × 4)/(3 × 4) + (1 × 3)/(4 × 3) = 4/12 + 3/12 = 7/12

Cas particulier : un des dénominateurs est multiple de l'autre

Si l'un des dénominateurs est multiple de l'autre, il suffit d'amener la plus petite à ce dénominateur :

$$\frac{1}{4}+\frac{3}{8}=\frac{2}{8}+\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$$1/4 + 3/8 = 2/8 + 3/8 = 5/8

Multiplier des fractions

Règle

On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

$$\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}$$a/b × c/d = (a × c)/(b × d)

Exemple

$$\frac{2}{5}\times \frac{3}{7}=\frac{2\times 3}{5\times 7}=\frac{6}{35}$$2/5 × 3/7 = (2 × 3)/(5 × 7) = 6/35

Astuce : simplifier avant de multiplier

Pour éviter des nombres trop grands, simplifie avant :

$$\frac{4}{9}\times \frac{3}{8}=\frac{4\times 3}{9\times 8}=\frac{1\times 1}{3\times 2}=\frac{1}{6}$$4/9 × 3/8 = (4 × 3)/(9 × 8) = (1 × 1)/(3 × 2) = 1/6

(on a divisé $4$4 et $8$8 par $4$4, et $3$3 et $9$9 par $3$3 avant de multiplier).

Multiplier une fraction par un entier

Un entier $n$n peut s'écrire $\frac{n}{1}$n/1, donc :

$$n\times \frac{a}{b}=\frac{n\times a}{b}$$n × a/b = (n × a)/b

Exemple

$$3\times \frac{2}{7}=\frac{6}{7}$$3 × 2/7 = 6/7

Calculer une fraction d'une quantité

Pour calculer $\frac{a}{b}$a/b de $n$n :

$$\frac{a}{b}\times n=\frac{a\times n}{b}$$a/b × n = (a × n)/b

Exemple

$\frac{3}{4}$3/4 de $20$20 = $\frac{3\times 20}{4}=\frac{60}{4}=15$(3 × 20)/4 = 60/4 = 15.

Fractions et nombres décimaux

De la fraction au décimal

$$\frac{3}{4}=3÷4=0,75\frac{1}{2}=0,5$$3/4 = 3 ÷ 4 = 0,75 1/2 = 0,5

Du décimal à la fraction

$$0,25=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}0,3=\frac{3}{10}$$0,25 = 25/100 = 1/4 0,3 = 3/10

Erreurs fréquentes à éviter

• Additionner les numérateurs ET les dénominateurs : $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\ne \frac{2}{5}$1/2 + 1/3 ≠ 2/5 ! Il faut un dénominateur commun.
• Mettre au même dénominateur pour multiplier : pour la multiplication, ce n'est pas nécessaire.
• Oublier de simplifier : on perd des points si on laisse $\frac{6}{8}$6/8 au lieu de $\frac{3}{4}$3/4.
• Confondre $\frac{1}{2}$1/2 et $2$2 : ce sont des nombres totalement différents.

FAQ — Les opérations sur les fractions

Comment trouver un dénominateur commun ?

Le plus simple est de prendre le produit des deux dénominateurs. Mais si l'un est multiple de l'autre, on prend le plus grand.

Comment savoir si une fraction est irréductible ?

Quand le numérateur et le dénominateur n'ont plus aucun diviseur commun sauf $1$1.

Pourquoi multiplier par une fraction inférieure à $1$1 donne un résultat plus petit ?

Multiplier par $\frac{1}{2}$1/2, c'est prendre la moitié — donc le résultat est plus petit que le nombre de départ.

Doit-on toujours donner le résultat sous forme de fraction ?

Quand l'énoncé le permet, oui : la fraction est exacte, alors que la valeur décimale peut être approchée. Donne toujours la forme irréductible.