Nombres relatifs en Cinquième

Les nombres relatifs en 5ème : cours complet

Les nombres relatifs sont les nombres positifs et les nombres négatifs. Tu en croises tous les jours : des températures négatives en hiver, le solde d'un compte bancaire à découvert, une altitude sous le niveau de la mer. Cette fiche t'explique comment les lire, les comparer et calculer avec eux.

Qu'est-ce qu'un nombre relatif ?

Définition

Un nombre relatif est un nombre précédé d'un signe : $+$+ (positif) ou $-$- (négatif).

• Nombres positifs : $+5$+5, $+12$+12, $+0,3$+0,3… On écrit aussi $5$5, $12$12, $0,3$0,3 (le $+$+ est facultatif).
• Nombres négatifs : $-3$-3, $-7,5$-7,5, $-100$-100… Le signe $-$- est obligatoire.
• Zéro : $0$0 n'est ni positif ni négatif (ou les deux, c'est selon).

Vocabulaire

• La partie numérique (ou distance à zéro) d'un nombre relatif est ce qui reste quand on enlève le signe : pour $-7$-7, c'est $7$7.
• Deux nombres relatifs opposés ont la même partie numérique mais des signes contraires : $+5$+5 et $-5$-5 sont opposés.

Placer un nombre relatif sur une droite graduée

Une droite graduée permet de visualiser tous les nombres relatifs :

• Les positifs sont à droite du zéro.
• Les négatifs sont à gauche du zéro.

Pour placer $-2,5$-2,5 : on compte $2,5$2,5 graduations à gauche de $0$0.

Comparer deux nombres relatifs

Règles à connaître

• Tout nombre positif est supérieur à tout nombre négatif.
• Entre deux nombres positifs, le plus grand a la plus grande partie numérique. Exemple : $+7>+3$+7 > +3.
• Entre deux nombres négatifs, le plus grand a la plus petite partie numérique. Exemple : $-3>-7$-3 > -7 (car $3<7$3 < 7).

Astuce visuelle

Sur la droite graduée, le plus à droite est le plus grand.

Exemples

• $-2<+1$-2 < +1 (négatif < positif)
• $-8<-3$-8 < -3 (parmi deux négatifs, le plus loin de zéro est le plus petit)
• $+5>-10$+5 > -10

Additionner deux nombres relatifs

Deux nombres de même signe

On additionne les parties numériques et on garde le signe commun.

$$(+3)+(+7)=+10(-4)+(-6)=-10$$(+3) + (+7) = +10 (-4) + (-6) = -10

Deux nombres de signes contraires

On soustrait les parties numériques (la plus grande moins la plus petite) et on garde le signe de celui qui a la plus grande partie numérique.

$$(+8)+(-3)=+5(-7)+(+2)=-5$$(+8) + (-3) = +5 (-7) + (+2) = -5

Exemples concrets

• Solde de $+50$+50 €, on retire $30$30 € : $(+50)+(-30)=+20$(+50) + (-30) = +20 €.
• Température de $-3°$-3°, baisse de $4°$4° : $(-3)+(-4)=-7°$(-3) + (-4) = -7°.

Soustraire deux nombres relatifs

Règle fondamentale

Soustraire un nombre relatif, c'est ajouter son opposé.

$$a-b=a+(-b)$$a - b = a + (-b)

Exemples

• $(+5)-(+3)=(+5)+(-3)=+2$(+5) - (+3) = (+5) + (-3) = +2
• $(+5)-(-3)=(+5)+(+3)=+8$(+5) - (-3) = (+5) + (+3) = +8
• $(-4)-(-7)=(-4)+(+7)=+3$(-4) - (-7) = (-4) + (+7) = +3
• $(-2)-(+6)=(-2)+(-6)=-8$(-2) - (+6) = (-2) + (-6) = -8

Astuce — les deux signes consécutifs

| $+(+)$+ (+) | $\Rightarrow$⇒ | $+$+ | | $+(-)$+ (-) | $\Rightarrow$⇒ | $-$- | | $-(+)$- (+) | $\Rightarrow$⇒ | $-$- | | $-(-)$- (-) | $\Rightarrow$⇒ | $+$+ |

« Moins par moins, plus » : $-(-3)=+3$-(-3) = +3.

Simplifier l'écriture

Pour alléger les calculs, on enlève souvent les parenthèses et le signe $+$+ devant les nombres :

$$(+5)+(-3)-(-2)=5-3+2=4$$(+5) + (-3) - (-2) = 5 - 3 + 2 = 4

Erreurs fréquentes à éviter

• Croire que $-7>-3$-7 > -3 : c'est faux ! $-7$-7 est plus loin de zéro vers la gauche, donc plus petit.
• Confondre signe et opération : $-5$-5 (nombre) et $-$- (soustraction).
• Oublier la règle des signes consécutifs : $5-(-3)$5 - (-3) vaut $5+3=8$5 + 3 = 8, pas $5-3$5 - 3.
• Mélanger les parties numériques et les signes lors d'une addition.

FAQ — Les nombres relatifs

À quoi servent les nombres négatifs dans la vie ?

À mesurer les températures sous zéro, les altitudes sous la mer, les dettes, les variations négatives (prix qui baisse, score qui diminue)…

Pourquoi « moins par moins, plus » ?

Soustraire une dette, c'est ajouter de l'argent. C'est l'idée intuitive derrière cette règle.

Le zéro est-il positif ou négatif ?

Par convention, $0$0 est à la fois positif et négatif, mais on dit souvent qu'il n'est ni positif ni négatif. Sa partie numérique vaut $0$0.

Comment additionner trois ou quatre nombres relatifs ?

On les regroupe par signe : on additionne tous les positifs ensemble, tous les négatifs ensemble, puis on combine les deux totaux.