Probabilités en Cinquième

Probabilités en 5ème : introduction

En cinquième, tu découvres les probabilités : c'est la branche des mathématiques qui étudie le hasard. Quand on lance un dé, qu'on tire une carte, qu'on fait tourner une roue, le résultat n'est pas prévisible avec certitude — mais on peut mesurer la chance que tel événement se produise.

Le vocabulaire des probabilités

Expérience aléatoire

Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat dépend du hasard.

Exemples

• Lancer un dé à six faces.
• Tirer une carte dans un jeu.
• Lancer une pièce de monnaie.

Issue

Une issue est un résultat possible d'une expérience aléatoire.

Exemple : pour un dé, les issues sont $1,2,3,4,5,6$1, 2, 3, 4, 5, 6 ($6$6 issues).

Événement

Un événement est un ensemble d'issues. Exemple : « obtenir un nombre pair » regroupe les issues $2,4,6$2, 4, 6.

La probabilité d'un événement

Définition

Quand toutes les issues sont équiprobables (elles ont la même chance d'apparaître), la probabilité d'un événement $A$A est :

$$P(A)=\frac{\text{nombre d’issues favorables aˋ }A}{\text{nombre total d’issues}}$$P(A) = (nombre d'issues favorables à A)/(nombre total d'issues)

Exemple

Pour un dé non truqué :

• $P(\text{obtenir un }3)=\frac{1}{6}$P( obtenir un 3) = 1/6 (une seule face donne $3$3).
• $P(\text{obtenir un nombre pair})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$P( obtenir un nombre pair ) = 3/6 = 1/2 ($3$3 issues favorables : $2,4,6$2, 4, 6).
• $P(\text{obtenir }7)=0$P( obtenir 7) = 0 (impossible).
• $P(\text{obtenir un entier entre 1 et 6})=1$P( obtenir un entier entre 1 et 6 ) = 1 (certain).

Propriétés des probabilités

Encadrement

Une probabilité est toujours comprise entre $0$0 et $1$1 :

$$0\le P(A)\le 1$$0 ≤ P(A) ≤ 1

• $P(A)=0$P(A) = 0 : événement impossible.
• $P(A)=1$P(A) = 1 : événement certain.

Somme des probabilités

Si on liste toutes les issues d'une expérience, la somme de leurs probabilités vaut $1$1.

Exemple (dé) : $\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=1$1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1.

Exprimer une probabilité

Une probabilité peut s'écrire :

• en fraction : $\frac{1}{2}$1/2 ;
• en nombre décimal : $0,5$0,5 ;
• en pourcentage : $50\%$50%.

Les trois sont équivalents.

Expériences classiques

Le lancer d'un dé

Le tirage d'une carte (jeu de $52$52)

• Probabilité d'avoir un cœur : $\frac{13}{52}=\frac{1}{4}=25\%$13/52 = 1/4 = 25%.
• Probabilité d'avoir l'as de pique : $\frac{1}{52}$1/52.
• Probabilité d'avoir une figure (V, D, R) : $\frac{12}{52}=\frac{3}{13}$12/52 = 3/13.

Le lancer d'une pièce

Lien avec les fréquences

Si on répète une expérience un grand nombre de fois, la fréquence d'apparition d'un événement se rapproche de sa probabilité.

Exemple

Sur $6000$6000 lancers de dé, on devrait obtenir environ $1000$1000 fois chaque face (fréquence proche de $\frac{1}{6}$1/6).

C'est la loi des grands nombres, étudiée plus en détail au lycée.

Quelques exemples corrigés

Exemple 1 — Roue de loterie

Une roue est divisée en $8$8 secteurs identiques : $4$4 verts, $3$3 rouges, $1$1 bleu.

• $P(\text{vert})=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}=50\%$P( vert ) = 4/8 = 1/2 = 50%.
• $P(\text{rouge})=\frac{3}{8}=37,5\%$P( rouge ) = 3/8 = 37,5%.
• $P(\text{bleu})=\frac{1}{8}=12,5\%$P( bleu ) = 1/8 = 12,5%.
• Somme = $50+37,5+12,5=100\%$50 + 37,5 + 12,5 = 100% ✓.

Exemple 2 — Urne

Une urne contient $5$5 boules rouges, $3$3 vertes et $2$2 bleues. Probabilité de tirer une boule rouge :

$$P(R)=\frac{5}{5+3+2}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$$P(R) = 5/(5 + 3 + 2) = 5/10 = 1/2

Erreurs fréquentes à éviter

• Penser qu'une pièce a une « mémoire » : si elle est tombée 5 fois sur pile, la 6ème fois reste à $\frac{1}{2}$1/2.
• Croire qu'une probabilité peut dépasser $1$1 : impossible, $P\le 1$P ≤ 1.
• Confondre probabilité et fréquence : la probabilité est théorique, la fréquence est observée.
• Oublier que la somme des probabilités vaut $1$1 : utile pour vérifier ses calculs.

FAQ — Les probabilités

À quoi servent les probabilités ?

À mesurer le hasard et à prendre des décisions dans l'incertitude : météo, assurance, médecine, jeux de hasard…

Pourquoi les probabilités sont-elles entre $0$0 et $1$1 ?

Parce qu'une probabilité est un rapport d'issues favorables sur issues totales : ce rapport ne peut pas être négatif, ni dépasser $1$1 (on ne peut pas avoir plus de favorables que d'issues totales).

Une probabilité de $0,5$0,5 veut dire quoi ?

Que l'événement a une chance sur deux de se produire — comme pile ou face avec une pièce équilibrée.

Que veut dire « équiprobable » ?

Que toutes les issues ont la même probabilité d'apparaître. C'est le cas du dé ou de la pièce non truqués.