Proportionnalité et pourcentages en Cinquième

Proportionnalité et pourcentages en 5ème : cours complet

En cinquième, tu approfondis la proportionnalité vue en sixième. Tu apprends à appliquer plusieurs méthodes de calcul, à manipuler les pourcentages dans tous les sens, et à comprendre les taux et les vitesses. C'est un chapitre central pour le brevet.

Rappel : qu'est-ce que la proportionnalité ?

Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre, appelé coefficient de proportionnalité.

Exemple

Le prix payé est proportionnel à la quantité achetée (à prix unitaire constant). Le temps mis n'est pas proportionnel à l'âge.

Reconnaître la proportionnalité dans un tableau

Pour vérifier qu'un tableau est un tableau de proportionnalité, on calcule les rapports entre chaque valeur d'une ligne et la valeur correspondante de l'autre ligne : si tous les rapports sont égaux, c'est proportionnel.

Exemple

• $\frac{9}{5}=1,8$9/5 = 1,8 ; $\frac{18}{10}=1,8$18/10 = 1,8 ; $\frac{36}{20}=1,8$36/20 = 1,8. ✓

Coefficient = $1,8$1,8 €/L.

Les trois méthodes pour calculer une quatrième valeur

Méthode 1 : Coefficient de proportionnalité

On calcule le coefficient (rapport entre deux valeurs correspondantes), puis on l'applique.

Méthode 2 : Passage par l'unité

On calcule la valeur pour 1 unité, puis on multiplie.

Méthode 3 : Produit en croix

Si $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$a/b = c/d, alors $a\times d=b\times c$a × d = b × c. On en déduit la valeur inconnue.

Exemple

Si $7$7 kg coûtent $21$21 €, combien coûtent $12$12 kg ?

• Coefficient : $\frac{21}{7}=3$21/7 = 3 €/kg → $12\times 3=36$12 × 3 = 36 €.
• Passage par l'unité : $1$1 kg → $3$3 € → $12$12 kg → $36$36 €.
• Produit en croix : $\frac{21}{7}=\frac{x}{12}$21/7 = x/12, donc $x=\frac{12\times 21}{7}=36$x = (12 × 21)/7 = 36 €.

Les pourcentages

Définition

Un pourcentage $p\%$p% représente $\frac{p}{100}$p/100.

Calculer un pourcentage d'une quantité

$$p\%\text{ de }x=\frac{p}{100}\times x$$p% de x = p/100 × x

Exemple

$15\%$15% de $80$80 €= $\frac{15}{100}\times 80=\frac{1200}{100}=12$15/100 × 80 = 1200/100 = 12 €.

Pourcentages utiles

Augmentation et réduction

Augmentation de $p\%$p%

Le prix augmente de $p\%$p% → on ajoute $p\%$p% du prix initial :

$$\text{Nouveau prix}=\text{prix}+\frac{p}{100}\times \text{prix}$$Nouveau prix = prix + p/100 × prix

Réduction de $p\%$p%

Le prix baisse de $p\%$p% → on soustrait $p\%$p% du prix initial :

$$\text{Nouveau prix}=\text{prix}-\frac{p}{100}\times \text{prix}$$Nouveau prix = prix - p/100 × prix

Exemple

Un jean coûte $40$40 €. Avec une réduction de $30\%$30% :

• Montant de la réduction : $\frac{30}{100}\times 40=12$30/100 × 40 = 12 €.
• Nouveau prix : $40-12=28$40 - 12 = 28 €.

Calculer un pourcentage à partir d'un effectif

On peut exprimer un nombre en pourcentage d'un total :

$$\text{Pourcentage}=\frac{\text{partie}}{\text{total}}\times 100$$Pourcentage = partie/total × 100

Exemple

Dans une classe de $25$25 élèves, $15$15 pratiquent un sport. Pourcentage : $\frac{15}{25}\times 100=60\%$15/25 × 100 = 60%.

Vitesse moyenne

$$\text{Vitesse}=\frac{\text{Distance}}{\text{Temps}}$$Vitesse = Distance/Temps

$$\text{Distance}=\text{Vitesse}\times \text{Temps}\text{Temps}=\frac{\text{Distance}}{\text{Vitesse}}$$Distance = Vitesse × Temps Temps = Distance/Vitesse

Unités

• Km/h pour les voitures, trains.
• M/s pour les athlètes, les expériences scientifiques.
• $1$1 m/s $=3,6$= 3,6 km/h.

Exemple

Un cycliste parcourt $60$60 km en $2$2 h. Sa vitesse moyenne est $\frac{60}{2}=30$60/2 = 30 km/h.

Échelle

L'échelle d'un plan est le coefficient de proportionnalité entre les longueurs sur le dessin et les longueurs réelles :

$$\text{Eˊchelle}=\frac{\text{longueur sur le plan}}{\text{longueur reˊelle}}$$Échelle = (longueur sur le plan)/(longueur réelle)

(les deux dans la même unité !)

Exemple

Un plan à l'échelle $\frac{1}{200}$1/200 : $1$1 cm sur le plan = $200$200 cm = $2$2 m en réalité.

Erreurs fréquentes à éviter

• Ajouter des pourcentages : $+20\%$+20% puis $+10\%$+10% ne fait pas $+30\%$+30% (il y a un effet de base).
• Confondre « hausse de $20\%$20% » et « hausse à $20\%$20% » : la première est une variation, la seconde un état final.
• Mélanger les unités : pour la vitesse, distance et temps doivent être dans des unités compatibles.
• Oublier le « $\times 100$× 100 » dans un pourcentage : $\frac{15}{25}=0,6$15/25 = 0,6, mais en pourcentage c'est $60\%$60%.

FAQ — Proportionnalité et pourcentages

Quelle méthode est la plus rapide ?

Cela dépend du contexte. Le produit en croix est universel ; le coefficient est rapide quand il est simple ; le passage par l'unité est intuitif.

Comment savoir si une situation est proportionnelle ?

En doublant l'une des grandeurs, l'autre doit doubler aussi. Sinon, ce n'est pas proportionnel.

$50\%$50% d'un nombre, c'est quoi ?

C'est la moitié de ce nombre. $50\%$50% de $80$80 = $40$40.

Comment retrouver le prix initial après une réduction ?

Si après $-20\%$-20% le prix vaut $40$40 €, alors $40$40 représente $80\%$80% du prix initial. Prix initial = $\frac{40}{0,8}=50$40/0,8 = 50 €.