Statistiques à deux variables en Première générale

Statistiques à deux variables en Première générale : cours complet

En Première générale, tu étudies des séries statistiques à deux variables (deux caractères mesurés simultanément). Tu apprends à représenter les données, à étudier leur corrélation, et à faire un ajustement linéaire pour modéliser leur relation.

Série à deux variables

Définition

Une série à deux variables est constituée de couples $(x_i;y_i)$(xᵢ ; yᵢ), $i=1,\dots ,n$i = 1, …, n.

Exemple

Pour $5$5 personnes, on note la taille (en cm) et la pointure :

Représentation : nuage de points

On trace les points $(x_i;y_i)$(xᵢ ; yᵢ) dans un repère.

Lecture du nuage

• Aligné sur une droite croissante → corrélation positive.
• Aligné sur une droite décroissante → corrélation négative.
• Dispersé → pas de corrélation linéaire évidente.

Point moyen

Le point moyen du nuage est $G(\overline{x};\overline{y})$G(x̅ ; y̅), où :

$$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum x_i\overline{y}=\frac{1}{n}\sum y_i$$x̅ = 1/n Σ xᵢ y̅ = 1/n Σ yᵢ

Propriété

Le point moyen $G$G appartient toujours à la droite d'ajustement.

Droite d'ajustement (méthode des moindres carrés)

Principe

On cherche la droite $y=ax+b$y = ax + b qui passe au plus près de tous les points du nuage, en minimisant la somme des carrés des distances verticales aux points.

Formules (calculatrice ou tableur)

$$a=\frac{\sum (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum (x_i-\overline{x}{)}^2}$$a = (Σ (xᵢ - x̅)(yᵢ - y̅))/(Σ (xᵢ - x̅)²)

$$b=\overline{y}-a\overline{x}$$b = y̅ - a x̅

En pratique

À la calculatrice : utiliser la fonction régression linéaire (souvent notée LinReg ou RegLin).

Coefficient de corrélation $r$r

Définition

$$r=\frac{\sum (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum (x_i-\overline{x}{)}^2\times \sum (y_i-\overline{y}{)}^2}}$$r = (Σ (xᵢ - x̅)(yᵢ - y̅))/(√(Σ (xᵢ - x̅)² × Σ (yᵢ - y̅)²))

Interprétation

• $r$r est compris entre $-1$-1 et $1$1.
• $|r|\approx 1$|r| ≈ 1 : forte corrélation linéaire.
• $r\approx 0$r ≈ 0 : pas de corrélation linéaire.
• $r>0$r > 0 : corrélation positive.
• $r<0$r < 0 : corrélation négative.

Utilisation : prédiction

Une fois la droite obtenue, on peut prédire une valeur de $y$y pour un $x$x donné (interpolation, voire extrapolation prudente).

Exemple

Pour les tailles/pointures ci-dessus, après ajustement, on obtient (à peu près) :

$$y=0,35x-17$$y = 0,35 x - 17

Pour $x=178$x = 178 : $y=0,35\times 178-17=45,3$y = 0,35 × 178 - 17 = 45,3. Prédiction de pointure $\approx 45$≈ 45.

Attention

L'extrapolation (prédire en dehors de l'intervalle des données) est risquée : la relation peut ne plus tenir.

Corrélation $\ne$≠ causalité

Corrélation ne signifie pas causalité !

Exemple

Le nombre de noyades en été est corrélé à la vente de glaces, mais l'un ne cause pas l'autre : c'est une cause commune (la chaleur).

Changements de variables

Linéarisation

Si la relation entre $x$x et $y$y n'est pas linéaire, on peut parfois la linéariser en changeant de variable :

• Si $y=a{e}^{bx}$y = a e^(bx) : prendre $\ln (y)$ln(y).
• Si $y=a{x}^b$y = a x^(b) : prendre $\ln (y)=\ln (a)+b\ln (x)$ln(y) = ln(a) + b ln(x).

Erreurs fréquentes à éviter

• Croire que $r$r proche de $0$0 signifie « aucun lien » : il peut y avoir un lien non linéaire.
• Confondre corrélation et causalité.
• Extrapoler imprudemment loin des données observées.
• Mauvaise lecture du nuage : prends le temps d'observer.

FAQ — Statistiques à deux variables

Comment savoir si une régression linéaire est adaptée ?

On regarde le nuage de points : s'il suggère une droite, oui. Sinon, il faut peut-être un autre modèle.

À quoi sert la droite d'ajustement ?

À prédire une valeur, à modéliser une relation entre deux grandeurs, à détecter des tendances.

Comment interpréter $r=-0,9$r = -0,9 ?

Forte corrélation négative : quand $x$x augmente, $y$y diminue, de façon très régulière.

Tous les nuages ont-ils une droite d'ajustement ?

Oui, mais elle peut être inutile si la corrélation linéaire est très faible. Il faut alors chercher un autre modèle (polynomial, exponentiel, etc.).