Exercices corrigés : Algorithmique et Scratch — Quatrième

Correction détaillée

1. 1

   Une variable est une case mémoire : chaque affectation écrase l'ancienne valeur.

2. 2

   Départ : $a=7$a = 7 et $b=3$b = 3.

3. 3

   « $a$a prend la valeur $a-b$a - b » : $7-3=4$7 - 3 = 4, donc $a=4$a = 4.

   La valeur $7$7 est perdue.

4. 4

   « $b$b prend la valeur $a+b$a + b » : on utilise la NOUVELLE valeur de $a$a, soit $4+3=7$4 + 3 = 7.

5. 5

   À la fin : $a=4$a = 4 et $b=7$b = 7.

Rappel de cours : Les instructions s'exécutent dans l'ordre : une variable modifiée garde sa nouvelle valeur pour la suite.

Erreur fréquente : Utiliser l'ancienne valeur de $a$a ($7$7) dans la dernière ligne : elle a déjà été remplacée.

Correction détaillée

1. 1

   Au départ, $s=0$s = 0.

2. 2

   Chaque tour ajoute $7$7 à la valeur courante.

3. 3

   Après le premier tour : $7$7.

   Deuxième : $14$14.

   Troisième : $21$21.

   Quatrième : $28$28.

   Cinquième : $35$35.

4. 4

   On aurait pu le prévoir : ajouter $7$7 cinq fois revient à ajouter $5\times 7=35$5 × 7 = 35.

Rappel de cours : Une variable qui cumule dans une boucle s'appelle un accumulateur : on l'initialise TOUJOURS avant la boucle.

Erreur fréquente : Oublier l'initialisation $s=0$s = 0 : le résultat serait imprévisible.

Correction détaillée

1. 1

   Le symbole $⩾$≥ signifie « supérieur OU ÉGAL » : la valeur $10$10 satisfait donc la condition.

2. 2

   Pour $n=10$n = 10 : la condition est vraie → « grand ».

3. 3

   Pour $n=9,5$n = 9,5 : $9,5⩾10$9,5 ≥ 10 est faux → « petit ».

4. 4

   Pour $n=100$n = 100 : la condition est vraie → « grand ».

Rappel de cours : $>$> exclut la valeur, $⩾$≥ l'inclut : la différence se joue au cas limite.

Erreur fréquente : Traiter $n=10$n = 10 comme « petit » : c'est l'erreur type sur les inégalités larges.

Correction détaillée

1. 1

   La boucle est exécutée $8$8 fois : le tracé comporte $8$8 segments de même longueur.

2. 2

   Somme des rotations : $8\times 45=360°$8 × 45 = 360°, soit exactement un tour complet.

3. 3

   La figure se referme donc sur elle-même.

4. 4

   Huit côtés égaux et huit angles égaux : c'est un octogone régulier de côté $60$60.

Rappel de cours : Polygone régulier à $n$n côtés : répéter $n$n fois, tourner de $\frac{360°}{n}$360°/n.

Erreur fréquente : Ne pas vérifier que la somme des rotations vaut $360°$360° : sinon la figure resterait ouverte.

Correction détaillée

1. 1

   La boucle intérieure exécute $6$6 fois l'instruction.

2. 2

   Cette boucle intérieure est elle-même répétée $4$4 fois par la boucle extérieure.

3. 3

   Nombre total : $4\times 6=24$4 × 6 = 24 exécutions.

4. 4

   Distance totale parcourue : $24\times 20=480$24 × 20 = 480.

Rappel de cours : Boucles imbriquées : on MULTIPLIE les nombres de répétitions.

Erreur fréquente : Additionner $4+6=10$4 + 6 = 10 : les boucles se multiplient.

Correction détaillée

1. 1

   Départ : $c=10$c = 10.

2. 2

   Tour 1 : avance de $10$10, puis $c$c devient $25$25.

3. 3

   Tour 2 : avance de $25$25, puis $c$c devient $40$40.

4. 4

   Tour 3 : avance de $40$40, puis $c$c devient $55$55.

5. 5

   Tour 4 : avance de $55$55, puis $c$c devient $70$70.

6. 6

   Tour 5 : avance de $70$70, puis $c$c devient $85$85 — mais la boucle s'arrête.

7. 7

   Les longueurs sont $10$10, $25$25, $40$40, $55$55 et $70$70 : le tracé est une spirale carrée.

Rappel de cours : La dernière modification de la variable n'est jamais utilisée : la boucle se termine avant.

Erreur fréquente : Croire que la figure se referme : les côtés étant tous différents, elle reste ouverte.

Correction détaillée

1. 1

   Avec « ET », les DEUX conditions doivent être vraies simultanément.

2. 2

   $n=3$n = 3 : $3>5$3 > 5 est faux → « hors intervalle ».

3. 3

   $n=12$n = 12 : $12>5$12 > 5 ✔ et $12<20$12 < 20 ✔ → « dans l'intervalle ».

4. 4

   $n=20$n = 20 : $20>5$20 > 5 ✔ mais $20<20$20 < 20 est FAUX → « hors intervalle ».

5. 5

   $n=6$n = 6 : $6>5$6 > 5 ✔ et $6<20$6 < 20 ✔ → « dans l'intervalle ».

Rappel de cours : « ET » exige les deux conditions ; « OU » se contente d'une seule.

Erreur fréquente : Inclure $20$20 : l'inégalité $<$< est stricte, elle exclut la borne.

Correction détaillée

1. 1

   Un bloc personnalisé est un raccourci : appeler « CARRÉ » exécute toutes ses instructions.

2. 2

   Après un appel de CARRÉ, le lutin est revenu à son point de départ, orienté comme au début (car $4\times 90=360°$4 × 90 = 360°).

3. 3

   Le programme trace donc un carré, puis tourne de $120°$120°, et recommence.

4. 4

   Comme $3\times 120=360°$3 × 120 = 360°, les trois carrés sont répartis en rosace autour du point de départ.

5. 5

   Le résultat est une rosace de $3$3 carrés identiques de côté $50$50.

Rappel de cours : Un bloc personnalisé évite de recopier les mêmes instructions : on définit une fois, on réutilise.

Erreur fréquente : Oublier que le bloc CARRÉ ramène le lutin à sa position ET à son orientation de départ.

Correction détaillée

1. 1

   Un polygone régulier à $n$n côtés demande $n$n répétitions.

2. 2

   À chaque coin, le lutin tourne de l'angle extérieur, qui vaut $\frac{360}{n}$360/n degrés.

3. 3

   Contenu du bloc : « répéter $n$n fois [ avancer de $60$60 ; tourner de $360÷n$360 ÷ n degrés ] ».

4. 4

   Test avec $n=4$n = 4 : $360÷4=90°$360 ÷ 4 = 90°, on obtient bien un carré.

5. 5

   Test avec $n=6$n = 6 : $360÷6=60°$360 ÷ 6 = 60°, on obtient un hexagone. ✔

6. 6

   L'intérêt du paramètre est de n'écrire qu'un seul bloc pour tous les polygones.

Rappel de cours : Un paramètre rend un bloc réutilisable : il s'adapte à la valeur qu'on lui donne.

Erreur fréquente : Écrire un angle fixe : le bloc ne fonctionnerait alors que pour une seule valeur de $n$n.

Correction détaillée

1. 1

   Pour qu'une figure se referme, la somme des rotations doit valoir exactement $360°$360°.

2. 2

   Ici : $5\times 108=540°$5 × 108 = 540°, soit un tour et demi.

   La figure ne peut pas se refermer.

3. 3

   L'erreur vient de la confusion entre l'angle INTÉRIEUR du pentagone ($108°$108°) et l'angle dont TOURNE le lutin.

4. 4

   Le lutin tourne de l'angle extérieur : $360÷5=72°$360 ÷ 5 = 72°.

5. 5

   Programme corrigé : « répéter $5$5 fois [ avancer de $80$80 ; tourner de $72°$72° ] ».

6. 6

   Vérification : $5\times 72=360°$5 × 72 = 360° ✔.

   Et l'on retrouve bien $108+72=180°$108 + 72 = 180°, les deux angles étant supplémentaires.

Rappel de cours : Le lutin tourne de l'angle EXTÉRIEUR : $\frac{360°}{n}$360°/n, et non de l'angle intérieur.

Erreur fréquente : Utiliser l'angle intérieur du polygone : c'est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

Correction détaillée

1. 1

   Il faut deux variables : $s$s pour accumuler la somme, $i$i pour parcourir les entiers.

2. 2

   Programme : « $s$s prend la valeur $0$0 ; $i$i prend la valeur $1$1 ; répéter $20$20 fois [ $s$s prend la valeur $s+i$s + i ; $i$i prend la valeur $i+1$i + 1 ] ; afficher $s$s ».

3. 3

   Pour le résultat, on regroupe astucieusement les termes deux par deux.

4. 4

   $(1+20)+(2+19)+(3+18)+\dots$(1+20) + (2+19) + (3+18) + … : chaque paire vaut $21$21.

5. 5

   Il y a $20÷2=10$20 ÷ 2 = 10 paires.

6. 6

   Somme : $21\times 10=210$21 × 10 = 210.

Rappel de cours : Regrouper les termes par paires de même somme est la méthode dite « de Gauss ».

Erreur fréquente : Oublier d'incrémenter $i$i : le programme ajouterait vingt fois le nombre $1$1.

Correction détaillée

1. 1

   On teste chaque nombre de la liste, en partant de $c=0$c = 0.

2. 2

   $4$4 : $4=3\times 1+1$4 = 3 × 1 + 1, ce n'est pas un multiple de $3$3.

   $c$c reste $0$0.

3. 3

   $9=3\times 3$9 = 3 × 3 : multiple → $c=1$c = 1.

4. 4

   $12=3\times 4$12 = 3 × 4 : multiple → $c=2$c = 2.

5. 5

   $7$7 : non multiple.

   $c$c reste $2$2.

6. 6

   $20$20 : non multiple ($20=3\times 6+2$20 = 3×6+2).

   $c$c reste $2$2.

7. 7

   $3=3\times 1$3 = 3 × 1 : multiple → $c=3$c = 3.

Rappel de cours : Critère utile : un nombre est multiple de $3$3 si la somme de ses chiffres l'est.

Erreur fréquente : Compter tous les nombres de la liste : seuls ceux vérifiant la condition sont comptés.

Correction détaillée

1. 1

   À chaque tour, le lutin fait un pas horizontal de $30$30, puis un pas vertical de $30$30.

2. 2

   Les deux rotations (une à gauche, une à droite) s'annulent : il retrouve son orientation initiale à chaque tour.

3. 3

   Le motif est donc une « marche » d'escalier de $30$30 de large et $30$30 de haut.

4. 4

   Répété $6$6 fois, cela dessine un escalier de $6$6 marches.

5. 5

   Déplacement horizontal : seuls les $6$6 segments horizontaux comptent, soit $6\times 30=180$6 × 30 = 180.

6. 6

   Distance totale parcourue : $6\times (30+30)=360$6 × (30+30) = 360, à ne pas confondre avec le déplacement.

Rappel de cours : Deux rotations opposées de même mesure ramènent le lutin à sa direction de départ.

Erreur fréquente : Confondre distance parcourue ($360$360) et déplacement horizontal ($180$180).

Correction détaillée

1. 1

   Avec $n=5$n = 5 : $a=15$a = 15, $b=27$b = 27, $c=9$c = 9, $d=9-5=4$d = 9 - 5 = 4.

2. 2

   Avec $n=11$n = 11 : $a=33$a = 33, $b=45$b = 45, $c=15$c = 15, $d=15-11=4$d = 15 - 11 = 4.

3. 3

   On conjecture que le résultat vaut toujours $4$4.

4. 4

   Preuve littérale : $a=3n$a = 3n, puis $b=3n+12$b = 3n + 12.

5. 5

   $c=\frac{3n+12}{3}=n+4$c = (3n+12)/3 = n + 4 — chaque terme est divisé par $3$3.

6. 6

   $d=(n+4)-n=4$d = (n+4) - n = 4.

7. 7

   Le résultat est donc toujours $4$4, quel que soit le nombre choisi.

Rappel de cours : Quand on divise une somme, chaque terme doit être divisé.

Erreur fréquente : Écrire $\frac{3n+12}{3}=n+12$(3n+12)/3 = n + 12 : le $12$12 doit lui aussi être divisé.

Correction détaillée

1. 1

   L'accumulation de la somme est correcte : $s$s contient bien le total des quatre notes.

2. 2

   L'erreur est à l'avant-dernière ligne : on MULTIPLIE par $4$4 au lieu de DIVISER.

3. 3

   Contrôle de vraisemblance : avec quatre notes autour de $12$12, la somme vaut environ $48$48, et le programme afficherait $192$192.

4. 4

   Une moyenne sur $20$20 ne peut évidemment pas valoir $192$192.

5. 5

   Correction : « $m$m prend la valeur $s÷4$s ÷ 4 ».

6. 6

   Avec l'exemple : $48÷4=12$48 ÷ 4 = 12, une valeur cohérente. ✔

Rappel de cours : Un contrôle de vraisemblance (la moyenne est entre le min et le max) repère l'erreur immédiatement.

Erreur fréquente : Relire le programme sans jamais tester une valeur numérique.

Correction détaillée

1. 1

   Un triangle équilatéral se trace par « répéter $3$3 fois [ avancer de $50$50 ; tourner de $120°$120° ] », car $3\times 120=360°$3 × 120 = 360°.

2. 2

   Après ce tracé, le lutin est revenu à sa position et à son orientation de départ.

3. 3

   Pour répartir $12$12 triangles tout autour, il faut tourner de $360÷12=30°$360 ÷ 12 = 30° entre chacun.

4. 4

   Programme : « répéter $12$12 fois [ répéter $3$3 fois [ avancer de $50$50 ; tourner de $120°$120° ] ; tourner de $30°$30° ] ».

5. 5

   Nombre de segments : $12\times 3=36$12 × 3 = 36.

6. 6

   Vérification de la fermeture : $12\times 30=360°$12 × 30 = 360°, le lutin revient bien à son orientation initiale. ✔

Rappel de cours : Boucle intérieure = le motif · boucle extérieure = sa répétition autour d'un point.

Erreur fréquente : Oublier la rotation entre deux triangles : les $12$12 triangles se superposeraient.

Correction détaillée

1. 1

   Nombre de carrés : $4\times 5=20$4 × 5 = 20.

2. 2

   La structure naturelle est celle de deux boucles imbriquées.

3. 3

   Boucle extérieure ($4$4 fois) : elle gère les lignes.

4. 4

   Boucle intérieure ($5$5 fois) : elle trace les $5$5 carrés d'une ligne, en avançant de $30$30 après chacun (stylo relevé).

5. 5

   À la fin d'une ligne, il faut revenir au début : reculer de $5\times 30=150$5 × 30 = 150, puis descendre de $30$30.

6. 6

   Ces déplacements se font stylo relevé, pour ne pas tracer de trait parasite.

7. 7

   Structure : « répéter $4$4 fois [ répéter $5$5 fois [ CARRÉ ; relever stylo ; avancer de $30$30 ; baisser stylo ] ; relever stylo ; reculer de $150$150 ; descendre de $30$30 ; baisser stylo ] ».

Rappel de cours : Pour une grille, la boucle extérieure gère les lignes et l'intérieure les colonnes.

Erreur fréquente : Oublier le retour au début de ligne : les carrés partiraient en diagonale.

Correction détaillée

1. 1

   Les conditions sont testées DANS L'ORDRE, et on s'arrête à la première qui est vraie.

2. 2

   $10$10 ans : $10<12$10 < 12 est vrai → prix $=5$= 5 €.

3. 3

   $12$12 ans : $12<12$12 < 12 est FAUX ; $12<18$12 < 18 est vrai → prix $=8$= 8 €.

4. 4

   $18$18 ans : les deux premières sont fausses ; $18<65$18 < 65 est vrai → prix $=12$= 12 €.

5. 5

   $64$64 ans : $64<65$64 < 65 est vrai → prix $=12$= 12 €.

6. 6

   $70$70 ans : toutes les conditions sont fausses → prix $=7$= 7 €.

7. 7

   Remarque : l'ordre est essentiel.

   Si l'on testait $<65$< 65 en premier, un enfant de $10$10 ans paierait $12$12 €.

Rappel de cours : Dans une cascade de « sinon si », on s'arrête à la première condition vraie : l'ordre est décisif.

Erreur fréquente : Mal traiter les cas limites ($12$12, $18$18, $65$65) : l'inégalité stricte les exclut de la tranche.

Correction détaillée

1. 1

   Pour une seule table, une boucle suffit avec un compteur.

2. 2

   « $i$i prend la valeur $1$1 ; répéter $10$10 fois [ afficher $7\times i$7 × i ; $i$i prend la valeur $i+1$i + 1 ] ».

3. 3

   Pour toutes les tables, il faut une seconde boucle à l'extérieur, qui fait varier la table.

4. 4

   « $t$t prend la valeur $1$1 ; répéter $10$10 fois [ $i$i prend la valeur $1$1 ; répéter $10$10 fois [ afficher $t\times i$t × i ; $i$i prend la valeur $i+1$i+1 ] ; $t$t prend la valeur $t+1$t+1 ] ».

5. 5

   Point crucial : $i$i doit être RÉINITIALISÉ à $1$1 au début de chaque table, à l'intérieur de la boucle extérieure.

6. 6

   Nombre de lignes affichées : $10\times 10=100$10 × 10 = 100.

Rappel de cours : Un compteur de boucle intérieure doit être réinitialisé à chaque tour de la boucle extérieure.

Erreur fréquente : Initialiser $i$i une seule fois, avant les deux boucles : seule la première table serait correcte.

Correction détaillée

1. 1

   La boucle intérieure trace un carré : $4$4 côtés et $4\times 90=360°$4 × 90 = 360°.

2. 2

   Le côté de ce carré vaut $c$c, qui change à chaque tour de la boucle extérieure.

3. 3

   Tour 1 : carré de côté $30$30, puis rotation de $20°$20°, et $c$c devient $50$50.

4. 4

   Tour 2 : carré de côté $50$50, puis $c$c devient $70$70.

5. 5

   Tour 3 : carré de côté $70$70, puis $c$c devient $90$90.

6. 6

   Tour 4 : carré de côté $90$90.

7. 7

   Entre chaque carré, le lutin pivote de $20°$20° : la somme vaut $4\times 20=80°$4 × 20 = 80°, soit moins d'un tour complet.

8. 8

   Le résultat est un éventail de $4$4 carrés de tailles croissantes ($30$30, $50$50, $70$70, $90$90), légèrement décalés en éventail sur $80°$80°.

Rappel de cours : Deux choses varient ici : la taille (via $c$c) et l'orientation (via la rotation de $20°$20°).

Erreur fréquente : Croire que la figure se referme : $4\times 20=80°$4 × 20 = 80°, bien loin des $360°$360° nécessaires.