Exercices corrigés : Puissances — Quatrième

Correction détaillée

1. 1

   L'exposant indique combien de fois le nombre est répété dans la multiplication.

2. 2

   $3^4=3\times 3\times 3\times 3$3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3.

3. 3

   On calcule pas à pas : $3\times 3=9$3 × 3 = 9, puis $9\times 3=27$9 × 3 = 27, puis $27\times 3=81$27 × 3 = 81.

4. 4

   $5^3=5\times 5\times 5=25\times 5=125$5³ = 5 × 5 × 5 = 25 × 5 = 125.

Rappel de cours : $a^n$aⁿ signifie $a$a multiplié $n$n fois par lui-même.

Erreur fréquente : Calculer $3^4=3\times 4=12$3⁴ = 3 × 4 = 12 : l'exposant n'est pas un facteur, c'est un nombre de répétitions.

Correction détaillée

1. 1

   $7^1=7$7¹ = 7 : un seul facteur, donc le nombre lui-même.

2. 2

   $7^0=1$7⁰ = 1 : c'est une convention, valable pour tout nombre non nul.

3. 3

   $1^{12}=1\times 1\times \dots \times 1=1$1¹² = 1 × 1 × … × 1 = 1 : multiplier $1$1 par lui-même ne change rien.

4. 4

   $0^5=0\times 0\times 0\times 0\times 0=0$0⁵ = 0 × 0 × 0 × 0 × 0 = 0.

Rappel de cours : Pour tout $a\ne 0$a ≠ 0 : $a^0=1$a⁰ = 1 et $a^1=a$a¹ = a.

Erreur fréquente : Croire que $7^0=0$7⁰ = 0 : l'exposant $0$0 donne toujours $1$1.

Correction détaillée

1. 1

   $(-2{)}^3=(-2)\times (-2)\times (-2)$(-2)³ = (-2) × (-2) × (-2).

2. 2

   $(-2)\times (-2)=+4$(-2) × (-2) = +4, puis $4\times (-2)=-8$4 × (-2) = -8.

3. 3

   $(-2{)}^4=(-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)=4\times 4=16$(-2)⁴ = (-2) × (-2) × (-2) × (-2) = 4 × 4 = 16.

4. 4

   On remarque : un exposant IMPAIR donne un résultat négatif, un exposant PAIR donne un résultat positif.

5. 5

   Explication : les facteurs négatifs se regroupent deux par deux, et chaque paire donne un produit positif.

Rappel de cours : Le signe d'une puissance d'un négatif dépend uniquement de la parité de l'exposant.

Erreur fréquente : Confondre $(-2{)}^4$(-2)⁴ et $-2^4$-2⁴ : le second signifie $-(2^4)=-16$-(2⁴) = -16, car sans parenthèses le signe $-$- n'est pas élevé à la puissance.

Correction détaillée

1. 1

   On écrit tout en facteurs : $2^3\times 2^5=(2\times 2\times 2)\times (2\times 2\times 2\times 2\times 2)$2³ × 2⁵ = (2×2×2) × (2×2×2×2×2).

2. 2

   Au total, le facteur $2$2 apparaît $3+5=8$3 + 5 = 8 fois.

3. 3

   Donc $2^3\times 2^5=2^8$2³ × 2⁵ = 2⁸.

4. 4

   Règle générale : quand on multiplie deux puissances du même nombre, on ADDITIONNE les exposants.

Rappel de cours : $a^m\times a^n=a^{m+n}$a^(m) × aⁿ = a^(m+n) — à condition que la base soit la même.

Erreur fréquente : Multiplier les exposants : $2^3\times 2^5$2³ × 2⁵ ne vaut pas $2^{15}$2¹⁵.

Correction détaillée

1. 1

   $10^4=10\times 10\times 10\times 10=10000$10⁴ = 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000 : l'exposant donne le nombre de zéros.

2. 2

   $10^{-3}$10⁻³ est l'inverse de $10^3$10³, soit $\frac{1}{1000}=0,001$1/1000 = 0,001.

3. 3

   L'exposant $-3$-3 indique trois rangs après la virgule.

4. 4

   $10^0=1$10⁰ = 1, comme toute puissance d'exposant $0$0.

Rappel de cours : $10^n$10ⁿ : $n$n zéros après le $1$1 · $10^{-n}$10⁻ⁿ : le $1$1 au $n$n-ième rang après la virgule.

Erreur fréquente : Écrire $10^{-3}=-1000$10⁻³ = -1000 : un exposant négatif donne un nombre petit, jamais un nombre négatif.

Correction détaillée

1. 1

   Au numérateur, le facteur $5$5 apparaît $7$7 fois ; au dénominateur, $4$4 fois.

2. 2

   On simplifie : les $4$4 facteurs du bas s'éliminent avec $4$4 facteurs du haut.

3. 3

   Il reste $7-4=3$7 - 4 = 3 facteurs au numérateur.

4. 4

   Donc $\frac{5^7}{5^4}=5^3=125$5⁷/5⁴ = 5³ = 125.

5. 5

   Règle générale : en divisant deux puissances de même base, on SOUSTRAIT les exposants.

Rappel de cours : $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$a^(m)/aⁿ = a^(m-n).

Erreur fréquente : Diviser les exposants : $7÷4$7 ÷ 4 n'a rien à voir avec le résultat.

Correction détaillée

1. 1

   $(3^2{)}^4$(3²)⁴ signifie que $3^2$3² est répété $4$4 fois : $3^2\times 3^2\times 3^2\times 3^2$3² × 3² × 3² × 3².

2. 2

   En additionnant les exposants : $2+2+2+2=8$2 + 2 + 2 + 2 = 8.

3. 3

   Donc $(3^2{)}^4=3^8$(3²)⁴ = 3⁸.

4. 4

   Règle générale : pour une puissance de puissance, on MULTIPLIE les exposants.

5. 5

   Vérification : $2\times 4=8$2 × 4 = 8. ✔

Rappel de cours : $(a^m{)}^n=a^{m\times n}$(a^(m))ⁿ = a^(m × n).

Erreur fréquente : Confondre avec $a^m\times a^n$a^(m) × aⁿ où l'on ADDITIONNE : ici les exposants se multiplient.

Correction détaillée

1. 1

   Un exposant négatif signifie qu'on prend l'inverse de la puissance positive.

2. 2

   $2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$2⁻³ = 1/2³ = 1/8.

3. 3

   En décimal : $1÷8=0,125$1 ÷ 8 = 0,125.

4. 4

   $5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}$5⁻² = 1/5² = 1/25.

5. 5

   En décimal : $1÷25=0,04$1 ÷ 25 = 0,04.

Rappel de cours : $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$a⁻ⁿ = 1/aⁿ : l'exposant négatif inverse, il ne rend pas négatif.

Erreur fréquente : Répondre $-8$-8 pour $2^{-3}$2⁻³ : le résultat est un nombre positif plus petit que $1$1.

Correction détaillée

1. 1

   On traite d'abord le numérateur : $4^3\times 4^6=4^{3+6}=4^9$4³ × 4⁶ = 4³⁺⁶ = 4⁹.

2. 2

   L'expression devient $\frac{4^9}{4^5}$4⁹/4⁵.

3. 3

   On applique la règle du quotient : $4^{9-5}=4^4$4⁹⁻⁵ = 4⁴.

4. 4

   Si on veut la valeur : $4^4=256$4⁴ = 256.

Rappel de cours : On applique les règles l'une après l'autre : d'abord les produits, puis le quotient.

Erreur fréquente : Mélanger les opérations sur les exposants : $3+6-5=4$3+6-5 = 4, on additionne pour le produit et on soustrait pour le quotient.

Correction détaillée

1. 1

   La notation scientifique s'écrit $a\times 10^n$a × 10ⁿ, où $a$a est un décimal tel que $1⩽a<10$1 ≤ a < 10.

2. 2

   Pour $48000$48 000 : on place la virgule après le premier chiffre, ce qui donne $4,8$4,8.

3. 3

   On a décalé la virgule de $4$4 rangs vers la gauche, donc $48000=4,8\times 10^4$48 000 = 4,8 × 10⁴.

4. 4

   Pour $0,00072$0,00072 : le premier chiffre non nul est $7$7, on écrit $7,2$7,2.

5. 5

   On a décalé la virgule de $4$4 rangs vers la droite, donc l'exposant est négatif : $0,00072=7,2\times 10^{-4}$0,00072 = 7,2 × 10⁻⁴.

Rappel de cours : En notation scientifique, le nombre devant la puissance de $10$10 est toujours entre $1$1 (inclus) et $10$10 (exclu).

Erreur fréquente : Écrire $48\times 10^3$48 × 10³ : $48$48 n'est pas compris entre $1$1 et $10$10.

Correction détaillée

1. 1

   On regroupe les nombres d'un côté et les puissances de $10$10 de l'autre.

2. 2

   $(3\times 4)\times (10^5\times 10^{-2})$(3 × 4) × (10⁵ × 10⁻²).

3. 3

   $3\times 4=12$3 × 4 = 12.

4. 4

   $10^5\times 10^{-2}=10^{5+(-2)}=10^3$10⁵ × 10⁻² = 10^(5 + (-2)) = 10³.

5. 5

   On obtient $12\times 10^3$12 × 10³, mais $12$12 n'est pas compris entre $1$1 et $10$10.

6. 6

   On corrige : $12=1,2\times 10$12 = 1,2 × 10, donc $12\times 10^3=1,2\times 10^4$12 × 10³ = 1,2 × 10⁴.

Rappel de cours : On regroupe d'abord, on ajuste ensuite pour respecter la forme scientifique.

Erreur fréquente : Laisser $12\times 10^3$12 × 10³ : ce n'est pas la notation scientifique.

Correction détaillée

1. 1

   On calcule chaque valeur.

2. 2

   $2^{10}=1024$2¹⁰ = 1024 (c'est $2^5\times 2^5=32\times 32$2⁵ × 2⁵ = 32 × 32).

3. 3

   $10^3=1000$10³ = 1000.

4. 4

   $3^6=(3^3{)}^2=27^2=729$3⁶ = (3³)² = 27² = 729.

5. 5

   $5^4=(5^2{)}^2=25^2=625$5⁴ = (5²)² = 25² = 625.

6. 6

   On range : $625<729<1000<1024$625 < 729 < 1000 < 1024.

7. 7

   Donc $5^4<3^6<10^3<2^{10}$5⁴ < 3⁶ < 10³ < 2¹⁰.

Rappel de cours : Pour comparer des puissances de bases différentes, il faut calculer : ni la base ni l'exposant seuls ne décident.

Erreur fréquente : Croire que le plus grand exposant donne le plus grand nombre : $2^{10}$2¹⁰ et $3^6$3⁶ le montrent bien.

Correction détaillée

1. 1

   On calcule le quotient des deux distances.

2. 2

   $\frac{1,5\times 10^8}{3,8\times 10^5}=\frac{1,5}{3,8}\times \frac{10^8}{10^5}$(1,5 × 10⁸)/(3,8 × 10⁵) = 1,5/3,8 × 10⁸/10⁵.

3. 3

   $\frac{10^8}{10^5}=10^{8-5}=10^3=1000$10⁸/10⁵ = 10⁸⁻⁵ = 10³ = 1000.

4. 4

   $1,5÷3,8\approx 0,395$1,5 ÷ 3,8 ≈ 0,395.

5. 5

   Résultat : $0,395\times 1000\approx 395$0,395 × 1000 ≈ 395.

6. 6

   La distance Terre–Soleil est donc environ $395$395 fois plus grande, soit un ordre de grandeur de $400$400.

Rappel de cours : Pour comparer deux grandeurs, on divise l'une par l'autre en séparant nombres et puissances de $10$10.

Erreur fréquente : Soustraire les distances : la question demande « combien de fois », donc une division.

Correction détaillée

1. 1

   Les règles des puissances valent aussi avec des lettres.

2. 2

   Numérateur : $x^5\times x^2=x^{5+2}=x^7$x⁵ × x² = x⁵⁺² = x⁷.

3. 3

   L'expression devient $\frac{x^7}{x^3}$x⁷/x³.

4. 4

   On soustrait les exposants : $x^{7-3}=x^4$x⁷⁻³ = x⁴.

5. 5

   Vérification avec $x=2$x = 2 : le numérateur vaut $32\times 4=128$32 × 4 = 128, le dénominateur $8$8, et $128÷8=16=2^4$128 ÷ 8 = 16 = 2⁴. ✔

Rappel de cours : Les règles sur les exposants s'appliquent à toute base, nombre ou lettre.

Erreur fréquente : Simplifier $x^7$x⁷ et $x^3$x³ « en barrant » sans compter : il reste $x^4$x⁴, pas $x^2$x².

Correction détaillée

1. 1

   Première façon : on calcule d'abord la parenthèse.

   $2\times 5=10$2 × 5 = 10, donc $(2\times 5{)}^3=10^3=1000$(2×5)³ = 10³ = 1000.

2. 2

   Deuxième façon : on développe.

   $(2\times 5{)}^3=(2\times 5)(2\times 5)(2\times 5)$(2×5)³ = (2×5)(2×5)(2×5).

3. 3

   On regroupe les $2$2 entre eux et les $5$5 entre eux : $(2\times 2\times 2)\times (5\times 5\times 5)=2^3\times 5^3$(2×2×2) × (5×5×5) = 2³ × 5³.

4. 4

   $2^3\times 5^3=8\times 125=1000$2³ × 5³ = 8 × 125 = 1000.

   Les deux méthodes concordent.

5. 5

   Règle : $(a\times b{)}^n=a^n\times b^n$(a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ — l'exposant se distribue sur chaque facteur d'un produit.

Rappel de cours : L'exposant se distribue sur un PRODUIT, mais jamais sur une SOMME.

Erreur fréquente : Appliquer la même règle à une somme : $(2+5{)}^3=343$(2+5)³ = 343 alors que $2^3+5^3=133$2³ + 5³ = 133.

Correction détaillée

1. 1

   Chaque pliage double l'épaisseur.

2. 2

   Après $1$1 pliage : $0,1\times 2=0,2$0,1 × 2 = 0,2 mm.

   Après $2$2 : $0,4$0,4 mm.

   Après $3$3 : $0,8$0,8 mm.

3. 3

   Après $n$n pliages, l'épaisseur a été doublée $n$n fois : elle vaut $0,1\times 2^n$0,1 × 2ⁿ mm.

4. 4

   Pour $n=20$n = 20 : $2^{20}=(2^{10}{)}^2=1024^2=1048576$2²⁰ = (2¹⁰)² = 1024² = 1 048 576.

5. 5

   Épaisseur : $0,1\times 1048576=104857,6$0,1 × 1 048 576 = 104 857,6 mm.

6. 6

   Conversion en mètres : $1$1 m $=1000$= 1000 mm, donc $104857,6÷1000\approx 104,9$104 857,6 ÷ 1000 ≈ 104,9 m.

7. 7

   Après seulement $20$20 pliages, la pile dépasserait la hauteur d'un immeuble de $30$30 étages.

Rappel de cours : Un doublement répété fait exploser les valeurs : c'est la croissance exponentielle.

Erreur fréquente : Multiplier par $20$20 au lieu d'élever à la puissance $20$20 : on trouverait $2$2 mm au lieu de $105$105 m.

Correction détaillée

1. 1

   On divise le diamètre du cheveu par celui du globule.

2. 2

   $\frac{7\times 10^{-5}}{7\times 10^{-6}}=\frac{7}{7}\times \frac{10^{-5}}{10^{-6}}$(7 × 10⁻⁵)/(7 × 10⁻⁶) = 7/7 × 10⁻⁵/10⁻⁶.

3. 3

   $\frac{7}{7}=1$7/7 = 1.

4. 4

   $\frac{10^{-5}}{10^{-6}}=10^{-5-(-6)}=10^{-5+6}=10^1=10$10⁻⁵/10⁻⁶ = 10^(-5 - (-6)) = 10^(-5 + 6) = 10¹ = 10.

5. 5

   Il faudrait donc $10$10 globules rouges alignés.

6. 6

   Remarque : un exposant $-5$-5 correspond à une grandeur DIX FOIS plus grande qu'un exposant $-6$-6.

Rappel de cours : Soustraire un exposant négatif revient à l'ajouter : $-5-(-6)=+1$-5 - (-6) = +1.

Erreur fréquente : Se tromper de sens : $10^{-5}$10⁻⁵ est plus GRAND que $10^{-6}$10⁻⁶, même si $-5>-6$-5 > -6 peut sembler contre-intuitif.

Correction détaillée

1. 1

   a) La règle d'addition des exposants ne vaut que pour un PRODUIT, pas pour une somme.

2. 2

   a) Calcul : $2^3+2^4=8+16=24$2³ + 2⁴ = 8 + 16 = 24, alors que $2^7=128$2⁷ = 128.

   L'affirmation est FAUSSE.

3. 3

   b) Pour une puissance de puissance, on multiplie les exposants : $3\times 4=12$3 × 4 = 12.

   L'affirmation est VRAIE.

4. 4

   c) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$(1/2)³ = 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8.

5. 5

   c) Or $2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$2⁻³ = 1/2³ = 1/8.

   Les deux écritures donnent le même nombre : VRAIE.

Rappel de cours : Les règles des puissances concernent les produits et les quotients, jamais les sommes.

Erreur fréquente : Appliquer $a^m\times a^n=a^{m+n}$a^(m) × aⁿ = a^(m+n) à une addition : c'est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

Correction détaillée

1. 1

   On calcule les premières puissances et on ne garde que le chiffre des unités.

2. 2

   $7^1=7$7¹ = 7 → $7$7 · $7^2=49$7² = 49 → $9$9 · $7^3=343$7³ = 343 → $3$3 · $7^4=2401$7⁴ = 2401 → $1$1.

3. 3

   $7^5=16807$7⁵ = 16 807 → $7$7 : le motif recommence.

   Le cycle est $7,9,3,1$7, 9, 3, 1 et se répète toutes les $4$4 puissances.

4. 4

   Il faut donc connaître le reste de $2026$2026 dans la division par $4$4.

5. 5

   $2026=4\times 506+2$2026 = 4 × 506 + 2, le reste vaut $2$2.

6. 6

   Un reste de $2$2 correspond à la deuxième position du cycle, c'est-à-dire au chiffre $9$9.

7. 7

   Le chiffre des unités de $7^{2026}$7²⁰²⁶ est donc $9$9.

Rappel de cours : Les chiffres des unités des puissances se répètent selon un cycle : il suffit de le repérer.

Erreur fréquente : Vouloir calculer $7^{2026}$7²⁰²⁶ : ce nombre a plus de $1700$1700 chiffres, seule la régularité permet de conclure.

Correction détaillée

1. 1

   Case $1$1 : $1=2^0$1 = 2⁰ grain.

   Case $2$2 : $2=2^1$2 = 2¹.

   Case $3$3 : $4=2^2$4 = 2².

2. 2

   On observe que l'exposant vaut toujours le numéro de la case moins $1$1 : la $n$n-ième case porte $2^{n-1}$2ⁿ⁻¹ grains.

3. 3

   Pour la $64$64ᵉ case : $2^{64-1}=2^{63}\approx 9,22\times 10^{18}$2⁶⁴⁻¹ = 2⁶³ ≈ 9,22 × 10¹⁸ grains.

4. 4

   Masse : si $50$50 grains pèsent $1$1 g, alors la masse en grammes vaut $9,22\times 10^{18}÷50$9,22 × 10¹⁸ ÷ 50.

5. 5

   $9,22÷50=0,1844$9,22 ÷ 50 = 0,1844, donc la masse vaut $0,1844\times 10^{18}=1,844\times 10^{17}$0,1844 × 10¹⁸ = 1,844 × 10¹⁷ g.

6. 6

   Conversion en tonnes : $1$1 t $=10^6$= 10⁶ g, donc on divise par $10^6$10⁶.

7. 7

   $1,844\times 10^{17}÷10^6=1,844\times 10^{11}$1,844 × 10¹⁷ ÷ 10⁶ = 1,844 × 10¹¹ tonnes, soit environ $184$184 milliards de tonnes.

Rappel de cours : Attention au décalage : la case $n$n porte $2^{n-1}$2ⁿ⁻¹ grains, pas $2^n$2ⁿ.

Erreur fréquente : Écrire $2^{64}$2⁶⁴ pour la dernière case : la première case correspond à l'exposant $0$0.