Exercices corrigés : Nombres rationnels — Quatrième

Correction détaillée

1. 1

   La règle des signes d'un quotient est la même que celle d'un produit.

2. 2

   a) Un négatif divisé par un positif donne un négatif : $\frac{-6}{5}$(-6)/5 est négatif.

3. 3

   b) Un positif divisé par un négatif donne un négatif : $\frac{4}{-7}$4/(-7) est négatif.

4. 4

   c) Deux négatifs donnent un positif : $\frac{-3}{-8}$(-3)/(-8) est positif, et vaut $\frac{3}{8}$3/8.

Rappel de cours : Signes identiques → quotient positif · signes différents → quotient négatif.

Erreur fréquente : Croire que deux signes $-$- donnent un résultat négatif : ils s'annulent.

Correction détaillée

1. 1

   $\frac{-3}{4}$(-3)/4 : un négatif divisé par un positif, le résultat est négatif, de valeur $\frac{3}{4}$3/4.

2. 2

   $\frac{3}{-4}$3/(-4) : un positif divisé par un négatif, le résultat est aussi négatif, de valeur $\frac{3}{4}$3/4.

3. 3

   $-\frac{3}{4}$-3/4 est l'opposé de $\frac{3}{4}$3/4, donc le même nombre négatif.

4. 4

   Les trois écritures désignent bien le même nombre : $-0,75$-0,75.

5. 5

   En pratique, on écrit plutôt $-\frac{3}{4}$-3/4, qui est la forme la plus lisible.

Rappel de cours : On place de préférence le signe devant la fraction : $-\frac{a}{b}$-a/b.

Erreur fréquente : Écrire $\frac{-3}{-4}$(-3)/(-4) en croyant simplifier : cela change le signe et donne $+\frac{3}{4}$+3/4.

Correction détaillée

1. 1

   On traite d'abord le signe : un négatif sur un positif donne un résultat négatif.

2. 2

   On simplifie ensuite la valeur $\frac{24}{36}$24/36.

3. 3

   $24$24 et $36$36 sont tous deux divisibles par $12$12 : $24=12\times 2$24 = 12 × 2 et $36=12\times 3$36 = 12 × 3.

4. 4

   $\frac{24}{36}=\frac{2}{3}$24/36 = 2/3.

5. 5

   Le résultat est donc $-\frac{2}{3}$-2/3.

Rappel de cours : On gère le signe séparément, puis on simplifie la valeur absolue.

Erreur fréquente : Oublier le signe en cours de simplification.

Correction détaillée

1. 1

   On met au même dénominateur : $8$8 est un multiple de $4$4.

2. 2

   $-\frac{3}{4}=-\frac{6}{8}$-3/4 = -6/8.

3. 3

   On compare $-\frac{6}{8}$-6/8 et $-\frac{5}{8}$-5/8.

4. 4

   Pour deux négatifs, le plus grand est celui qui est le plus proche de zéro : $-5$-5 est plus grand que $-6$-6.

5. 5

   Donc $-\frac{3}{4}<-\frac{5}{8}$-3/4 < -5/8.

6. 6

   Vérification en décimal : $-0,75<-0,625$-0,75 < -0,625. ✔

Rappel de cours : Chez les négatifs, l'ordre s'inverse : plus la valeur absolue est grande, plus le nombre est petit.

Erreur fréquente : Conclure que $-\frac{3}{4}>-\frac{5}{8}$-3/4 > -5/8 parce que $6>5$6 > 5 : les deux nombres sont négatifs.

Correction détaillée

1. 1

   $-\frac{7}{8}$-7/8 : on divise $7$7 par $8$8.

   $70$70 dixièmes contiennent $8$8 fois $8$8 ($64$64), reste $6$6 ; $60$60 centièmes contiennent $7$7 fois $8$8 ($56$56), reste $4$4 ; $40$40 millièmes contiennent $5$5 fois $8$8, reste $0$0.

2. 2

   Donc $\frac{7}{8}=0,875$7/8 = 0,875, et avec le signe : $-0,875$-0,875.

   Le quotient est exact.

3. 3

   $\frac{5}{6}$5/6 : $50$50 dixièmes contiennent $8$8 fois $6$6 ($48$48), reste $2$2 ; $20$20 centièmes contiennent $3$3 fois $6$6 ($18$18), reste $2$2…

4. 4

   Le reste $2$2 se répète indéfiniment : $\frac{5}{6}=0,8333\dots$5/6 = 0,8333…, la division ne s'arrête jamais.

5. 5

   Arrondi au centième : $0,83$0,83.

Rappel de cours : Certains rationnels ont une écriture décimale exacte, d'autres une écriture illimitée.

Erreur fréquente : Écrire $=$= au lieu de $\approx$≈ pour une valeur arrondie.

Correction détaillée

1. 1

   On met au même dénominateur : $6$6 est un multiple de $3$3.

2. 2

   $-\frac{2}{3}=-\frac{4}{6}$-2/3 = -4/6.

3. 3

   Le calcul devient $-\frac{4}{6}+\frac{5}{6}$-4/6 + 5/6.

4. 4

   On additionne les numérateurs relatifs : $-4+5=+1$-4 + 5 = +1.

5. 5

   Résultat : $\frac{1}{6}$1/6.

Rappel de cours : Même dénominateur : on additionne les numérateurs en respectant les règles des relatifs.

Erreur fréquente : Additionner $4+5=9$4 + 5 = 9 en oubliant le signe du premier numérateur.

Correction détaillée

1. 1

   Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé : $-\left(-\frac{2}{5}\right)=+\frac{2}{5}$-(-2/5) = +2/5.

2. 2

   Le calcul devient $\frac{1}{4}+\frac{2}{5}$1/4 + 2/5.

3. 3

   Dénominateur commun : $4\times 5=20$4 × 5 = 20.

4. 4

   $\frac{1}{4}=\frac{5}{20}$1/4 = 5/20 et $\frac{2}{5}=\frac{8}{20}$2/5 = 8/20.

5. 5

   $\frac{5}{20}+\frac{8}{20}=\frac{13}{20}$5/20 + 8/20 = 13/20.

Rappel de cours : Deux signes $-$- qui se suivent donnent un $+$+.

Erreur fréquente : Garder la soustraction et obtenir un résultat négatif : soustraire un négatif AUGMENTE le résultat.

Correction détaillée

1. 1

   On détermine d'abord le signe : un négatif par un positif donne un négatif.

2. 2

   On écrit le produit : $\frac{3\times 8}{4\times 9}$(3 × 8)/(4 × 9), en gardant le signe $-$- devant.

3. 3

   On simplifie avant de multiplier : $3$3 et $9$9 se simplifient par $3$3 ; $8$8 et $4$4 se simplifient par $4$4.

4. 4

   Il reste $\frac{1\times 2}{1\times 3}=\frac{2}{3}$(1 × 2)/(1 × 3) = 2/3.

5. 5

   Avec le signe : $-\frac{2}{3}$-2/3.

Rappel de cours : On détermine le signe d'abord, puis on simplifie, puis on multiplie.

Erreur fréquente : Chercher un dénominateur commun pour multiplier : c'est inutile.

Correction détaillée

1. 1

   Diviser revient à multiplier par l'inverse.

   L'inverse de $-\frac{10}{3}$-10/3 est $-\frac{3}{10}$-3/10.

2. 2

   Le calcul devient $\frac{5}{6}\times \left(-\frac{3}{10}\right)$5/6 × (-3/10).

3. 3

   Signe : un positif par un négatif donne un négatif.

4. 4

   On simplifie : $5$5 et $10$10 par $5$5 ; $3$3 et $6$6 par $3$3.

5. 5

   Il reste $\frac{1\times 1}{2\times 2}=\frac{1}{4}$(1 × 1)/(2 × 2) = 1/4.

6. 6

   Résultat : $-\frac{1}{4}$-1/4.

Rappel de cours : L'inverse de $\frac{a}{b}$a/b est $\frac{b}{a}$b/a : le signe, lui, ne change pas.

Erreur fréquente : Confondre inverse et opposé : l'inverse de $-\frac{10}{3}$-10/3 est $-\frac{3}{10}$-3/10, pas $+\frac{3}{10}$+3/10.

Correction détaillée

1. 1

   Le solde de départ est $-180$-180 €.

2. 2

   La part remboursée vaut $\frac{2}{5}$2/5 de $180$180 €.

3. 3

   Un cinquième de $180$180 vaut $180÷5=36$180 ÷ 5 = 36 €, donc deux cinquièmes valent $2\times 36=72$2 × 36 = 72 €.

4. 4

   Rembourser $72$72 € revient à ajouter $+72$+72 au solde.

5. 5

   Nouveau solde : $-180+72=-108$-180 + 72 = -108 €.

6. 6

   Le compte reste débiteur, de $108$108 €.

Rappel de cours : Un remboursement fait remonter le solde vers zéro : c'est une addition.

Erreur fréquente : Calculer $\frac{2}{5}$2/5 de $-180$-180 et s'arrêter là : $-72$-72 est la part remboursée, pas le nouveau solde.

Correction détaillée

1. 1

   La multiplication est prioritaire sur la soustraction.

2. 2

   $\frac{3}{4}\times \frac{2}{9}=\frac{3\times 2}{4\times 9}$3/4 × 2/9 = (3 × 2)/(4 × 9).

   On simplifie : $3$3 avec $9$9 (par $3$3) et $2$2 avec $4$4 (par $2$2).

3. 3

   Il reste $\frac{1\times 1}{2\times 3}=\frac{1}{6}$(1 × 1)/(2 × 3) = 1/6.

4. 4

   L'expression devient $\frac{1}{2}-\frac{1}{6}$1/2 - 1/6.

5. 5

   Dénominateur commun $6$6 : $\frac{1}{2}=\frac{3}{6}$1/2 = 3/6.

6. 6

   $\frac{3}{6}-\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$3/6 - 1/6 = 2/6 = 1/3.

Rappel de cours : Priorités : parenthèses, puis $\times$× et $÷$÷, puis $+$+ et $-$-.

Erreur fréquente : Calculer de gauche à droite : on obtiendrait un résultat différent.

Correction détaillée

1. 1

   On commence par la parenthèse.

   Dénominateur commun à $3$3 et $4$4 : $12$12.

2. 2

   $\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$2/3 = 8/12 et $\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$1/4 = 3/12.

3. 3

   $\frac{8}{12}-\frac{3}{12}=\frac{5}{12}$8/12 - 3/12 = 5/12.

4. 4

   On multiplie ensuite : $\frac{5}{12}\times \frac{6}{5}$5/12 × 6/5.

5. 5

   On simplifie : $5$5 avec $5$5, et $6$6 avec $12$12 (par $6$6).

6. 6

   Il reste $\frac{1\times 1}{2\times 1}=\frac{1}{2}$(1 × 1)/(2 × 1) = 1/2.

Rappel de cours : Les parenthèses passent avant tout, même avant la multiplication.

Erreur fréquente : Distribuer la multiplication sans calculer la parenthèse : c'est possible mais bien plus long.

Correction détaillée

1. 1

   Quantité retirée : $\frac{1}{3}$1/3 de $\frac{3}{5}$3/5, c'est-à-dire $\frac{1}{3}\times \frac{3}{5}$1/3 × 3/5.

2. 2

   On simplifie : le $3$3 du numérateur avec le $3$3 du dénominateur.

3. 3

   Il reste $\frac{1}{5}$1/5 du réservoir retiré.

4. 4

   Quantité restante : $\frac{3}{5}-\frac{1}{5}=\frac{2}{5}$3/5 - 1/5 = 2/5.

5. 5

   Vérification concrète avec un réservoir de $100$100 L : il contenait $60$60 L, on en retire $20$20 L, il reste $40$40 L, soit $\frac{2}{5}$2/5. ✔

Rappel de cours : « Une fraction d'une fraction » se traduit par une multiplication.

Erreur fréquente : Soustraire $\frac{1}{3}$1/3 à $\frac{3}{5}$3/5 : le tiers porte sur le CONTENU, pas sur le réservoir entier.

Correction détaillée

1. 1

   On isole $x$x en soustrayant $\frac{3}{4}$3/4 des deux côtés : $x=\frac{1}{6}-\frac{3}{4}$x = 1/6 - 3/4.

2. 2

   Dénominateur commun à $6$6 et $4$4 : $12$12.

3. 3

   $\frac{1}{6}=\frac{2}{12}$1/6 = 2/12 et $\frac{3}{4}=\frac{9}{12}$3/4 = 9/12.

4. 4

   $x=\frac{2}{12}-\frac{9}{12}=\frac{2-9}{12}=-\frac{7}{12}$x = 2/12 - 9/12 = (2 - 9)/12 = -7/12.

5. 5

   Vérification : $\frac{9}{12}+\left(-\frac{7}{12}\right)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$9/12 + (-7/12) = 2/12 = 1/6. ✔

Rappel de cours : Le résultat peut être négatif, même si l'énoncé ne contient que des nombres positifs.

Erreur fréquente : Écrire $\frac{9}{12}-\frac{2}{12}$9/12 - 2/12 : on soustrait dans le mauvais sens.

Correction détaillée

1. 1

   On sépare : négatifs $-\frac{2}{3}$-2/3 et $-\frac{5}{9}$-5/9 ; positif $\frac{3}{5}$3/5 ; et $0$0.

2. 2

   Pour comparer les deux négatifs, on prend le dénominateur commun $9$9 : $-\frac{2}{3}=-\frac{6}{9}$-2/3 = -6/9.

3. 3

   On compare $-\frac{6}{9}$-6/9 et $-\frac{5}{9}$-5/9 : chez les négatifs, $-6<-5$-6 < -5.

4. 4

   Donc $-\frac{2}{3}<-\frac{5}{9}$-2/3 < -5/9.

5. 5

   Tous les négatifs sont inférieurs à $0$0, lui-même inférieur au positif $\frac{3}{5}$3/5.

6. 6

   Ordre : $-\frac{2}{3}<-\frac{5}{9}<0<\frac{3}{5}$-2/3 < -5/9 < 0 < 3/5.

Rappel de cours : On sépare toujours négatifs et positifs avant de comparer entre eux.

Erreur fréquente : Comparer les valeurs absolues sans tenir compte du signe.

Correction détaillée

1. 1

   Une fraction irréductible a une écriture décimale exacte si son dénominateur ne contient, comme diviseurs premiers, que $2$2 et $5$5.

2. 2

   $\frac{3}{8}$3/8 : $8=2\times 2\times 2$8 = 2 × 2 × 2, uniquement des $2$2 → exacte ($0,375$0,375).

3. 3

   $\frac{2}{7}$2/7 : $7$7 n'est ni $2$2 ni $5$5 → illimitée ($0,285714\dots$0,285714…).

4. 4

   $\frac{9}{20}$9/20 : $20=2\times 2\times 5$20 = 2 × 2 × 5 → exacte ($0,45$0,45).

5. 5

   $\frac{4}{15}$4/15 : $15=3\times 5$15 = 3 × 5, le facteur $3$3 empêche l'écriture exacte → illimitée ($0,2666\dots$0,2666…).

Rappel de cours : Écriture décimale exacte $\iff$⇔ dénominateur ne contenant que des facteurs $2$2 et $5$5.

Erreur fréquente : Croire que toute fraction se termine : $\frac{1}{3}=0,333\dots$1/3 = 0,333… ne s'arrête jamais.

Correction détaillée

1. 1

   On additionne les trois fractions.

   Dénominateur commun à $4$4, $3$3 et $6$6 : $12$12.

2. 2

   $\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$1/4 = 3/12 ; $\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$1/3 = 4/12 ; $\frac{1}{6}=\frac{2}{12}$1/6 = 2/12.

3. 3

   Consommé : $\frac{3+4+2}{12}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$(3+4+2)/12 = 9/12 = 3/4 du pot.

4. 4

   Restant : $1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$1 - 3/4 = 1/4.

5. 5

   Masse restante : $\frac{1}{4}$1/4 de $360$360 g $=360÷4=90$= 360 ÷ 4 = 90 g.

6. 6

   Vérification : consommé $3\times 90=270$3 × 90 = 270 g, et $270+90=360$270 + 90 = 360 g. ✔

Rappel de cours : Attention à l'énoncé : ici toutes les fractions portent sur le pot INITIAL, pas sur ce qui restait.

Erreur fréquente : Calculer $\frac{1}{3}$1/3 de ce qui restait après lundi : l'énoncé précise « du pot initial ».

Correction détaillée

1. 1

   Une grande barre de fraction agit comme une parenthèse : on calcule d'abord le numérateur.

2. 2

   $\frac{2}{3}+\frac{1}{6}$2/3 + 1/6 : dénominateur commun $6$6, donc $\frac{4}{6}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$4/6 + 1/6 = 5/6.

3. 3

   L'expression devient $A=\frac{5}{6}÷\frac{5}{4}$A = 5/6 ÷ 5/4.

4. 4

   Diviser revient à multiplier par l'inverse : $A=\frac{5}{6}\times \frac{4}{5}$A = 5/6 × 4/5.

5. 5

   On simplifie : $5$5 avec $5$5, et $4$4 avec $6$6 (par $2$2).

6. 6

   Il reste $\frac{1\times 2}{3\times 1}=\frac{2}{3}$(1 × 2)/(3 × 1) = 2/3.

Rappel de cours : La grande barre de fraction sépare deux blocs : on calcule chacun avant de diviser.

Erreur fréquente : Diviser terme à terme : $\frac{2}{3}÷\frac{5}{4}$2/3 ÷ 5/4 puis ajouter n'a rien à voir avec le calcul demandé.

Correction détaillée

1. 1

   Après la première dépense, il lui reste $1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$1 - 2/5 = 3/5 de sa somme.

2. 2

   Elle dépense ensuite $\frac{1}{4}$1/4 de ce reste : il lui reste donc $\frac{3}{4}$3/4 du reste.

3. 3

   Fraction finale de la somme initiale : $\frac{3}{4}\times \frac{3}{5}=\frac{9}{20}$3/4 × 3/5 = 9/20.

4. 4

   Ces $\frac{9}{20}$9/20 valent $27$27 €.

5. 5

   Un vingtième vaut donc $27÷9=3$27 ÷ 9 = 3 €.

6. 6

   La somme initiale, c'est $20$20 vingtièmes : $20\times 3=60$20 × 3 = 60 €.

7. 7

   Vérification : $\frac{2}{5}$2/5 de $60=24$60 = 24 €, il reste $36$36 € ; $\frac{1}{4}$1/4 de $36=9$36 = 9 €, il reste $27$27 €. ✔

Rappel de cours : Quand une fraction porte sur « le reste », on multiplie les fractions restantes entre elles.

Erreur fréquente : Additionner $\frac{2}{5}$2/5 et $\frac{1}{4}$1/4 : la seconde ne porte pas sur la somme initiale.

Correction détaillée

1. 1

   a) Entre deux rationnels, leur moyenne est un rationnel strictement compris entre eux.

2. 2

   a) Par exemple entre $\frac{1}{3}$1/3 et $\frac{1}{2}$1/2, la moyenne vaut $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{12}$1/2(1/3+1/2) = 5/12.

   VRAI.

3. 3

   b) Dans les deux cas, un seul signe $-$- apparaît : le quotient est négatif de même valeur absolue $\frac{a}{b}$a/b.

   VRAI.

4. 4

   c) Contre-exemple : $\frac{1}{3}=0,3333\dots$1/3 = 0,3333… ne s'arrête jamais.

   FAUX.

5. 5

   c) L'écriture s'arrête seulement si le dénominateur de la fraction irréductible n'a que des facteurs $2$2 et $5$5.

Rappel de cours : Un contre-exemple suffit à réfuter une affirmation générale.

Erreur fréquente : Confondre « écriture décimale illimitée » et « nombre irrationnel » : $\frac{1}{3}$1/3 est bien rationnel.