Exercices corrigés : Statistiques — Quatrième

Correction détaillée

1. 1

   On additionne toutes les valeurs.

2. 2

   $14+9=23$14 + 9 = 23 ; $23+12=35$23 + 12 = 35 ; $35+17=52$35 + 17 = 52 ; $52+13=65$52 + 13 = 65.

3. 3

   On divise par le nombre de valeurs, ici $5$5.

4. 4

   Moyenne $=65÷5=13$= 65 ÷ 5 = 13.

5. 5

   Cohérence : la moyenne est comprise entre $9$9 et $17$17. ✔

Rappel de cours : Moyenne $=$= somme des valeurs $÷$÷ effectif.

Erreur fréquente : Diviser par une valeur au hasard : on divise par le NOMBRE de données.

Correction détaillée

1. 1

   Première étape indispensable : ranger la série dans l'ordre croissant.

2. 2

   $9$9 ; $12$12 ; $13$13 ; $14$14 ; $17$17.

3. 3

   L'effectif est $5$5, un nombre impair : la médiane est la valeur du milieu.

4. 4

   La position du milieu est la $3$3ᵉ : deux valeurs avant, deux valeurs après.

5. 5

   La médiane vaut donc $13$13.

Rappel de cours : On range TOUJOURS la série avant de chercher la médiane.

Erreur fréquente : Prendre la valeur du milieu de la liste non rangée : ici on trouverait $12$12, ce qui est faux.

Correction détaillée

1. 1

   On range : $4$4 ; $7$7 ; $9$9 ; $11$11 ; $12$12 ; $15$15.

2. 2

   L'effectif est $6$6, un nombre pair : il n'y a pas de valeur unique au milieu.

3. 3

   Les deux valeurs centrales sont la $3$3ᵉ et la $4$4ᵉ, soit $9$9 et $11$11.

4. 4

   La médiane est leur moyenne : $\frac{9+11}{2}=\frac{20}{2}=10$(9 + 11)/2 = 20/2 = 10.

5. 5

   On vérifie : trois valeurs sont inférieures à $10$10 et trois lui sont supérieures. ✔

Rappel de cours : Effectif pair : la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales.

Erreur fréquente : Choisir l'une des deux valeurs centrales au hasard.

Correction détaillée

1. 1

   L'étendue mesure la dispersion : c'est l'écart entre la plus grande et la plus petite valeur.

2. 2

   Valeur maximale : $52$52.

3. 3

   Valeur minimale : $18$18.

4. 4

   Étendue $=52-18=34$= 52 - 18 = 34.

Rappel de cours : Étendue $=$= maximum $-$- minimum. Elle ne dit rien du centre de la série.

Erreur fréquente : Confondre étendue et médiane : ce sont deux informations complètement différentes.

Correction détaillée

1. 1

   Chaque note compte autant de fois qu'il y a d'élèves l'ayant obtenue.

2. 2

   Total des points : $5\times 8=40$5 × 8 = 40 ; $12\times 12=144$12 × 12 = 144 ; $8\times 16=128$8 × 16 = 128.

3. 3

   Somme : $40+144=184$40 + 144 = 184, puis $184+128=312$184 + 128 = 312.

4. 4

   Effectif total : $5+12+8=25$5 + 12 + 8 = 25 élèves.

5. 5

   Moyenne : $312÷25=12,48$312 ÷ 25 = 12,48.

Rappel de cours : Moyenne pondérée : on multiplie chaque valeur par son effectif avant d'additionner.

Erreur fréquente : Calculer $(8+12+16)÷3=12$(8+12+16) ÷ 3 = 12 : les trois notes n'ont pas le même nombre d'élèves.

Correction détaillée

1. 1

   Effectif total : $5+12+8=25$5 + 12 + 8 = 25 élèves, un nombre impair.

2. 2

   La médiane est la note du $13$13ᵉ élève, une fois toutes les notes rangées (car $12$12 avant, $12$12 après).

3. 3

   On accumule les effectifs : les élèves $1$1 à $5$5 ont $8$8.

4. 4

   Les élèves $6$6 à $17$17 ont $12$12 (car $5+12=17$5 + 12 = 17).

5. 5

   Le $13$13ᵉ élève se situe donc dans cette tranche : sa note est $12$12.

6. 6

   La médiane vaut $12$12.

Rappel de cours : Avec un tableau, on cumule les effectifs pour repérer la position centrale.

Erreur fréquente : Prendre la valeur du milieu du tableau ($12$12 ici par coïncidence) sans cumuler : la méthode serait fausse dans d'autres cas.

Correction détaillée

1. 1

   Un coefficient fonctionne comme un effectif : il indique le poids de la note.

2. 2

   Total des points : $14\times 1=14$14 × 1 = 14 ; $11\times 3=33$11 × 3 = 33 ; $16\times 2=32$16 × 2 = 32.

3. 3

   Somme : $14+33+32=79$14 + 33 + 32 = 79.

4. 4

   Somme des coefficients : $1+3+2=6$1 + 3 + 2 = 6.

5. 5

   Moyenne : $79÷6\approx 13,17$79 ÷ 6 ≈ 13,17.

6. 6

   Sans coefficients, la moyenne serait $(14+11+16)÷3\approx 13,67$(14+11+16) ÷ 3 ≈ 13,67 : le fort coefficient sur la plus faible note tire la moyenne vers le bas.

Rappel de cours : On divise par la SOMME DES COEFFICIENTS, pas par le nombre de notes.

Erreur fréquente : Diviser $79$79 par $3$3 : il y a trois notes mais six coefficients.

Correction détaillée

1. 1

   Moyenne : $10+11+12+13+94=140$10 + 11 + 12 + 13 + 94 = 140, puis $140÷5=28$140 ÷ 5 = 28.

2. 2

   Médiane : la série est déjà rangée, l'effectif est impair ($5$5), la valeur centrale est la $3$3ᵉ, soit $12$12.

3. 3

   La moyenne ($28$28) est supérieure à quatre des cinq valeurs : elle ne représente pas bien la série.

4. 4

   La médiane ($12$12) est en revanche très proche de la majorité des valeurs.

5. 5

   C'est la valeur extrême $94$94 qui tire fortement la moyenne vers le haut, sans affecter la médiane.

6. 6

   Conclusion : ici, la médiane représente bien mieux la série.

Rappel de cours : La médiane est INSENSIBLE aux valeurs extrêmes, contrairement à la moyenne.

Erreur fréquente : Utiliser systématiquement la moyenne : elle est trompeuse dès qu'une valeur s'écarte fortement.

Correction détaillée

1. 1

   On additionne les effectifs connus : $45+72=117$45 + 72 = 117.

2. 2

   $117+38=155$117 + 38 = 155.

3. 3

   Effectif restant : $200-155=45$200 - 155 = 45 personnes.

4. 4

   Vérification : $45+72+38+45=200$45 + 72 + 38 + 45 = 200. ✔

Rappel de cours : La somme des effectifs doit toujours redonner l'effectif total.

Erreur fréquente : Soustraire une seule catégorie du total.

Correction détaillée

1. 1

   Fréquence $=\frac{70}{250}$= 70/250.

2. 2

   On simplifie par $10$10 : $\frac{7}{25}$7/25.

3. 3

   On met sur $100$100 : $\frac{7\times 4}{25\times 4}=\frac{28}{100}$(7 × 4)/(25 × 4) = 28/100.

4. 4

   Soit $28\%$28 %.

5. 5

   Vérification : $28\%$28 % de $250$250 valent $250\times 0,28=70$250 × 0,28 = 70. ✔

Rappel de cours : Fréquence $=$= effectif $÷$÷ effectif total, exprimée ensuite en pourcentage.

Erreur fréquente : Répondre $70\%$70 % : l'effectif total n'est pas $100$100.

Correction détaillée

1. 1

   On repasse par la somme : si $9$9 valeurs ont pour moyenne $14$14, leur somme vaut $9\times 14=126$9 × 14 = 126.

2. 2

   Nouvelle somme : $126+24=150$126 + 24 = 150.

3. 3

   Nouvel effectif : $10$10.

4. 4

   Nouvelle moyenne : $150÷10=15$150 ÷ 10 = 15.

5. 5

   Cohérence : la valeur ajoutée ($24$24) étant supérieure à $14$14, la moyenne devait augmenter. ✔

Rappel de cours : Somme $=$= moyenne $\times$× effectif : c'est la relation qui permet tous ces calculs.

Erreur fréquente : Faire $(14+24)÷2=19$(14 + 24) ÷ 2 = 19 : les deux « groupes » n'ont pas la même taille.

Correction détaillée

1. 1

   Somme totale nécessaire : $6\times 12,5=75$6 × 12,5 = 75.

2. 2

   Somme des cinq valeurs connues : $10+14=24$10 + 14 = 24 ; $24+9=33$24 + 9 = 33 ; $33+16=49$33 + 16 = 49 ; $49+13=62$49 + 13 = 62.

3. 3

   La sixième valeur vaut $75-62=13$75 - 62 = 13.

4. 4

   Vérification : $(10+14+9+16+13+13)÷6=75÷6=12,5$(10+14+9+16+13+13) ÷ 6 = 75 ÷ 6 = 12,5. ✔

Rappel de cours : On calcule la somme attendue, puis on soustrait la somme des valeurs connues.

Erreur fréquente : Faire la moyenne des cinq valeurs connues et croire que la sixième vaut $12,5$12,5.

Correction détaillée

1. 1

   On lit les valeurs : année $1$1 : $40$40 ; année $2$2 : $65$65 ; année $3$3 : $55$55 ; année $4$4 : $90$90 ; année $5$5 : $100$100.

2. 2

   On calcule les variations d'une année à la suivante.

3. 3

   $65-40=+25$65 - 40 = +25 ; $55-65=-10$55 - 65 = -10 ; $90-55=+35$90 - 55 = +35 ; $100-90=+10$100 - 90 = +10.

4. 4

   La plus forte hausse est de $+35$+35, entre les années $3$3 et $4$4.

5. 5

   Moyenne : $40+65+55+90+100=350$40 + 65 + 55 + 90 + 100 = 350, puis $350÷5=70$350 ÷ 5 = 70 inscriptions par an.

Rappel de cours : Une variation se calcule par « valeur d'arrivée $-$- valeur de départ ».

Erreur fréquente : Confondre « plus forte hausse » et « année la plus forte » : l'année $5$5 a le plus d'inscrits mais pas la plus forte hausse.

Correction détaillée

1. 1

   On ne peut pas faire la moyenne des moyennes : les groupes n'ont pas la même taille.

2. 2

   Total de points du premier groupe : $12\times 15=180$12 × 15 = 180.

3. 3

   Total du second : $18\times 10=180$18 × 10 = 180.

4. 4

   Total général : $180+180=360$180 + 180 = 360 points.

5. 5

   Effectif total : $30$30 élèves.

6. 6

   Moyenne : $360÷30=12$360 ÷ 30 = 12.

7. 7

   Cohérence : la moyenne ($12$12) est plus proche de $10$10 que de $15$15, car le second groupe est plus nombreux. ✔

Rappel de cours : On additionne les totaux de points ET les effectifs, jamais les moyennes.

Erreur fréquente : Calculer $(15+10)÷2=12,5$(15+10) ÷ 2 = 12,5 : ce serait juste seulement si les groupes étaient de même taille.

Correction détaillée

1. 1

   Étendue : la plus grande valeur est $5$5, la plus petite $0$0, donc étendue $=5$= 5.

2. 2

   Effectif total : $3+6+9+5+1=24$3 + 6 + 9 + 5 + 1 = 24 élèves, un nombre pair.

3. 3

   La médiane est la moyenne des $12$12ᵉ et $13$13ᵉ valeurs rangées.

4. 4

   Cumul : élèves $1$1–$3$3 → $0$0 livre ; $4$4–$9$9 → $1$1 livre ; $10$10–$18$18 → $2$2 livres.

5. 5

   Les $12$12ᵉ et $13$13ᵉ élèves sont donc tous deux dans la tranche « $2$2 livres » : la médiane vaut $2$2.

6. 6

   Moyenne : $0\times 3+1\times 6+2\times 9+3\times 5+5\times 1=0+6+18+15+5=44$0×3 + 1×6 + 2×9 + 3×5 + 5×1 = 0 + 6 + 18 + 15 + 5 = 44.

7. 7

   Moyenne $=44÷24\approx 1,83$= 44 ÷ 24 ≈ 1,83 livre.

Rappel de cours : Trois indicateurs, trois informations différentes : dispersion, position centrale, valeur « équitable ».

Erreur fréquente : Prendre la médiane des VALEURS du tableau ($2$2 ici par chance) sans cumuler les effectifs.

Correction détaillée

1. 1

   Série initiale — somme : $12+13+14+15+16=70$12+13+14+15+16 = 70, moyenne $=14$= 14.

   Médiane : valeur centrale, soit $14$14.

2. 2

   Série modifiée : $12$12 ; $13$13 ; $14$14 ; $15$15 ; $96$96.

   Somme $=150$= 150, moyenne $=30$= 30.

3. 3

   La moyenne a plus que doublé : elle est passée de $14$14 à $30$30.

4. 4

   Médiane de la nouvelle série : la valeur centrale est toujours la $3$3ᵉ, soit $14$14.

   Elle n'a pas bougé.

5. 5

   Conclusion : une seule valeur extrême bouleverse la moyenne mais laisse la médiane inchangée.

6. 6

   C'est pourquoi on utilise la médiane pour les salaires ou les prix de l'immobilier, où quelques valeurs très élevées existent toujours.

Rappel de cours : La médiane ne dépend que des POSITIONS, pas des valeurs elles-mêmes.

Erreur fréquente : Croire que les deux indicateurs évoluent toujours ensemble.

Correction détaillée

1. 1

   Somme des salaires : $9\times 1900=17100$9 × 1900 = 17 100 €, plus $3500$3500, plus $12000$12 000.

2. 2

   $17100+3500=20600$17 100 + 3500 = 20 600, puis $20600+12000=32600$20 600 + 12 000 = 32 600 €.

3. 3

   Salaire moyen : $32600÷11\approx 2963,64$32 600 ÷ 11 ≈ 2963,64 €.

4. 4

   Pour la médiane, on range : neuf salaires à $1900$1900, puis $3500$3500, puis $12000$12 000.

5. 5

   L'effectif est $11$11, impair : la médiane est le $6$6ᵉ salaire, qui vaut $1900$1900 €.

6. 6

   La moyenne (environ $2964$2964 €) est supérieure au salaire de dix personnes sur onze : elle donne une image trompeuse.

7. 7

   Le salaire médian ($1900$1900 €) décrit bien mieux la situation réelle des salariés.

Rappel de cours : Les statistiques officielles publient le salaire MÉDIAN pour cette raison précise.

Erreur fréquente : Conclure de la moyenne que « les salariés gagnent environ $3000$3000 € » : personne ne gagne cette somme.

Correction détaillée

1. 1

   La somme doit valoir $5\times 10=50$5 × 10 = 50.

2. 2

   L'effectif est impair : la médiane est la $3$3ᵉ valeur rangée, donc elle vaut $8$8.

3. 3

   Appelons la série rangée $a⩽b⩽8⩽d⩽e$a ≤ b ≤ 8 ≤ d ≤ e, avec $e-a=12$e - a = 12.

4. 4

   Essayons $a=4$a = 4, donc $e=16$e = 16.

   Il reste $b+d=50-4-8-16=22$b + d = 50 - 4 - 8 - 16 = 22.

5. 5

   Avec les contraintes $b⩽8$b ≤ 8 et $d⩾8$d ≥ 8, on peut prendre $b=6$b = 6 et $d=16$d = 16… mais $d=16$d = 16 est possible seulement si $e⩾16$e ≥ 16, ce qui est le cas.

6. 6

   Série proposée : $4$4 ; $6$6 ; $8$8 ; $16$16 ; $16$16.

7. 7

   Vérification : somme $=50$= 50 donc moyenne $=10$= 10 ✔ ; $3$3ᵉ valeur $=8$= 8 ✔ ; étendue $=16-4=12$= 16 - 4 = 12 ✔.

Rappel de cours : On traduit chaque contrainte, puis on ajuste les valeurs libres.

Erreur fréquente : Oublier que la série doit rester rangée pour que la médiane soit bien la $3$3ᵉ valeur.

Correction détaillée

1. 1

   La moyenne ne permet pas de les distinguer : elle vaut $12$12 dans les deux cas.

2. 2

   L'indicateur pertinent est l'ÉTENDUE, qui mesure la dispersion.

3. 3

   Classe A : étendue $=13-11=2$= 13 - 11 = 2.

4. 4

   Classe B : étendue $=20-4=16$= 20 - 4 = 16.

5. 5

   La classe A est très homogène : tous les élèves ont un niveau proche.

6. 6

   La classe B est très hétérogène : elle contient à la fois des élèves en grande difficulté et des élèves excellents.

7. 7

   Conséquence pédagogique : ces deux classes ne se gèrent pas du tout de la même façon, malgré une moyenne identique.

Rappel de cours : Un indicateur de POSITION (moyenne, médiane) ne dit rien de la DISPERSION.

Erreur fréquente : Conclure que les deux classes se ressemblent parce que les moyennes sont égales.

Correction détaillée

1. 1

   Les $4$4 premiers contrôles ont chacun un coefficient $1$1 : leur total de points vaut $4\times 11=44$4 × 11 = 44, pour $4$4 coefficients.

2. 2

   Le dernier contrôle a un coefficient $2$2 : la somme des coefficients passe à $4+2=6$4 + 2 = 6.

3. 3

   Pour une moyenne de $12$12 sur $6$6 coefficients, le total de points doit valoir $6\times 12=72$6 × 12 = 72.

4. 4

   Les points à obtenir au dernier contrôle : $72-44=28$72 - 44 = 28 points.

5. 5

   Comme ce contrôle compte double, la note $n$n vérifie $2n=28$2n = 28, donc $n=14$n = 14.

6. 6

   Vérification : $(44+2\times 14)÷6=(44+28)÷6=72÷6=12$(44 + 2 × 14) ÷ 6 = (44 + 28) ÷ 6 = 72 ÷ 6 = 12. ✔

Rappel de cours : Avec des coefficients, on raisonne sur les POINTS totaux et sur la somme des coefficients.

Erreur fréquente : Oublier que le coefficient $2$2 augmente aussi le dénominateur de la moyenne.