Exercices corrigés : Proportionnalité — Quatrième

Correction détaillée

1. 1

   Le prix d'un kilogramme s'obtient en divisant le prix total par la masse.

2. 2

   $16,80÷7=2,40$16,80 ÷ 7 = 2,40 €.

3. 3

   Ce prix unitaire EST le coefficient de proportionnalité : il permet de passer de la masse au prix.

4. 4

   Vérification : $7\times 2,4=16,8$7 × 2,4 = 16,8 €. ✔

Rappel de cours : Le coefficient de proportionnalité correspond à la valeur pour « $1$1 ».

Erreur fréquente : Calculer $7÷16,80$7 ÷ 16,80 : on obtiendrait la masse par euro.

Correction détaillée

1. 1

   On passe par le prix d'un mètre : $32÷5=6,40$32 ÷ 5 = 6,40 €.

2. 2

   Prix de $12$12 m : $12\times 6,40$12 × 6,40.

3. 3

   $12\times 6,4=12\times 6+12\times 0,4=72+4,8=76,8$12 × 6,4 = 12 × 6 + 12 × 0,4 = 72 + 4,8 = 76,8 €.

4. 4

   Les $12$12 m coûtent donc $76,80$76,80 €.

5. 5

   Ordre de grandeur : $12$12 m, c'est un peu plus du double de $5$5 m, et $76,80$76,80 est bien un peu plus du double de $32$32. ✔

Rappel de cours : Le passage par l'unité est la méthode la plus sûre.

Erreur fréquente : Ajouter $7$7 m « au prix du mètre près » sans avoir calculé le prix unitaire.

Correction détaillée

1. 1

   Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux.

2. 2

   $8\times x=20\times 14$8 × x = 20 × 14.

3. 3

   $20\times 14=280$20 × 14 = 280.

4. 4

   Donc $8x=280$8x = 280, et $x=280÷8=35$x = 280 ÷ 8 = 35.

5. 5

   Vérification : $20÷8=2,5$20 ÷ 8 = 2,5 et $35÷14=2,5$35 ÷ 14 = 2,5, le coefficient est bien le même. ✔

Rappel de cours : Produit en croix : on multiplie les cases en diagonale.

Erreur fréquente : Multiplier deux cases de la même colonne.

Correction détaillée

1. 1

   La vitesse moyenne est la distance parcourue en une heure.

2. 2

   On divise la distance par la durée : $270÷3=90$270 ÷ 3 = 90.

3. 3

   La vitesse moyenne vaut $90$90 km/h.

4. 4

   Attention à l'unité : elle se lit « kilomètres par heure » et rappelle la division effectuée.

Rappel de cours : $v=\frac{d}{t}$v = d/t : l'unité de vitesse indique toujours la division.

Erreur fréquente : Multiplier la distance par la durée : on obtiendrait un nombre sans signification.

Correction détaillée

1. 1

   $35\%$35 % signifie $\frac{35}{100}$35/100, soit $0,35$0,35.

2. 2

   On multiplie : $240\times 0,35$240 × 0,35.

3. 3

   Méthode par étapes : $10\%$10 % de $240=24$240 = 24 €, donc $30\%=72$30 % = 72 €.

4. 4

   $5\%$5 % est la moitié de $10\%$10 %, soit $12$12 €.

5. 5

   $35\%=72+12=84$35 % = 72 + 12 = 84 €.

Rappel de cours : $p\%$p % d'une quantité $=\frac{p}{100}\times$= p/100 × quantité.

Erreur fréquente : Diviser par $35$35 : un pourcentage se calcule par multiplication.

Correction détaillée

1. 1

   On sait que $d=v\times t$d = v × t, donc $t=\frac{d}{v}$t = d/v.

2. 2

   $t=200÷80=2,5$t = 200 ÷ 80 = 2,5 heures.

3. 3

   Attention : $2,5$2,5 heures ne se lit pas « $2$2 h $50$50 ».

4. 4

   $0,5$0,5 heure représente la moitié d'une heure, soit $30$30 minutes.

5. 5

   La durée est donc de $2$2 h $30$30 min.

Rappel de cours : Pour convertir une fraction d'heure en minutes, on multiplie par $60$60 : $0,5\times 60=30$0,5 × 60 = 30.

Erreur fréquente : Écrire $2,5$2,5 h $=2$= 2 h $50$50 min : les heures ne sont pas décimales comme les euros.

Correction détaillée

1. 1

   $72$72 km/h signifie $72$72 kilomètres parcourus en une heure.

2. 2

   On convertit les kilomètres en mètres : $72$72 km $=72000$= 72 000 m.

3. 3

   On convertit l'heure en secondes : $1$1 h $=3600$= 3600 s.

4. 4

   Vitesse : $72000÷3600=20$72 000 ÷ 3600 = 20 m/s.

5. 5

   Astuce à retenir : pour passer des km/h aux m/s, on divise par $3,6$3,6.

   En effet $72÷3,6=20$72 ÷ 3,6 = 20. ✔

Rappel de cours : km/h → m/s : diviser par $3,6$3,6 · m/s → km/h : multiplier par $3,6$3,6.

Erreur fréquente : Diviser par $60$60 : il faut convertir À LA FOIS la distance et la durée.

Correction détaillée

1. 1

   Le débit est le volume écoulé par unité de temps.

2. 2

   $180÷12=15$180 ÷ 12 = 15 : le débit vaut $15$15 L/min.

3. 3

   Pour $300$300 litres, on divise le volume par le débit.

4. 4

   $300÷15=20$300 ÷ 15 = 20 minutes.

5. 5

   Vérification : en $20$20 min à $15$15 L/min, on obtient $20\times 15=300$20 × 15 = 300 L. ✔

Rappel de cours : Le débit est un coefficient de proportionnalité entre durée et volume.

Erreur fréquente : Multiplier $300$300 par $15$15 : on obtiendrait un temps absurde de $4500$4500 minutes.

Correction détaillée

1. 1

   L'échelle signifie que $1$1 cm sur la carte représente $50000$50 000 cm en réalité.

2. 2

   Distance réelle : $6\times 50000=300000$6 × 50 000 = 300 000 cm.

3. 3

   On convertit en mètres : $300000÷100=3000$300 000 ÷ 100 = 3000 m.

4. 4

   On convertit en kilomètres : $3000÷1000=3$3000 ÷ 1000 = 3 km.

5. 5

   Astuce : $50000$50 000 cm $=0,5$= 0,5 km, donc chaque centimètre vaut $0,5$0,5 km, d'où $6\times 0,5=3$6 × 0,5 = 3 km. ✔

Rappel de cours : Échelle $\frac{1}{n}$1/n : la réalité est $n$n fois plus grande que le plan.

Erreur fréquente : Oublier une conversion : $300000$300 000 cm n'est pas $300000$300 000 m.

Correction détaillée

1. 1

   La masse volumique est la masse d'un centimètre cube.

2. 2

   $1975÷250=7,9$1975 ÷ 250 = 7,9 : la masse volumique vaut $7,9$7,9 g/cm³.

3. 3

   Pour $400$400 cm³ : $400\times 7,9$400 × 7,9.

4. 4

   $400\times 7,9=400\times 8-400\times 0,1=3200-40=3160$400 × 7,9 = 400 × 8 - 400 × 0,1 = 3200 - 40 = 3160 g.

5. 5

   Soit $3,16$3,16 kg.

Rappel de cours : La masse volumique est le coefficient de proportionnalité entre volume et masse.

Erreur fréquente : Diviser $400$400 par $7,9$7,9 : la masse est proportionnelle au volume, on multiplie.

Correction détaillée

1. 1

   Premier critère : la représentation est une droite.

2. 2

   Second critère, décisif : cette droite passe par l'origine $(0;0)$(0 ; 0) — en $0$0 heure, on a parcouru $0$0 km.

3. 3

   Les deux conditions étant réunies, la situation est bien proportionnelle.

4. 4

   On lit deux points : à $2$2 h correspond $50$50 km, et à $4$4 h correspond $100$100 km.

5. 5

   Coefficient : $50÷2=25$50 ÷ 2 = 25 et $100÷4=25$100 ÷ 4 = 25.

6. 6

   La vitesse du cycliste est de $25$25 km/h.

Rappel de cours : Proportionnalité $\iff$⇔ droite PASSANT PAR L'ORIGINE. Une droite quelconque ne suffit pas.

Erreur fréquente : Conclure « c'est une droite donc c'est proportionnel » sans regarder l'origine.

Correction détaillée

1. 1

   Prix pour $1$1 km : $3,50+1,20=4,70$3,50 + 1,20 = 4,70 €.

2. 2

   Prix pour $2$2 km : $3,50+2,40=5,90$3,50 + 2,40 = 5,90 €.

3. 3

   Si c'était proportionnel, doubler la distance devrait doubler le prix : $4,70\times 2=9,40$4,70 × 2 = 9,40 €.

4. 4

   Or on trouve $5,90$5,90 € : ce n'est donc pas proportionnel.

5. 5

   Sur un graphique, on obtiendrait bien une droite, mais elle passerait par le point $(0;3,50)$(0 ; 3,50) et non par l'origine.

6. 6

   La prise en charge de $3,50$3,50 € est payée même pour $0$0 km : c'est elle qui casse la proportionnalité.

Rappel de cours : Une somme fixe (abonnement, prise en charge, frais de port) détruit la proportionnalité.

Erreur fréquente : Voir « $1,20$1,20 € par km » et conclure trop vite : c'est le prix TOTAL qu'il faut tester.

Correction détaillée

1. 1

   On calcule d'abord l'augmentation : $92-80=12$92 - 80 = 12 €.

2. 2

   Le pourcentage se calcule TOUJOURS par rapport à la valeur de départ, ici $80$80 €.

3. 3

   On cherche quelle part $12$12 représente sur $80$80 : $\frac{12}{80}$12/80.

4. 4

   On simplifie par $4$4 : $\frac{3}{20}$3/20.

5. 5

   On met sur $100$100 : $\frac{3}{20}=\frac{15}{100}$3/20 = 15/100, soit $15\%$15 %.

6. 6

   Vérification : $15\%$15 % de $80$80 valent $12$12 €, et $80+12=92$80 + 12 = 92 €. ✔

Rappel de cours : Pourcentage d'évolution $=$= (écart $÷$÷ valeur de DÉPART) $\times 100$× 100.

Erreur fréquente : Diviser par $92$92 : on obtiendrait environ $13\%$13 %, un résultat faux.

Correction détaillée

1. 1

   Après une remise de $25\%$25 %, on paie $100-25=75\%$100 - 25 = 75 % du prix initial.

2. 2

   Ces $75\%$75 % valent $66$66 €.

3. 3

   On cherche $25\%$25 % : c'est le tiers de $75\%$75 %, donc $66÷3=22$66 ÷ 3 = 22 €.

4. 4

   Le prix initial vaut $100\%$100 %, c'est-à-dire quatre fois $25\%$25 % : $4\times 22=88$4 × 22 = 88 €.

5. 5

   Vérification : $25\%$25 % de $88$88 valent $22$22 €, et $88-22=66$88 - 22 = 66 €. ✔

Rappel de cours : Pour remonter au prix initial, on part du pourcentage effectivement payé.

Erreur fréquente : Ajouter $25\%$25 % à $66$66 € : on obtiendrait $82,50$82,50 €, ce qui est faux.

Correction détaillée

1. 1

   La vitesse moyenne n'est PAS la moyenne des vitesses : il faut passer par la distance totale et la durée totale.

2. 2

   Durée du premier tronçon : $120÷60=2$120 ÷ 60 = 2 heures.

3. 3

   Durée du second tronçon : $120÷120=1$120 ÷ 120 = 1 heure.

4. 4

   Distance totale : $120+120=240$120 + 120 = 240 km.

   Durée totale : $2+1=3$2 + 1 = 3 heures.

5. 5

   Vitesse moyenne : $240÷3=80$240 ÷ 3 = 80 km/h.

6. 6

   Ce n'est pas $90$90 km/h (la moyenne de $60$60 et $120$120) : l'automobiliste a passé plus de temps à la vitesse lente.

Rappel de cours : Vitesse moyenne $=\frac{\text{distance totale}}{\text{dureˊe totale}}$= (distance totale)/(durée totale), jamais la moyenne des vitesses.

Erreur fréquente : Faire $(60+120)÷2=90$(60+120) ÷ 2 = 90 : c'est l'erreur classique de ce type d'exercice.

Correction détaillée

1. 1

   Hausse : $20\%$20 % de $500=100$500 = 100 €, donc le prix devient $600$600 €.

2. 2

   La baisse s'applique au NOUVEAU prix, c'est-à-dire à $600$600 € et non à $500$500 €.

3. 3

   Baisse : $20\%$20 % de $600=120$600 = 120 €.

4. 4

   Prix final : $600-120=480$600 - 120 = 480 €.

5. 5

   Le prix final est inférieur de $20$20 € au prix de départ.

6. 6

   Explication : la hausse porte sur $500$500 € et la baisse sur $600$600 €, une base plus grande.

   La baisse « pèse » donc davantage.

7. 7

   Autre lecture : $1,20\times 0,80=0,96$1,20 × 0,80 = 0,96, soit une baisse globale de $4\%$4 %.

   Et $4\%$4 % de $500$500 valent bien $20$20 €. ✔

Rappel de cours : Un pourcentage s'applique toujours à la valeur du moment, pas à la valeur initiale.

Erreur fréquente : Croire que $+20\%$+20 % puis $-20\%$-20 % se compensent.

Correction détaillée

1. 1

   Le mélange contient $1+7=8$1 + 7 = 8 volumes au total.

2. 2

   Le concentré en représente $1$1 sur $8$8, soit $\frac{1}{8}=0,125$1/8 = 0,125, c'est-à-dire $12,5\%$12,5 %.

3. 3

   Pour $2$2 L de boisson : un volume vaut $2÷8=0,25$2 ÷ 8 = 0,25 L, donc il faut $0,25$0,25 L de concentré, soit $25$25 cL.

4. 4

   Avec $30$30 cL de concentré : ce sont $30$30 cL pour un volume, donc le mélange total vaut $8\times 30=240$8 × 30 = 240 cL.

5. 5

   Soit $2,4$2,4 litres de boisson.

6. 6

   Vérification : $30$30 cL sur $240$240 cL représentent bien $\frac{1}{8}$1/8. ✔

Rappel de cours : Dans un mélange « 1 pour 7 », le total vaut $8$8 parts, pas $7$7.

Erreur fréquente : Prendre $\frac{1}{7}$1/7 : le $7$7 désigne l'eau seule, pas le mélange.

Correction détaillée

1. 1

   Nouvelles dimensions : $10\times 2,5=25$10 × 2,5 = 25 cm et $15\times 2,5=37,5$15 × 2,5 = 37,5 cm.

2. 2

   Pour l'aire, il faut être prudent : elle n'est PAS multipliée par $2,5$2,5.

3. 3

   L'aire est un produit de deux longueurs, chacune multipliée par $2,5$2,5 : elle est donc multipliée par $2,5\times 2,5=6,25$2,5 × 2,5 = 6,25.

4. 4

   Aire initiale : $10\times 15=150$10 × 15 = 150 cm².

5. 5

   Aire finale : $25\times 37,5=937,5$25 × 37,5 = 937,5 cm².

6. 6

   Vérification : $937,5÷150=6,25$937,5 ÷ 150 = 6,25. ✔

Rappel de cours : Longueurs $\times k$× k → aires $\times k^2$× k² → volumes $\times k^3$× k³.

Erreur fréquente : Croire que l'aire est aussi multipliée par $2,5$2,5.

Correction détaillée

1. 1

   Après la première remise, on paie $70\%$70 % du prix initial, soit un coefficient de $0,70$0,70.

2. 2

   La seconde remise porte sur le prix SOLDÉ : on paie $90\%$90 % de celui-ci, soit un coefficient de $0,90$0,90.

3. 3

   Coefficient global : $0,70\times 0,90=0,63$0,70 × 0,90 = 0,63.

4. 4

   On paie donc $63\%$63 % du prix initial : la réduction totale vaut $100-63=37\%$100 - 63 = 37 %.

5. 5

   Vérification avec un prix de $100$100 € : après $-30\%$-30 % il reste $70$70 €, puis après $-10\%$-10 % il reste $63$63 €.

   La réduction totale est bien de $37$37 € sur $100$100. ✔

6. 6

   Ce n'est donc PAS $40\%$40 % : les pourcentages successifs ne s'additionnent pas.

Rappel de cours : Deux remises successives se multiplient par leurs coefficients : $0,7\times 0,9=0,63$0,7 × 0,9 = 0,63.

Erreur fréquente : Additionner $30+10=40\%$30 + 10 = 40 % : la seconde remise porte sur un prix déjà réduit.

Correction détaillée

1. 1

   À $10$10 h, la voiture a déjà roulé une heure : elle a parcouru $80$80 km d'avance.

2. 2

   À partir de $10$10 h, on compte le temps $t$t en heures.

3. 3

   Distance de la voiture depuis le départ : $80+80t$80 + 80t km.

4. 4

   Distance du train : $120t$120t km.

5. 5

   Le train rattrape la voiture quand les distances sont égales : $120t=80+80t$120t = 80 + 80t.

6. 6

   On retire $80t$80t : $40t=80$40t = 80, donc $t=2$t = 2 heures.

7. 7

   Le train rattrape la voiture $2$2 heures après $10$10 h, soit à $12$12 h.

8. 8

   Vérification : à $12$12 h, la voiture a roulé $3$3 h à $80$80 km/h, soit $240$240 km ; le train a roulé $2$2 h à $120$120 km/h, soit $240$240 km. ✔

Rappel de cours : Dans un problème de rattrapage, on écrit les deux distances en fonction du même temps et on les égalise.

Erreur fréquente : Oublier l'heure d'avance de la voiture : elle a déjà $80$80 km de retard à combler.