QuatrièmeExercices corrigés20 exercicesCorrections détaillées

Exercices corrigés : Équations du premier degré — Quatrième

Besoin de revoir la leçon avant de te lancer ? Cours et fiche de révision : Équations du premier degré

Niveau: Quatrième
Chapitre: Équations du premier degré
Nombre d'exercices: 20 exercices corrigés
Difficulté: Facile à défi

Résoudre une équation, c'est trouver la valeur de l'inconnue qui rend l'égalité vraie. Ces 20 exercices installent la méthode complète du programme de 4ᵉ : tester une solution, isoler l'inconnue, traiter l'inconnue des deux côtés, gérer les parenthèses et les fractions, puis — le plus important — mettre un problème en équation. Chaque résolution se termine par une vérification, le réflexe qui permet de repérer soi-même ses erreurs.

Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée avec rappels de cours et erreurs fréquentes à éviter.

Exercice 1 — Tester une solution

Application directe

Le nombre $5$ 5 est-il solution de $3 x - 7 = 8$ 3x - 7 = 8 ?

Et le nombre $4$ 4 ?

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Correction détaillée

1
Tester une valeur, c'est calculer séparément les deux membres et comparer.
2
Pour $x = 5$ x = 5 : membre de gauche $= 3 \times 5 - 7 = 15 - 7 = 8$ = 3 × 5 - 7 = 15 - 7 = 8.
Membre de droite $= 8$ = 8.
3
Les deux membres sont égaux : $5$ 5 est solution.
4
Pour $x = 4$ x = 4 : membre de gauche $= 12 - 7 = 5$ = 12 - 7 = 5, différent de $8$ 8.
5
$4$ 4 n'est donc pas solution.

Réponse :

5

5 est solution ;

4

4 ne l'est pas.

Rappel de cours : Une solution rend l'égalité vraie : on calcule chaque membre à part.

Erreur fréquente : Calculer $3 \times (5 - 7)$ 3 × (5-7) : la multiplication est prioritaire sur la soustraction.

Exercice 2 — Équation avec une addition

Application directe

Résous $x + 9 = 23$ x + 9 = 23.

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Correction détaillée

1
Pour isoler $x$ x, on retire $9$ 9 des DEUX côtés de l'égalité.
2
$x + 9 - 9 = 23 - 9$ x + 9 - 9 = 23 - 9.
3
À gauche, $+ 9$ +9 et $- 9$ -9 s'annulent : il reste $x$ x.
4
À droite : $23 - 9 = 14$ 23 - 9 = 14.
5
Donc $x = 14$ x = 14.
6
Vérification : $14 + 9 = 23$ 14 + 9 = 23. ✔

Réponse :

x = 14

x = 14

Rappel de cours : Ce qu'on fait d'un côté, on le fait de l'autre : l'égalité reste vraie.

Erreur fréquente : Ne soustraire que d'un seul côté : l'égalité serait détruite.

Exercice 3 — Équation avec une multiplication

Application directe

Résous $6 x = 42$ 6x = 42.

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Correction détaillée

1
$x$ x est multiplié par $6$ 6 : pour l'isoler, on divise les deux membres par $6$ 6.
2
$\frac{6 x}{6} = \frac{42}{6}$ 6x/6 = 42/6.
3
À gauche, il reste $x$ x.
À droite : $42 \div 6 = 7$ 42 ÷ 6 = 7.
4
Donc $x = 7$ x = 7.
5
Vérification : $6 \times 7 = 42$ 6 × 7 = 42. ✔

Réponse :

x = 7

x = 7

Rappel de cours : On « défait » l'opération : une multiplication se défait par une division.

Erreur fréquente : Soustraire $6$ 6 : $6 x$ 6x signifie $6 \times x$ 6 × x, pas $6 + x$ 6 + x.

Exercice 4 — Deux opérations

Application directe

Résous $4 x + 5 = 29$ 4x + 5 = 29.

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Correction détaillée

1
On isole d'abord le terme en $x$ x en retirant $5$ 5 des deux côtés.
2
$4 x + 5 - 5 = 29 - 5$ 4x + 5 - 5 = 29 - 5, soit $4 x = 24$ 4x = 24.
3
On divise ensuite les deux membres par $4$ 4.
4
$x = 24 \div 4 = 6$ x = 24 ÷ 4 = 6.
5
Vérification : $4 \times 6 + 5 = 24 + 5 = 29$ 4 × 6 + 5 = 24 + 5 = 29. ✔

Réponse :

x = 6

x = 6

Rappel de cours : On défait les opérations dans l'ordre INVERSE : d'abord l'addition, ensuite la multiplication.

Erreur fréquente : Diviser par $4$ 4 avant d'avoir retiré le $5$ 5 : il faudrait alors diviser $5$ 5 aussi.

Exercice 5 — Solution négative

Application directe

Résous $2 x + 11 = 3$ 2x + 11 = 3.

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Correction détaillée

1
On retire $11$ 11 des deux côtés : $2 x = 3 - 11$ 2x = 3 - 11.
2
$3 - 11 = - 8$ 3 - 11 = -8, donc $2 x = - 8$ 2x = -8.
3
On divise par $2$ 2 : $x = - 8 \div 2 = - 4$ x = -8 ÷ 2 = -4.
4
Vérification : $2 \times (- 4) + 11 = - 8 + 11 = 3$ 2 × (-4) + 11 = -8 + 11 = 3. ✔

Réponse :

x = - 4

x = -4

Rappel de cours : Une solution peut parfaitement être négative, même avec un énoncé tout en positifs.

Erreur fréquente : Écrire $x = 4$ x = 4 en oubliant le signe du résultat intermédiaire.

Exercice 6 — Inconnue des deux côtés

À maîtriser

Résous $7 x - 4 = 3 x + 12$ 7x - 4 = 3x + 12.

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Correction détaillée

1
On regroupe les termes en $x$ x d'un côté et les nombres de l'autre.
2
On retire $3 x$ 3x des deux membres : $7 x - 3 x - 4 = 12$ 7x - 3x - 4 = 12, soit $4 x - 4 = 12$ 4x - 4 = 12.
3
On ajoute $4$ 4 aux deux membres : $4 x = 16$ 4x = 16.
4
On divise par $4$ 4 : $x = 4$ x = 4.
5
Vérification : à gauche $7 \times 4 - 4 = 24$ 7 × 4 - 4 = 24 ; à droite $3 \times 4 + 12 = 24$ 3 × 4 + 12 = 24. ✔

Réponse :

x = 4

x = 4

Rappel de cours : Stratégie : les $x$ x à gauche, les nombres à droite (ou l'inverse, peu importe).

Erreur fréquente : Additionner $7 x$ 7x et $3 x$ 3x alors qu'ils sont de part et d'autre du signe $=$ =.

Exercice 7 — Coefficient négatif

À maîtriser

Résous $2 x + 9 = 5 x - 6$ 2x + 9 = 5x - 6.

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Correction détaillée

1
Pour éviter un coefficient négatif, on regroupe les $x$ x du côté où ils sont les plus nombreux, ici à droite.
2
On retire $2 x$ 2x des deux membres : $9 = 3 x - 6$ 9 = 3x - 6.
3
On ajoute $6$ 6 aux deux membres : $15 = 3 x$ 15 = 3x.
4
On divise par $3$ 3 : $5 = x$ 5 = x, c'est-à-dire $x = 5$ x = 5.
5
Vérification : à gauche $2 \times 5 + 9 = 19$ 2 × 5 + 9 = 19 ; à droite $5 \times 5 - 6 = 19$ 5 × 5 - 6 = 19. ✔

Réponse :

x = 5

x = 5

Rappel de cours : Astuce : regrouper les $x$ x du côté du plus grand coefficient évite les nombres négatifs.

Erreur fréquente : Se tromper de signe en passant $2 x$ 2x de l'autre côté.

Exercice 8 — Équation avec parenthèses

À maîtriser

Résous $3 (x + 4) = 27$ 3(x + 4) = 27.

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Correction détaillée

1
Première méthode : on développe.
$3 x + 12 = 27$ 3x + 12 = 27.
2
On retire $12$ 12 : $3 x = 15$ 3x = 15.
On divise par $3$ 3 : $x = 5$ x = 5.
3
Seconde méthode, plus rapide ici : on divise directement les deux membres par $3$ 3.
4
$x + 4 = 9$ x + 4 = 9, donc $x = 5$ x = 5.
5
Vérification : $3 \times (5 + 4) = 3 \times 9 = 27$ 3 × (5+4) = 3 × 9 = 27. ✔

Réponse :

x = 5

x = 5

Rappel de cours : Quand toute la parenthèse est multipliée par un nombre, on peut diviser d'abord.

Erreur fréquente : Écrire $3 x + 4 = 27$ 3x + 4 = 27 : le $3$ 3 multiplie aussi le $4$ 4.

Exercice 9 — Parenthèses des deux côtés

À maîtriser

Résous $2 (x - 3) = 5 (x + 1) - 14$ 2(x - 3) = 5(x + 1) - 14.

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Correction détaillée

1
On développe chaque membre.
2
Gauche : $2 (x - 3) = 2 x - 6$ 2(x-3) = 2x - 6.
3
Droite : $5 (x + 1) - 14 = 5 x + 5 - 14 = 5 x - 9$ 5(x+1) - 14 = 5x + 5 - 14 = 5x - 9.
4
L'équation devient $2 x - 6 = 5 x - 9$ 2x - 6 = 5x - 9.
5
On retire $2 x$ 2x des deux côtés : $- 6 = 3 x - 9$ -6 = 3x - 9.
6
On ajoute $9$ 9 : $3 = 3 x$ 3 = 3x, donc $x = 1$ x = 1.
7
Vérification : gauche $2 \times (1 - 3) = - 4$ 2 × (1-3) = -4 ; droite $5 \times 2 - 14 = - 4$ 5 × 2 - 14 = -4. ✔

Réponse :

x = 1

x = 1

Rappel de cours : On développe TOUT avant de commencer à regrouper.

Erreur fréquente : Oublier de développer le $- 14$ -14 dans la réduction du membre de droite.

Exercice 10 — Équation avec une fraction

À maîtriser

Résous $\frac{x}{4} = 7$ x/4 = 7.

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Correction détaillée

1
$x$ x est divisé par $4$ 4 : pour l'isoler, on multiplie les deux membres par $4$ 4.
2
$\frac{x}{4} \times 4 = 7 \times 4$ x/4 × 4 = 7 × 4.
3
À gauche, la division et la multiplication par $4$ 4 s'annulent : il reste $x$ x.
4
À droite : $28$ 28.
5
Donc $x = 28$ x = 28.
Vérification : $28 \div 4 = 7$ 28 ÷ 4 = 7. ✔

Réponse :

x = 28

x = 28

Rappel de cours : Une division se défait par une multiplication.

Erreur fréquente : Diviser par $4$ 4 au lieu de multiplier : on trouverait $x = 1, 75$ x = 1,75.

Exercice 11 — Fraction et somme

Type contrôle

Résous $\frac{2 x + 1}{3} = 5$ (2x + 1)/3 = 5.

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Correction détaillée

1
La barre de fraction agit comme une parenthèse : c'est TOUT le numérateur qui est divisé par $3$ 3.
2
On multiplie les deux membres par $3$ 3 : $2 x + 1 = 15$ 2x + 1 = 15.
3
On retire $1$ 1 : $2 x = 14$ 2x = 14.
4
On divise par $2$ 2 : $x = 7$ x = 7.
5
Vérification : $\frac{2 \times 7 + 1}{3} = \frac{15}{3} = 5$ (2 × 7 + 1)/3 = 15/3 = 5. ✔

Réponse :

x = 7

x = 7

Rappel de cours : On multiplie d'abord par le dénominateur pour faire disparaître la fraction.

Erreur fréquente : Multiplier seulement le $2 x$ 2x par $3$ 3 : le $+ 1$ +1 est aussi au numérateur.

Exercice 12 — Équation à dénominateurs multiples

Type contrôle

Résous $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 10$ x/2 + x/3 = 10.

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Correction détaillée

1
On met le membre de gauche au même dénominateur, ici $6$ 6.
2
$\frac{x}{2} = \frac{3 x}{6}$ x/2 = 3x/6 et $\frac{x}{3} = \frac{2 x}{6}$ x/3 = 2x/6.
3
L'équation devient $\frac{3 x + 2 x}{6} = 10$ (3x + 2x)/6 = 10, soit $\frac{5 x}{6} = 10$ 5x/6 = 10.
4
On multiplie par $6$ 6 : $5 x = 60$ 5x = 60.
5
On divise par $5$ 5 : $x = 12$ x = 12.
6
Vérification : $\frac{12}{2} + \frac{12}{3} = 6 + 4 = 10$ 12/2 + 12/3 = 6 + 4 = 10. ✔

Réponse :

x = 12

x = 12

Rappel de cours : On peut aussi multiplier toute l'équation par $6$ 6 dès le départ : cela revient au même.

Erreur fréquente : Additionner $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = \frac{x}{5}$ x/2 + x/3 = x/5 : les dénominateurs ne s'additionnent pas.

Exercice 13 — Mise en équation : les nombres

Type contrôle

Le triple d'un nombre, augmenté de $7$ 7, est égal à $25$ 25.

Quel est ce nombre ?

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Correction détaillée

1
On appelle $x$ x le nombre cherché : c'est la première étape de toute mise en équation.
2
« Le triple de ce nombre » s'écrit $3 x$ 3x.
3
« Augmenté de $7$ 7 » : $3 x + 7$ 3x + 7.
4
« Est égal à $25$ 25 » donne l'équation $3 x + 7 = 25$ 3x + 7 = 25.
5
On résout : $3 x = 18$ 3x = 18, puis $x = 6$ x = 6.
6
Vérification avec l'énoncé : le triple de $6$ 6 vaut $18$ 18, augmenté de $7$ 7 cela fait $25$ 25. ✔

Réponse : Le nombre est

6

Rappel de cours : Trois étapes : nommer l'inconnue, traduire l'énoncé, résoudre — puis vérifier avec l'ÉNONCÉ.

Erreur fréquente : Traduire « le triple augmenté de $7$ 7 » par $3 (x + 7)$ 3(x+7) : ici c'est le triple qui est augmenté.

Exercice 14 — Mise en équation : le périmètre

Type contrôle

Un rectangle a une longueur qui dépasse sa largeur de $5$ 5 cm.

Son périmètre vaut $46$ 46 cm.

Quelles sont ses dimensions ?

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Correction détaillée

1
On appelle $x$ x la largeur, en cm.
La longueur vaut alors $x + 5$ x + 5.
2
Le périmètre d'un rectangle vaut $2 \times (longueur + largeur)$ 2 × ( longueur + largeur ).
3
Équation : $2 ((x + 5) + x) = 46$ 2((x+5) + x) = 46, soit $2 (2 x + 5) = 46$ 2(2x + 5) = 46.
4
On divise par $2$ 2 : $2 x + 5 = 23$ 2x + 5 = 23.
5
On retire $5$ 5 : $2 x = 18$ 2x = 18, donc $x = 9$ x = 9.
6
La largeur vaut $9$ 9 cm et la longueur $9 + 5 = 14$ 9 + 5 = 14 cm.
7
Vérification : $2 \times (14 + 9) = 2 \times 23 = 46$ 2 × (14 + 9) = 2 × 23 = 46 cm. ✔

Réponse : Largeur

9

9 cm, longueur

14

14 cm.

Rappel de cours : On choisit comme inconnue la grandeur qui permet d'exprimer les autres le plus simplement.

Erreur fréquente : Répondre $x = 9$ x = 9 et s'arrêter là : la question demande LES DEUX dimensions.

Exercice 15 — Mise en équation : les âges

Type contrôle

Aujourd'hui, Léa a $12$ 12 ans et sa mère $40$ 40 ans.

Dans combien d'années la mère aura-t-elle exactement le double de l'âge de Léa ?

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Correction détaillée

1
On appelle $x$ x le nombre d'années à attendre.
2
Dans $x$ x années, Léa aura $12 + x$ 12 + x ans et sa mère $40 + x$ 40 + x ans.
3
La condition « la mère a le double » s'écrit : $40 + x = 2 (12 + x)$ 40 + x = 2(12 + x).
4
On développe : $40 + x = 24 + 2 x$ 40 + x = 24 + 2x.
5
On retire $x$ x des deux côtés : $40 = 24 + x$ 40 = 24 + x.
6
On retire $24$ 24 : $x = 16$ x = 16.
7
Vérification : dans $16$ 16 ans, Léa aura $28$ 28 ans et sa mère $56$ 56 ans.
Or $56 = 2 \times 28$ 56 = 2 × 28. ✔

Réponse : Dans

16

16 ans.

Rappel de cours : Dans un problème d'âges, tout le monde vieillit du même nombre d'années.

Erreur fréquente : Ajouter $x$ x à un seul des deux âges : les deux personnes vieillissent.

Exercice 16 — Équation sans solution

Type contrôle

Résous $3 x + 5 = 3 x - 2$ 3x + 5 = 3x - 2.

Que constates-tu ?

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Correction détaillée

1
On retire $3 x$ 3x des deux membres.
2
À gauche il reste $5$ 5, à droite $- 2$ -2.
3
On obtient $5 = - 2$ 5 = -2, ce qui est FAUX quelle que soit la valeur de $x$ x.
4
L'inconnue a complètement disparu, et l'égalité obtenue est fausse.
5
Conclusion : cette équation n'a AUCUNE solution.
6
Interprétation : $3 x + 5$ 3x+5 est toujours $7$ 7 de plus que $3 x - 2$ 3x-2, les deux ne peuvent jamais être égaux.

Réponse : Aucune solution : on aboutit à

5 = - 2

5 = -2, qui est faux.

Rappel de cours : Si l'inconnue disparaît et laisse une égalité FAUSSE, il n'y a pas de solution.

Erreur fréquente : Écrire « $x = 0$ x = 0 » quand l'inconnue disparaît : ce n'est pas la même chose.

Exercice 17 — Équation à une infinité de solutions

Approfondissement / défi

Résous $2 (x + 3) = 2 x + 6$ 2(x + 3) = 2x + 6.

Que constates-tu ?

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Correction détaillée

1
On développe le membre de gauche : $2 x + 6$ 2x + 6.
2
L'équation devient $2 x + 6 = 2 x + 6$ 2x + 6 = 2x + 6.
3
On retire $2 x$ 2x des deux côtés : $6 = 6$ 6 = 6.
4
L'inconnue a disparu, et l'égalité obtenue est VRAIE.
5
Conclusion : tous les nombres sont solutions — l'équation a une infinité de solutions.
6
Interprétation : les deux membres sont en réalité la même expression écrite différemment.

Réponse : Une infinité de solutions : tout nombre convient, car les deux membres sont identiques.

Rappel de cours : Inconnue disparue + égalité VRAIE → tous les nombres sont solutions ; égalité FAUSSE → aucune.

Erreur fréquente : Conclure « pas de solution » dès que l'inconnue disparaît : il faut regarder si ce qui reste est vrai ou faux.

Exercice 18 — Les deux forfaits

Approfondissement / défi

Un forfait A coûte $15$ 15 € par mois plus $0, 20$ 0,20 € par SMS.

Un forfait B coûte $25$ 25 € par mois plus $0, 05$ 0,05 € par SMS.

1.Exprime le coût de chaque forfait en fonction du nombre $n$ n de SMS.
2.Pour quel nombre de SMS les deux forfaits coûtent-ils le même prix ?
3.Au-delà, lequel est le plus avantageux ?

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Correction détaillée

1
Forfait A : $P_{A} = 15 + 0, 20 n$ P_A = 15 + 0,20n.
2
Forfait B : $P_{B} = 25 + 0, 05 n$ P_B = 25 + 0,05n.
3
Égalité : $15 + 0, 2 n = 25 + 0, 05 n$ 15 + 0,2n = 25 + 0,05n.
4
On retire $0, 05 n$ 0,05n des deux côtés : $15 + 0, 15 n = 25$ 15 + 0,15n = 25.
5
On retire $15$ 15 : $0, 15 n = 10$ 0,15n = 10.
6
On divise : $n = 10 \div 0, 15 \approx 66, 67$ n = 10 ÷ 0,15 ≈ 66,67.
Comme un SMS est entier, l'égalité parfaite n'a pas lieu.
7
Testons $n = 66$ n = 66 : $P_{A} = 15 + 13, 20 = 28, 20$ P_A = 15 + 13,20 = 28,20 € et $P_{B} = 25 + 3, 30 = 28, 30$ P_B = 25 + 3,30 = 28,30 €.
A est meilleur.
8
Testons $n = 67$ n = 67 : $P_{A} = 15 + 13, 40 = 28, 40$ P_A = 15 + 13,40 = 28,40 € et $P_{B} = 25 + 3, 35 = 28, 35$ P_B = 25 + 3,35 = 28,35 €.
B devient meilleur.
9
Le basculement se fait donc à partir de $67$ 67 SMS.

Réponse :

P_{A} = 15 + 0, 2 n

P_A = 15 + 0,2n et

P_{B} = 25 + 0, 05 n

P_B = 25 + 0,05n · égalité vers

66, 7

66,7 SMS · B devient plus avantageux à partir de

67

67 SMS.

Rappel de cours : Quand la solution n'est pas entière, on teste les deux entiers voisins pour conclure.

Erreur fréquente : Répondre $66, 67$ 66,67 SMS : on ne peut pas envoyer un tiers de SMS.

Exercice 19 — Le problème du troupeau

Approfondissement / défi

Dans une ferme, il y a des poules et des lapins : $35$ 35 têtes et $94$ 94 pattes au total.

Combien y a-t-il de poules ?

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Correction détaillée

1
On appelle $x$ x le nombre de poules.
Comme il y a $35$ 35 têtes en tout, il y a $35 - x$ 35 - x lapins.
2
Une poule a $2$ 2 pattes : les poules totalisent $2 x$ 2x pattes.
3
Un lapin a $4$ 4 pattes : les lapins totalisent $4 (35 - x)$ 4(35 - x) pattes.
4
Équation : $2 x + 4 (35 - x) = 94$ 2x + 4(35 - x) = 94.
5
On développe : $2 x + 140 - 4 x = 94$ 2x + 140 - 4x = 94, soit $- 2 x + 140 = 94$ -2x + 140 = 94.
6
On retire $140$ 140 : $- 2 x = - 46$ -2x = -46.
On divise par $- 2$ -2 : $x = 23$ x = 23.
7
Il y a donc $23$ 23 poules et $35 - 23 = 12$ 35 - 23 = 12 lapins.
8
Vérification : $23 + 12 = 35$ 23 + 12 = 35 têtes ✔ et $23 \times 2 + 12 \times 4 = 46 + 48 = 94$ 23 × 2 + 12 × 4 = 46 + 48 = 94 pattes ✔.

Réponse :

23

23 poules (et

12

12 lapins).

Rappel de cours : Quand deux quantités ont un total connu, on nomme l'une $x$ x et l'autre s'exprime par soustraction.

Erreur fréquente : Utiliser deux inconnues $x$ x et $y$ y : en 4ᵉ, on ramène tout à une seule inconnue.

Exercice 20 — Retrouver l'équation

Approfondissement / défi

Un nombre a la propriété suivante : si on lui ajoute $6$ 6 puis qu'on multiplie le résultat par $4$ 4, on obtient le même résultat qu'en le multipliant par $6$ 6 puis en ajoutant $8$ 8.

Quel est ce nombre ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
On appelle $x$ x le nombre cherché.
2
Premier calcul : « ajouter $6$ 6 puis multiplier par $4$ 4 » donne $4 (x + 6)$ 4(x+6).
3
Second calcul : « multiplier par $6$ 6 puis ajouter $8$ 8 » donne $6 x + 8$ 6x + 8.
4
Les deux résultats sont égaux : $4 (x + 6) = 6 x + 8$ 4(x+6) = 6x + 8.
5
On développe le membre de gauche : $4 x + 24 = 6 x + 8$ 4x + 24 = 6x + 8.
6
On retire $4 x$ 4x : $24 = 2 x + 8$ 24 = 2x + 8.
On retire $8$ 8 : $16 = 2 x$ 16 = 2x.
7
On divise par $2$ 2 : $x = 8$ x = 8.
8
Vérification : $4 \times (8 + 6) = 56$ 4 × (8+6) = 56 et $6 \times 8 + 8 = 56$ 6 × 8 + 8 = 56. ✔

Réponse : Le nombre est

8

Rappel de cours : L'ordre des opérations dans l'énoncé détermine la place des parenthèses.

Erreur fréquente : Écrire $4 x + 6$ 4x + 6 pour le premier calcul : c'est la somme entière qui est multipliée par $4$ 4.

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