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Exercices corrigés : Calcul littéral — Quatrième

Besoin de revoir la leçon avant de te lancer ? Cours et fiche de révision : Calcul littéral

Niveau: Quatrième
Chapitre: Calcul littéral
Nombre d'exercices: 20 exercices corrigés
Difficulté: Facile à défi

En 4ᵉ, le calcul littéral franchit une étape : à la simple distributivité $k (a + b)$ k(a+b) s'ajoute la double distributivité $(a + b) (c + d)$ (a+b)(c+d), et la factorisation devient un vrai outil. Ces 20 exercices reprennent la réduction, la substitution, le développement, la factorisation, puis les mettent au service de démonstrations — prouver qu'un programme de calcul donne toujours le même résultat, ou qu'une somme est toujours un multiple de $3$ 3.

Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée avec rappels de cours et erreurs fréquentes à éviter.

Exercice 1 — Réduire une expression

Application directe

Réduis : $7 x + 3 - 2 x + 8$ 7x + 3 - 2x + 8.

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Correction détaillée

1
On regroupe les termes de même nature : ceux qui contiennent $x$ x, et les nombres seuls.
2
Termes en $x$ x : $7 x - 2 x = 5 x$ 7x - 2x = 5x.
3
Termes constants : $3 + 8 = 11$ 3 + 8 = 11.
4
Expression réduite : $5 x + 11$ 5x + 11.

Réponse :

7 x + 3 - 2 x + 8 = 5 x + 11

7x + 3 - 2x + 8 = 5x + 11

Rappel de cours : On ne peut regrouper que des termes ayant exactement la même partie littérale.

Erreur fréquente : Écrire $5 x + 11 = 16 x$ 5x + 11 = 16x : un nombre seul ne se combine pas avec un terme en $x$ x.

Exercice 2 — Réduire avec des carrés

Application directe

Réduis : $3 x^{2} + 5 x - x^{2} + 2 x$ 3x² + 5x - x² + 2x.

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Correction détaillée

1
Les termes en $x^{2}$ x² et les termes en $x$ x sont de natures DIFFÉRENTES : on ne les mélange pas.
2
Termes en $x^{2}$ x² : $3 x^{2} - x^{2} = 2 x^{2}$ 3x² - x² = 2x² (car $- x^{2}$ -x² signifie $- 1 \times x^{2}$ -1 × x²).
3
Termes en $x$ x : $5 x + 2 x = 7 x$ 5x + 2x = 7x.
4
Expression réduite : $2 x^{2} + 7 x$ 2x² + 7x.

Réponse :

3 x^{2} + 5 x - x^{2} + 2 x = 2 x^{2} + 7 x

3x² + 5x - x² + 2x = 2x² + 7x

Rappel de cours : $x$ x et $x^{2}$ x² ne se regroupent jamais : ce sont deux « familles » distinctes.

Erreur fréquente : Écrire $2 x^{2} + 7 x = 9 x^{2}$ 2x² + 7x = 9x² ou $9 x^{3}$ 9x³ : les exposants ne s'additionnent pas dans une somme.

Exercice 3 — Substituer une valeur

Application directe

Calcule $A = 2 x^{2} - 3 x + 1$ A = 2x² - 3x + 1 pour $x = 4$ x = 4, puis pour $x = - 2$ x = -2.

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Correction détaillée

1
Pour $x = 4$ x = 4 : $A = 2 \times 4^{2} - 3 \times 4 + 1$ A = 2 × 4² - 3 × 4 + 1.
2
On calcule la puissance d'abord : $4^{2} = 16$ 4² = 16, donc $2 \times 16 = 32$ 2 × 16 = 32.
3
Puis $A = 32 - 12 + 1 = 21$ A = 32 - 12 + 1 = 21.
4
Pour $x = - 2$ x = -2 : $A = 2 \times (- 2)^{2} - 3 \times (- 2) + 1$ A = 2 × (-2)² - 3 × (-2) + 1.
5
$(- 2)^{2} = 4$ (-2)² = 4, donc $2 \times 4 = 8$ 2 × 4 = 8.
Et $- 3 \times (- 2) = + 6$ -3 × (-2) = +6.
6
$A = 8 + 6 + 1 = 15$ A = 8 + 6 + 1 = 15.

Réponse :

A = 21

A = 21 pour

x = 4

x = 4 et

A = 15

A = 15 pour

x = - 2

x = -2.

Rappel de cours : Priorités : puissances d'abord, puis multiplications, puis additions.

Erreur fréquente : Écrire $- 2^{2} = - 4$ -2² = -4 au lieu de $(- 2)^{2} = 4$ (-2)² = 4 : les parenthèses sont indispensables.

Exercice 4 — Distributivité simple

Application directe

Développe : a) $5 (2 x - 3)$ 5(2x - 3) ; b) $- 4 (x + 7)$ -4(x + 7).

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Correction détaillée

1
a) On multiplie $5$ 5 par chaque terme : $5 \times 2 x = 10 x$ 5 × 2x = 10x et $5 \times (- 3) = - 15$ 5 × (-3) = -15.
2
a) Donc $5 (2 x - 3) = 10 x - 15$ 5(2x-3) = 10x - 15.
3
b) Attention au signe $-$ - devant le $4$ 4 : il multiplie aussi chaque terme.
4
b) $- 4 \times x = - 4 x$ -4 × x = -4x et $- 4 \times 7 = - 28$ -4 × 7 = -28.
5
b) Donc $- 4 (x + 7) = - 4 x - 28$ -4(x+7) = -4x - 28.

Réponse : a)

10 x - 15

10x - 15 · b)

- 4 x - 28

-4x - 28

Rappel de cours : $k (a + b) = k a + k b$ k(a+b) = ka + kb : le facteur multiplie TOUS les termes, signe compris.

Erreur fréquente : Écrire $- 4 (x + 7) = - 4 x + 28$ -4(x+7) = -4x + 28 : le $- 4$ -4 multiplie aussi le $+ 7$ +7.

Exercice 5 — Factoriser un facteur commun

Application directe

Factorise : a) $6 x + 15$ 6x + 15 ; b) $4 x^{2} - 6 x$ 4x² - 6x.

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Correction détaillée

1
a) On cherche le plus grand facteur commun à $6$ 6 et $15$ 15 : c'est $3$ 3.
2
a) $6 x = 3 \times 2 x$ 6x = 3 × 2x et $15 = 3 \times 5$ 15 = 3 × 5, donc $6 x + 15 = 3 (2 x + 5)$ 6x + 15 = 3(2x + 5).
3
b) Facteur commun aux nombres : $2$ 2.
Facteur commun aux lettres : $x$ x, présent dans les deux termes.
4
b) $4 x^{2} = 2 x \times 2 x$ 4x² = 2x × 2x et $6 x = 2 x \times 3$ 6x = 2x × 3, donc $4 x^{2} - 6 x = 2 x (2 x - 3)$ 4x² - 6x = 2x(2x - 3).
5
Vérification en redéveloppant : $2 x \times 2 x = 4 x^{2}$ 2x × 2x = 4x² et $2 x \times (- 3) = - 6 x$ 2x × (-3) = -6x. ✔

Réponse : a)

3 (2 x + 5)

3(2x+5) · b)

2 x (2 x - 3)

2x(2x-3)

Rappel de cours : Le facteur commun peut contenir des nombres ET des lettres.

Erreur fréquente : Oublier le $x$ x dans le facteur commun de b) : $2 (2 x^{2} - 3 x)$ 2(2x²-3x) est correct mais pas complètement factorisé.

Exercice 6 — Double distributivité

À maîtriser

Développe et réduis $(x + 3) (x + 5)$ (x+3)(x+5).

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Correction détaillée

1
On multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde : quatre produits au total.
2
$x \times x = x^{2}$ x × x = x².
3
$x \times 5 = 5 x$ x × 5 = 5x.
4
$3 \times x = 3 x$ 3 × x = 3x.
5
$3 \times 5 = 15$ 3 × 5 = 15.
6
On additionne : $x^{2} + 5 x + 3 x + 15$ x² + 5x + 3x + 15, puis on réduit : $x^{2} + 8 x + 15$ x² + 8x + 15.

Réponse :

(x + 3) (x + 5) = x^{2} + 8 x + 15

(x+3)(x+5) = x² + 8x + 15

Rappel de cours : $(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d$ (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd : quatre produits, toujours.

Erreur fréquente : Écrire $(x + 3) (x + 5) = x^{2} + 15$ (x+3)(x+5) = x² + 15 : il manque les deux produits croisés.

Exercice 7 — Double distributivité avec des signes

À maîtriser

Développe et réduis $(2 x - 1) (x + 4)$ (2x - 1)(x + 4).

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Correction détaillée

1
On effectue les quatre produits, en emportant les signes.
2
$2 x \times x = 2 x^{2}$ 2x × x = 2x².
3
$2 x \times 4 = 8 x$ 2x × 4 = 8x.
4
$- 1 \times x = - x$ -1 × x = -x.
5
$- 1 \times 4 = - 4$ -1 × 4 = -4.
6
Somme : $2 x^{2} + 8 x - x - 4$ 2x² + 8x - x - 4.
7
Réduction : $8 x - x = 7 x$ 8x - x = 7x, donc $2 x^{2} + 7 x - 4$ 2x² + 7x - 4.

Réponse :

(2 x - 1) (x + 4) = 2 x^{2} + 7 x - 4

(2x-1)(x+4) = 2x² + 7x - 4

Rappel de cours : Le signe $-$ - fait partie du terme : ici on multiplie bien $- 1$ -1, pas $+ 1$ +1.

Erreur fréquente : Oublier le signe du $- 1$ -1 et obtenir $2 x^{2} + 9 x + 4$ 2x² + 9x + 4.

Exercice 8 — Soustraire une parenthèse

À maîtriser

Développe et réduis $7 x - (3 x - 5)$ 7x - (3x - 5).

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Correction détaillée

1
Le signe $-$ - devant la parenthèse revient à multiplier par $- 1$ -1.
2
$- (3 x - 5) = - 3 x + 5$ -(3x - 5) = -3x + 5 : tous les signes à l'intérieur changent.
3
L'expression devient $7 x - 3 x + 5$ 7x - 3x + 5.
4
Réduction : $7 x - 3 x = 4 x$ 7x - 3x = 4x, donc $4 x + 5$ 4x + 5.

Réponse :

7 x - (3 x - 5) = 4 x + 5

7x - (3x-5) = 4x + 5

Rappel de cours : Un signe $-$ - devant une parenthèse change TOUS les signes à l'intérieur.

Erreur fréquente : Écrire $7 x - 3 x - 5$ 7x - 3x - 5 : le $- 5$ -5 devient $+ 5$ +5.

Exercice 9 — Aire et double distributivité

À maîtriser

Un rectangle a pour longueur $x + 4$ x + 4 et pour largeur $x + 2$ x + 2.

Exprime son aire sous forme développée.

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Correction détaillée

1
L'aire d'un rectangle est le produit de la longueur par la largeur.
2
$A = (x + 4) (x + 2)$ A = (x+4)(x+2).
3
On développe : $x \times x = x^{2}$ x × x = x² ; $x \times 2 = 2 x$ x × 2 = 2x ; $4 \times x = 4 x$ 4 × x = 4x ; $4 \times 2 = 8$ 4 × 2 = 8.
4
$A = x^{2} + 2 x + 4 x + 8 = x^{2} + 6 x + 8$ A = x² + 2x + 4x + 8 = x² + 6x + 8.
5
Vérification avec $x = 3$ x = 3 : le rectangle mesure $7$ 7 sur $5$ 5, donc $35$ 35.
Et $9 + 18 + 8 = 35$ 9 + 18 + 8 = 35. ✔

Réponse :

A = (x + 4) (x + 2) = x^{2} + 6 x + 8

A = (x+4)(x+2) = x² + 6x + 8

Rappel de cours : Une aire de rectangle donne une interprétation géométrique de la double distributivité.

Erreur fréquente : Additionner les dimensions : ce serait le demi-périmètre, pas l'aire.

Exercice 10 — Développer un carré

À maîtriser

Développe $(x + 5)^{2}$ (x+5)².

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Correction détaillée

1
$(x + 5)^{2}$ (x+5)² signifie $(x + 5) (x + 5)$ (x+5)(x+5) : c'est un produit, pas une somme de carrés.
2
On développe les quatre produits : $x \times x = x^{2}$ x × x = x² ; $x \times 5 = 5 x$ x × 5 = 5x ; $5 \times x = 5 x$ 5 × x = 5x ; $5 \times 5 = 25$ 5 × 5 = 25.
3
Somme : $x^{2} + 5 x + 5 x + 25$ x² + 5x + 5x + 25.
4
Réduction : $x^{2} + 10 x + 25$ x² + 10x + 25.
5
Vérification avec $x = 2$ x = 2 : $(2 + 5)^{2} = 49$ (2+5)² = 49, et $4 + 20 + 25 = 49$ 4 + 20 + 25 = 49. ✔

Réponse :

(x + 5)^{2} = x^{2} + 10 x + 25

(x+5)² = x² + 10x + 25

Rappel de cours : $(a + b)^{2} \neq = a^{2} + b^{2}$ (a+b)² ≠ a² + b² : il y a toujours un double produit au milieu.

Erreur fréquente : Écrire $(x + 5)^{2} = x^{2} + 25$ (x+5)² = x² + 25 : c'est l'erreur la plus classique de tout le collège.

Exercice 11 — Développer et réduire une somme

Type contrôle

Développe et réduis $B = 3 (x + 2) + 2 (4 x - 1)$ B = 3(x+2) + 2(4x - 1).

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Correction détaillée

1
On développe chaque produit séparément.
2
$3 (x + 2) = 3 x + 6$ 3(x+2) = 3x + 6.
3
$2 (4 x - 1) = 8 x - 2$ 2(4x-1) = 8x - 2.
4
On additionne : $B = 3 x + 6 + 8 x - 2$ B = 3x + 6 + 8x - 2.
5
On regroupe les termes en $x$ x : $3 x + 8 x = 11 x$ 3x + 8x = 11x.
6
On regroupe les constantes : $6 - 2 = 4$ 6 - 2 = 4.
7
$B = 11 x + 4$ B = 11x + 4.

Réponse :

B = 11 x + 4

B = 11x + 4

Rappel de cours : On développe d'abord chaque parenthèse, on réduit ensuite.

Erreur fréquente : Multiplier les deux parenthèses entre elles : ici elles sont ADDITIONNÉES, pas multipliées.

Exercice 12 — Développer avec une soustraction

Type contrôle

Développe et réduis $C = (x + 3) (x + 2) - (x + 1) (x + 4)$ C = (x+3)(x+2) - (x+1)(x+4).

Voir la correction

Correction détaillée

1
On développe le premier produit : $(x + 3) (x + 2) = x^{2} + 2 x + 3 x + 6 = x^{2} + 5 x + 6$ (x+3)(x+2) = x² + 2x + 3x + 6 = x² + 5x + 6.
2
On développe le second : $(x + 1) (x + 4) = x^{2} + 4 x + x + 4 = x^{2} + 5 x + 4$ (x+1)(x+4) = x² + 4x + x + 4 = x² + 5x + 4.
3
$C$ C est la différence : $C = (x^{2} + 5 x + 6) - (x^{2} + 5 x + 4)$ C = (x²+5x+6) - (x²+5x+4).
4
Le signe $-$ - change tous les signes de la seconde parenthèse : $C = x^{2} + 5 x + 6 - x^{2} - 5 x - 4$ C = x² + 5x + 6 - x² - 5x - 4.
5
Les $x^{2}$ x² s'annulent, les $5 x$ 5x aussi : il reste $6 - 4 = 2$ 6 - 4 = 2.
6
$C = 2$ C = 2, une constante — le résultat ne dépend pas de $x$ x !

Réponse :

C = 2

C = 2, quelle que soit la valeur de

x

Rappel de cours : Un résultat constant signale souvent une propriété cachée : ici, les deux produits ne diffèrent que de $2$ 2.

Erreur fréquente : Oublier de changer les signes de la seconde parenthèse : on trouverait $2 x^{2} + 10 x + 10$ 2x² + 10x + 10.

Exercice 13 — Factoriser avec une parenthèse commune

Type contrôle

Factorise $(x + 2) (x - 1) + (x + 2) (3 x + 4)$ (x+2)(x-1) + (x+2)(3x+4).

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Correction détaillée

1
On repère le facteur commun aux deux termes : ici, c'est la parenthèse $(x + 2)$ (x+2).
2
On la met en facteur : $(x + 2) [(x - 1) + (3 x + 4)]$ (x+2)[(x-1) + (3x+4)].
3
On réduit le contenu du crochet : $x - 1 + 3 x + 4 = 4 x + 3$ x - 1 + 3x + 4 = 4x + 3.
4
Forme factorisée : $(x + 2) (4 x + 3)$ (x+2)(4x+3).
5
Vérification avec $x = 1$ x = 1 : l'expression de départ vaut $3 \times 0 + 3 \times 7 = 21$ 3 × 0 + 3 × 7 = 21, et la forme factorisée $3 \times 7 = 21$ 3 × 7 = 21. ✔

Réponse :

(x + 2) (x - 1) + (x + 2) (3 x + 4) = (x + 2) (4 x + 3)

(x+2)(x-1) + (x+2)(3x+4) = (x+2)(4x+3)

Rappel de cours : Le facteur commun peut être une parenthèse entière, pas seulement un nombre ou une lettre.

Erreur fréquente : Développer tout avant de factoriser : c'est plus long et on perd le facteur commun de vue.

Exercice 14 — Tester une égalité

Type contrôle

Le nombre $- 3$ -3 est-il solution de l'équation $2 x + 7 = x + 4$ 2x + 7 = x + 4 ?

Et le nombre $2$ 2 ?

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Correction détaillée

1
On calcule séparément les deux membres pour chaque valeur.
2
Pour $x = - 3$ x = -3 : membre de gauche $= 2 \times (- 3) + 7 = - 6 + 7 = 1$ = 2 × (-3) + 7 = -6 + 7 = 1.
3
Membre de droite $= - 3 + 4 = 1$ = -3 + 4 = 1.
Les deux membres sont égaux : $- 3$ -3 est solution.
4
Pour $x = 2$ x = 2 : membre de gauche $= 4 + 7 = 11$ = 4 + 7 = 11.
Membre de droite $= 2 + 4 = 6$ = 2 + 4 = 6.
5
$11 \neq = 6$ 11 ≠ 6 : $2$ 2 n'est pas solution.

Réponse :

- 3

-3 est solution ;

2

2 ne l'est pas.

Rappel de cours : On calcule chaque membre à part, puis on compare : on ne « transforme » pas l'équation.

Erreur fréquente : Faire les calculs de tête sur les négatifs : $2 \times (- 3) = - 6$ 2 × (-3) = -6, pas $- 5$ -5.

Exercice 15 — Périmètre et aire littéraux

Type contrôle

Un carré a pour côté $x + 3$ x + 3.

1.Exprime son périmètre sous forme réduite.
2.Exprime son aire sous forme développée.
3.Calcule les deux pour $x = 5$ x = 5.

Voir la correction

Correction détaillée

1
Périmètre : quatre côtés égaux, donc $P = 4 (x + 3)$ P = 4(x+3).
2
On développe : $P = 4 x + 12$ P = 4x + 12.
3
Aire : $A = (x + 3)^{2} = (x + 3) (x + 3)$ A = (x+3)² = (x+3)(x+3).
4
Développement : $x^{2} + 3 x + 3 x + 9 = x^{2} + 6 x + 9$ x² + 3x + 3x + 9 = x² + 6x + 9.
5
Pour $x = 5$ x = 5 : le côté vaut $8$ 8.
Donc $P = 4 \times 8 = 32$ P = 4 × 8 = 32, ce que confirme $4 \times 5 + 12 = 32$ 4 × 5 + 12 = 32. ✔
6
Et $A = 8 \times 8 = 64$ A = 8 × 8 = 64, ce que confirme $25 + 30 + 9 = 64$ 25 + 30 + 9 = 64. ✔

Réponse :

P = 4 x + 12

P = 4x + 12 et

A = x^{2} + 6 x + 9

A = x² + 6x + 9 ; pour

x = 5

x=5 :

P = 32

P = 32 et

A = 64

A = 64.

Rappel de cours : Vérifier une expression littérale en la testant sur une valeur est un réflexe à prendre.

Erreur fréquente : Écrire l'aire $x^{2} + 9$ x² + 9 : le double produit $6 x$ 6x manquerait.

Exercice 16 — Le programme de calcul

Approfondissement / défi

Programme : « Choisis un nombre.

Ajoute $4$ 4.

Multiplie par $2$ 2.

Soustrais le double du nombre choisi. » Prouve que le résultat ne dépend pas du nombre choisi.

Voir la correction

Correction détaillée

1
On appelle $n$ n le nombre choisi et on traduit chaque étape.
2
« Ajoute $4$ 4 » : $n + 4$ n + 4.
3
« Multiplie par $2$ 2 » : $2 (n + 4)$ 2(n+4), qu'on développe en $2 n + 8$ 2n + 8.
4
« Soustrais le double du nombre choisi » : le double de $n$ n est $2 n$ 2n, donc on calcule $2 n + 8 - 2 n$ 2n + 8 - 2n.
5
Les termes $2 n$ 2n et $- 2 n$ -2n s'annulent : il reste $8$ 8.
6
Le résultat vaut donc toujours $8$ 8, quel que soit le nombre de départ.
7
Vérification avec $n = 10$ n = 10 : $14$ 14, puis $28$ 28, puis $28 - 20 = 8$ 28 - 20 = 8. ✔

Réponse : Le résultat est toujours

8

8 :

2 (n + 4) - 2 n = 2 n + 8 - 2 n = 8

2(n+4) - 2n = 2n + 8 - 2n = 8.

Rappel de cours : Le calcul littéral PROUVE ce que des exemples ne font que suggérer.

Erreur fréquente : Tester trois nombres et écrire « donc c'est toujours $8$ 8 » : ce n'est pas une démonstration.

Exercice 17 — Démontrer une propriété

Approfondissement / défi

Soit $n$ n un entier.

Démontre que la somme de $n$ n, de $n + 1$ n+1 et de $n + 2$ n+2 est toujours un multiple de $3$ 3.

Voir la correction

Correction détaillée

1
On écrit la somme : $S = n + (n + 1) + (n + 2)$ S = n + (n+1) + (n+2).
2
On regroupe les termes en $n$ n : $n + n + n = 3 n$ n + n + n = 3n.
3
On regroupe les constantes : $1 + 2 = 3$ 1 + 2 = 3.
4
Donc $S = 3 n + 3$ S = 3n + 3.
5
On factorise par $3$ 3 : $S = 3 (n + 1)$ S = 3(n+1).
6
$S$ S s'écrit comme $3$ 3 multiplié par un entier ( $n + 1$ n+1) : c'est donc bien un multiple de $3$ 3.
7
Vérification : $11 + 12 + 13 = 36 = 3 \times 12$ 11 + 12 + 13 = 36 = 3 × 12, et ici $n + 1 = 12$ n+1 = 12. ✔

Réponse :

S = 3 n + 3 = 3 (n + 1)

S = 3n + 3 = 3(n+1) : la somme est toujours un multiple de

3

Rappel de cours : Pour prouver qu'un nombre est multiple de $k$ k, on le factorise pour faire apparaître $k$ k.

Erreur fréquente : Se contenter d'exemples : trois cas ne prouvent rien pour l'infinité d'entiers.

Exercice 18 — Le carré agrandi

Approfondissement / défi

On augmente le côté d'un carré de $2$ 2 cm.

Le côté initial vaut $c$ c.

1.Exprime l'aire du nouveau carré sous forme développée.
2.De combien l'aire a-t-elle augmenté ?
3.Calcule cette augmentation pour $c = 10$ c = 10.

Voir la correction

Correction détaillée

1
Nouveau côté : $c + 2$ c + 2.
Nouvelle aire : $(c + 2)^{2} = c^{2} + 4 c + 4$ (c+2)² = c² + 4c + 4.
2
Aire initiale : $c^{2}$ c².
3
Augmentation : $(c^{2} + 4 c + 4) - c^{2} = 4 c + 4$ (c² + 4c + 4) - c² = 4c + 4.
4
On peut factoriser : $4 (c + 1)$ 4(c+1).
5
Pour $c = 10$ c = 10 : augmentation $= 4 \times 10 + 4 = 44$ = 4 × 10 + 4 = 44 cm².
6
Vérification : l'aire passe de $100$ 100 à $144$ 144 cm², soit $+ 44$ +44 cm². ✔
7
Remarque : l'augmentation dépend de $c$ c, elle n'est donc pas constante.

Réponse : Nouvelle aire

= c^{2} + 4 c + 4

= c² + 4c + 4 · augmentation

= 4 c + 4 = 4 (c + 1)

= 4c + 4 = 4(c+1) · pour

c = 10

c = 10,

+ 44

+44 cm².

Rappel de cours : Une expression littérale décrit d'un coup TOUS les cas possibles.

Erreur fréquente : Croire que l'augmentation vaut $4$ 4 cm² (le carré de $2$ 2) : les deux bandes latérales comptent aussi.

Exercice 19 — Deux expressions égales ?

Approfondissement / défi

Les expressions $D = (x + 1) (x + 6)$ D = (x+1)(x+6) et $E = x^{2} + 7 x + 6$ E = x² + 7x + 6 sont-elles égales pour toute valeur de $x$ x ?

Et $F = (x + 2) (x + 5)$ F = (x+2)(x+5) et $E$ E ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
On développe $D$ D : $x \times x = x^{2}$ x × x = x² ; $x \times 6 = 6 x$ x × 6 = 6x ; $1 \times x = x$ 1 × x = x ; $1 \times 6 = 6$ 1 × 6 = 6.
2
$D = x^{2} + 6 x + x + 6 = x^{2} + 7 x + 6$ D = x² + 6x + x + 6 = x² + 7x + 6.
C'est exactement $E$ E : les deux expressions sont égales pour tout $x$ x.
3
On développe $F$ F : $x^{2} + 5 x + 2 x + 10 = x^{2} + 7 x + 10$ x² + 5x + 2x + 10 = x² + 7x + 10.
4
$F$ F et $E$ E ont le même $x^{2}$ x² et le même $7 x$ 7x, mais des constantes différentes ( $10$ 10 contre $6$ 6).
5
Elles ne sont donc pas égales.
Contre-exemple pour $x = 0$ x = 0 : $F = 10$ F = 10 et $E = 6$ E = 6.

Réponse :

D = E

D = E pour tout

x

x ;

F \neq = E

F ≠ E (contre-exemple :

x = 0

x = 0 donne

10

10 et

6

6).

Rappel de cours : Deux expressions développées sont égales si TOUS leurs termes correspondent.

Erreur fréquente : Tester une seule valeur : deux expressions différentes peuvent coïncider ponctuellement.

Exercice 20 — Vrai ou faux justifié

Approfondissement / défi

Vrai ou faux, en justifiant : a) $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ (a+b)² = a² + b² ; b) $3 (x + 2) = 3 x + 6$ 3(x+2) = 3x + 6 ; c) $- (x - 4) = - x + 4$ -(x - 4) = -x + 4.

Voir la correction

Correction détaillée

1
a) En développant : $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ (a+b)² = a² + 2ab + b².
Il manque le double produit $2 ab$ 2ab.
2
a) Contre-exemple : $a = 3$ a = 3 et $b = 4$ b = 4 donnent $(3 + 4)^{2} = 49$ (3+4)² = 49, alors que $9 + 16 = 25$ 9 + 16 = 25.
FAUX.
3
a) Remarque : l'égalité est vraie seulement si $a$ a ou $b$ b vaut $0$ 0.
4
b) C'est la distributivité : $3 \times x + 3 \times 2 = 3 x + 6$ 3 × x + 3 × 2 = 3x + 6.
VRAI.
5
c) Le signe $-$ - change tous les signes : $- (x - 4) = - x + 4$ -(x-4) = -x + 4.
VRAI.
6
c) Vérification avec $x = 1$ x = 1 : $- (1 - 4) = - (- 3) = 3$ -(1-4) = -(-3) = 3, et $- 1 + 4 = 3$ -1 + 4 = 3. ✔

Réponse : a) Faux (il manque

2 ab

2ab) · b) Vrai · c) Vrai.

Rappel de cours : $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ (a+b)² = a² + 2ab + b² : le double produit ne disparaît jamais.

Erreur fréquente : « Distribuer le carré » sur une somme : le carré ne se distribue que sur un produit.

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