Exercices corrigés : Divisibilité et congruences — Terminale maths expertes

Correction détaillée

1. 1

   On cherche les entiers positifs $d$d tels que $36=d\times k$36 = d × k avec $k$k entier.

   On les trouve par paires, en partant de $1$1.

2. 2

   $36=1\times 36=2\times 18=3\times 12=4\times 9=6\times 6$36 = 1 × 36 = 2 × 18 = 3 × 12 = 4 × 9 = 6 × 6.

3. 3

   Les diviseurs positifs de $36$36 sont donc $1$1, $2$2, $3$3, $4$4, $6$6, $9$9, $12$12, $18$18 et $36$36 : il y en a $9$9.

4. 4

   On s'arrête à $6$6 car $6\times 6=36$6 × 6 = 36 : au-delà, on retrouverait les mêmes paires dans l'autre sens.

   Il suffit de tester jusqu'à $\sqrt{36}$√(36).

5. 5

   $7\mid 343$7 | 343 : on cherche un entier $k$k tel que $343=7k$343 = 7k.

   Comme $343=7\times 49$343 = 7 × 49, l'entier $k=49$k = 49 convient ✔. (On reconnaît d'ailleurs $343=7^3$343 = 7³.)

6. 6

   $6\nmid 100$6 nmid 100 : la division de $100$100 par $6$6 donne $100=6\times 16+4$100 = 6 × 16 + 4.

   Le reste $4$4 n'est pas nul, donc $6$6 ne divise pas $100$100.

7. 7

   Passons à la démonstration.

   Par hypothèse, il existe des entiers $k$k et $k^{\prime }$k' tels que $b=ka$b = ka et $c=k^{\prime }a$c = k'a.

8. 8

   Alors $b+c=ka+k^{\prime }a=(k+k^{\prime })a$b + c = ka + k'a = (k + k')a.

   Comme $k+k^{\prime }$k + k' est un entier, on a bien $a\mid (b+c)$a | (b + c).

9. 9

   Plus généralement, $ub+vc=uka+v{k}^{\prime }a=(uk+v{k}^{\prime })a$ub + vc = uka + vk'a = (uk + vk')a, et $uk+v{k}^{\prime }$uk + vk' est un entier : donc $a\mid (ub+vc)$a | (ub + vc).

10. 10

    Ce résultat est l'outil de base de tout le chapitre : toute COMBINAISON LINÉAIRE ENTIÈRE de multiples de $a$a est encore un multiple de $a$a.

11. 11

    Exemple d'utilisation : si $a$a divise $b$b et $b+c$b + c, alors $a$a divise $(b+c)-b=c$(b + c) - b = c.

Rappel de cours : $a\mid b\iff \exists k\in \mathbb{Z},b=ka$a | b ⇔ ∃ k ∈ ℤ, b = ka. Pour lister les diviseurs de $n$n, on teste les entiers jusqu'à $\sqrt{n}$√(n) et on forme les paires. Combinaison linéaire : $a\mid b$a | b et $a\mid c\Rightarrow a\mid (ub+vc)$a | c ⇒ a | (ub + vc).

Erreur fréquente : Écrire $a\mid b$a | b alors qu'on veut dire $\frac{b}{a}$b/a. La notation $a\mid b$a | b est une AFFIRMATION (« $a$a divise $b$b »), pas un nombre.

Correction détaillée

1. 1

   Division par $7$7 : on cherche le plus grand multiple de $7$7 inférieur ou égal à $2026$2026.

   Comme $7\times 289=2023$7 × 289 = 2023 et $7\times 290=2030>2026$7 × 290 = 2030 > 2026, le quotient est $289$289.

2. 2

   Le reste vaut $2026-2023=3$2026 - 2023 = 3.

   On écrit $2026=7\times 289+3$2026 = 7 × 289 + 3, avec $0⩽3<7$0 ≤ 3 < 7 ✔.

3. 3

   Division par $12$12 : $12\times 168=2016$12 × 168 = 2016 et $12\times 169=2028>2026$12 × 169 = 2028 > 2026.

   Donc $2026=12\times 168+10$2026 = 12 × 168 + 10, avec $0⩽10<12$0 ≤ 10 < 12 ✔.

4. 4

   Pour $-2026$-2026, l'erreur classique consiste à écrire $-2026=7\times (-289)-3$-2026 = 7 × (-289) - 3 : le « reste » $-3$-3 est négatif, donc INTERDIT.

5. 5

   Il faut descendre d'un cran sur le quotient : $7\times (-290)=-2030$7 × (-290) = -2030, et $-2026-(-2030)=4$-2026 - (-2030) = 4.

6. 6

   On écrit donc $-2026=7\times (-290)+4$-2026 = 7 × (-290) + 4, avec $0⩽4<7$0 ≤ 4 < 7 ✔.

   Le reste est $4$4, pas $3$3 ni $-3$-3.

7. 7

   Contrôle utile : la somme du reste « naïf » $3$3 et du reste correct $4$4 vaut $7$7.

   C'est général : si $a$a a pour reste $r\ne 0$r ≠ 0, alors $-a$-a a pour reste $b-r$b - r.

8. 8

   Division de $2026$2026 par $2026$2026 : $2026=2026\times 1+0$2026 = 2026 × 1 + 0, le reste est $0$0 — normal, tout entier se divise lui-même.

9. 9

   Division par $1$1 : $2026=1\times 2026+0$2026 = 1 × 2026 + 0, le reste est $0$0.

   Le reste dans une division par $1$1 est toujours nul, puisqu'il doit vérifier $0⩽r<1$0 ≤ r < 1.

Rappel de cours : $a=bq+r$a = bq + r avec $0⩽r<b$0 ≤ r < b : le reste est toujours POSITIF ou nul et strictement inférieur au diviseur. Pour un dividende négatif, on prend le quotient immédiatement inférieur.

Erreur fréquente : Annoncer un reste négatif. $-2026=7\times (-289)-3$-2026 = 7 × (-289) - 3 est une égalité vraie, mais ce n'est PAS la division euclidienne : $-3$-3 ne vérifie pas $0⩽r<7$0 ≤ r < 7.

Correction détaillée

1. 1

   Modulo $7$7 : on a vu $2026=7\times 289+3$2026 = 7 × 289 + 3, donc $2026\equiv 3[7]$2026 ≡ 3 [7].

2. 2

   Modulo $9$9 : $9\times 225=2025$9 × 225 = 2025, donc $2026=9\times 225+1$2026 = 9 × 225 + 1 et $2026\equiv 1[9]$2026 ≡ 1 [9].

3. 3

   Contrôle par la somme des chiffres, qui sera justifiée à l'exercice 7 : $2+0+2+6=10$2 + 0 + 2 + 6 = 10, et $10\equiv 1[9]$10 ≡ 1 [9] ✔.

4. 4

   Modulo $11$11 : $11\times 184=2024$11 × 184 = 2024, donc $2026=11\times 184+2$2026 = 11 × 184 + 2 et $2026\equiv 2[11]$2026 ≡ 2 [11].

5. 5

   $23\equiv 2[7]$23 ≡ 2 [7] : on calcule $23-2=21=7\times 3$23 - 2 = 21 = 7 × 3.

   Comme $7\mid 21$7 | 21, l'affirmation est VRAIE.

6. 6

   $-5\equiv 3[8]$-5 ≡ 3 [8] : $-5-3=-8$-5 - 3 = -8, qui est bien divisible par $8$8.

   L'affirmation est VRAIE — un nombre négatif peut tout à fait être congru à un positif.

7. 7

   $100\equiv 4[6]$100 ≡ 4 [6] : $100-4=96=6\times 16$100 - 4 = 96 = 6 × 16 ✔.

   L'affirmation est VRAIE (on retrouve $100=6\times 16+4$100 = 6 × 16 + 4 de l'exercice 1).

8. 8

   Traduction : « $n$n est pair » signifie que $2$2 divise $n$n, c'est-à-dire $n\equiv 0[2]$n ≡ 0 [2]. « $n$n est impair » s'écrit $n\equiv 1[2]$n ≡ 1 [2].

9. 9

   « $n$n est un multiple de $5$5 » signifie $5\mid n$5 | n, c'est-à-dire $n\equiv 0[5]$n ≡ 0 [5].

10. 10

    Règle générale à retenir : $d\mid n\iff n\equiv 0[d]$d | n ⇔ n ≡ 0 [d].

    Toute question de divisibilité peut donc s'écrire comme une congruence, et réciproquement.

Rappel de cours : $a\equiv b[n]\iff n\mid (a-b)\iff a$a ≡ b [n] ⇔ n | (a - b) ⇔ a et $b$b ont le même reste modulo $n$n. Et $d\mid n\iff n\equiv 0[d]$d | n ⇔ n ≡ 0 [d].

Erreur fréquente : Croire que $a\equiv b[n]$a ≡ b [n] impose $0⩽b<n$0 ≤ b < n. Toute autre valeur congrue convient : $23\equiv 2\equiv 9\equiv -5[7]$23 ≡ 2 ≡ 9 ≡ -5 [7].

Correction détaillée

1. 1

   On remplace chaque facteur par son reste modulo $9$9.

   Pour $47$47 : $47=9\times 5+2$47 = 9 × 5 + 2, donc $47\equiv 2[9]$47 ≡ 2 [9].

2. 2

   Pour $53$53 : $53=9\times 5+8$53 = 9 × 5 + 8, donc $53\equiv 8[9]$53 ≡ 8 [9].

3. 3

   Par compatibilité avec le produit : $47\times 53\equiv 2\times 8=16[9]$47 × 53 ≡ 2 × 8 = 16 [9].

4. 4

   On réduit encore : $16=9+7$16 = 9 + 7, donc $16\equiv 7[9]$16 ≡ 7 [9].

   Le reste cherché est $7$7.

5. 5

   Contrôle : $47\times 53=2491$47 × 53 = 2491, et $2491=9\times 276+7$2491 = 9 × 276 + 7 ✔.

   Le calcul modulo $9$9 a évité de poser la multiplication.

6. 6

   Deuxième question : $2026\equiv 3[7]$2026 ≡ 3 [7] (exercice 3).

   Pour $1234$1234 : $7\times 176=1232$7 × 176 = 1232, donc $1234\equiv 2[7]$1234 ≡ 2 [7].

7. 7

   Par compatibilité avec la somme : $2026+1234\equiv 3+2=5[7]$2026 + 1234 ≡ 3 + 2 = 5 [7].

   Le reste est $5$5.

8. 8

   Contrôle : $2026+1234=3260$2026 + 1234 = 3260, et $3260=7\times 465+5$3260 = 7 × 465 + 5 ✔.

9. 9

   Troisième question : $2026\equiv 1[9]$2026 ≡ 1 [9], donc $2026^2\equiv 1^2=1[9]$2026² ≡ 1² = 1 [9].

10. 10

    La compatibilité avec le produit se transmet aux puissances : si $a\equiv b[n]$a ≡ b [n], alors $a^k\equiv b^k[n]$a^(k) ≡ b^(k) [n] pour tout entier $k⩾1$k ≥ 1.

11. 11

    C'est cette propriété qui rendra calculables, à l'exercice 5, des puissances de plusieurs milliers de chiffres.

12. 12

    Attention en revanche : la DIVISION n'est pas compatible.

    De $6\equiv 12[6]$6 ≡ 12 [6] on ne peut pas déduire $3\equiv 6[6]$3 ≡ 6 [6], qui est faux.

Rappel de cours : Compatibilité : somme, différence, produit et puissances. $a\equiv b[n]\Rightarrow a^k\equiv b^k[n]$a ≡ b [n] ⇒ a^(k) ≡ b^(k) [n]. En revanche, on ne SIMPLIFIE pas une congruence par un facteur sans précaution.

Erreur fréquente : Diviser les deux membres d'une congruence. $4\times 3\equiv 4\times 5[8]$4 × 3 ≡ 4 × 5 [8] est vrai, mais $3\equiv 5[8]$3 ≡ 5 [8] est faux.

Correction détaillée

1. 1

   On calcule les premières puissances de $7$7 modulo $10$10 : $7^1\equiv 7$7¹ ≡ 7, $7^2=49\equiv 9$7² = 49 ≡ 9, $7^3\equiv 9\times 7=63\equiv 3$7³ ≡ 9 × 7 = 63 ≡ 3, $7^4\equiv 3\times 7=21\equiv 1[10]$7⁴ ≡ 3 × 7 = 21 ≡ 1 [10].

2. 2

   Dès qu'on retombe sur $1$1, le cycle recommence : $7^5\equiv 7$7⁵ ≡ 7, $7^6\equiv 9$7⁶ ≡ 9, etc.

   La suite des restes est PÉRIODIQUE de période $4$4 : $7,9,3,1,7,9,3,1,\dots$7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, …

3. 3

   Le reste de $7^n$7ⁿ ne dépend donc que du reste de $n$n modulo $4$4.

4. 4

   Or $2026=4\times 506+2$2026 = 4 × 506 + 2, donc $2026\equiv 2[4]$2026 ≡ 2 [4].

5. 5

   Donc $7^{2026}\equiv 7^2\equiv 9[10]$7²⁰²⁶ ≡ 7² ≡ 9 [10] : le chiffre des unités de $7^{2026}$7²⁰²⁶ est $9$9.

6. 6

   Rédaction rigoureuse : $7^{2026}=7^{4\times 506+2}={\left(7^4\right)}^{506}\times 7^2\equiv 1^{506}\times 49\equiv 9[10]$7²⁰²⁶ = 7^(4 × 506 + 2) = (7⁴)⁵⁰⁶ × 7² ≡ 1⁵⁰⁶ × 49 ≡ 9 [10].

7. 7

   Pour $3$3 : $3^1\equiv 3$3¹ ≡ 3, $3^2\equiv 9$3² ≡ 9, $3^3\equiv 27\equiv 7$3³ ≡ 27 ≡ 7, $3^4\equiv 21\equiv 1[10]$3⁴ ≡ 21 ≡ 1 [10].

   Période $4$4 également.

8. 8

   Comme $2026\equiv 2[4]$2026 ≡ 2 [4], on a $3^{2026}\equiv 3^2\equiv 9[10]$3²⁰²⁶ ≡ 3² ≡ 9 [10] : le chiffre des unités est $9$9.

9. 9

   Pour $2$2 : $2,4,8,16\equiv 6,32\equiv 2\dots$2, 4, 8, 16 ≡ 6, 32 ≡ 2… La suite est $2,4,8,6$2, 4, 8, 6, de période $4$4 (à partir de l'exposant $1$1).

10. 10

    Comme $2026\equiv 2[4]$2026 ≡ 2 [4], on a $2^{2026}\equiv 2^2\equiv 4[10]$2²⁰²⁶ ≡ 2² ≡ 4 [10] : le chiffre des unités est $4$4.

11. 11

    Puissances de $5$5 : $5^2=25\equiv 5$5² = 25 ≡ 5, et par récurrence $5^n\equiv 5[10]$5ⁿ ≡ 5 [10] pour tout $n⩾1$n ≥ 1.

    Le chiffre des unités est TOUJOURS $5$5.

12. 12

    Puissances de $6$6 : $6^2=36\equiv 6[10]$6² = 36 ≡ 6 [10], donc de même $6^n\equiv 6[10]$6ⁿ ≡ 6 [10].

    La période vaut $1$1 : ces deux chiffres sont dits « automorphes » pour la multiplication.

Rappel de cours : Méthode : calculer les premières puissances modulo $n$n jusqu'à retomber sur $1$1 (ou sur une valeur déjà vue), en déduire la PÉRIODE $p$p, puis réduire l'exposant modulo $p$p.

Erreur fréquente : Réduire l'exposant modulo $10$10 au lieu de le réduire modulo la PÉRIODE. Ce sont deux modules différents : $10$10 pour le résultat, $4$4 pour l'exposant.

Correction détaillée

1. 1

   On calcule de proche en proche, en réduisant à chaque étape (c'est ce qui garde les nombres petits).

2. 2

   $5^1\equiv 5[7]$5¹ ≡ 5 [7].

3. 3

   $5^2=25=7\times 3+4$5² = 25 = 7 × 3 + 4, donc $5^2\equiv 4[7]$5² ≡ 4 [7].

4. 4

   $5^3\equiv 5^2\times 5\equiv 4\times 5=20\equiv 6[7]$5³ ≡ 5² × 5 ≡ 4 × 5 = 20 ≡ 6 [7].

5. 5

   $5^4\equiv 6\times 5=30\equiv 2[7]$5⁴ ≡ 6 × 5 = 30 ≡ 2 [7].

6. 6

   $5^5\equiv 2\times 5=10\equiv 3[7]$5⁵ ≡ 2 × 5 = 10 ≡ 3 [7].

7. 7

   $5^6\equiv 3\times 5=15\equiv 1[7]$5⁶ ≡ 3 × 5 = 15 ≡ 1 [7].

8. 8

   $5^7\equiv 1\times 5=5[7]$5⁷ ≡ 1 × 5 = 5 [7] : on retrouve le reste de $5^1$5¹, le cycle recommence.

9. 9

   La suite des restes est donc $5,4,6,2,3,1$5, 4, 6, 2, 3, 1 puis se répète : la PÉRIODE est $6$6.

10. 10

    Pour $5^{2026}$5²⁰²⁶, on réduit l'exposant modulo $6$6 : $2026=6\times 337+4$2026 = 6 × 337 + 4, donc $2026\equiv 4[6]$2026 ≡ 4 [6].

11. 11

    Donc $5^{2026}\equiv 5^4\equiv 2[7]$5²⁰²⁶ ≡ 5⁴ ≡ 2 [7] : le reste de $5^{2026}$5²⁰²⁶ dans la division par $7$7 est $2$2.

12. 12

    Rédaction : $5^{2026}={\left(5^6\right)}^{337}\times 5^4\equiv 1^{337}\times 2\equiv 2[7]$5²⁰²⁶ = (5⁶)³³⁷ × 5⁴ ≡ 1³³⁷ × 2 ≡ 2 [7].

13. 13

    Dernière question : $7\mid 5^n-1$7 | 5ⁿ - 1 équivaut à $5^n\equiv 1[7]$5ⁿ ≡ 1 [7].

14. 14

    D'après le tableau, le reste $1$1 est atteint pour $n=6$n = 6, et uniquement là dans une période complète.

15. 15

    Comme la suite est périodique de période $6$6, les exposants convenables sont exactement les MULTIPLES DE $6$6 (avec $n⩾1$n ≥ 1, et aussi $n=0$n = 0 puisque $5^0=1$5⁰ = 1).

16. 16

    Contrôle : $5^6=15625$5⁶ = 15 625 et $15625-1=15624=7\times 2232$15 625 - 1 = 15 624 = 7 × 2232 ✔.

Rappel de cours : On calcule les puissances de proche en proche EN RÉDUISANT à chaque étape. Le premier retour à $1$1 donne la période, et tout exposant se réduit alors modulo cette période.

Erreur fréquente : Calculer $5^4=625$5⁴ = 625 puis réduire. C'est possible ici, mais impraticable pour $5^{2026}$5²⁰²⁶ : le réflexe est de réduire à CHAQUE multiplication.

Correction détaillée

1. 1

   Écrivons un entier $N$N avec ses chiffres : $N=a_{p}10^p+\cdots +a_{1}10+a_0$N = aₚ10^(p) + … + a₁10 + a₀.

2. 2

   Modulo $9$9 : comme $10\equiv 1[9]$10 ≡ 1 [9], on a $10^k\equiv 1^k=1[9]$10^(k) ≡ 1^(k) = 1 [9] pour tout $k$k.

3. 3

   Donc $N\equiv a_p+\cdots +a_1+a_0[9]$N ≡ aₚ + … + a₁ + a₀ [9] : un entier est congru à la somme de ses chiffres modulo $9$9.

4. 4

   En particulier $9\mid N$9 | N si et seulement si $9$9 divise la somme des chiffres.

   Le critère est démontré.

5. 5

   Pour $3$3, le raisonnement est identique : $10\equiv 1[3]$10 ≡ 1 [3] aussi, donc $N$N est congru à la somme de ses chiffres modulo $3$3, et le critère est le même.

6. 6

   Modulo $11$11, la situation change : $10\equiv -1[11]$10 ≡ -1 [11], donc $10^k\equiv (-1{)}^k[11]$10^(k) ≡ (-1)^(k) [11], qui vaut $1$1 si $k$k est pair et $-1$-1 s'il est impair.

7. 7

   D'où $N\equiv a_0-a_1+a_2-a_3+\dots [11]$N ≡ a₀ - a₁ + a₂ - a₃ + … [11] : c'est la somme ALTERNÉE des chiffres, en commençant par le chiffre des unités avec le signe $+$+.

8. 8

   Donc $11\mid N$11 | N si et seulement si $11$11 divise cette somme alternée.

9. 9

   Application à $4059$4059.

   Somme des chiffres : $4+0+5+9=18$4 + 0 + 5 + 9 = 18, qui est divisible par $9$9 : donc $9\mid 4059$9 | 4059.

10. 10

    Contrôle : $4059=9\times 451$4059 = 9 × 451 ✔.

11. 11

    Somme alternée, en partant des unités : $9-5+0-4=0$9 - 5 + 0 - 4 = 0.

    Or $11\mid 0$11 | 0, donc $11\mid 4059$11 | 4059.

12. 12

    Contrôle : $4059=11\times 369$4059 = 11 × 369 ✔.

13. 13

    Le nombre $4059$4059 est donc divisible par $9$9 et par $11$11, donc par $99$99 : en effet $4059=99\times 41$4059 = 99 × 41.

Rappel de cours : Tous les critères de divisibilité viennent du reste de $10$10 modulo $n$n : $10\equiv 1[3]$10 ≡ 1 [3] et $[9]$[9], $10\equiv -1[11]$10 ≡ -1 [11], $10\equiv 0[2]$10 ≡ 0 [2] et $[5]$[5] — d'où le critère par le seul chiffre des unités.

Erreur fréquente : Commencer la somme alternée par le chiffre de gauche. C'est le chiffre des UNITÉS qui porte le signe $+$+ (il correspond à $10^0$10⁰).

Correction détaillée

1. 1

   Première méthode, par les facteurs.

   $n$n, $n+1$n+1 et $n+2$n+2 sont trois entiers CONSÉCUTIFS.

2. 2

   Parmi trois entiers consécutifs, il y en a au moins un pair : leur produit est donc divisible par $2$2.

3. 3

   Parmi trois entiers consécutifs, il y en a exactement un divisible par $3$3 (les restes modulo $3$3 sont $0$0, $1$1 et $2$2 dans un ordre ou un autre) : le produit est donc divisible par $3$3.

4. 4

   Le produit est divisible par $2$2 et par $3$3, qui n'ont aucun facteur commun : il est donc divisible par $6$6.

5. 5

   Seconde méthode, par disjonction sur le reste modulo $6$6.

   On dresse un tableau : pour $n\equiv 0,1,2,3,4,5[6]$n ≡ 0, 1, 2, 3, 4, 5 [6], on calcule $n(n+1)(n+2)$n(n+1)(n+2) modulo $6$6.

6. 6

   $n\equiv 0$n ≡ 0 : $0\times 1\times 2=0$0 × 1 × 2 = 0.

   $n\equiv 1$n ≡ 1 : $1\times 2\times 3=6\equiv 0$1 × 2 × 3 = 6 ≡ 0.

   $n\equiv 2$n ≡ 2 : $2\times 3\times 4=24\equiv 0$2 × 3 × 4 = 24 ≡ 0.

7. 7

   $n\equiv 3$n ≡ 3 : $3\times 4\times 5=60\equiv 0$3 × 4 × 5 = 60 ≡ 0.

   $n\equiv 4$n ≡ 4 : $4\times 5\times 6=120\equiv 0$4 × 5 × 6 = 120 ≡ 0.

   $n\equiv 5$n ≡ 5 : $5\times 6\times 7=210\equiv 0$5 × 6 × 7 = 210 ≡ 0.

8. 8

   Dans les six cas le reste est nul : $6\mid n(n+1)(n+2)$6 | n(n+1)(n+2) pour tout $n$n ✔.

   Les deux méthodes concluent, la première est plus élégante.

9. 9

   Deuxième question : on factorise $n^3-n=n\left(n^2-1\right)=n(n-1)(n+1)=(n-1)n(n+1)$n³ - n = n(n² - 1) = n(n-1)(n+1) = (n-1)n(n+1).

10. 10

    C'est encore un produit de trois entiers consécutifs : il est divisible par $6$6 d'après la question 1.

11. 11

    Troisième question : $n^2+n=n(n+1)$n² + n = n(n + 1), produit de deux entiers consécutifs.

12. 12

    L'un des deux est nécessairement pair, donc le produit est pair : $n^2+n$n² + n est toujours divisible par $2$2.

13. 13

    Vérification sur quelques valeurs : $n=3$n = 3 donne $12$12 ✔, $n=-4$n = -4 donne $12$12 ✔, $n=0$n = 0 donne $0$0 ✔.

Rappel de cours : Deux stratégies : reconnaître un produit d'entiers CONSÉCUTIFS, ou faire une disjonction sur les $d$d restes possibles. La seconde marche toujours, la première est plus courte quand elle s'applique.

Erreur fréquente : Conclure « divisible par $6$6 » à partir de « divisible par $2$2 et par $4$4 ». Ce raisonnement exige que les deux diviseurs soient PREMIERS ENTRE EUX, ce qui est le cas de $2$2 et $3$3.

Correction détaillée

1. 1

   Tout entier $n$n est congru à $0$0, $1$1, $2$2 ou $3$3 modulo $4$4.

   On examine les quatre cas.

2. 2

   $n\equiv 0[4]$n ≡ 0 [4] : $n^2\equiv 0[4]$n² ≡ 0 [4].

3. 3

   $n\equiv 1[4]$n ≡ 1 [4] : $n^2\equiv 1[4]$n² ≡ 1 [4].

4. 4

   $n\equiv 2[4]$n ≡ 2 [4] : $n^2\equiv 4\equiv 0[4]$n² ≡ 4 ≡ 0 [4].

5. 5

   $n\equiv 3[4]$n ≡ 3 [4] : $n^2\equiv 9\equiv 1[4]$n² ≡ 9 ≡ 1 [4].

6. 6

   Les seuls restes possibles pour un carré modulo $4$4 sont donc $0$0 et $1$1.

   En particulier, AUCUN carré n'est congru à $2$2 ou $3$3 modulo $4$4.

7. 7

   Lecture simple : un carré de nombre pair est congru à $0$0, un carré de nombre impair est congru à $1$1.

8. 8

   Modulo $3$3, on examine les trois cas.

   $n\equiv 0$n ≡ 0 : $n^2\equiv 0$n² ≡ 0.

   $n\equiv 1$n ≡ 1 : $n^2\equiv 1$n² ≡ 1.

   $n\equiv 2$n ≡ 2 : $n^2\equiv 4\equiv 1[3]$n² ≡ 4 ≡ 1 [3].

9. 9

   Les restes possibles sont donc $0$0 et $1$1 : un carré n'est jamais congru à $2$2 modulo $3$3.

10. 10

    Dernière question.

    Supposons $3\mid n^2$3 | n², c'est-à-dire $n^2\equiv 0[3]$n² ≡ 0 [3].

11. 11

    D'après le tableau, le reste $0$0 pour $n^2$n² ne s'obtient que dans le cas $n\equiv 0[3]$n ≡ 0 [3] : les deux autres cas donnent le reste $1$1.

12. 12

    Donc $n\equiv 0[3]$n ≡ 0 [3], c'est-à-dire $3\mid n$3 | n.

    La réciproque étant évidente, on a l'équivalence.

13. 13

    Ce résultat est exactement ce qui sert à démontrer que $\sqrt{3}$√(3) est irrationnel — et le même raisonnement modulo $2$2 traite le cas de $\sqrt{2}$√(2).

Rappel de cours : Table des carrés : modulo $4$4, un carré vaut $0$0 ou $1$1 · modulo $3$3, $0$0 ou $1$1 · modulo $8$8, $0$0, $1$1 ou $4$4. Ces tables servent à prouver qu'une équation n'a pas de solution.

Erreur fréquente : Oublier des cas dans la disjonction. Modulo $4$4, il faut examiner les QUATRE restes, même si $2$2 et $3$3 redonnent les mêmes valeurs que $0$0 et $1$1.

Correction détaillée

1. 1

   Première équation.

   On teste les sept restes possibles $x\equiv 0,1,\dots ,6[7]$x ≡ 0, 1, …, 6 [7], en calculant $5x$5x modulo $7$7.

2. 2

   $x\equiv 0\to 0$x ≡ 0 → 0 ; $x\equiv 1\to 5$x ≡ 1 → 5 ; $x\equiv 2\to 10\equiv 3$x ≡ 2 → 10 ≡ 3 ✔ ; $x\equiv 3\to 15\equiv 1$x ≡ 3 → 15 ≡ 1 ; $x\equiv 4\to 20\equiv 6$x ≡ 4 → 20 ≡ 6 ; $x\equiv 5\to 25\equiv 4$x ≡ 5 → 25 ≡ 4 ; $x\equiv 6\to 30\equiv 2$x ≡ 6 → 30 ≡ 2.

3. 3

   Une seule valeur convient : $x\equiv 2[7]$x ≡ 2 [7].

   L'ensemble des solutions est $\{2+7k,k\in \mathbb{Z}\}${2 + 7k, k ∈ ℤ}.

4. 4

   Méthode plus rapide : chercher un « inverse » de $5$5 modulo $7$7, c'est-à-dire un entier $u$u tel que $5u\equiv 1[7]$5u ≡ 1 [7].

   Ici $5\times 3=15\equiv 1[7]$5 × 3 = 15 ≡ 1 [7], donc $u=3$u = 3.

5. 5

   En multipliant l'équation par $3$3 : $15x\equiv 9[7]$15x ≡ 9 [7], soit $x\equiv 2[7]$x ≡ 2 [7] ✔ — même résultat.

6. 6

   Deuxième équation, $6x\equiv 4[8]$6x ≡ 4 [8].

   On teste les huit restes : $x\equiv 0\to 0$x ≡ 0 → 0 ; $1\to 6$1 → 6 ; $2\to 12\equiv 4$2 → 12 ≡ 4 ✔ ; $3\to 18\equiv 2$3 → 18 ≡ 2 ; $4\to 24\equiv 0$4 → 24 ≡ 0 ; $5\to 30\equiv 6$5 → 30 ≡ 6 ; $6\to 36\equiv 4$6 → 36 ≡ 4 ✔ ; $7\to 42\equiv 2$7 → 42 ≡ 2.

7. 7

   Il y a cette fois DEUX solutions modulo $8$8 : $x\equiv 2[8]$x ≡ 2 [8] et $x\equiv 6[8]$x ≡ 6 [8].

8. 8

   On peut les réunir : les solutions sont les entiers pairs non multiples de $4$4, c'est-à-dire $x\equiv 2[4]$x ≡ 2 [4].

9. 9

   Troisième équation, $4x\equiv 3[6]$4x ≡ 3 [6].

   On teste : $x\equiv 0\to 0$x ≡ 0 → 0 ; $1\to 4$1 → 4 ; $2\to 8\equiv 2$2 → 8 ≡ 2 ; $3\to 12\equiv 0$3 → 12 ≡ 0 ; $4\to 16\equiv 4$4 → 16 ≡ 4 ; $5\to 20\equiv 2$5 → 20 ≡ 2.

10. 10

    Les valeurs atteintes sont $0$0, $2$2 et $4$4 : uniquement des nombres PAIRS.

    La valeur $3$3 n'est jamais atteinte.

11. 11

    L'équation $4x\equiv 3[6]$4x ≡ 3 [6] n'a donc AUCUNE solution.

12. 12

    Explication : $4x$4x et $6$6 sont pairs, donc $4x-6k$4x - 6k est toujours pair et ne peut valoir $3$3.

    Plus généralement, $ax\equiv b[n]$ax ≡ b [n] a des solutions si et seulement si le PGCD de $a$a et $n$n divise $b$b — ici $\text{PGCD}(4;6)=2$PGCD (4 ; 6) = 2 ne divise pas $3$3.

13. 13

    Contrôle du deuxième cas avec ce critère : $\text{PGCD}(6;8)=2$PGCD (6 ; 8) = 2 divise $4$4 ✔, et il y a exactement $2$2 solutions modulo $8$8 — autant que la valeur du PGCD.

Rappel de cours : $ax\equiv b[n]$ax ≡ b [n] : on teste les $n$n restes. L'équation a des solutions si et seulement si $\text{PGCD}(a;n)\mid b$PGCD (a ; n) | b, et il y en a alors exactement $\text{PGCD}(a;n)$PGCD (a ; n) modulo $n$n.

Erreur fréquente : Croire qu'il y a toujours une solution unique. Contrairement à $ax=b$ax = b dans $\mathbb{R}$ℝ, une équation de congruence peut avoir $0$0, $1$1 ou plusieurs solutions.

Correction détaillée

1. 1

   On teste les huit restes possibles modulo $8$8, en calculant $x^2$x².

2. 2

   $x\equiv 0\to 0$x ≡ 0 → 0 ; $1\to 1$1 → 1 ✔ ; $2\to 4$2 → 4 ; $3\to 9\equiv 1$3 → 9 ≡ 1 ✔ ; $4\to 16\equiv 0$4 → 16 ≡ 0.

3. 3

   $5\to 25\equiv 1$5 → 25 ≡ 1 ✔ ; $6\to 36\equiv 4$6 → 36 ≡ 4 ; $7\to 49\equiv 1$7 → 49 ≡ 1 ✔.

4. 4

   Les solutions sont $x\equiv 1,3,5$x ≡ 1, 3, 5 ou $7[8]$7 [8] : ce sont exactement les restes IMPAIRS.

5. 5

   Interprétation : le carré de tout nombre impair est congru à $1$1 modulo $8$8.

   C'est un résultat utile, plus fin que « un carré impair est congru à $1$1 modulo $4$4 ».

6. 6

   On note au passage que la table des carrés modulo $8$8 est $\{0;1;4\}${0 ; 1 ; 4} : les restes $2,3,5,6,7$2, 3, 5, 6, 7 sont impossibles pour un carré.

7. 7

   Deuxième équation, modulo $5$5.

   $x\equiv 0\to 0$x ≡ 0 → 0 ; $1\to 1$1 → 1 ; $2\to 4$2 → 4 ; $3\to 9\equiv 4$3 → 9 ≡ 4 ; $4\to 16\equiv 1$4 → 16 ≡ 1.

8. 8

   Les restes possibles d'un carré modulo $5$5 sont $0$0, $1$1 et $4$4.

   La valeur $2$2 n'y figure pas.

9. 9

   L'équation $x^2\equiv 2[5]$x² ≡ 2 [5] n'a donc AUCUNE solution.

10. 10

    Troisième question : l'équation $x^2=5y+2$x² = 5y + 2 signifie que $x^2-2$x² - 2 est un multiple de $5$5, c'est-à-dire $x^2\equiv 2[5]$x² ≡ 2 [5].

11. 11

    Or on vient de montrer que cette congruence est impossible.

    Donc l'équation $x^2=5y+2$x² = 5y + 2 n'a pas de solution entière.

12. 12

    C'est le schéma type d'une démonstration d'impossibilité : on passe de l'équation à une congruence, puis on montre que le reste demandé n'appartient pas à la table.

13. 13

    Contrôle empirique : les carrés $0,1,4,9,16,25,36,49$0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 donnent modulo $5$5 les restes $0,1,4,4,1,0,1,4$0, 1, 4, 4, 1, 0, 1, 4 — jamais $2$2 ✔.