Exercices corrigés : PGCD, Bézout et Gauss — Terminale maths expertes

Correction détaillée

1. 1

   Diviseurs positifs de $84$84 : $1,2,3,4,6,7,12,14,21,28,42,84$1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84.

2. 2

   Diviseurs positifs de $60$60 : $1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60$1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

3. 3

   Les diviseurs COMMUNS sont ceux qui figurent dans les deux listes : $1,2,3,4,6,12$1, 2, 3, 4, 6, 12.

4. 4

   Le plus grand est $12$12 : donc $\text{PGCD}(84;60)=12$PGCD (84 ; 60) = 12.

5. 5

   On remarque au passage que tous les diviseurs communs divisent $12$12 : c'est une propriété générale du PGCD, et non un hasard sur cet exemple.

6. 6

   Décomposition en facteurs premiers : $84=2^2\times 3\times 7$84 = 2² × 3 × 7 et $60=2^2\times 3\times 5$60 = 2² × 3 × 5.

7. 7

   Le PGCD se lit en prenant chaque facteur premier commun avec le plus PETIT exposant : $2^2\times 3^1=12$2² × 3¹ = 12 ✔.

8. 8

   Le facteur $7$7 n'apparaît que dans $84$84 et le facteur $5$5 que dans $60$60 : ils sont absents du PGCD.

9. 9

   Pour le PPCM, on prend au contraire chaque facteur premier présent avec le plus GRAND exposant : $2^2\times 3\times 5\times 7=420$2² × 3 × 5 × 7 = 420.

10. 10

    Contrôle par la relation fondamentale : $\text{PGCD}\times \text{PPCM}=12\times 420=5040$PGCD × PPCM = 12 × 420 = 5040, et $84\times 60=5040$84 × 60 = 5040 ✔.

Rappel de cours : Par décomposition : PGCD = facteurs communs au plus petit exposant, PPCM = tous les facteurs au plus grand exposant. Et toujours $\text{PGCD}(a;b)\times \text{PPCM}(a;b)=ab$PGCD (a ; b) × PPCM (a ; b) = ab pour $a,b>0$a, b > 0.

Erreur fréquente : Prendre le plus grand exposant pour le PGCD. C'est l'inverse : le PGCD doit diviser les DEUX nombres, il prend donc le plus petit exposant.

Correction détaillée

1. 1

   Première division : $1071=2\times 462+147$1071 = 2 × 462 + 147.

2. 2

   On remplace le couple $(1071;462)$(1071 ; 462) par $(462;147)$(462 ; 147) : $462=3\times 147+21$462 = 3 × 147 + 21.

3. 3

   Nouveau couple $(147;21)$(147 ; 21) : $147=7\times 21+0$147 = 7 × 21 + 0.

4. 4

   Le reste est nul : le dernier reste NON NUL est $21$21.

   Donc $\text{PGCD}(1071;462)=21$PGCD (1071 ; 462) = 21.

5. 5

   Contrôle : $1071=21\times 51$1071 = 21 × 51 et $462=21\times 22$462 = 21 × 22 ✔, et $51$51 et $22$22 n'ont plus de diviseur commun.

6. 6

   Deuxième calcul : $255=2\times 108+39$255 = 2 × 108 + 39 ; $108=2\times 39+30$108 = 2 × 39 + 30 ; $39=1\times 30+9$39 = 1 × 30 + 9.

7. 7

   On poursuit : $30=3\times 9+3$30 = 3 × 9 + 3 ; $9=3\times 3+0$9 = 3 × 3 + 0.

8. 8

   Le dernier reste non nul est $3$3 : $\text{PGCD}(255;108)=3$PGCD (255 ; 108) = 3.

9. 9

   Contrôle : $255=3\times 85$255 = 3 × 85 et $108=3\times 36$108 = 3 × 36 ✔.

10. 10

    Justification de la propriété.

    Soit $a=bq+r$a = bq + r.

    Montrons que les diviseurs communs de $a$a et $b$b sont exactement ceux de $b$b et $r$r.

11. 11

    Si $d$d divise $a$a et $b$b, alors $d$d divise la combinaison $a-bq=r$a - bq = r : donc $d$d divise $b$b et $r$r.

12. 12

    Réciproquement, si $d$d divise $b$b et $r$r, alors $d$d divise $bq+r=a$bq + r = a : donc $d$d divise $a$a et $b$b.

13. 13

    Les deux couples ont donc les MÊMES diviseurs communs, donc le même plus grand : l'algorithme est légitime.

    Et comme les restes décroissent strictement, il se termine toujours.

Rappel de cours : Algorithme d'Euclide : on divise, on décale, on recommence. Le PGCD est le DERNIER RESTE NON NUL. La suite des restes est strictement décroissante, donc l'algorithme s'arrête.

Erreur fréquente : Annoncer $0$0 comme PGCD parce que le dernier reste est nul. C'est le dernier reste NON NUL qu'on retient.

Correction détaillée

1. 1

   On a vu $\text{PGCD}(1071;462)=21$PGCD (1071 ; 462) = 21 à l'exercice précédent.

2. 2

   Par la relation $\text{PGCD}\times \text{PPCM}=ab$PGCD × PPCM = ab, on obtient $\text{PPCM}=\frac{1071\times 462}{21}$PPCM = (1071 × 462)/21.

3. 3

   On simplifie avant de multiplier : $\frac{462}{21}=22$462/21 = 22, donc $\text{PPCM}=1071\times 22=23562$PPCM = 1071 × 22 = 23 562.

4. 4

   Contrôle : $23562=1071\times 22$23 562 = 1071 × 22 ✔ et $23562=462\times 51$23 562 = 462 × 51 ✔ : c'est bien un multiple commun.

5. 5

   Deuxième situation : les instants de clignotement du premier feu sont les multiples de $12$12, ceux du second les multiples de $18$18.

6. 6

   Ils coïncident aux multiples COMMUNS, et la première coïncidence est le PPCM.

7. 7

   $\text{PGCD}(12;18)=6$PGCD (12 ; 18) = 6, donc $\text{PPCM}(12;18)=\frac{12\times 18}{6}=36$PPCM (12 ; 18) = (12 × 18)/6 = 36.

8. 8

   Les deux feux clignoteront à nouveau ensemble dans $36$36 secondes.

9. 9

   Troisième situation : la position initiale est retrouvée quand un même nombre de dents est passé, multiple de $18$18 et de $24$24.

10. 10

    $\text{PGCD}(18;24)=6$PGCD (18 ; 24) = 6, donc $\text{PPCM}(18;24)=\frac{18\times 24}{6}=72$PPCM (18 ; 24) = (18 × 24)/6 = 72.

11. 11

    Il faut donc que $72$72 dents défilent.

    La première roue fait $\frac{72}{18}=4$72/18 = 4 tours, la seconde $\frac{72}{24}=3$72/24 = 3 tours.

12. 12

    Contrôle de cohérence : la roue qui a le moins de dents tourne plus vite, et c'est bien celle de $18$18 dents qui fait le plus de tours ✔.

Rappel de cours : $\text{PGCD}(a;b)\times \text{PPCM}(a;b)=ab$PGCD (a ; b) × PPCM (a ; b) = ab. Une question de « coïncidence » ou de « retour à la position de départ » se traduit toujours par un PPCM.

Erreur fréquente : Calculer $a\times b$a × b puis diviser. On simplifie AVANT de multiplier, sinon les nombres explosent inutilement.

Correction détaillée

1. 1

   $35=5\times 7$35 = 5 × 7 et $24=2^3\times 3$24 = 2³ × 3.

   Aucun facteur premier commun, donc $\text{PGCD}(35;24)=1$PGCD (35 ; 24) = 1 : ils sont premiers entre eux.

2. 2

   En revanche, ni $35$35 ni $24$24 n'est un nombre PREMIER : chacun a des diviseurs autres que $1$1 et lui-même.

3. 3

   La distinction est essentielle : « premiers entre eux » est une propriété du COUPLE, « premier » est une propriété d'un seul nombre.

4. 4

   Pour la fraction, on divise numérateur et dénominateur par leur PGCD, qui vaut $21$21 (exercice 2).

5. 5

   $\frac{1071}{462}=\frac{1071÷21}{462÷21}=\frac{51}{22}$1071/462 = (1071 ÷ 21)/(462 ÷ 21) = 51/22.

6. 6

   Vérification de l'irréductibilité : $51=3\times 17$51 = 3 × 17 et $22=2\times 11$22 = 2 × 11.

   Aucun facteur commun, donc $\text{PGCD}(51;22)=1$PGCD (51 ; 22) = 1 ✔ : la fraction est bien irréductible.

7. 7

   Simplifier par le PGCD garantit d'aboutir en une seule étape : c'est ce qui distingue cette méthode des simplifications successives « au jugé ».

8. 8

   Troisième question : soit $d$d un diviseur commun de $n$n et $n+1$n + 1.

9. 9

   Alors $d$d divise la différence $(n+1)-n=1$(n + 1) - n = 1.

10. 10

    Or les seuls diviseurs de $1$1 sont $1$1 et $-1$-1.

    Donc $\text{PGCD}(n;n+1)=1$PGCD (n ; n+1) = 1 : deux entiers consécutifs sont toujours premiers entre eux.

11. 11

    La fraction $\frac{n}{n+1}$n/(n+1) est donc irréductible pour tout entier $n$n, quelle que soit sa taille.

12. 12

    Ce raisonnement — faire apparaître une petite combinaison linéaire — est le modèle de tous les exercices de PGCD avec paramètre (voir l'exercice 13).

Rappel de cours : $a$a et $b$b premiers entre eux $\iff \text{PGCD}(a;b)=1$⇔ PGCD (a ; b) = 1. Pour prouver qu'un PGCD vaut $1$1, on montre qu'un diviseur commun divise une combinaison linéaire égale à $1$1.

Erreur fréquente : Confondre « premiers entre eux » et « premiers ». $35$35 et $24$24 sont premiers entre eux sans qu'aucun des deux ne soit premier.

Correction détaillée

1. 1

   Les divisions ont été faites à l'exercice 2.

   On les réécrit en isolant à chaque fois le RESTE, ce qui prépare la remontée.

2. 2

   $1071=2\times 462+147$1071 = 2 × 462 + 147, donc $147=1071-2\times 462$147 = 1071 - 2 × 462.

3. 3

   $462=3\times 147+21$462 = 3 × 147 + 21, donc $21=462-3\times 147$21 = 462 - 3 × 147.

4. 4

   $147=7\times 21+0$147 = 7 × 21 + 0 : c'est la ligne d'arrêt, elle ne sert pas dans la remontée.

5. 5

   Remontée.

   On part de la dernière ligne utile, celle qui donne le PGCD : $21=462-3\times 147$21 = 462 - 3 × 147.

6. 6

   On y remplace $147$147 par son expression : $21=462-3\times \left(1071-2\times 462\right)$21 = 462 - 3 × (1071 - 2 × 462).

7. 7

   On développe SANS calculer les produits par $1071$1071 et $462$462, qu'on garde comme des blocs : $21=462-3\times 1071+6\times 462$21 = 462 - 3 × 1071 + 6 × 462.

8. 8

   On regroupe : $21=-3\times 1071+7\times 462$21 = -3 × 1071 + 7 × 462.

9. 9

   On lit les coefficients : $u=-3$u = -3 et $v=7$v = 7.

10. 10

    Vérification : $-3\times 1071=-3213$-3 × 1071 = -3213 et $7\times 462=3234$7 × 462 = 3234.

    La somme vaut $-3213+3234=21$-3213 + 3234 = 21 ✔.

11. 11

    Remarque : le couple $(u;v)$(u ; v) n'est pas unique.

    En ajoutant $462$462 à $u$u et en retranchant $1071$1071 à $v$v (divisés par le PGCD), on obtient d'autres solutions — c'est ce que formalisera l'exercice 10.

12. 12

    Conseil de rédaction : ne jamais effectuer les produits pendant la remontée.

    C'est en gardant $1071$1071 et $462$462 apparents qu'on lit les coefficients à la fin.

Rappel de cours : Identité de Bézout : il existe $u,v$u, v entiers tels que $au+bv=\text{PGCD}(a;b)$au + bv = PGCD (a ; b). On les obtient en remontant l'algorithme d'Euclide, en gardant $a$a et $b$b sous forme de blocs.

Erreur fréquente : Effectuer les multiplications au fil de la remontée. On perd alors de vue les coefficients de $a$a et de $b$b, qui sont précisément le résultat cherché.

Correction détaillée

1. 1

   Soit $d$d un diviseur commun de $2n+1$2n + 1 et $3n+2$3n + 2.

   Cherchons une combinaison qui fasse disparaître $n$n.

2. 2

   On multiplie la première expression par $3$3 et la seconde par $2$2 : $3(2n+1)=6n+3$3(2n+1) = 6n + 3 et $2(3n+2)=6n+4$2(3n+2) = 6n + 4.

3. 3

   $d$d divise ces deux quantités, donc leur différence : $3(2n+1)-2(3n+2)=(6n+3)-(6n+4)=-1$3(2n+1) - 2(3n+2) = (6n + 3) - (6n + 4) = -1.

4. 4

   Donc $d$d divise $-1$-1, c'est-à-dire $d=1$d = 1 (en se limitant aux diviseurs positifs).

5. 5

   Le PGCD vaut donc $1$1 : les deux expressions sont premières entre elles pour TOUT entier $n$n.

6. 6

   Contrôle sur un exemple : $n=5$n = 5 donne $11$11 et $17$17, effectivement premiers entre eux ✔.

7. 7

   Deuxième question : soit $d$d un diviseur commun de $n$n et $n+2$n + 2.

   Alors $d$d divise $(n+2)-n=2$(n + 2) - n = 2.

8. 8

   Les diviseurs positifs de $2$2 sont $1$1 et $2$2 : le PGCD vaut donc $1$1 ou $2$2.

9. 9

   Il vaut $2$2 exactement quand $2$2 divise $n$n et $n+2$n + 2, c'est-à-dire quand $n$n est PAIR.

10. 10

    Il vaut $1$1 quand $n$n est impair.

    Contrôle : $n=4$n = 4 donne $\text{PGCD}(4;6)=2$PGCD (4 ; 6) = 2 ✔ ; $n=5$n = 5 donne $\text{PGCD}(5;7)=1$PGCD (5 ; 7) = 1 ✔.

11. 11

    Troisième question : la fraction $\frac{2n+1}{3n+2}$(2n+1)/(3n+2) a un numérateur et un dénominateur premiers entre eux d'après la question 1.

12. 12

    Elle est donc irréductible pour tout entier $n$n, sans aucune exception à discuter.

13. 13

    Précision : il faut tout de même $3n+2\ne 0$3n + 2 ≠ 0, ce qui est automatique pour $n$n entier puisque $-\frac{2}{3}$-2/3 n'est pas entier.

Rappel de cours : Méthode : « $d$d divise $A$A et $B$B, donc $d$d divise $\alpha A+\beta B$α A + β B ». On choisit $\alpha$α et $\beta$β pour éliminer $n$n ; le PGCD divise alors la constante obtenue.

Erreur fréquente : Conclure que le PGCD VAUT la constante trouvée. Il la DIVISE seulement : dans la question 2, il vaut $1$1 ou $2$2 selon la parité de $n$n.

Correction détaillée

1. 1

   On peut procéder par l'algorithme d'Euclide, mais les nombres sont assez petits pour un essai direct.

2. 2

   On cherche un multiple de $12$12 qui dépasse d'exactement $1$1 un multiple de $7$7 : $12\times 3=36$12 × 3 = 36 et $7\times 5=35$7 × 5 = 35.

3. 3

   D'où $36-35=1$36 - 35 = 1, c'est-à-dire $7\times (-5)+12\times 3=1$7 × (-5) + 12 × 3 = 1.

4. 4

   Les coefficients $u=-5$u = -5 et $v=3$v = 3 conviennent.

   Vérification : $-35+36=1$-35 + 36 = 1 ✔.

5. 5

   Démonstration du sens réciproque.

   Supposons qu'il existe $u$u et $v$v entiers tels que $au+bv=1$au + bv = 1.

6. 6

   Soit $d$d un diviseur commun positif de $a$a et $b$b.

   Alors $d$d divise toute combinaison linéaire entière de $a$a et $b$b, en particulier $au+bv$au + bv.

7. 7

   Donc $d$d divise $1$1, ce qui impose $d=1$d = 1.

8. 8

   Le seul diviseur commun positif de $a$a et $b$b est donc $1$1 : ils sont premiers entre eux.

9. 9

   Attention à la portée du théorème : l'existence d'une combinaison égale à $1$1 est une condition SUFFISANTE, et c'est ce qui la rend si commode.

   Si la combinaison vaut $5$5, on ne peut rien conclure directement.

10. 10

    Application immédiate : on a établi à l'exercice 6 que $3(2n+1)-2(3n+2)=-1$3(2n+1) - 2(3n+2) = -1.

11. 11

    En changeant les signes : $(-3)(2n+1)+2(3n+2)=1$(-3)(2n+1) + 2(3n+2) = 1.

12. 12

    C'est une combinaison linéaire à coefficients entiers égale à $1$1 : par le théorème de Bézout, $2n+1$2n+1 et $3n+2$3n+2 sont premiers entre eux ✔.

13. 13

    On voit ici l'intérêt du théorème : il transforme un raisonnement sur les diviseurs en une simple exhibition de deux coefficients.

Rappel de cours : Théorème de Bézout : $\text{PGCD}(a;b)=1\iff \exists u,v\in \mathbb{Z},au+bv=1$PGCD (a ; b) = 1 ⇔ ∃ u, v ∈ ℤ, au + bv = 1. Une seule combinaison égale à $1$1 suffit à conclure.

Erreur fréquente : Conclure d'une combinaison $au+bv=5$au + bv = 5 que le PGCD vaut $5$5. Il divise $5$5 seulement : il pourrait valoir $1$1.

Correction détaillée

1. 1

   $\text{PGCD}(7;12)=1$PGCD (7 ; 12) = 1, donc $7$7 est inversible modulo $12$12.

2. 2

   L'exercice 7 a donné $7\times (-5)+12\times 3=1$7 × (-5) + 12 × 3 = 1.

   On réduit cette égalité modulo $12$12 : le terme $12\times 3$12 × 3 disparaît.

3. 3

   Il reste $7\times (-5)\equiv 1[12]$7 × (-5) ≡ 1 [12].

   L'inverse est donc $-5$-5, qu'on préfère écrire entre $0$0 et $11$11 : $-5\equiv 7[12]$-5 ≡ 7 [12].

4. 4

   L'inverse de $7$7 modulo $12$12 est donc $7$7 lui-même.

   Vérification : $7\times 7=49=48+1\equiv 1[12]$7 × 7 = 49 = 48 + 1 ≡ 1 [12] ✔.

5. 5

   Deuxième question : $\text{PGCD}(5;26)=1$PGCD (5 ; 26) = 1, l'inverse existe.

   On cherche une combinaison $5u+26v=1$5u + 26v = 1.

6. 6

   Par essais guidés : $5\times 21=105$5 × 21 = 105 et $26\times 4=104$26 × 4 = 104, donc $5\times 21-26\times 4=1$5 × 21 - 26 × 4 = 1.

7. 7

   En réduisant modulo $26$26 : $5\times 21\equiv 1[26]$5 × 21 ≡ 1 [26].

   L'inverse de $5$5 modulo $26$26 est $21$21.

8. 8

   Vérification : $105=26\times 4+1$105 = 26 × 4 + 1 ✔.

   C'est le nombre qui servait déjà au déchiffrement affine du chapitre précédent — on sait maintenant d'où il vient.

9. 9

   Troisième question.

   Supposons que $a$a ait un inverse $a^{\prime }$a' modulo $n$n : $a{a}^{\prime }\equiv 1[n]$aa' ≡ 1 [n].

10. 10

    Cela signifie que $n$n divise $a{a}^{\prime }-1$aa' - 1, donc qu'il existe un entier $k$k tel que $a{a}^{\prime }-1=kn$aa' - 1 = kn.

11. 11

    En réorganisant : $a{a}^{\prime }-kn=1$aa' - kn = 1, c'est-à-dire $a\times a^{\prime }+n\times (-k)=1$a × a' + n × (-k) = 1.

12. 12

    Par le théorème de Bézout, $a$a et $n$n sont donc premiers entre eux.

13. 13

    Par contraposée : si $a$a et $n$n ne sont pas premiers entre eux, $a$a n'a pas d'inverse modulo $n$n.

14. 14

    Illustration : modulo $26$26, le nombre $13$13 n'a pas d'inverse (leur PGCD vaut $13$13) — c'est exactement pourquoi $13$13 était inutilisable comme coefficient de chiffrement.

Rappel de cours : Pour inverser $a$a modulo $n$n : écrire $au+nv=1$au + nv = 1 par Bézout, puis réduire modulo $n$n — il reste $au\equiv 1$au ≡ 1, donc $u$u est l'inverse.

Erreur fréquente : Chercher un inverse sans vérifier le PGCD. Modulo $26$26, les nombres pairs et $13$13 n'en ont aucun : le calcul ne peut pas aboutir.

Correction détaillée

1. 1

   Hypothèses : $a\mid bc$a | bc et $\text{PGCD}(a;b)=1$PGCD (a ; b) = 1.

   On veut montrer que $a\mid c$a | c.

2. 2

   Par le théorème de Bézout, il existe des entiers $u$u et $v$v tels que $au+bv=1$au + bv = 1.

3. 3

   On multiplie cette égalité par $c$c : $auc+bvc=c$auc + bvc = c.

4. 4

   Examinons les deux termes du membre de gauche.

   Le premier, $auc$auc, est manifestement divisible par $a$a.

5. 5

   Le second, $bvc=(bc)v$bvc = (bc)v, est divisible par $a$a puisque $a\mid bc$a | bc par hypothèse.

6. 6

   $a$a divise donc la somme de ces deux termes, c'est-à-dire $c$c.

   Le théorème est démontré.

7. 7

   Contre-exemple : prenons $a=6$a = 6, $b=4$b = 4 et $c=3$c = 3.

   Alors $bc=12$bc = 12, et $6\mid 12$6 | 12 ✔.

8. 8

   Pourtant $6$6 ne divise pas $3$3.

   L'implication est donc fausse ici.

9. 9

   Ce qui manque : $\text{PGCD}(6;4)=2\ne 1$PGCD (6 ; 4) = 2 ≠ 1.

   L'hypothèse de Gauss n'est pas vérifiée, et la conclusion tombe.

10. 10

    Application : on cherche les $c$c tels que $7\mid 5c$7 | 5c.

11. 11

    Or $\text{PGCD}(7;5)=1$PGCD (7 ; 5) = 1 : les deux nombres sont premiers entre eux.

12. 12

    Par le théorème de Gauss (avec $a=7$a = 7, $b=5$b = 5), on en déduit $7\mid c$7 | c.

13. 13

    Réciproquement, si $7\mid c$7 | c alors $7\mid 5c$7 | 5c.

    Les entiers cherchés sont donc exactement les MULTIPLES DE $7$7.

14. 14

    Contrôle : $c=14$c = 14 donne $5c=70=7\times 10$5c = 70 = 7 × 10 ✔ ; $c=3$c = 3 donne $5c=15$5c = 15, non divisible par $7$7 ✔.

Rappel de cours : Théorème de Gauss : $a\mid bc$a | bc et $\text{PGCD}(a;b)=1\Rightarrow a\mid c$PGCD (a ; b) = 1 ⇒ a | c. Corollaire utile : si $b$b et $c$c premiers entre eux divisent tous deux $n$n, alors $bc\mid n$bc | n.

Erreur fréquente : Appliquer Gauss sans vérifier la primalité. C'est précisément l'hypothèse qui fait tout le travail, comme le montre le contre-exemple.

Correction détaillée

1. 1

   $\text{PGCD}(2;3)=1$PGCD (2 ; 3) = 1, et $1$1 divise $5$5 : l'équation admet donc des solutions entières.

2. 2

   Solution particulière évidente : $x_0=1$x₀ = 1 et $y_0=1$y₀ = 1, puisque $2+3=5$2 + 3 = 5 ✔.

3. 3

   Passons au cas général.

   Soit $(x;y)$(x ; y) une solution quelconque.

   On écrit les deux égalités : $2x+3y=5$2x + 3y = 5 et $2\times 1+3\times 1=5$2 × 1 + 3 × 1 = 5.

4. 4

   En soustrayant : $2(x-1)+3(y-1)=0$2(x - 1) + 3(y - 1) = 0, c'est-à-dire $2(x-1)=-3(y-1)$2(x - 1) = -3(y - 1).

5. 5

   Donc $3$3 divise $2(x-1)$2(x - 1).

   Or $\text{PGCD}(3;2)=1$PGCD (3 ; 2) = 1, donc par le THÉORÈME DE GAUSS, $3$3 divise $x-1$x - 1.

6. 6

   Il existe donc un entier $k$k tel que $x-1=3k$x - 1 = 3k, soit $x=1+3k$x = 1 + 3k.

7. 7

   En reportant : $2\times 3k=-3(y-1)$2 × 3k = -3(y - 1), donc $6k=-3(y-1)$6k = -3(y-1) et $y-1=-2k$y - 1 = -2k, soit $y=1-2k$y = 1 - 2k.

8. 8

   Réciproquement, pour tout entier $k$k : $2(1+3k)+3(1-2k)=2+6k+3-6k=5$2(1 + 3k) + 3(1 - 2k) = 2 + 6k + 3 - 6k = 5 ✔.

9. 9

   L'ensemble des solutions est donc $\left\{(1+3k;1-2k),k\in \mathbb{Z}\right\}${(1 + 3k ; 1 - 2k), k ∈ ℤ}.

10. 10

    Deuxième équation : $\text{PGCD}(12;18)=6$PGCD (12 ; 18) = 6, et $6$6 divise $30$30 : il y a des solutions.

11. 11

    On DIVISE toute l'équation par $6$6 : $2x+3y=5$2x + 3y = 5.

    C'est exactement $(E)$(E).

12. 12

    Les solutions sont donc les mêmes : $x=1+3k$x = 1 + 3k et $y=1-2k$y = 1 - 2k, pour $k\in \mathbb{Z}$k ∈ ℤ.

13. 13

    Contrôle : $k=2$k = 2 donne $(7;-3)$(7 ; -3), et $12\times 7+18\times (-3)=84-54=30$12 × 7 + 18 × (-3) = 84 - 54 = 30 ✔.

14. 14

    Cette simplification préalable est systématique : elle ramène toujours au cas où les coefficients sont premiers entre eux, seul cas où Gauss s'applique.

Rappel de cours : $ax+by=c$ax + by = c a des solutions $\iff \text{PGCD}(a;b)\mid c$⇔ PGCD (a ; b) | c. Méthode : simplifier par le PGCD, trouver une solution particulière, soustraire les deux égalités, appliquer Gauss.

Erreur fréquente : Oublier la réciproque. La méthode donne les solutions POSSIBLES ; il faut vérifier que toutes conviennent, ce qui se fait en une ligne de calcul.

Correction détaillée

1. 1

   $\text{PGCD}(7;12)=1$PGCD (7 ; 12) = 1 (exercice 7), et $1$1 divise $5$5 : il y a des solutions.

2. 2

   Pour une solution particulière, on part de l'identité de Bézout trouvée à l'exercice 7 : $7\times (-5)+12\times 3=1$7 × (-5) + 12 × 3 = 1.

3. 3

   On la réécrit sous la forme de $(E)$(E) : $7\times (-5)-12\times (-3)=1$7 × (-5) - 12 × (-3) = 1.

4. 4

   En multipliant par $5$5 : $7\times (-25)-12\times (-15)=5$7 × (-25) - 12 × (-15) = 5.

   Le couple $(-25;-15)$(-25 ; -15) est donc solution.

5. 5

   On peut chercher plus simple par essais : $x=-1$x = -1 donne $-7-12y=5$-7 - 12y = 5, soit $-12y=12$-12y = 12 et $y=-1$y = -1.

6. 6

   Le couple $(-1;-1)$(-1 ; -1) convient : $7\times (-1)-12\times (-1)=-7+12=5$7 × (-1) - 12 × (-1) = -7 + 12 = 5 ✔.

   On le préfère, les nombres étant plus petits.

7. 7

   Cas général : soit $(x;y)$(x ; y) solution.

   En soustrayant l'égalité particulière : $7(x+1)-12(y+1)=0$7(x + 1) - 12(y + 1) = 0, soit $7(x+1)=12(y+1)$7(x + 1) = 12(y + 1).

8. 8

   Donc $12$12 divise $7(x+1)$7(x + 1).

   Comme $\text{PGCD}(12;7)=1$PGCD (12 ; 7) = 1, le théorème de Gauss donne $12\mid x+1$12 | x + 1.

9. 9

   Il existe donc $k$k entier tel que $x+1=12k$x + 1 = 12k, soit $x=-1+12k$x = -1 + 12k.

10. 10

    En reportant : $7\times 12k=12(y+1)$7 × 12k = 12(y + 1), donc $y+1=7k$y + 1 = 7k et $y=-1+7k$y = -1 + 7k.

11. 11

    Réciproque : $7(-1+12k)-12(-1+7k)=-7+84k+12-84k=5$7(-1 + 12k) - 12(-1 + 7k) = -7 + 84k + 12 - 84k = 5 ✔ pour tout $k$k.

12. 12

    Les solutions sont donc $\left\{(-1+12k;-1+7k),k\in \mathbb{Z}\right\}${(-1 + 12k ; -1 + 7k), k ∈ ℤ}.

13. 13

    Dernière question : on impose $0⩽-1+12k⩽50$0 ≤ -1 + 12k ≤ 50, soit $1⩽12k⩽51$1 ≤ 12k ≤ 51, c'est-à-dire $\frac{1}{12}⩽k⩽\frac{51}{12}=4,25$1/12 ≤ k ≤ 51/12 = 4,25.

14. 14

    Les entiers $k$k convenables sont $1,2,3,4$1, 2, 3, 4, qui donnent les couples $(11;6)$(11 ; 6), $(23;13)$(23 ; 13), $(35;20)$(35 ; 20) et $(47;27)$(47 ; 27).

15. 15

    Contrôle sur le premier : $7\times 11-12\times 6=77-72=5$7 × 11 - 12 × 6 = 77 - 72 = 5 ✔.

Rappel de cours : Dans $ax+by=c$ax + by = c avec $a$a et $b$b premiers entre eux, le pas des solutions est toujours $b$b pour $x$x et $a$a pour $y$y (au signe près) : c'est la structure imposée par Gauss.

Erreur fréquente : Chercher une solution particulière uniquement par Bézout. Un essai direct sur de petits nombres est souvent plus rapide, et donne des coefficients plus maniables.

Correction détaillée

1. 1

   Notons $x$x le nombre de petits carnets et $y$y le nombre de grands carnets vendus.

2. 2

   La recette s'écrit $7x+12y=100$7x + 12y = 100.

   Les contraintes sont $x⩾0$x ≥ 0 et $y⩾0$y ≥ 0, avec $x$x et $y$y ENTIERS — on ne vend pas un demi-carnet.

3. 3

   C'est ce qui fait de ce problème une équation diophantienne, et non une simple équation à deux inconnues.

4. 4

   Existence : $\text{PGCD}(7;12)=1$PGCD (7 ; 12) = 1 divise $100$100, il y a des solutions entières.

5. 5

   Solution particulière : à partir de $7\times (-5)+12\times 3=1$7 × (-5) + 12 × 3 = 1, on multiplie par $100$100 : $7\times (-500)+12\times 300=100$7 × (-500) + 12 × 300 = 100.

6. 6

   Le couple $(-500;300)$(-500 ; 300) est solution — mathématiquement correct, mais évidemment sans signification commerciale.

7. 7

   Cas général : en soustrayant, $7(x+500)+12(y-300)=0$7(x + 500) + 12(y - 300) = 0, soit $7(x+500)=-12(y-300)$7(x + 500) = -12(y - 300).

8. 8

   $12$12 divise $7(x+500)$7(x + 500) et $\text{PGCD}(12;7)=1$PGCD (12 ; 7) = 1, donc par Gauss $12\mid x+500$12 | x + 500 : $x=-500+12k$x = -500 + 12k.

9. 9

   En reportant : $y=300-7k$y = 300 - 7k.

   Les solutions entières sont donc $\left\{(-500+12k;300-7k),k\in \mathbb{Z}\right\}${(-500 + 12k ; 300 - 7k), k ∈ ℤ}.

10. 10

    Contraintes de positivité.

    $x⩾0$x ≥ 0 donne $12k⩾500$12k ≥ 500, soit $k⩾41,67$k ≥ 41,67, donc $k⩾42$k ≥ 42.

11. 11

    $y⩾0$y ≥ 0 donne $7k⩽300$7k ≤ 300, soit $k⩽42,86$k ≤ 42,86, donc $k⩽42$k ≤ 42.

12. 12

    Les deux contraintes imposent $k=42$k = 42, et une seule possibilité.

13. 13

    Pour $k=42$k = 42 : $x=-500+504=4$x = -500 + 504 = 4 et $y=300-294=6$y = 300 - 294 = 6.

14. 14

    Le libraire a donc vendu $4$4 petits carnets et $6$6 grands.

    Vérification : $7\times 4+12\times 6=28+72=100$7 × 4 + 12 × 6 = 28 + 72 = 100 ✔.

15. 15

    La solution est UNIQUE, ce qui n'a rien d'automatique : avec une recette de $200$200 €, il y aurait plusieurs répartitions possibles.

Rappel de cours : Dans un problème concret, la résolution comporte deux étages : d'abord toutes les solutions ENTIÈRES, puis le filtrage par les contraintes de positivité, qui donne un intervalle d'entiers pour $k$k.

Erreur fréquente : Rejeter la solution particulière parce qu'elle est négative. Elle sert d'ancrage au calcul général : les contraintes ne s'appliquent qu'à la fin.