Formulaire de maths

a/b = (a ÷ d)/(b ÷ d) avec d = PGCD (a, b)

a/b = (a ÷ k)/(b ÷ k) (k ≠ 0)

a/d vs b/d : comparer a et b

a/b = (a/b× 100)%

a^(m) × aⁿ = a^(m+n) a^(m)/aⁿ = a^(m-n) (a^(m))ⁿ = a^(mn) a⁻ⁿ = 1/aⁿ

(ab)ⁿ=aⁿ bⁿ (a/b)ⁿ=aⁿ/bⁿ a⁻ⁿ=1/aⁿ

10^(a) × 10^(b) = 10^(a+b) 10^(a)/10^(b) = 10^(a-b)

a × 10ⁿ : on décale la virgule de n rangs

N = a × 10ⁿ avec 1 ≤ |a| < 10

a × 10ⁿ ↔ écriture décimale

a × 10ⁿ ⇒ 10ⁿ & si a < 5 ; 10ⁿ⁺¹ & si a ≥ 5

(√(a))² = a (a ≥ 0) √(a²) = |a|

√(a × b) = √(a)×√(b) √(k² × a) = k√(a)

√(k² × a) = k√(a)

√(a)×√(b) = √(a × b) (a, b ≥ 0)

√(a)/√(b) = √(a/b) (a ≥ 0, b > 0)

(a+b)² = a² + 2ab + b² (a-b)² = a² - 2ab + b² (a+b)(a-b) = a² - b²

k(a+b) = ka + kb (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd

ka + kb = k(a+b) a² - b² = (a-b)(a+b)

ax + bx = (a+b)x

A × B = 0 ⇔ A = 0 ou B = 0

ax + b = 0 ⇔ x = -b/a (a ≠ 0)

diviser par k < 0 ⇒ on inverse le sens de l'inégalité

a x + b y = c ; a' x + b' y = c'

y = … ⇒ remplacer y dans l'autre équation

additionner les équations pour éliminer une inconnue

CM = 1 + t/100 (t = taux d'évolution en %). Aussi : CM = valeur finale / valeur initiale.

V_arrivée = V_départ × CM

t = (V_f - Vᵢ)/Vᵢ× 100

CM_réciproque = 1/CM t' = (1/CM - 1)× 100

CM_global = CM₁ × CM₂ × … × CMₙ

p = p₁ × p₂

p = partie/total

p = p₁ × p₂

I = V/V₀× 100

Δ = V_f - Vᵢ

variation relative =(variation absolue)/V_départ

(V_f - Vᵢ)/Vᵢ× 100

image de a : f(a) antécédent de b : f(x) = b

a → point → f(a)

b → points → antécédents

x ↦ f(x)

C _f = { (x ; f(x)) }

A(x_A ;y_A) ∈ C _f ⇔ f(x_A) = y_A

f(x) = k ⇔ abscisses des points où C _f rencontre y = k

f(x) > k ⇔ C _f au-dessus de y = k

f(x) = ax + b

a = (y_B - y_A)/(x_B - x_A)

b = f(0)

f(x) = 0 ⇔ x = -b/a (a ≠ 0)

f(x) > 0, f(x) = 0, f(x) < 0

(+)(+) = +, (-)(-) = +, (+)(-) = -

f continue : changement de signe ⇒ f s'annule

f(x) = x² ≥ 0

x² = k ⇔ x = √(k) ou x = -√(k) (k ≥ 0)

f(-x) = (-x)² = x² = f(x)

0 ≤ a ≤ b ⇒ a² ≤ b² a ≤ b ≤ 0 ⇒ a² ≥ b²

f(x) = 1/x (x ≠ 0)

f(-x) = 1/(-x) = -1/x = -f(x)

f(x) = x³, croissante sur ℝ

x³ = k ⇔ x = racine 3-ième de (k)

f(x) = √(x), x ≥ 0, croissante

|x| = x & si x ≥ 0 ; -x & si x < 0

|x| = k ⇔ x = k ou x = -k (k ≥ 0) |x| < k ⇔ -k < x < k

f(x) = (ax+b)/(cx+d), x ≠ -d/c

Δ = b² - 4ac x = (-b ± √(Δ))/2a

ax² + bx + c = a (x-α)² + β avec α = -b/2a, β = -Δ/4a

S(-b/2a ; -Δ/4a)

ax² + bx + c a le signe de a à l'extérieur des racines

Δ = b² − 4ac

x₁ = (−b − √Δ) / (2a) et x₂ = (−b + √Δ) / (2a)

x₀ = (-b)/2a

x₁ + x₂ = -b/a x₁ × x₂ = c/a

ax² + bx + c = a (x - x₁)(x - x₂)

a x² + b x + c = a(x − α)² + β, avec α = −b/(2a) et β = f(α)

a x² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂)

a(x - α)² + β = a x² + bx + c

(a+b)²=a²+2ab+b² (a-b)²=a²-2ab+b² (a+b)(a-b)=a²-b²

S(-b/2a ; f (-b/2a))

Δ = b² - 4ac, x = (-b ± √(Δ))/2a

signe de a à l'extérieur des racines, signe opposé entre elles

ax² + bx + c ≤ 0 ⇔ x ∈ [x₁ ;x₂] ( si a > 0, Δ > 0)

a x² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂)

ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂)

y = f'(a) × (x − a) + f(a)

(xⁿ)' &= n xⁿ⁻¹ ; (√(x))' &= 1/2√(x) ; (1/x)' &= -1/x²

(u+v)' &= u'+v' ; (uv)' &= u'v + uv' ; (u/v)' &= (u'v - uv')/v²

τ = (f(a+h) - f(a))/h = (f(b) - f(a))/(b - a)

f'(a) = lim_h → 0 (f(a+h) - f(a))/h

y = f'(a) × (x − a) + f(a)

y = f'(a) × (x − a) + f(a)

m = f'(a)

f' > 0 ⇒ f ↗ f' < 0 ⇒ f ↘

f'(x) > 0 ⇒ f ↗ f'(x) < 0 ⇒ f ↘

f'(x) > 0 ⇒ f ↗ f'(x) < 0 ⇒ f ↘

f' change de signe en x₀ ⇒ f a un extremum en x₀

f' change de signe en x₀ ⇒ f a un extremum en x₀

extremums ( f'=0 ) et valeurs aux bornes

f'' ≥ 0 ⇒ f convexe f'' ≤ 0 ⇒ f concave

f convexe ⇒ courbe au-dessus de ses tangentes

f'' = (f')'

f'' s'annule en changeant de signe en x₀

f''(x₀)=0 et f'' change de signe en x₀

uₙ = u₀ + n r uₙ = uₚ + (n - p) r

uₙ₊₁ = uₙ + r

S = ( nombre de termes ) × (premier + dernier)/2

uₙ = u₀ × q^(n) uₙ = uₚ × q^(n - p)

uₙ₊₁ = q × uₙ

S = ( premier terme ) × (1 - q^(nombre de termes))/(1 - q) (q ≠ 1)

r = uₙ₊₁ - uₙ q = uₙ₊₁/uₙ

uₙ₊₁ - uₙ > 0 ⇒ croissante < 0 ⇒ décroissante

S_arith = N × (1 ^(er) + dernier)/2 S_géo = u₀ × (1 - q^(N))/(1 - q)

S = N × (u_premier + u_dernier)/2

S = u₀ × (1 - q^(N))/(1 - q) (q ≠ 1)

lim (uₙ + vₙ) = lim uₙ + lim vₙ lim (uₙ × vₙ) = lim uₙ × lim vₙ

lim_n→+∞1/n = 0 lim_n→+∞ n = +∞ lim_n→+∞√(n) = +∞

lim_n→+∞ q^(n) = 0 & si -1 < q < 1 ; 1 & si q = 1 ; +∞ & si q > 1

uₙ₊₁ = f(uₙ), u₀ donné

[ P(n₀) vraie ] et [ P(n) ⇒ P(n+1) ] ⇒ P(n) vraie pour tout n ≥ n₀

On suppose P(n) vraie, on démontre P(n+1)

plus petit n tel que uₙ ≥ S

while u < cible : u ← terme suivant , n ← n + 1

P_A(B) = P(A ∩ B) / P(A), avec P(A) ≠ 0

P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B)

P(B) = P(A) × P_A(B) + P(Ā) × P_Ā(B)

P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B)

P_A(B) + P_A(B̄) = 1

P(B) = P(A) × P_A(B) + P(Ā) × P_Ā(B)

P(B) = Σ P(Aᵢ) × P_Aᵢ(B), pour une partition A₁, …, Aₙ

P_B(A) = (P(A) P_A(B))/P(B)

P_B(A) = (P(A) P_A(B))/(P(A) P_A(B) + P(A̅) P_A̅(B))

P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

P_A(B) = P(B), avec P(A) ≠ 0

P(X = k) = C(n, k) p^(k) (1-p)^(n-k)

E(X) = np

V(X) = np(1-p) σ(X) = √(np(1-p))

E(X) = Σᵢ xᵢ pᵢ

E(aX + b) = a E(X) + b

Aₙ^(k) = n!/((n-k)!) C(n, k) = n!/(k! (n-k)!)

n! = n×(n-1)×…× 1 ( permutations de n objets )

N = n₁ × n₂ × … × nₖ

C(n, k) = n!/(k! (n-k)!)

C(n, k) = C(n, n-k)

C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)

C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!)

C(n, k) = C(n, n − k)

Ligne n : C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n) ; chaque nombre est la somme des deux nombres situés au-dessus

Rang de Q1 : arrondi de n/4 à l'entier supérieur ; rang de Q3 : arrondi de 3n/4 à l'entier supérieur

Écart interquartile = Q3 − Q1

Diagramme en boîte = (minimum ; Q1 ; médiane ; Q3 ; maximum)

V(X) = Σ (xᵢ − μ)² × pᵢ, avec μ = E(X)

V(X) = E(X²) − E(X)²

V(aX + b) = a² × V(X)

V(X) = n × p × (1 − p), pour X suivant la loi binomiale B(n ; p)

σ(X) = √(V(X))

σ(aX + b) = |a| σ(X)

vecteur AB (x_B - x_A ; y_B - y_A) vecteur u + vecteur v (x+x' ; y+y') k vecteur u (kx ; ky)

‖ vecteur u ‖ = √(x² + y²)

vecteur u (x ;y) et vecteur v (x' ;y') colinéaires ⇔ x y' - y x' = 0

vecteur u · vecteur v = x x' + y y' = ‖ vecteur u ‖ ‖ vecteur v ‖cos(θ) vecteur u · vecteur u = ‖ vecteur u ‖²

vecteur u · vecteur v = x x' + y y'

vecteur u · vecteur v = ‖ vecteur u ‖×‖ vecteur v ‖×cos(θ)

vecteur u · vecteur v = 0 ⇔ vecteur u ⊥ vecteur v

d : ax + by + c = 0 ⇒ vecteur n (a ;b) est normal à d

a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0

ax + by + c = 0 vecteur u (-b ;a)

M(x ;y) ∈ d ⇔ vecteur AM et vecteur u colinéaires

ax + by + c = 0 ⇒ y = -a/bx - c/b (b ≠ 0)

V_cube = a³ V_pavé = L ℓ h V_cylindre = π r² h

V_pyramide = 1/3 B h V_cône = 1/3 π r² h

V_sphère = 4/3 π r³

w = a × u + b × v (w combinaison linéaire de u et v non colinéaires)

x = xA + t·a ; y = yA + t·b ; z = zA + t·c, avec t réel

m = (y_B - y_A)/(x_B - x_A)

p = y - m x p = f(0)

y = mx + p avec m = (y_B - y_A)/(x_B - x_A), p = y_A - m x_A

ax + by + c = 0 ⇒ vecteur u (-b ;a) y = mx + p ⇒ vecteur u (1 ;m)

m = m' (réduite) x y' - y x' = 0 (directeurs)

m × m' = -1 (repère orthonormé)

m ≠ m' : sécantes m = m', p ≠ p' : strictement parallèles m = m', p = p' : confondues

OM′ = |k| × OM et A′B′ = |k| × AB

aire de l'image = k² × aire ; volume de l'image = |k|³ × volume

e ^(a+b) = e ^(a) e ^(b) e ^(-a) = 1/(e ^(a)) (e ^(a))/(e ^(b)) = e ^(a-b) ( e ^(a))ⁿ = e ^(na)

( e ^(x))' = e ^(x) ( e ^(u))' = u' e ^(u) ( e ^(kx))' = k e ^(kx)

e ^(x) > 0 pour tout x e ^(a) = e ^(b) ⇔ a = b

ln(ab) = ln a + ln b ln a/b = ln a - ln b ln(aⁿ) = nln a ln 1/a = -ln a

(ln x)' = 1/x (ln u)' = u'/u

ln a = ln b ⇔ a = b (a, b > 0) ln x = y ⇔ x = e ^(y)

∫ k = kx ∫ xⁿ = xⁿ⁺¹/(n+1) ∫ 1/x = ln x ∫ e ^(x) = e ^(x)

∫ xⁿ = xⁿ⁺¹/(n+1) (n ≠ -1) ∫ 1/x = ln x ∫ e ^(x) = e ^(x)

F primitive de f ⇔ F' = f

∫ (u + v) = ∫ u + ∫ v ∫ k u = k∫ u

y' = ay ⇒ y = C e ^(ax) y' = ay + b ⇒ y = C e ^(ax) - b/a

y' = ay + b ⇒ yₚ = -b/a (a ≠ 0)

lim_x→+∞1/x = 0 lim_x→+∞1/x² = 0

lim_x→+∞ x² = +∞ lim_x→+∞ √(x) = +∞

(+∞)+(+∞)=+∞ (+∞)×(+∞)=+∞

lim_x→ a f(x) = ±∞ ⇒ x = a ; lim_x→±∞ f(x) = ℓ ⇒ y = ℓ

lim_x→±∞ f(x) = ℓ ⇒ y = ℓ asymptote horizontale

lim_x→ a f(x) = ±∞ ⇒ x = a asymptote verticale

(g ∘ f)(x) = g(f(x))

h(x) = g(f(x)) : f intérieure , g extérieure

(g ∘ f)'(x) = f'(x)× g'(f(x)) (uⁿ)' = n u' uⁿ⁻¹ (√(u))' = u'/2√(u)

défaut ≤ nombre ≤ excès

chiffre suivant ≥ 5 ⇒ arrondi au-dessus ; < 5 ⇒ en dessous

on garde jusqu'à la précision, on supprime le reste

a ≤ x ≤ b avec b - a = précision

[a ;b] = {x : a ≤ x ≤ b} ]a ;b[ = {x : a < x < b}

[1 ;4]∩[3 ;6]=[3 ;4] [1 ;4]∪[3 ;6]=[1 ;6]

x ∈ [a ;b] ⇔ a ≤ x ≤ b

x∈[a ;+∞[ ⇔ x≥ a x∈ ]-∞ ;b] ⇔ x≤ b

x = x₁e₁ + x₂e₂ + … + xₙeₙ, écriture unique dans la base (e₁, …, eₙ)

Si dim E = n et si la famille B compte n vecteurs : B libre ⇔ B génératrice ⇔ B base