Les étapes pour étudier la fonction exponentielle

1
Dériver
On dérive en utilisant $(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ ( e ^(u))' = u' e ^(u) et les règles habituelles (produit, somme).
2
Étudier le signe de la dérivée
Comme $e^{u} > 0$ e ^(u) > 0 toujours, le signe de la dérivée ne dépend que des autres facteurs : on les étudie.
3
Conclure sur les variations
On dresse le tableau de variations à partir du signe de la dérivée.

Exemple corrigé : étudier la fonction exponentielle

Étudier les variations de $f (x) = x e^{x}$ f(x) = x e ^(x).

1.Dérivée (produit) : $f^{'} (x) = 1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x} = (1 + x) e^{x}$ f'(x) = 1· e ^(x) + x· e ^(x) = (1 + x) e ^(x).
2.Comme $e^{x} > 0$ e ^(x) > 0, le signe de $f^{'}$ f' est celui de $1 + x$ 1 + x : négatif pour $x < - 1$ x < -1, positif pour $x > - 1$ x > -1.
3.Donc $f$ f décroît sur $] - \infty; - 1]$ ]-∞ ;-1] puis croît sur $[- 1; + \infty [$ [-1 ;+∞[ : minimum en $x = - 1$ x = -1.

Résultat :

f^{'} (x) = (1 + x) e^{x}

f'(x) = (1+x) e ^(x) ; minimum en

x = - 1

x = -1.

Le facteur

e^{u}

e ^(u) étant toujours positif, il ne change jamais le signe : seul le reste compte.

Les vidéos de la chaîne MathLvl sur ce thème, expliquées pas à pas.

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