Fonction exponentielle en Terminale spé maths

La fonction exponentielle en Terminale spé : cours complet

La fonction exponentielle $\exp (x)=e^x$exp(x) = e^(x) est la fonction la plus utilisée en sciences. Elle modélise toute croissance ou décroissance proportionnelle à elle-même (populations, désintégrations radioactives, intérêts composés).

Définition

Définition par équation différentielle

La fonction $\exp$exp est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ℝ vérifiant :

$${\exp }^{\prime }(x)=\exp (x)\text{et}\exp (0)=1$$exp'(x) = exp(x) et exp(0) = 1

Notation et nombre $e$e

$$\exp (x)=e^x;e=\exp (1)\approx 2,718$$exp(x) = e^(x) ; e = exp(1) ≈ 2,718

Propriétés algébriques

Produit

$$e^{a+b}=e^a\times e^b$$e^(a + b) = e^(a) × e^(b)

Quotient

$$e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b}$$e^(a - b) = e^(a)/e^(b)

Inverse

$$e^{-a}=\frac{1}{e^a}$$e^(-a) = 1/e^(a)

Puissance

$$(e^a{)}^n=e^{na}$$(e^(a))ⁿ = e^(na)

Cas particuliers

$$e^0=1;e^1=e$$e⁰ = 1 ; e¹ = e

Dérivée

$$(e^x{)}^{\prime }=e^x$$(e^(x))' = e^(x)

Dérivée de $e^u$e^(u)

$$(e^u{)}^{\prime }=u^{\prime }\times e^u$$(e^(u))' = u' × e^(u)

Exemples

$$(e^{2x+1}{)}^{\prime }=2e^{2x+1}$$(e^(2x + 1))' = 2 e^(2x + 1)

$$(e^{-x^2}{)}^{\prime }=-2x\times e^{-x^2}$$(e^(-x²))' = -2x × e^(-x²)

Variations et signe

Signe

$$e^x>0\forall x\in \mathbb{R}$$e^(x) > 0 ∀ x ∈ ℝ

Variations

$\exp$exp est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ℝ.

Limites

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^x=0;\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^x=+\infty$$lim_x → -∞ e^(x) = 0 ; lim_x → +∞ e^(x) = +∞

Croissances comparées

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x^n}=+\infty \text{pour tout }n\in \mathbb{N}$$lim_x → +∞ e^(x)/xⁿ = +∞ pour tout n ∈ ℕ

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^n{e}^x=0$$lim_x → -∞ xⁿ e^(x) = 0

L'exponentielle « écrase » toute puissance.

Représentation graphique

• Passe par $(0;1)$(0 ; 1) et $(1;e)$(1 ; e).
• Asymptote horizontale $y=0$y = 0 en $-\infty$-∞.
• Croissance rapide vers $+\infty$+∞.

Convexité

$$(e^x{)}^{\prime \prime }=e^x>0$$(e^(x))'' = e^(x) > 0

$\exp$exp est convexe sur $\mathbb{R}$ℝ.

Inégalité tangentielle

$$e^x\ge 1+x\forall x\in \mathbb{R}$$e^(x) ≥ 1 + x ∀ x ∈ ℝ

(Égalité en $x=0$x = 0.)

Équations et inéquations

Équation $e^x=a$e^(x) = a

• Si $a\le 0$a ≤ 0 : pas de solution.
• Si $a>0$a > 0 : $x=\ln (a)$x = ln(a).

Équation $e^u=e^v$e^(u) = e^(v)

$$e^u=e^v⟺u=v$$e^(u) = e^(v) ⇔ u = v

Inéquations

Comme $\exp$exp est strictement croissante :

$$e^u<e^v⟺u<v$$e^(u) < e^(v) ⇔ u < v

Exemple

Résoudre $e^{2x-1}=3$e^(2x - 1) = 3 :

$$2x-1=\ln (3)⟺x=\frac{1+\ln (3)}{2}\approx 1,05$$2x - 1 = ln(3) ⇔ x = (1 + ln(3))/2 ≈ 1,05

Lien avec le logarithme

$\exp$exp et $\ln$ln sont fonctions réciproques :

$$e^{\ln (x)}=x(x>0);\ln (e^x)=x$$e^(ln(x)) = x (x > 0) ; ln(e^(x)) = x

Leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite $y=x$y = x.

Applications

Croissance exponentielle

$$N(t)=N_0{e}^{kt}(k>0:\text{croissance})$$N(t) = N₀ e^(kt) (k > 0 : croissance )

Désintégration radioactive

$$N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}$$N(t) = N₀ e^(-λ t)

Demi-vie : $T_{1/2}=\frac{\ln (2)}{\lambda }$T_1/2 = ln(2)/λ.

Intérêts composés (continus)

Capital après $t$t ans : $C(t)=C_0{e}^{rt}$C(t) = C₀ e^(rt) avec $r$r = taux annuel.

Modèle logistique (croissance limitée)

$$N(t)=\frac{K}{1+a{e}^{-rt}}$$N(t) = K/(1 + a e^(-rt))

Erreurs fréquentes à éviter

• $e^a+e^b\ne e^{a+b}$e^(a) + e^(b) ≠ e^(a + b) : c'est $e^a\times e^b=e^{a+b}$e^(a) × e^(b) = e^(a+b).
• Mauvaise dérivée : $(e^u{)}^{\prime }=u^{\prime }{e}^u$(e^(u))' = u' e^(u), pas $e^{u^{\prime }}$e^(u').
• Confondre $e^x$e^(x) et $x^e$xᵉ.
• Oublier le facteur $u^{\prime }$u' dans la dérivée composée.

FAQ — Fonction exponentielle

Pourquoi $e$e est-il important ?

C'est la base naturelle : c'est la seule pour laquelle $(e^x{)}^{\prime }=e^x$(e^(x))' = e^(x), ce qui en fait l'outil naturel de l'analyse.

À quoi sert l'exponentielle ?

À modéliser tout phénomène où le taux de croissance est proportionnel à la quantité actuelle : démographie, économie, physique, chimie, biologie.

Comment se comporte $e^x$e^(x) en $-\infty$-∞ ?

$e^x\to 0$e^(x) → 0 : l'asymptote horizontale est $y=0$y = 0.

Pourquoi « croissances comparées » ?

Car en $+\infty$+∞, $e^x$e^(x) domine toute puissance, et toute puissance domine $\ln$ln. Hiérarchie : $\ln \ll x^n\ll e^x$ln ll xⁿ ll e^(x).