Le logarithme népérien — exercices types corrigés

1. 1.
   $8=2^3$8 = 2³, donc $\ln 8=\ln (2^3)=3\ln 2$ln 8 = ln(2³) = 3ln 2.

   → Propriétés algébriques
2. 2.
   $6=2\times 3$6 = 2× 3, donc $\ln 6=\ln 2+\ln 3$ln 6 = ln 2 + ln 3.

Méthode utilisée : $\ln (a^k)=k\ln a$ln(a^(k))=kln a et $\ln (ab)=\ln a+\ln b$ln(ab)=ln a+ln b.

1. 1.
   Pour $f$f, $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$(ln u)' = u'/u avec $u=3x$u = 3x : $f^{\prime }(x)=\frac{3}{3x}=\frac{1}{x}$f'(x) = 3/3x = 1/x.

   → Dérivée du logarithme
2. 2.
   Pour $g$g, règle du produit : $g^{\prime }(x)=1\cdot \ln x+x\cdot \frac{1}{x}$g'(x) = 1· ln x + x· 1/x.
3. 3.
   $g^{\prime }(x)=\ln x+1$g'(x) = ln x + 1.

Méthode utilisée : $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$(ln u)'=u'/u.

Erreur fréquente : $(\ln (3x){)}^{\prime }=\frac{1}{x}$(ln(3x))'=1/x, pas $\frac{3}{x}$3/x (le $3$3 se simplifie).

1. 1.
   Condition d'existence : $x+3>0$x + 3 > 0 et $2x-1>0$2x - 1 > 0, soit $x>\frac{1}{2}$x > 1/2.

   → Logarithme et équations
2. 2.
   Par injectivité : $x+3=2x-1$x + 3 = 2x - 1, soit $3+1=2x-x$3 + 1 = 2x - x.
3. 3.
   $x=4$x = 4, qui vérifie bien $x>\frac{1}{2}$x > 1/2.

Méthode utilisée : $\ln a=\ln b\iff a=b$ln a=ln b⇔ a=b, après conditions d'existence.

Erreur fréquente : Oublier de vérifier que les arguments sont strictement positifs.

1. 1.
   Il faut que l'argument du logarithme soit strictement positif : $2x-6>0$2x - 6 > 0.

   → Logarithme et équations
2. 2.
   $2x>6$2x > 6, donc $x>3$x > 3.
3. 3.
   L'ensemble de définition est $]3;+\infty [$]3 ;+∞[.

Méthode utilisée : $\ln$ln est défini lorsque son argument est strictement positif.

Erreur fréquente : Inclure la borne : $2x-6>0$2x-6>0 est strict.

1. 1.
   $\ln (1)=0$ln(1) = 0 et $\ln (\mathrm{e})=1$ln( e ) = 1.

   → Propriétés algébriques

1. 1.
   $12=4\times 3=2^2\times 3$12 = 4× 3 = 2²× 3.

   → Propriétés algébriques
2. 2.
   $\ln (12)=\ln (2^2)+\ln (3)=2\ln 2+\ln 3$ln(12) = ln(2²) + ln(3) = 2ln 2 + ln 3.

1. 1.
   $\ln a-\ln b=\ln \frac{a}{b}$ln a - ln b = lna/b.

   → Propriétés algébriques
2. 2.
   $\ln (15)-\ln (3)=\ln \frac{15}{3}=\ln (5)$ln(15) - ln(3) = ln15/3 = ln(5).

Méthode utilisée : $\ln a-\ln b=\ln \frac{a}{b}$ln a-ln b=lna/b.

Erreur fréquente : Écrire $\ln 15-\ln 3=\ln 12$ln 15-ln 3=ln 12 (soustraction au lieu de quotient).

1. 1.
   $\ln x=y⟺x={\mathrm{e}}^y$ln x = y ⇔ x = e ^(y).

   → Logarithme et équations
2. 2.
   $x={\mathrm{e}}^2$x = e ² ($\approx 7,39$≈ 7,39).

Méthode utilisée : $\ln x=k\iff x=e^k$ln x=k⇔ x=e^(k).

1. 1.
   $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$(ln u)' = u'/u avec $u=2x+1$u = 2x + 1, $u^{\prime }=2$u' = 2.

   → Dérivée du logarithme
2. 2.
   $f^{\prime }(x)=\frac{2}{2x+1}$f'(x) = 2/(2x + 1).

1. 1.
   $\ln (1000)=\ln (10^3)=3\ln (10)$ln(1000) = ln(10³) = 3ln(10).

   → Propriétés algébriques
2. 2.
   $\approx 3\times 2,30=6,90$≈ 3× 2,30 = 6,90.