La fonction exponentielle — exercices types corrigés

1. 1.
   Pour un produit, on additionne les exposants : $A={\mathrm{e}}^{2+3}={\mathrm{e}}^5$A = e ²⁺³ = e ⁵.

   → Propriétés algébriques
2. 2.
   Pour un quotient, on soustrait : $B={\mathrm{e}}^{x-2x}={\mathrm{e}}^{-x}$B = e ^(x - 2x) = e ^(-x).

Méthode utilisée : $e^a\times e^b=e^{a+b}$e^(a)× e^(b)=e^(a+b) et $\frac{e^a}{e^b}=e^{a-b}$e^(a)/e^(b)=e^(a-b).

Erreur fréquente : Multiplier les exposants au lieu de les additionner.

1. 1.
   Pour $f$f, on applique $({\mathrm{e}}^{kx}{)}^{\prime }=k{\mathrm{e}}^{kx}$( e ^(kx))' = k e ^(kx) : $f^{\prime }(x)=3{\mathrm{e}}^{3x}$f'(x) = 3 e ^(3x).

   → Dérivée de l'exponentielle
2. 2.
   Pour $g$g, règle du produit avec $u=x$u = x ($u^{\prime }=1$u' = 1) et $v={\mathrm{e}}^x$v = e ^(x) ($v^{\prime }={\mathrm{e}}^x$v' = e ^(x)) : $g^{\prime }(x)=1\cdot {\mathrm{e}}^x+x\cdot {\mathrm{e}}^x$g'(x) = 1· e ^(x) + x· e ^(x).
3. 3.
   $g^{\prime }(x)=(1+x){\mathrm{e}}^x$g'(x) = (1 + x) e ^(x).

Méthode utilisée : $(e^u{)}^{\prime }=u^{\prime }{e}^u$(e^(u))'=u' e^(u) ; règle du produit pour $x{e}^x$x e^(x).

Erreur fréquente : Oublier le facteur $3$3 dans $(e^{3x}{)}^{\prime }=3e^{3x}$(e^(3x))'=3e^(3x).

1. 1.
   L'exponentielle est injective : ${\mathrm{e}}^a={\mathrm{e}}^b$e ^(a) = e ^(b) équivaut à $a=b$a = b.

   → Signe, variations et équations
2. 2.
   Donc $x+1=2x-3$x + 1 = 2x - 3, soit $1+3=2x-x$1 + 3 = 2x - x.
3. 3.
   $x=4$x = 4.

Méthode utilisée : $e^a=e^b\iff a=b$e^(a)=e^(b)⇔ a=b.

1. 1.
   ${\mathrm{e}}^x>0$e ^(x) > 0 pour tout $x$x : le signe de $f$f est donc celui de $x-2$x - 2.

   → Signe, variations et équations
2. 2.
   $x-2<0$x - 2 < 0 pour $x<2$x < 2 et $x-2>0$x - 2 > 0 pour $x>2$x > 2.
3. 3.
   Donc $f(x)<0$f(x) < 0 sur $]-\infty ;2[$]-∞ ;2[, $f(x)>0$f(x) > 0 sur $]2;+\infty [$]2 ;+∞[, nul en $2$2.

Méthode utilisée : $e^x>0$e^(x)>0 toujours : le signe de $(x-2)e^x$(x-2)e^(x) est celui de $x-2$x-2.

Erreur fréquente : Croire que $e^x$e^(x) peut être négatif.

1. 1.
   On additionne les exposants : ${\mathrm{e}}^{5+(-2)}$e ^(5 + (-2)).

   → Propriétés algébriques
2. 2.
   $={\mathrm{e}}^3$= e ³.

1. 1.
   On multiplie les exposants : ${\left({\mathrm{e}}^2\right)}^3={\mathrm{e}}^{2\times 3}$( e ²)³ = e ^(2× 3).

   → Propriétés algébriques
2. 2.
   $={\mathrm{e}}^6$= e ⁶.

Erreur fréquente : Additionner $2+3$2+3 au lieu de multiplier : $(e^2{)}^3=e^{2\times 3}=e^6$(e²)³=e^(2× 3)=e⁶.

1. 1.
   $({\mathrm{e}}^{kx}{)}^{\prime }=k{\mathrm{e}}^{kx}$( e ^(kx))' = k e ^(kx) avec $k=-1$k = -1.

   → Dérivée de l'exponentielle
2. 2.
   $f^{\prime }(x)=-{\mathrm{e}}^{-x}$f'(x) = - e ^(-x).

Erreur fréquente : Oublier le signe $-$- : $(e^{-x}{)}^{\prime }=-e^{-x}$(e^(-x))'=-e^(-x).

1. 1.
   ${\mathrm{e}}^0=1$e ⁰ = 1 et l'exponentielle est injective.

   → Signe, variations et équations
2. 2.
   Donc $x=0$x = 0.

1. 1.
   Par injectivité : ${\mathrm{e}}^a={\mathrm{e}}^b⟺a=b$e ^(a) = e ^(b) ⇔ a = b.

   → Signe, variations et équations
2. 2.
   $2x=x+3$2x = x + 3, donc $x=3$x = 3.

1. 1.
   Population initiale : $P(0)=1000{\mathrm{e}}^0=1000$P(0) = 1000 e ⁰ = 1000.

   → Propriétés algébriques
2. 2.
   Au bout de $10$10 ans : $P(10)=1000{\mathrm{e}}^{0,05\times 10}=1000{\mathrm{e}}^{0,5}$P(10) = 1000 e ^(0,05× 10) = 1000 e ^(0,5).
3. 3.
   ${\mathrm{e}}^{0,5}\approx 1,649$e ^(0,5) ≈ 1,649, donc $P(10)\approx 1649$P(10) ≈ 1649.

Méthode utilisée : On calcule $P(0)$P(0) puis $P(10)=1000e^{0,5}$P(10)=1000e^(0,5).

Erreur fréquente : Calculer $1000\times 0,5$1000× 0,5 au lieu de $1000e^{0,5}$1000e^(0,5).