Exercices corrigés : Fonction exponentielle — Terminale spécialité

Correction détaillée

1. 1

   Pour un produit, on additionne les exposants : $e^a\times e^b=e^{a+b}$e^(a)× e^(b)=e^(a+b).

   Ici $e^2\times e^3=e^{2+3}=e^5$e²× e³ = e²⁺³ = e⁵.

2. 2

   Pour un quotient, on soustrait les exposants : $\frac{e^a}{e^b}=e^{a-b}$e^(a)/e^(b)=e^(a-b).

   Ici $\frac{e^5}{e^2}=e^{5-2}=e^3$e⁵/e² = e⁵⁻² = e³.

3. 3

   Pour une puissance d'exponentielle, on multiplie les exposants : ${\left(e^a\right)}^b=e^{ab}$(e^(a))^(b)=e^(ab).

   Ici ${\left(e^2\right)}^3=e^{2\times 3}=e^6$(e²)³ = e^(2× 3) = e⁶.

Rappel de cours : $e^a\times e^b=e^{a+b}$e^(a)× e^(b)=e^(a+b), $\frac{e^a}{e^b}=e^{a-b}$e^(a)/e^(b)=e^(a-b), ${\left(e^a\right)}^b=e^{ab}$(e^(a))^(b)=e^(ab), $e^{-a}=\frac{1}{e^a}$e^(-a)=1/e^(a).

Correction détaillée

1. 1

   On cherche les réels $x$x tels que $e^x=1$e^(x)=1.

   On reconnaît une valeur de référence : $1=e^0$1 = e⁰.

   L'équation s'écrit donc $e^x=e^0$e^(x)=e⁰.

2. 2

   Comme l'exponentielle est strictement croissante (donc injective), $e^x=e^0⟺x=0$e^(x)=e⁰ ⇔ x=0.

   D'où $x=0$x=0.

3. 3

   Pour la seconde équation, les deux membres sont déjà des exponentielles : $e^x=e^3⟺x=3$e^(x)=e³ ⇔ x=3.

Rappel de cours : $e^a=e^b⟺a=b$e^(a)=e^(b) ⇔ a=b. Et $e^0=1$e⁰=1.

Correction détaillée

1. 1

   Pour $A$A, c'est un produit : on additionne les exposants.

   $A=e^x\times e^{-x}=e^{x+(-x)}=e^0$A = e^(x)× e^(-x) = e^(x+(-x)) = e⁰.

   Or $e^0=1$e⁰=1, donc $A=1$A = 1.

2. 2

   Pour $B$B, c'est un quotient : on soustrait les exposants.

   $B=\frac{e^{2x}}{e^x}=e^{2x-x}=e^x$B = e^(2x)/e^(x) = e^(2x-x) = e^(x).

Erreur fréquente : $e^x\times e^{-x}$e^(x)× e^(-x) n'est pas $e^{-x^2}$e^(-x²) : on additionne les exposants $x+(-x)=0$x+(-x)=0, on ne les multiplie pas.

Correction détaillée

1. 1

   Les deux membres sont des exponentielles.

   Comme $e^A=e^B⟺A=B$e^(A)=e^(B) ⇔ A=B, l'équation $e^{2x}=e^{x+3}$e^(2x)=e^(x+3) équivaut à $2x=x+3$2x = x+3.

2. 2

   On résout cette équation du premier degré : $2x-x=3$2x-x = 3, c'est-à-dire $x=3$x=3.

Rappel de cours : Quand l'équation est de la forme $e^A=e^B$e^(A)=e^(B), on se ramène à $A=B$A=B.

Correction détaillée

1. 1

   Pour $e^x=5$e^(x)=5 : comme $5>0$5>0, l'équation a une solution.

   On applique le logarithme népérien aux deux membres : $x=\ln (5)$x=ln(5).

2. 2

   Pour $e^x=-2$e^(x)=-2 : c'est impossible, car $e^x>0$e^(x)>0 pour tout réel $x$x, alors que $-2<0$-2<0.

   L'équation n'a donc aucune solution.

Rappel de cours : $e^x>0$e^(x)>0 toujours : une équation $e^x=k$e^(x)=k n'a de solution que si $k>0$k>0, et alors $x=\ln (k)$x=ln(k).

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1. 1

   On pose $X=e^x$X=e^(x), avec nécessairement $X>0$X>0.

   Comme $e^{2x}=(e^x{)}^2=X^2$e^(2x)=(e^(x))²=X², l'équation $e^{2x}-3e^x+2=0$e^(2x)-3e^(x)+2=0 devient $X^2-3X+2=0$X²-3X+2=0.

2. 2

   On résout ce trinôme : $\Delta =(-3{)}^2-4\times 1\times 2=9-8=1>0$Δ = (-3)²-4× 1× 2 = 9-8 = 1>0.

   Les racines sont $X=\frac{3\pm 1}{2}$X=(3± 1)/2, soit $X=2$X=2 ou $X=1$X=1.

   Les deux sont strictement positives, donc acceptables.

3. 3

   Retour à $x$x : $e^x=1⟺x=0$e^(x)=1 ⇔ x=0 (car $1=e^0$1=e⁰) ; $e^x=2⟺x=\ln (2)$e^(x)=2 ⇔ x=ln(2).

Rappel de cours : $e^{2x}=(e^x{)}^2$e^(2x)=(e^(x))² : le changement $X=e^x$X=e^(x) transforme l'équation en trinôme. Ne garder que les $X>0$X>0.

Correction détaillée

1. 1

   Pour $f$f, c'est une somme : on dérive terme à terme.

   $(e^x{)}^{\prime }=e^x$(e^(x))'=e^(x) et $(x^2{)}^{\prime }=2x$(x²)'=2x, donc $f^{\prime }(x)=e^x+2x$f'(x)=e^(x)+2x.

2. 2

   Pour $g$g, c'est un produit.

   On applique $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$(uv)'=u'v+uv' avec $u=x$u=x ($u^{\prime }=1$u'=1) et $v=e^x$v=e^(x) ($v^{\prime }=e^x$v'=e^(x)) : $g^{\prime }(x)=1\times e^x+x\times e^x=(1+x)e^x$g'(x)=1× e^(x)+x× e^(x)=(1+x)e^(x).

Rappel de cours : La dérivée de $e^x$e^(x) est $e^x$e^(x) : l'exponentielle est sa propre dérivée.

Correction détaillée

1. 1

   On applique la formule ${\left(e^u\right)}^{\prime }=u^{\prime }{e}^u$(e^(u))'=u' e^(u).

2. 2

   Pour $f$f, l'exposant est $u=3x+1$u=3x+1, donc $u^{\prime }=3$u'=3.

   D'où $f^{\prime }(x)=3e^{3x+1}$f'(x)=3 e^(3x+1).

3. 3

   Pour $g$g, l'exposant est $u=-x^2$u=-x², donc $u^{\prime }=-2x$u'=-2x.

   D'où $g^{\prime }(x)=-2x{e}^{-x^2}$g'(x)=-2x e^(-x²).

Rappel de cours : ${\left(e^u\right)}^{\prime }=u^{\prime }{e}^u$(e^(u))'=u' e^(u) : on dérive l'exposant et on le met en facteur devant l'exponentielle inchangée.

Erreur fréquente : L'exponentielle ne « descend » jamais : dans $e^{3x+1}$e^(3x+1) on garde $e^{3x+1}$e^(3x+1), on multiplie juste par $u^{\prime }=3$u'=3.

Correction détaillée

1. 1

   $f$f est un produit : avec $u=x$u=x ($u^{\prime }=1$u'=1) et $v=e^x$v=e^(x) ($v^{\prime }=e^x$v'=e^(x)), $f^{\prime }(x)=1\times e^x+x\times e^x=(1+x)e^x$f'(x)=1× e^(x)+x× e^(x)=(1+x)e^(x).

2. 2

   Pour le signe : $e^x>0$e^(x)>0 pour tout $x$x, donc $f^{\prime }(x)$f'(x) a le signe de $1+x$1+x.

   On a $1+x<0⟺x<-1$1+x<0 ⇔ x<-1 et $1+x>0⟺x>-1$1+x>0 ⇔ x>-1.

3. 3

   Ainsi $f$f est décroissante sur $]-\infty ;-1]$]-∞;-1] puis croissante sur $[-1;+\infty [$[-1;+∞[ : elle admet un minimum en $x=-1$x=-1.

4. 4

   On calcule ce minimum : $f(-1)=-1\times e^{-1}=-\frac{1}{e}\approx -0,37$f(-1)=-1× e⁻¹=-1/e≈ -0,37.

Rappel de cours : Comme $e^x>0$e^(x)>0, le signe de la dérivée d'un produit $P(x)e^x$P(x) e^(x) est celui du facteur $P(x)$P(x).

Correction détaillée

1. 1

   On écrit $1=e^0$1=e⁰, donc $e^x\ge 1$e^(x)≥ 1 devient $e^x\ge e^0$e^(x)≥ e⁰.

   Comme $\exp$exp est strictement croissante, elle conserve l'inégalité : $e^x\ge e^0⟺x\ge 0$e^(x)≥ e⁰ ⇔ x≥ 0.

2. 2

   De même, $e^{2x-1}>1=e^0$e^(2x-1)>1=e⁰ équivaut à $2x-1>0$2x-1>0.

   On résout : $2x>1$2x>1, donc $x>\frac{1}{2}$x>1/2.

Rappel de cours : $\exp$exp est strictement croissante : elle conserve le sens des inégalités. On compare souvent à $e^0=1$e⁰=1.

Correction détaillée

1. 1

   En $+\infty$+∞, $e^x\to +\infty$e^(x)→+∞ et $x\to +\infty$x→+∞ : on a la forme indéterminée $\frac{\infty }{\infty }$∞/∞.

   La croissance comparée donne $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x}=+\infty$lim_x→+inftye^(x)/x=+∞, car l'exponentielle l'emporte sur $x$x.

2. 2

   En $-\infty$-∞, $x\to -\infty$x→-∞ et $e^x\to 0$e^(x)→ 0 : on a la forme indéterminée $(-\infty )\times 0$(-∞)× 0.

   La croissance comparée donne $\underset{x\to -\infty }{\lim }x{e}^x=0$lim_x→-∞ x e^(x)=0.

Rappel de cours : Croissances comparées : $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x}=+\infty$lim_x→+inftye^(x)/x=+∞ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }x{e}^x=0$lim_x→-∞ x e^(x)=0. « L'exponentielle l'emporte. »

Correction détaillée

1. 1

   On dérive : $g^{\prime }(x)=e^x-1$g'(x)=e^(x)-1.

   Cette dérivée s'annule et change de signe en $0$0, car $e^x-1>0⟺e^x>1⟺x>0$e^(x)-1>0 ⇔ e^(x)>1 ⇔ x>0.

2. 2

   Donc $g$g est décroissante sur $]-\infty ;0]$]-∞;0] puis croissante sur $[0;+\infty [$[0;+∞[ : elle admet un minimum en $x=0$x=0.

3. 3

   On calcule ce minimum : $g(0)=e^0-0-1=1-1=0$g(0)=e⁰-0-1 = 1-1 = 0.

   Comme $0$0 est le minimum, pour tout réel $x$x on a $g(x)\ge g(0)=0$g(x)≥ g(0)=0, c'est-à-dire $e^x-x-1\ge 0$e^(x)-x-1≥ 0.

4. 4

   Autrement dit $e^x\ge x+1$e^(x)≥ x+1 pour tout réel $x$x, avec égalité seulement en $x=0$x=0.

Rappel de cours : Pour prouver une inégalité, on étudie le signe de la différence $g(x)=\text{(gauche)}-\text{(droite)}$g(x)= (gauche) - (droite) via son minimum.

Correction détaillée

1. 1

   $f$f est un produit.

   Avec $u=x-1$u=x-1 ($u^{\prime }=1$u'=1) et $v=e^x$v=e^(x) ($v^{\prime }=e^x$v'=e^(x)), on a $f^{\prime }(x)=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }=e^x+(x-1)e^x$f'(x)=u'v+uv'=e^(x)+(x-1)e^(x).

   En factorisant par $e^x$e^(x) : $f^{\prime }(x)=x{e}^x$f'(x)=x e^(x).

2. 2

   Comme $e^x>0$e^(x)>0, $f^{\prime }(x)$f'(x) a le signe de $x$x : $f$f est décroissante sur $]-\infty ;0]$]-∞;0], croissante sur $[0;+\infty [$[0;+∞[.

   Le minimum est $f(0)=(0-1)e^0=-1$f(0)=(0-1)e⁰=-1.

3. 3

   En $-\infty$-∞, on développe : $f(x)=(x-1)e^x=x{e}^x-e^x$f(x)=(x-1)e^(x)=x e^(x)-e^(x).

   Or $x{e}^x\to 0$x e^(x)→ 0 (croissance comparée) et $e^x\to 0$e^(x)→ 0, donc par somme $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=0$lim_x→ -∞ f(x)=0.

Rappel de cours : On découpe $(x-1)e^x=x{e}^x-e^x$(x-1)e^(x)=x e^(x)-e^(x) pour utiliser la croissance comparée $x{e}^x\to 0$x e^(x)→ 0 en $-\infty$-∞.

Correction détaillée

1. 1

   $f$f est un quotient : ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$(u/v)'=(u'v-uv')/v² avec $u=e^x$u=e^(x) et $v=e^x+1$v=e^(x)+1, donc $u^{\prime }=v^{\prime }=e^x$u'=v'=e^(x).

2. 2

   On calcule le numérateur : $u^{\prime }v-u{v}^{\prime }=e^x(e^x+1)-e^x\cdot e^x=e^x$u'v-uv'=e^(x)(e^(x)+1)-e^(x)· e^(x)=e^(x).

   Ainsi $f^{\prime }(x)=\frac{e^x}{(e^x+1{)}^2}$f'(x)=e^(x)/((e^(x)+1)²).

   Le numérateur et le dénominateur sont strictement positifs, donc $f^{\prime }>0$f'>0 : $f$f est strictement croissante.

3. 3

   En $-\infty$-∞ : $e^x\to 0$e^(x)→ 0, donc $f(x)\to \frac{0}{0+1}=0$f(x)→ 0/(0+1)=0.

4. 4

   En $+\infty$+∞ : on factorise par $e^x$e^(x) au numérateur et au dénominateur, $f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$f(x)=1/(1+e^(-x)).

   Comme $e^{-x}\to 0$e^(-x)→ 0, $f(x)\to \frac{1}{1+0}=1$f(x)→ 1/(1+0)=1.

Rappel de cours : Pour la limite en $+\infty$+∞ d'un quotient d'exponentielles, on factorise par $e^x$e^(x) : $\frac{e^x}{e^x+1}=\frac{1}{1+e^{-x}}$e^(x)/(e^(x)+1)=1/(1+e^(-x)).

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1. 1

   La température initiale correspond à $t=0$t=0 : $T(0)=20+60e^0=20+60=80°C$T(0)=20+60 e⁰=20+60=80 °C.

2. 2

   On résout l'équation $T(t)=50$T(t)=50 : $20+60e^{-0,1t}=50$20+60 e^(-0,1t)=50, d'où $60e^{-0,1t}=30$60 e^(-0,1t)=30, soit $e^{-0,1t}=0,5$e^(-0,1t)=0,5.

3. 3

   On applique le logarithme népérien : $-0,1t=\ln (0,5)=-\ln (2)$-0,1 t=ln(0,5)=-ln(2).

   On isole $t$t : $t=\frac{\ln (2)}{0,1}=10\ln (2)\approx 6,9$t=ln(2)/0,1=10ln(2)≈ 6,9 min.

Rappel de cours : Pour « à quel instant » on résout une équation en $t$t : isoler l'exponentielle puis passer au $\ln$ln.

Correction détaillée

1. 1

   En $-\infty$-∞ : $e^x\to 0$e^(x)→0 et $-2x\to +\infty$-2x→+∞, donc $f(x)\to +\infty$f(x)→+∞.

   En $+\infty$+∞ : $f(x)=e^x(1-\frac{2x}{e^x})$f(x)=e^(x)(1-2x/e^(x)) et $\frac{x}{e^x}\to 0$x/e^(x)→0, donc $f(x)\to +\infty$f(x)→+∞.

2. 2

   $f^{\prime }(x)=e^x-2$f'(x)=e^(x)-2.

   $f^{\prime }(x)>0⟺e^x>2⟺x>\ln 2$f'(x)>0⇔ e^(x)>2⇔ x>ln 2.

   Donc $f$f décroît sur $]-\infty ;\ln 2]$]-∞;ln2], croît sur $[\ln 2;+\infty [$[ln2;+∞[, avec un minimum $f(\ln 2)=e^{\ln 2}-2\ln 2=2-2\ln 2\approx 0,61$f(ln2)=e^(ln2)-2ln2=2-2ln2≈0,61.

3. 3

   Le minimum de $f$f vaut $2-2\ln 2$2-2ln2.

   Or $\ln 2\approx 0,69<1$ln2≈0,69<1, donc $2-2\ln 2>0$2-2ln2>0.

   Ainsi $f(x)\ge 2-2\ln 2>0$f(x)≥ 2-2ln2>0 pour tout $x$x, c'est-à-dire $e^x-2x>0$e^(x)-2x>0, soit $e^x>2x$e^(x)>2x.

4. 4

   $f^{\prime \prime }(x)=e^x>0$f''(x)=e^(x)>0 sur $\mathbb{R}$ℝ : $f$f est convexe.

5. 5

   $f(0)=1$f(0)=1 et $f^{\prime }(0)=e^0-2=-1$f'(0)=e⁰-2=-1, donc $T:y=-x+1$T: y=-x+1.

   Comme $f$f est convexe, $\mathcal{C}$C est au-dessus de toutes ses tangentes : $\mathcal{C}$C est au-dessus de $T$T.

   En effet $f(x)-(-x+1)=e^x-x-1\ge 0$f(x)-(-x+1)=e^(x)-x-1≥0 (nul seulement en $x=0$x=0).

Rappel de cours : Une fonction convexe est toujours au-dessus de ses tangentes ; le signe du minimum donne une inégalité sur $\mathbb{R}$ℝ.