Notion

Le logarithme népérien

La fonction logarithme népérien, notée $ln$ ln, est la fonction réciproque de l'exponentielle : $ln (e^{x}) = x$ ln(e^(x))=x et $e^{l n x} = x$ e^(ln x)=x pour $x > 0$ x>0. Définie sur $] 0; + \infty [$ ]0 ;+∞[, elle est strictement croissante et transforme les produits en sommes : $ln (ab) = ln a + ln b$ ln(ab)=ln a+ln b, $ln \frac{a}{b} = ln a - ln b$ lna/b=ln a-ln b, $ln (a^{n}) = n ln a$ ln(aⁿ)=nln a. Ses valeurs de référence sont $ln 1 = 0$ ln 1=0 et $ln e = 1$ ln e=1, et sa dérivée est $\frac{1}{x}$ 1/x. Le logarithme sert à résoudre les équations où l'inconnue est en exposant (seuils de suites, demi-vie), à ramener des produits à des sommes et à modéliser des échelles (pH, décibels, magnitude). C'est une fonction incontournable de terminale.

Définitions

Logarithme népérien: C'est la fonction $ln$ ln, définie sur $] 0; + \infty [$ ]0 ;+∞[ (uniquement les nombres strictement positifs), strictement croissante. Elle vérifie $ln (1) = 0$ ln(1) = 0 et $ln (e) = 1$ ln( e ) = 1.
Réciproque de l'exponentielle: $ln$ ln « défait » l'exponentielle : $ln (e^{x}) = x$ ln( e ^(x)) = x et $e^{l n x} = x$ e ^(ln x) = x (pour $x > 0$ x > 0). Résoudre $ln x = y$ ln x = y revient à $x = e^{y}$ x = e ^(y).
Propriété fondamentale: Le logarithme transforme les produits en sommes : $ln (ab) = ln a + ln b$ ln(ab) = ln a + ln b (pour $a, b > 0$ a, b > 0). Toutes les autres règles en découlent.

Formules

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Propriétés algébriques →

ln (ab) = ln a + ln b ln \frac{a}{b} = ln a - ln b ln (a^{n}) = n ln a ln \frac{1}{a} = - ln a

ln(ab) = ln a + ln b ln a/b = ln a - ln b ln(aⁿ) = nln a ln 1/a = -ln aLes règles de calcul du logarithme (a, b > 0).Dérivée du logarithme →

(ln x)^{'} = \frac{1}{x} (ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}

(ln x)' = 1/x (ln u)' = u'/uLa dérivée de ln x est 1/x.Logarithme et équations →

ln a = ln b ⟺ a = b (a, b > 0) ln x = y ⟺ x = e^{y}

ln a = ln b ⇔ a = b (a, b > 0) ln x = y ⇔ x = e ^(y)Résoudre les équations grâce à l'injectivité et au lien avec exp.

Méthodes

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Étudier la fonction logarithme →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Simplifier avec le logarithme

Niveau 1 · Application directe

Exprimer

ln 8

ln 8 en fonction de

ln 2

ln 2, et

ln 6

ln 6 en fonction de

ln 2

ln 2 et

ln 3

ln 3.

Voir la correction

1.
$8 = 2^{3}$ 8 = 2³, donc $ln 8 = ln (2^{3}) = 3 ln 2$ ln 8 = ln(2³) = 3ln 2.
→ Propriétés algébriques
2.
$6 = 2 \times 3$ 6 = 2× 3, donc $ln 6 = ln 2 + ln 3$ ln 6 = ln 2 + ln 3.

Réponse :

ln 8 = 3 ln 2

ln 8 = 3ln 2 ;

ln 6 = ln 2 + ln 3

ln 6 = ln 2 + ln 3.

Méthode utilisée : $ln (a^{k}) = k ln a$ ln(a^(k))=kln a et $ln (ab) = ln a + ln b$ ln(ab)=ln a+ln b.

Dériver une fonction logarithme

Niveau 2 · Méthode complète

Dériver

f (x) = ln (3 x)

f(x) = ln(3x), puis

g (x) = x ln x

g(x) = xln x (sur

] 0; + \infty [

]0 ;+∞[).

Voir la correction

1.
Pour $f$ f, $(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ (ln u)' = u'/u avec $u = 3 x$ u = 3x : $f^{'} (x) = \frac{3}{3 x} = \frac{1}{x}$ f'(x) = 3/3x = 1/x.
→ Dérivée du logarithme
2.
Pour $g$ g, règle du produit : $g^{'} (x) = 1 \cdot ln x + x \cdot \frac{1}{x}$ g'(x) = 1· ln x + x· 1/x.
3.
$g^{'} (x) = ln x + 1$ g'(x) = ln x + 1.

Réponse :

f^{'} (x) = \frac{1}{x}

f'(x) = 1/x ;

g^{'} (x) = ln x + 1

g'(x) = ln x + 1.

Méthode utilisée : $(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ (ln u)'=u'/u.

Erreur fréquente : $(ln (3 x))^{'} = \frac{1}{x}$ (ln(3x))'=1/x, pas $\frac{3}{x}$ 3/x (le $3$ 3 se simplifie).

Faire les 10 exercices types sur logarithme népérien8 autres exercices corrigés pas à pas, du plus simple au plus complet.

Questions fréquentes

C'est quoi le logarithme népérien, simplement ?

C'est la fonction qui « défait » l'exponentielle. Si l'exponentielle multiplie, le logarithme compte combien de fois : ln répond à la question « à quelle puissance faut-il élever e pour obtenir ce nombre ? ».

Pourquoi ln n'existe que pour les nombres positifs ?

Parce que l'exponentielle ne renvoie que des valeurs positives ; son inverse, le logarithme, ne peut donc s'appliquer qu'à des nombres strictement positifs. ln(0) ou ln(−2) n'existent pas.

À quoi sert le logarithme dans la vie réelle ?

À mesurer des grandeurs qui varient énormément : l'échelle de Richter (séismes), le pH (acidité), les décibels (son). À chaque fois, passer d'un niveau au suivant correspond à multiplier — le logarithme transforme ça en une échelle plus lisible.

Pourquoi ln(ab) = ln a + ln b ?

C'est la propriété miroir de l'exponentielle qui transforme les sommes en produits. Le logarithme fait l'inverse : il transforme les produits en sommes. C'est ce qui le rend si pratique pour simplifier les calculs.

Comment résoudre une équation avec ln ?

On vérifie d'abord que les arguments sont positifs, puis on utilise ln a = ln b ⟺ a = b. Par exemple ln(x+3) = ln(2x−1) donne x + 3 = 2x − 1, donc x = 4.

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