Fonction logarithme népérien en Terminale spé maths

La fonction logarithme népérien en Terminale spé : cours complet

La fonction logarithme népérien $\ln$ln est l'inverse de la fonction exponentielle. Elle est définie sur $]0;+\infty [$]0 ; +∞[, croissante, concave, et apparaît partout en sciences.

Définition

Définition

La fonction $\ln :]0;+\infty [\to \mathbb{R}$ln : ]0 ; +∞[ → ℝ est définie comme la fonction réciproque de $\exp$exp :

$$y=\ln (x)⟺x=e^y(x>0)$$y = ln(x) ⇔ x = e^(y) (x > 0)

Valeurs particulières

$$\ln (1)=0;\ln (e)=1;\ln (e^k)=k$$ln(1) = 0 ; ln(e) = 1 ; ln(e^(k)) = k

Encadrement utile

$$\ln (2)\approx 0,693;\ln (10)\approx 2,303$$ln(2) ≈ 0,693 ; ln(10) ≈ 2,303

Propriétés algébriques

Produit

$$\ln (ab)=\ln (a)+\ln (b)(a,b>0)$$ln(ab) = ln(a) + ln(b) (a, b > 0)

Quotient

$$\ln \left(\frac{a}{b}\right)=\ln (a)-\ln (b)$$ln(a/b) = ln(a) - ln(b)

Puissance

$$\ln (a^n)=n\ln (a)$$ln(aⁿ) = n ln(a)

Racine

$$\ln (\sqrt{a})=\frac{1}{2}\ln (a)$$ln(√(a)) = 1/2 ln(a)

Identités fondamentales

$$\ln (e^x)=x(\forall x\in \mathbb{R})$$ln(e^(x)) = x (∀ x ∈ ℝ)

$$e^{\ln (x)}=x(\forall x>0)$$e^(ln(x)) = x (∀ x > 0)

Dérivée

$$(\ln (x){)}^{\prime }=\frac{1}{x}(x>0)$$(ln(x))' = 1/x (x > 0)

Dérivée de $\ln (u)$ln(u)

$$(\ln (u){)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}(u>0)$$(ln(u))' = u'/u (u > 0)

Exemples

$$(\ln (2x+1){)}^{\prime }=\frac{2}{2x+1}$$(ln(2x + 1))' = 2/(2x + 1)

$$(\ln (x^2+1){)}^{\prime }=\frac{2x}{x^2+1}$$(ln(x² + 1))' = 2x/(x² + 1)

Variations

$\ln$ln est strictement croissante sur $]0;+\infty [$]0 ; +∞[.

Limites

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\ln (x)=-\infty ;\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln (x)=+\infty$$lim_x → 0⁺ ln(x) = -∞ ; lim_x → +∞ ln(x) = +∞

Croissances comparées

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (x)}{x}=0;\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (x)}{x^n}=0(n>0)$$lim_x → +∞ ln(x)/x = 0 ; lim_x → +∞ ln(x)/xⁿ = 0 (n > 0)

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln (x)=0;\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^n\ln (x)=0$$lim_x → 0⁺ x ln(x) = 0 ; lim_x → 0⁺ xⁿ ln(x) = 0

Convexité

$$(\ln {)}^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{x^2}<0$$(ln)''(x) = -1/x² < 0

La fonction $\ln$ln est concave sur $]0;+\infty [$]0 ; +∞[.

Inégalité tangentielle

$$\ln (x)\le x-1(\forall x>0)$$ln(x) ≤ x - 1 (∀ x > 0)

(Égalité seulement en $x=1$x = 1.)

Équations et inéquations

Équation $\ln (x)=a$ln(x) = a

$$\ln (x)=a⟺x=e^a$$ln(x) = a ⇔ x = e^(a)

Équation $\ln (u)=\ln (v)$ln(u) = ln(v)

$$\ln (u)=\ln (v)⟺u=v(u,v>0)$$ln(u) = ln(v) ⇔ u = v (u, v > 0)

Inéquations

Comme $\ln$ln est strictement croissante :

$$\ln (u)<\ln (v)⟺u<v(u,v>0)$$ln(u) < ln(v) ⇔ u < v (u, v > 0)

Exemple

Résoudre $\ln (2x+1)=3$ln(2x + 1) = 3 :

$$2x+1=e^3⟺x=\frac{e^3-1}{2}\approx 9,54$$2x + 1 = e³ ⇔ x = (e³ - 1)/2 ≈ 9,54

Représentation graphique

La courbe de $\ln$ln :

• Passe par $(1;0)$(1 ; 0) et $(e;1)$(e ; 1).
• A pour asymptote verticale l'axe des ordonnées.
• Est symétrique de la courbe de $\exp$exp par rapport à la droite $y=x$y = x.

Le logarithme décimal

$$\log (x)=\frac{\ln (x)}{\ln (10)}$$log(x) = ln(x)/ln(10)

C'est le logarithme en base 10, utilisé en chimie (pH), acoustique (décibels), etc.

$$\log (10^n)=n;\log (1000)=3$$log(10ⁿ) = n ; log(1000) = 3

Applications

Désintégration radioactive

$$N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}⟹t=-\frac{\ln (N/N_0)}{\lambda }$$N(t) = N₀ e^(-λ t) ⇒ t = -(ln(N/N₀))/λ

Demi-vie

$$T_{1/2}=\frac{\ln (2)}{\lambda }$$T_1/2 = ln(2)/λ

pH en chimie

$$\text{pH}=-\log [H^{+}]$$pH = -log[H⁺]

Erreurs fréquentes à éviter

• $\ln (a+b)\ne \ln (a)+\ln (b)$ln(a + b) ≠ ln(a) + ln(b) : faux ! C'est $\ln (ab)=\ln (a)+\ln (b)$ln(ab) = ln(a) + ln(b).
• $\ln (0)$ln(0) n'existe pas, $\ln$ln d'un négatif non plus.
• Mauvaise dérivée : $(\ln (u){)}^{\prime }=u^{\prime }/u$(ln(u))' = u'/u, pas $u^{\prime }/\ln (u)$u'/ln(u).
• Conditions sur $u$u : il faut $u>0$u > 0 avant tout calcul.

FAQ — Logarithme népérien

Pourquoi « népérien » ?

En l'honneur de John Napier (XVIIe siècle), inventeur des logarithmes pour simplifier les multiplications.

À quoi sert $\ln$ln ?

À transformer des produits en sommes (utile pour les calculs), à modéliser la croissance ou décroissance exponentielle, à simplifier les équations exponentielles.

Pourquoi $\ln (1)=0$ln(1) = 0 ?

Parce que $e^0=1$e⁰ = 1.

Quelle est la base $e$e ?

Le nombre $e\approx 2,718$e ≈ 2,718, base naturelle des logarithmes et de l'exponentielle, omniprésent en sciences.