Notion

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle, notée $exp$ exp ou $e^{x}$ e^(x), est l'unique fonction définie sur $R$ ℝ égale à sa propre dérivée et valant $1$ 1 en $0$ 0 : $exp^{'} = exp$ exp'=exp et $exp (0) = 1$ exp(0)=1. Elle est strictement positive et strictement croissante sur $R$ ℝ, et transforme les sommes en produits : $e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}$ e^(a+b)=e^(a)× e^(b). Ses limites sont $x \to - \infty lim e^{x} = 0$ lim_x→-inftye^(x)=0 et $x \to + \infty lim e^{x} = + \infty$ lim_x→+inftye^(x)=+∞, avec une croissance qui l'emporte sur celle des puissances. Réciproque du logarithme népérien, l'exponentielle modélise toute évolution à taux de croissance proportionnel à la quantité : populations, radioactivité, charge d'un condensateur. C'est une fonction incontournable du programme de terminale.

Définitions

Fonction exponentielle: C'est la fonction $x \mapsto e^{x}$ x ↦ e ^(x), définie sur $R$ ℝ, strictement positive et strictement croissante. Elle vérifie $e^{0} = 1$ e ⁰ = 1 et $e^{1} = e \approx 2, 718$ e ¹ = e ≈ 2,718.
Le nombre e: $e$ e est un nombre irrationnel, environ $2, 718$ 2,718. C'est la base de l'exponentielle : $e^{1} = e$ e ¹ = e.
Propriété fondamentale: L'exponentielle transforme les sommes en produits : $e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}$ e ^(a+b) = e ^(a)× e ^(b). C'est de cette relation que découlent toutes les autres.

Formules

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Propriétés algébriques →

e^{a + b} = e^{a} e^{b} e^{- a} = \frac{1}{e ^{a}} \frac{e ^{a}}{e ^{b}} = e^{a - b} (e^{a})^{n} = e^{na}

e ^(a+b) = e ^(a) e ^(b) e ^(-a) = 1/(e ^(a)) (e ^(a))/(e ^(b)) = e ^(a-b) ( e ^(a))ⁿ = e ^(na)Les règles de calcul de l'exponentielle.Dérivée de l'exponentielle →

(e^{x})^{'} = e^{x} (e^{u})^{'} = u^{'} e^{u} (e^{k x})^{'} = k e^{k x}

( e ^(x))' = e ^(x) ( e ^(u))' = u' e ^(u) ( e ^(kx))' = k e ^(kx)L'exponentielle est sa propre dérivée.Signe, variations et équations →

e^{x} > 0 pour tout x e^{a} = e^{b} ⟺ a = b

e ^(x) > 0 pour tout x e ^(a) = e ^(b) ⇔ a = bToujours positive, strictement croissante, et injective.

Méthodes

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Étudier la fonction exponentielle →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Simplifier une expression

Niveau 1 · Application directe

Simplifier

A = e^{2} \times e^{3}

A = e ²× e ³ et

B = \frac{e ^{x}}{e ^{2 x}}

B = (e ^(x))/(e ^(2x)).

Voir la correction

1.
Pour un produit, on additionne les exposants : $A = e^{2 + 3} = e^{5}$ A = e ²⁺³ = e ⁵.
→ Propriétés algébriques
2.
Pour un quotient, on soustrait : $B = e^{x - 2 x} = e^{- x}$ B = e ^(x - 2x) = e ^(-x).

Réponse :

A = e^{5}

A = e ⁵ ;

B = e^{- x}

B = e ^(-x).

Méthode utilisée : $e^{a} \times e^{b} = e^{a + b}$ e^(a)× e^(b)=e^(a+b) et $\frac{e ^{a}}{e ^{b}} = e^{a - b}$ e^(a)/e^(b)=e^(a-b).

Erreur fréquente : Multiplier les exposants au lieu de les additionner.

Dériver une fonction exponentielle

Niveau 2 · Méthode complète

Dériver

f (x) = e^{3 x}

f(x) = e ^(3x), puis

g (x) = x e^{x}

g(x) = x e ^(x).

Voir la correction

1.
Pour $f$ f, on applique $(e^{k x})^{'} = k e^{k x}$ ( e ^(kx))' = k e ^(kx) : $f^{'} (x) = 3 e^{3 x}$ f'(x) = 3 e ^(3x).
→ Dérivée de l'exponentielle
2.
Pour $g$ g, règle du produit avec $u = x$ u = x ( $u^{'} = 1$ u' = 1) et $v = e^{x}$ v = e ^(x) ( $v^{'} = e^{x}$ v' = e ^(x)) : $g^{'} (x) = 1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ g'(x) = 1· e ^(x) + x· e ^(x).
3.
$g^{'} (x) = (1 + x) e^{x}$ g'(x) = (1 + x) e ^(x).

Réponse :

f^{'} (x) = 3 e^{3 x}

f'(x) = 3 e ^(3x) ;

g^{'} (x) = (1 + x) e^{x}

g'(x) = (1+x) e ^(x).

Méthode utilisée : $(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ (e^(u))'=u' e^(u) ; règle du produit pour $x e^{x}$ x e^(x).

Erreur fréquente : Oublier le facteur $3$ 3 dans $(e^{3 x})^{'} = 3 e^{3 x}$ (e^(3x))'=3e^(3x).

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Questions fréquentes

C'est quoi la fonction exponentielle, simplement ?

C'est la fonction de la croissance qui s'accélère. Exemple : un capital à intérêts composés, ou une population de bactéries qui double régulièrement. Plus la quantité est grande, plus elle augmente vite : c'est typiquement exponentiel.

Pourquoi e^x est-il toujours positif ?

Parce que l'exponentielle ne prend jamais de valeur négative ni nulle : sa courbe reste entièrement au-dessus de l'axe des abscisses. Conséquence pratique : une équation comme e^x = −2 n'a aucune solution.

Que veut dire « l'exponentielle est sa propre dérivée » ?

Que sa pente en un point est égale à sa valeur en ce point : (e^x)' = e^x. Plus elle est haute, plus elle monte vite — d'où sa croissance qui s'emballe. C'est une propriété unique et très utile.

C'est quoi le nombre e ?

C'est un nombre spécial, environ 2,718, qui sert de base à l'exponentielle (comme π pour le cercle). On a e^1 = e et e^0 = 1.

Comment résoudre une équation avec des exponentielles ?

On utilise le fait que e^a = e^b équivaut à a = b : il suffit d'égaler les exposants. Par exemple, e^(x+1) = e^(2x−3) donne x + 1 = 2x − 3, donc x = 4.

Tout sur exponentielle et logarithme en terminale

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